PŘEDNÁŠKA 2 POSLOUPNOSTI

PŘEDNÁŠKA 2 POSLOUPNOSTI

2.1 Zobrazení 2 Definice 1. Uvažujme libovolné neprázdné množiny A, B. Zobrazení množiny A do množiny B je definováno jako množina F uspořádaných dvojic (x, y A B, kde ke každému prvku x A existuje právě jeden prvek y B, pro který je (x, y F. Prvku x se říká vzor prvku y, prvku y se říká obraz prvku x v zobrazení F ; rovněž se používá vyjádření, že y je hodnota zobrazení F v bodě x a píše se y = F (x nebo x F (x. Množina A se nazývá definiční obor zobrazení F a označuje také symbolem D(F či D F. Množina všech obrazů v zobrazení F se nazývá obor hodnot zobrazení F a označuje se H(F či H F ; platí: H(F B.

3 Symbolicky se zobrazení F množiny A do množiny B zapisuje takto: F : A B, D(F = A

2.2 Posloupnost reálných čísel 4 Definice 2. Posloupností nazýváme zobrazení N do R. Posloupnost tedy přiřazuje každému n N právě jeden prvek f(n R, který se nazývá člen posloupnosti a obvykle se značí a n. Celou posloupnost budeme značit ( a n. Grafem posloupnosti jsou izolované body:

5 Příklad 2.1. Aritmetická posloupnost je definována předpisem a 1 R, a n = a 1 + (n 1d, kde a 1, d jsou daná reálná čísla. Pro členy aritmetické posloupnosti platí: a n+1 a n = d. Číslo d se nazývá diference aritmetické posloupnosti. Matematickou indukcí lze dokázat, že pro součet prvních n členů aritmetické posloupnosti platí: n s n = a k = a 1 + a 2 + + a n = n( a 1 + a n n(n 1 = na 1 + d. 2 2 k=1 Také lze uvažovat: s n = a 1 + (a 1 + d + (a 1 + 2d + + (a 1 + (n 1d s n = a n + (a n d + (a n 2d + + (a n (n 1d 2s n = (a 1 + a n +(a 1 + a n + (a 1 + a n + + (a 1 + a n = 2s n = n(a 1 + a n = s n = 1 2 n(a 1 + a n

6 Příklad 2.2. Geometrická posloupnost je definována předpisem kde a 1, q jsou daná reálná čísla. a 1 R, a n = a 1 q n 1, Je-li a 1 q 0, platí mezi dvěma po sobě jdoucími členy: a n+1 a n = q. Tento poměr se nazývá kvocient geometrické posloupnosti. Matematickou indukcí lze dokázat, že pro součet prvních n členů geometrické posloupnosti platí: s n = q n 1 n ( a 1 pro q 1, a k = a 1 1 + q + q 2 + + q n 1 q 1 = na 1 pro q = 1. k=1

2.3 Vlastnosti posloupností 7 ( Definice 3. Řekneme, že posloupnost an je shora omezená, jestliže existuje K R takové, že pro každé n N platí: a n K.

Definice 4. Řekneme, že posloupnost ( a n je zdola omezená, jestliže existuje K R takové, že pro každé n N platí: a n K. 8

Definice 5. Řekneme, že posloupnost ( a n je omezená, jestliže existuje K R takové, že pro každé n N platí: a n K. 9

10 Příklad 2.3. Pro d > 0 je aritmetická posloupnost zdola omezená číslem a 1, ale není omezená shora, a tedy není ani omezená Příklad 2.4. Pro a 1 0 a q < 1 není geometrická posloupnost omezená ani shora, ani zdola. Pro q 1 je geometrická posloupnost omezená. Stačí zvolit K = a1.

Definice 6. Posloupnost ( a n se nazývá rostoucí, jestliže pro každé n N platí: a n < a n+1, klesající, jestliže pro každé n N platí: a n > a n+1, neklesající, jestliže pro každé n N platí: a n a n+1, nerostoucí, jestliže pro každé n N platí: a n a n+1. Posloupnost, která splňuje jednu z výše uvedených podmínek, se nazývá monotónní. Je-li rostoucí nebo klesající, nazývá se též ryze monotónní. Příklad 2.5. Necht je dána posloupnost ( a n, kde an = ( 1n+1. n Členy posloupnosti: 1, 1, 1, 1, 1, 1,.... 2 3 4 5 6 Posloupnost není monotonní, je omezená např. číslem 1. 11

Definice 7. Necht je dána posloupnost ( a n a rostoucí posloupnost přirozených čísel ( k n, tj. k n N a k n < k n+1. Posloupnost ( b n, pro jejíž členy platí bn = a kn, nazveme vybranou posloupností z posloupnosti ( a n. Příklad 2.6. Posloupnost ( b n definovaná vztahem b n = ( 1n2 +1 n 2 je vybraná z posloupnosti ( a n, kde a n = ( 1n+1 n V tomto případě je k n = n 2 (b 1 = 1 = a 1 ; b 2 = 1 4 = a 4..... 12

13 Příklad 2.7. Posloupnost ( c n, kde cn = 1, není vybraná z posloupnosti n2 ( an, kde a n = ( 1n+1, n protože neexistuje rostoucí posloupnost přirozených čísel ( k n tak, aby a kn = c n = 1 (c n 2 1 = 1 = a 1 ; c 2 = 1, a 4 4 = 1. 4 Příklad 2.8. Posloupnost ( d n, jejíž členy jsou postupně 1, 1 2, 1 3, 1 5, 1 4, 1 7, 1 9, 1 6, 1 11,... také není vybranou posloupností z posloupnosti ( a n, přestože množina členů obou těchto posloupností je stejná. Lze sice najít posloupnost přirozených čísel ( k n tak, aby dn = a kn, ale tato posloupnost není rostoucí.

2.3.1 Algebraické operace ( Násobení posloupnosti an reálným číslem c R definujeme jako posloupnost, jejíž n tý člen je ca n, tj. jako posloupnost c ( ( a n = can. Součet posloupností ( a n a ( bn je definován předpisem ( an + ( bn = ( an + b n. Součin posloupností ( a n a ( bn je definován předpisem ( an ( bn = ( an b n. Je-li b n 0 pro každé n N, je podíl posloupností ( ( a n a bn definován jako ( ( an an ( =. bn b n 14

15 2.3.2 Limita posloupnosti Definice 8. Řekneme, že posloupnost ( a n má limitu a R (vlastní limitu, jestliže ke každému ε > 0 existuje n 0 N takové, že pro každé přirozené n > n 0 platí nerovnost a n a < ε, neboli a n U ε (a. Výrok posloupnost ( a n má limitu a zapisujeme jako lim a n = a.

16 Příklad 2.9. Dokažte, že lim n + 4 n 3 + n + 1 = 0. Řešení. Necht je dáno ε > 0. Z nerovnosti n + 4 n 3 + n + 1 < 5n2 n 3 = 5 n plyne, že pokud zvolíme n 0 N takové, že 5 n 0 < ε, bude pro každé n N, n > n 0, splněna nerovnost n + 4 n 3 + n + 1 0 = n + 4 n 3 + n + 1 < 5 n < 5 < ε. n 0 [ ] 5 Tedy stačí zvolit n 0 = + 1, kde [x] je tzv. celá část reálného ε čísla x, která je pro každé x R definována jako jediné celé číslo, pro které platí nerovnosti [x] x < [x] + 1.

17 Definice 9. Řekneme, že posloupnost ( a n má nevlastní limitu +, jestliže ke každému K R existuje n 0 takové, že pro všechna přirozená čísla n > n 0 je a n > K, neboli a n U ε (+.

18 Definice 10. Řekneme, že posloupnost ( a n má nevlastní limitu, jestliže ke každému K R existuje n 0 takové, že pro všechna přirozená čísla n > n 0 je a n < K, neboli a n U ε (..

19 Věta. Posloupnost ( a n má limitu a (vlastní nebo nevlastní právě tehdy, když mimo každé okolí U ε (a leží pouze konečný počet členů posloupnosti ( a n. Důkaz. Necht je lim a n = a R a U ε (a je libovolné okolí bodu a. Protože lim a n = a, existuje k tomuto ε > 0 index n 0 takový, že pro každé n > n 0 je a n a < ε. Ale to je tvrzení, že pro každé n > n 0 leží všechny body a n uvnitř okolí U ε (a. Tedy mimo množinu U ε (a mohou ležet pouze body a 1, a 2,..., a n0, což je konečná množina. Necht naopak pro každé okolí U ε (a leží mimo toto okolí pouze konečný počet členů posloupnosti ( a n. Je-li dáno ε > 0, leží podle předpokladu mimi okolí U ε (a pouze konečná množina členů posloupnosti. Označme tuto množinu M a zvolme n 0 = max n. a n M Protože je množina M konečná, toto maximum existuje a pro každé n > n 0 je a n U ε (a, což znamená, že an a < ε. Případ nevlastních limit se dokáže obdobně.

20 Věta. Posloupnost má nejvýše jednu limitu. Důkaz. Necht má posloupnost ( a n dvě limity a a b, a b. Vyberme disjunktní okolí U ε1 (a bodu a a U ε2 (b bodu b, tj. U ε1 (a U ε2 (b =. Jestliže a b, taková okolí vždy existují. Například pro a b a, b R lze zvolit ε 1 = ε 2 = > 0. Protože a je limitou posloupnosti ( 3 a n existuje index n1 takový, že pro všechna n > n 1 je a n U ε1 (a. Podobně protože b je limitou posloupnosti ( a n existuje index n 2 takový, že pro všechna n > n 2 je a n U ε2 (b. Necht n > max ( n 1, n 2. Pak je an U ε1 (a a také a n U ε2 (b. Ale z toho plyne, že a n U ε1 (a U ε2 (b =. Ale to je spor. Tedy předpoklad a b vede ke sporu. Proto musí pro každé dvě limity posloupnosti ( a n platit a = b.

21 Definice 11. Jestliže posloupnost ( a n má vlastní limitu, nazýváme ji konvergentní. Jestliže posloupnost ( a n má nevlastní limitu nebo limitu nemá, nazýváme ji divergentní. Věta. Každá konvergentní posloupnost je omezená. Důkaz. Necht lim a n = a R. Zvolme ε = 1. Pak existuje n 0 N takové, že pro každé n > n 0 je a 1 < a n < a + 1. Označme K = max ( a 1, a 2,..., a n0, a + 1 a L = min ( a 1, a 2,..., a n0, a 1. Protože se jedná o konečné množiny, taková K a L existují. Tedy pro každé n N platí nerovnost L a n K.

22 Věta. Necht posloupnosti ( ( a n a bn konvergují, c R. Necht lim a n = a a lim b n = b. Pak konvergují také posloupnosti ( can, ( an + b n, ( an b n a platí ( ( ( lim can = ca, an + b n = a + b, lim an b n = ab. Jestliže je navíc lim b n 0, pak konverguje i posloupnost a platí ( an = a b. lim b n ( an b n

23 Věta. Jsou-li posloupnosti ( ( a n a bn konvergentní a pro každé n N platí a n b n, je lim a n lim b n. Důkaz. Necht je lim a n = a, lim b n = b a a > b. Pak je a b > 2 0. K tomuto ε existují n a a n b taková, že pro každé n > n a je a ε = a + b < a n a pro každé n > n b je b n < b + ε = a + b 2 2. Tedy pro n > max ( n a, n b platí bn < a + b < a n, což je spor. 2 Poznámka: Pro limity a a b může platit a = b i v případě, kdy pro každé n N je a n < b n ; například a n = 0 a b n = 1 n.

Věta. Necht pro členy posloupností ( ( ( a n, bn a cn platí an b n c n a existují limity lim a n = lim c n = a. Pak existuje také limita posloupnosti ( b n a platí lim b n = a. Důkaz. V případě, že lim a n = + nebo lim c n =, je tvrzení zřejmé. Necht a R. Pak ke každému ε > 0 existují n a a n c taková, že pro každé n > n a je a ε < a n a pro všechna n > n b je c n < a + ε. Tedy pro všechna n > n 0 = max ( n a, n b platí nerovnosti a ε < a n b n c n < a + ε. 24

25 Věta. Pro posloupnost ( a n je lim lim an = 0. a n = 0 právě tehdy, když Důkaz. Tvrzení je zcela zřejmé z definice limity. Věta. Necht lim a n = 0 a posloupnost ( b n je omezená. Pak je lim a nb n = 0. Důkaz. Protože lim a n = 0 je také lim a n = 0. Protože je posloupnost ( b n omezená, existuje K R takové, že pro každé n N je K b n K. Tvrzení věty plyne ze zřejmé nerovnosti K an an b n K an a z toho, že lim K an = 0.

26 Příklad 2.10. Najděte limitu posloupnosti a n = 2cos n n + sin n!. Řešení: a n = b n c n, kde b n = 1 n a c 2 cos n n = 1 + ( sin n! /n. lim b n = 0; cos n 1 2 cos n 2; sin n! sin n! 1, proto lim = 0 ( n sin n! lim 1 + = 1. Posloupnost ( c n je omezená a podle n předchozí věty je lim a n = 0.

27 Věta. Je-li posloupnost ( a n neklesající, resp. nerostoucí, existuje její limita (vlastní nebo nevlastní a platí lim a n = sup a n, lim a n = inf a n. Poznámka: Tvrzení této věty lze shrnout tak, že monotonní posloupnosti mají vždy limitu, která je rovna supremu pro neklesající posloupnosti a infimu pro posloupnosti nerostoucí. Pomocí uvedené věty lze ukázat, že platí důležité vztahy: ( lim 1 + 1 n ( = e, obecněji lim 1 + n k n = e k n

28 Důkaz. Pro neklesající posloupnosti (pro nerostoucí anal.: Necht je ( a n neklesající posloupnost, tj. pro každé n N platí nerovnost a n a n+1. Jestliže není posloupnost ( a n omezená, musíme dokázat, že lim a n = +. Necht je dáno K R. Protože posloupnost ( a n není shora omezená, existuje index n0 takový, že a n0 > K. Ale protože je posloupnost neklesající, platí pro každé n > n 0 nerovnost K < a n0 a n. Nyní předpokládejme, že je neklesající posloupnost ( a n shora omezená. Pak existuje sup { a n ; n N } = a R. Ukážeme, že toto a je limitou posloupnosti ( a n. Z první vlastnosti suprema plyne, že pro každé n N je a n a. Necht je dáno ε > 0. Z druhé vlastnosti suprema pak plyne, že existuje index n 0 takový, že a ε < a n0 a. Protože je posloupnost neklesající, platí pro každé n > n 0 nerovnost a ε < a n0 a n a.

Definice 12. Posloupnost ( a n se nazývá cauchyovská, jestliže splňuje Cauchy Bolzanovu podmínku: Ke každému ε > 0 existuje n 0 takové, že pro každá m, n, kde m > n 0 a n > n 0, platí a m a n < ε. Věta. Posloupnost ( a n konverguje právě tehdy, když je cauchyovská. Věta. Necht je ( ( b n posloupnost vybraná z posloupnosti an a lim a n = a. Pak je lim b n = a. Důkaz. Pro každé ε > 0 (nebo K R stačí zvolit n 0 = k n0. Příklad 2.11. Dokažte, že a n = ( 1 n nemá limitu. Řešení. Pro n = 2k dostaneme vybranou posloupnost b k = a 2k = ( 1 2k = 1 s limitou 1, pro n = 2k + 1 vybranou posloupnost b k = a 2k+1 = ( 1 2k+1 = 1 s limitou 1. 29

30 Příklad 2.12. n Dokažte, že posloupnost a n = (1 + ( 1n nemá limitu. n Řešení. Pro sudá n = 2k dostaneme vybranou posloupnost b k = a 2k = ( 2k. ( 1 + 1 2k To je posloupnost vybraná z posloupnosti 1 + 1 n. n Proto je lim b k = e. Pro lichá n = 2k 1 dostaneme vybranou k posloupnost c k = a 2k 1 = ( 1 1 2k 1, 2k 1 což je vybraná posloupnost z posloupnosti ( 1 1 n n. Protože všechny členy této posloupnosti jsou menší než 1, nemůže být její limita rovna e > 1. Ve skutečnosti je lim k c k = e 1. Protože posloupnost a n obsahuje dvě posloupnosti, které nemají stejnou limitu, neexistuje ani limita posloupnosti ( a n.

31 Definice 13. Bod a R se nazývá hromadným bodem ( posloupnosti an právě tehdy, když existuje vybraná posloupnost ( b n taková, že a = lim b n. Věta. Bod a je hromadným bodem posloupnosti ( a n právě tehdy, když pro každé okolí U ε (a existuje nekonečná množina indexů N a N taková, že pro každé n N a je a n U ε (a. Důkaz. Je to vlastně jen jinak přepsaná definice hromadného bodu posloupnosti. Příklad 2.13. Pro posloupnost a n = ( 1 n jsou hromadné body 1 a 1, nebot lim a 2k = lim 1 = 1, k k lim a 2k 1 = lim ( 1 = 1. k k

Příklad 2.14. Najděte všechny hromadné body posloupnosti a n = (n + 12 + ( 1 n n 2 n 2 + n + 1 cos 2π 3 n. Řešení. a n = b n c n, kde b n = (n + 12 + ( 1 n n 2, c n 2 n = cos 2 π + n + 1 3 n. Ani jedna z těchto posloupností nemá limitu. b 2k = 8k2 + 4k + 1 4k 2 + 6k + 1 2, b 2k 1 = 4k 1 4k 2 2k + 1 0. Protože posloupnost c n je omezená, je lim k a 2k 1 = 0. 32

Uvažujme a 2k = 8k2 + 4k + 1 4k 2 + 6k + 1 cos 4π k; 3 cos 4π k nabývá hodnot 1 pro k = 3m, 1 pro k = 3m ± 1. Tedy z 3 2 posloupnosti ( ( a 2k lze vybrat posloupnosti a6k, která má limitu 2 a ( ( a 6k±2, která má limitu 1. Hromadné body posloupnosti an jsou tedy 1, 0 a 2. Příklad 2.15. Najděte všechny hromadné body posloupnosti 1 2, 1 3, 2 3, 1 4, 2 4, 3 4,... 1 n, 2 n,..., n 2 n, n 1 n,.... Řešení. Tato posloupnost obsahuje všechna racionální čísla z intervalu (0, 1, tj. čísla p, kde 0 < p < q jsou přirozená nesoudělná q čísla, a to každé dokonce nekonečně krát. Protože každé reálné číslo lze s libovolnou přesností aproximovat posloupností racionálních čísel, je množina hromadných bodů posloupnosti ( a n celý interval 0, 1. 33

34 Definice 14. Necht je M množina všech hromadných bodů posloupnosti ( a n. Číslo S = sup M, resp. s = inf M se nazývá limes superior, resp. limes inferior, posloupnosti ( an a značí se lim sup lim a n. a n nebo lim a n, resp. lim inf a n nebo Příklad 2.16. Pro posloupnost a n = ( 1 n je lim ( 1n = 1, lim ( 1 n = 1 Věta. Posloupnost ( a n má limitu tehdy a jen tehdy, když lim sup a n = lim inf a n.

Věta. Množina M je kompaktní právě tehdy, pokud lze z každé posloupnosti ( a n takové, že an M pro každé n N, vybrat konvergentní posloupnost, jejíž limita leží v M. 35