VIII. Primitivní funkce Riemnnův integrál VIII.2. Primitivní funkce Definice. Nechť funkce f je definován n neprázdném otevřeném intervlu I. Řekneme, že funkce F : I R je primitivní funkce k f n intervlu I, jestliže pro kždé x I existuje F (x) pltí F (x) = f(x). Vět (jednoznčnost primitivní funkce). Nechť F G jsou primitivní funkce k funkci f n otevřeném intervlu I. Pk existuje c R tk, že F (x) = G(x) + c pro kždé x I. Poznámk. nožinu všech primitivních funkcí k funkci f znčíme symbolem f(x) dx. Skutečnost, že F je primitivní funkcí k f n I zpisujeme f(x) dx c = F (x), x I. Vět 2 (o existenci primitivní funkce). Nechť f je spojitá funkce n neprázdném otevřeném intervlu I. Pk f má n I primitivní funkci. Tvrzení 3 (linerit neurčitého integrálu). Nechť funkce f má n otevřeném intervlu I primitivní funkci F, funkce g má n I primitivní funkci G α, β R. Potom funkce αf + βg je primitivní funkcí k αf + βg n I. Primitivní funkce k některým důležitým funkcím x n dx = c xn+ n R pro n N {0}; n + n (, 0) n (0, ) pro n Z, n <, x α dx = c xα+ n (0, + ) pro α R \ { }, α + x dx = c log x n (0, + ), x dx = c log( x) n (, 0), e x dx = c e x n R, sin x dx = c cos x n R, cos x dx = c sin x n R, cos 2 x dx = c tg x n kždém z intervlů ( π 2 + kπ, π 2 + kπ), k Z, sin 2 x dx c = cotg x n kždém z intervlů (kπ, (k + )π), k Z, + x 2 dx c = rctg x n R, x 2 dx c = rcsin x n (, ),
dx = c rccos x n (, ). x 2 Vět 4 (o substituci). (i) Nechť F je primitivní funkce k f n (, b). Nechť je ϕ funkce definovná n (α, β) s hodnotmi v intervlu (, b), která má v kždém bodě t (α, β) vlstní derivci. Pk f ( ϕ(t) ) ϕ (t) dt = c F ( ϕ(t) ) n (α, β). (ii) Nechť funkce ϕ má v kždém bodě intervlu (α, β) vlstní derivci, která je buď všude kldná, nebo všude záporná, ϕ ( (α, β) ) = (, b). Nechť funkce f je definovná n intervlu (, b) pltí f ( ϕ(t) ) ϕ (t) dt = c G(t) n (α, β). Pk f(x) dx c = G ( ϕ (x) ) n (, b). Vět 5 (integrce per prtes). Nechť I je neprázdný otevřený intervl, funkce f g jsou spojité n I, F je primitivní funkce k f n I G je primitivní funkce ke g n I. Pk pltí g(x)f (x) dx = G(x)F (x) G(x)f(x) dx n I. Integrce rcionálních funkcí Definice. Rcionální funkcí budeme rozumět podíl dvou polynomů, kde polynom ve jmenovteli není identicky roven nule. Vět ( zákldní vět lgebry ). Nechť n N, 0,..., n C, n 0. Pk rovnice má lespoň jedno řešení z C. n z n + n z n + + z + 0 = 0 Lemm 6 (o dělení polynomů). Nechť P Q jsou dv polynomy (s komplexními koeficienty), přičemž polynom Q není identicky roven nule. Pk existují jednoznčně určené polynomy R Z splňující: Polynom Z je nulový nebo má stupeň menší než stupeň Q. P (x) = R(x)Q(x) + Z(x) pro všechn x C. Pokud mjí P Q reálné koeficienty, mjí i R Z reálné koeficienty. Důsledek. Je-li P polynom λ C je jeho kořen (tj. P (λ) = 0), pk existuje polynom R, pro který pltí P (x) = (x λ)r(x) pro x C. Vět 7 (o rozkldu n kořenové činitele). Nechť P (x) = n x n + + x + 0 je polynom stupně n. Pk existují čísl x,..., x n C tková, že P (x) = n (x x ) (x x n ), x R. Definice. Nechť P je polynom, λ C k N. Řekneme, že λ je kořen násobnosti k polynomu P, jestliže existuje polynom R, který splňuje R(λ) 0 P (x) = (x λ) k R(x) pro x C. (Tj. násobnost kořene λ je rovn počtu výskytů čísl λ v n-tici x, x 2,..., x n z věty 7.) Tvrzení 8 (o kořenech polynomu s reálnými koeficienty). Nechť P je polynom s reálnými koeficienty z C je kořen P násobnosti k N. Pk i komplexně sdružené číslo z je kořenem P násobnosti k. Vět 9 (o rozkldu polynomu s reálnými koeficienty). Nechť P (x) = n x n + + x + 0 je polynom stupně n s reálnými koeficienty. Pk existují reálná čísl x,..., x k, α,..., α l, β,..., β l přirozená čísl p,..., p k, q,..., q l tková, že 2
P (x) = n (x x ) p (x x k ) p k (x 2 + α x + β ) q (x 2 + α l x + β l ) q l, žádné dv z mnohočlenů x x, x x 2,..., x x k, x 2 + α x + β,..., x 2 + α l x + β l nemjí společný kořen, mnohočleny x 2 + α x + β,..., x 2 + α l x + β l nemjí žádný reálný kořen. Vět 0 (o rozkldu n prciální zlomky). Nechť P, Q jsou polynomy s reálnými koeficienty tkové, že stupeň P je ostře menší než stupeň Q, Q(x) = n (x x ) p (x x k ) p k (x 2 + α x + β ) q (x 2 + α l x + β l ) q l, n, x,..., x k, α,..., α l, β,..., β l R, n 0, p,..., p k, q,..., q l N, žádné dv z mnohočlenů x x, x x 2,..., x x k, x 2 + α x + β,..., x 2 + α l x + β l nemjí společný kořen, mnohočleny x 2 + α x + β,..., x 2 + α l x + β l nemjí žádný reálný kořen. Pk existují jednoznčně určená reálná čísl A,..., A p,..., A k,..., A k p k, B, C,..., Bq, Cq,..., B, l C, l..., Bq l l, Cq l l tková, že pltí P (x) Q(x) = A (x x ) + + A p (x x ) p + + Ak (x x k ) + + A k p k (x x k ) p k + + B x + C (x 2 + α x + β ) + + B q x + C q (x 2 + α x + β ) q + Bx l + C l (x 2 + α l x + β l ) + + Bq l l x + Cq l l (x 2 + α l x + β l ) q. l VIII.3. Zobecněný Riemnnův integrál Lemm (Spojitost Riemnnov integrálu). Nechť, b R, < b funkce f má Riemnnův integrál n, b. Pk b f(x) dx = lim y y b f(x) dx = lim b y + y f(x) dx. Lemm 2 (Korektnost zobecněného RI). Nechť, b R, < b c (, b). Nechť funkce f má Riemnnův integrál n kždém podintervlu y, z (, b) výrz lim c y + y z f(x) dx + lim f(x) dx () z b c má smysl (tj. limity existují jejich součet má smysl).pk pro kždé d (, b) má výrz smysl je roven výrzu (). lim d y + y f(x) dx + lim z z b d f(x) dx Definice. Nechť f : (, b) R,, b R, < b nechť c (, b). Zobecněným Riemnnovým integrálem od do b z funkce f rozumíme b f(x) dx := lim c y + y pokud limity existují jejich součet má smysl. z f(x) dx + lim f(x) dx, (2) z b c 3
Poznámk.. Definice nezávisí n volbě c (, b) (dle Lemmtu 2). 2. Pokud má funkce Riemnnův integrál n intervlu, b, pk má i zobecněný Riemnnův integrál n (, b) ob integrály jsou si rovny (důsledek lemmtu ). Poznámk. 3. Zobecněný Riemnnův integrál může být roven + nebo. Pokud je tomu tk, říkáme, že integrál b f diverguje. Pokud má konečnou hodnotu, říkáme, že konverguje. Pokud výrz n prvé strně v 2 nemá smysl, říkáme, že funkce f nemá zobecněný Riemnnův integrál od do b. Tvrzení 3 (linerit zobecněného RI). Nechť f g jsou funkce mjící zobecněný RI n intervlu (, b),, b R, < b nechť α R. Potom (i) funkce αf má zobecněný RI n (, b) pltí (ii) funkce f + g má zobecněný RI n (, b) pltí b b b αf = α f + g = pokud je součet n prvé strně definován. b f, b f + Tvrzení 4 (zobecněný RI nerovnosti). Nechť, b R, < b, nechť f g jsou funkce mjící zobecněný Riemnnův integrál n intervlu (, b). Potom pltí: (i) Je-li f(x) g(x) pro kždé x (, b), pk b f (ii) Funkce f má zobecněný RI n (, b) pltí b f Tvrzení 5 (zobecněný RI podintervly). Nechť, b R, < b, funkce f má zobecněný RI n intervlu (, b) c (, b). Pk funkce f má zobecněný RI n intervlech (, c) (c, b) pltí b f = c b b b f + Poznámk. POZOR! Pro zobecněné RI (n rozdíl od RI) nepltí: Existují-li zobecněné RI c f, b c f, pk existuje zobecněný RI b f. Vět 6 (Newtonův Leibnizův vzorec). Nechť f, je spojitá n intervlu (, b),, b R, < b, nechť F je primitivní funkce k f n (, b). Integrál b f(x) dx existuje, právě když existují limity lim x + F (x), lim x b F (x) jejich rozdíl má smysl.v tomto přípdě pltí Výrz n prvé strně v (3) znčíme [F ] b. b c g. f. f. g, f(x) dx = lim F (x) lim F (x). (3) x b x + 4
Vět 7 (per prtes pro určitý integrál). Nechť, b R, < b f g mjí n intervlu (, b) spojitou první derivci. Pk pltí b b f g = [fg] b fg, (4) pokud má výrz n prvé strně smysl. Vět 8 (substituce pro určitý integrál). Nechť, b R, < b f je spojitá n (, b). Nechť α, β R, α < β φ má n intervlu (α, β) spojitou první derivci, je ryze monotónní zobrzuje (α, β) n (, b). Pk pltí b pokud spoň jeden z integrálů existuje. f(x) dx = β α f(φ(t)) φ (t) dt, (5) Vět (zvedení logritmu). Existuje jediná funkce (znčíme ji log nzýváme ji přirozeným logritmem), která má tyto vlstnosti: (L) D log = (0, + ), (L2) funkce log je n (0, + ) rostoucí, (L3) x, y (0, + ): log xy = log x + log y, (L4) lim x log x x =. Vět 9 (srovnávcí kritérium pro integrály). Nechť, b R, funkce f, g splňují 0 f(x) g(x) pro všechn x (, b) f je n (, b) spojitá. Pokud b g konverguje, pk b f konverguje. Vět 20 (limitní srovnávcí kritérium). Nechť f g jsou spojité nezáporné funkce n, b), b R existuje limit lim x b f(t) g(t) = c R. Je-li c (0, + ), pk konvergence b f je ekvivlentní konvergenci b g. Je-li c = 0, pk z konvergence b g plyne konvergence b f. Je-li c = +, pk z divergence b g plyne divergence b f. Vět 2 (integrální kritérium konvergence řd). Nechť f : (0, + ) R je nezáporná, nerostoucí spojitá. Řd n= f(n) konverguje, právě když + f(x) dx konverguje. VIII.4. Lebesgueův integrál v R n Zvedení pojmu Riemnnov integrálu bylo mj. motivováno snhou umět změřit plochu pod grfem některých funkcí. Rádi bychom tento pojem plochy dále rozšířili tk, by bylo možné npř. měřit mnohem obecnější podmnožiny R 2, přípdně R n. Ukzuje se všk, že tkovýto pojem míry množiny nelze zvést tk, by měl rozumné vlstnosti od něj očekávné zároveň uměl změřit všechny podmnožiny R n. (Viz též Bnchův-Trského prdox.) Proto zvádíme následující definici. Definice. Nechť A je nějký systém podmnožin R n. Řekneme, že A je σ-lgebr, jestliže pltí: (i) A, (ii) je-li A A, pk tké R n \ A A, (iii) jsou-li A, A 2,... A, pk tké j= A j A. Z definice je ihned vidět, že R n A jsou-li A, A 2,... A, pk tké j= A j A (plyne z de orgnových prvidel). Dále, jsou-li A, B A, pk tké B \ A A. 5
Definice. Nechť A je σ-lgebr podmnožin R n. Zobrzení µ: A 0, + ) {+ } se nzývá mír, jestliže µ( ) = 0, jestliže je σ-ditivní, tj. pokud A, A 2,... A jsou po dvou disjunktní, pk µ( j= A j) = j= µ(a j). Z definice plyne, že µ je monotónní, tj. µ(a) µ(b) pro kždé dvě množiny A, B A splňující A B. nožinám z A se říká měřitelné (přípdně µ-měřitelné) množiny. Vět 22. Existuje právě jedn σ-lgebr Λ n R n právě jedn mír λ n Λ mjící následující vlstnosti: (i) Λ obshuje všechny otevřené podmnožiny R n ; (ii) jestliže A, B Λ, A E B, λ(b \ A) = 0, pk E Λ; (iii) je-li I =, b 2, b 2 n, b n R n, pk λ(i) = n j= (b j j ); (iv) λ je trnslčně invrintní, tj. λ(x + A) = λ(a) pro kždou A Λ x R n. ír λ z předchozí věty se nzývá Lebesgueov mír množinám v Λ se říká lebesgueovsky měřitelné množiny. Příkld. Příkldy lebesgueovsky měřitelných množin: otevřené uzvřené množiny, konvexní množiny, konečné množiny, {x k R n : k N}, tj. množin všech členů nějké posloupnosti v R n. Zvláštní význm mjí množiny míry nul. Podle vlstnosti (ii) z Věty 22 je kždá podmnožin množiny s nulovou mírou měřitelná ( má nulovou míru). Příkld. Příkldy množin nulové míry v R n : konečné množiny, {x k R n : k N}, tj. množin všech členů nějké posloupnosti v R n, ndroviny v R n, grfy spojitých funkcí z R n do R, hrnice konvexních množin, Cntorovo diskontinuum v R. Je-li V (x), x R n výroková form, pk říkáme, že V (x) pltí pro skoro všechn x nebo skoro všude, jestliže existuje množin E nulové míry tková, že x R n \ E : V (x). Npříkld Dirichletov funkce je skoro všude rovn nule. Definice. Pro A R n definujeme chrkteristickou funkci množiny A tkto: { x A, χ A (x) = 0 x R n \ A. Nechť A,..., A k R n c,..., c k R. Funkci tvru k j= c jχ Aj nzýváme jednoduchou funkcí. Jsou-li nvíc A,..., A k Λ, pk funkci k j= c jχ Aj nzýváme jednoduchou měřitelnou funkcí. Definice. Zobrzení f : R n R nzýváme numerickou funkcí. Řekneme, že numerická funkce f je měřitelná, jestliže existuje posloupnost jednoduchých měřitelných funkcí {f j } j= tková, že pro všechn x R n pltí lim j f j (x) = f(x). 6
Definice. Je-li {f j } j= posloupnost numerických funkcí, řekneme že numerická funkce f je bodovou limitou posloupnosti {f j }, jestliže pro kždé x R n pltí lim j f j (x) = f(x). Znčíme lim j f j = f nebo f j f. Vět 23 (vlstnosti měřitelných funkcí). ěřitelné funkce mjí následující vlstnosti: (i) Jsou-li f, g měřitelné α R, pk i αf, f + g, fg, f g celém R n. (ii) Jsou-li f, g měřitelné, pk i mx{f, g} min{f, g} jsou měřitelné. (iii) Je-li f reálná měřitelná g reálná spojitá, pk g f je měřitelná. jsou měřitelné, pokud jsou definovné n (iv) Je-li {f j } j= posloupnost měřitelných funkcí s bodovou limitou f, pk f je tké měřitelná. (v) Spojité funkce jsou měřitelné. Definice. Lebesgueův integrál jednoduché nezáporné měřitelné funkce f := k j= c jχ Aj definujeme předpisem k f dλ = c j λ(a j ), kde používáme konvenci 0 (+ ) = 0. Definice. Lebesgueův integrál nezáporné měřitelné funkce definujeme předpisem { } f dλ = sup g dλ : g J +, g f, kde J + je množin všech nezáporných jednoduchých měřitelných funkcí. Oznčme f + := mx{f, 0} f := mx{ f, 0}. Definice. Lebesgueův integrál měřitelné funkce definujeme předpisem f dλ = f + dλ f dλ, pokud je rozdíl definován. Říkáme, že funkce f je (lebesgueovsky) integrovtelná, pokud má konečný Lebesgueův integrál. j= Nezáporné měřitelné funkce mjí Lebesgueův integrál. Pro obecné měřitelné funkce to nemusí být prvd. Definice. Je-li R n měřitelná množin f měřitelná funkce, pk definujeme f dλ = χ f dλ. Vět 24 (vlstnosti Lebesgueov integrálu). Nechť je měřitelná množin f, g jsou měřitelné funkce. (i) Nechť α R. Pk αf dλ = α f dλ (f + g) dλ = f dλ + g dλ, pokud jsou výrzy nprvo definovány. (ii) Pltí-li f g skoro všude n, pk f dλ g dλ, pokud ob integrály existují. (iii) Jestliže f dλ existuje, pk existuje i f dλ pltí f dλ f dλ. (iv) Je-li f = 0 skoro všude n, pk f dλ = 0. (v) Je-li f = g skoro všude n, pk f dλ = g dλ, pokud lespoň jeden z integrálů existuje. 7
Z vlstnosti (v) plyne, že pro práci s integrálem f dλ stčí, by f byl definován skoro všude n. N rozdíl od Riemnnov integrálu pltí pro Lebesgueův i obrácení (iii): f dλ existuje, právě když existuje f dλ. Vět 25 (souvislost s Riemnnovým integrálem). (i) Jestliže existuje Riemnnův integrál b f, pk existuje i Lebesgueův integrál f dλ ob integrály (,b) se rovnjí. (ii) Je-li f omezená n, b, pk její Riemnnův integrál existuje, právě když je skoro všude spojitá. (iii) Je-li f spojitá nezáporná funkce n (, b), pk (,b) f dλ = b f, kde vprvo je zobecněný Riemnnův integrál. Vět 26 (Příkldy integrovtelných funkcí). (i) Nechť R n je omezená otevřená nebo uzvřená množin f je omezená spojitá funkce n. Pk f je integrovtelná n. (ii) Nechť R n je omezená konvexní otevřená množin f je spojitá funkce n. Pk f je integrovtelná n i n pltí f dλ = f dλ. R Vět 27 (Fubiniov). Nechť m, n N f : R m+n R je integrovtelná funkce. Pro kždé x R m definujme funkci f x : R n R předpisem f x (y) = f(x, y). Pk pro skoro všechn x R m je funkce f x integrovtelná pltí R m R n dλ(y) f dλ = f x (y) dλ(x). (6) Poznámk. Nechť m, n N f : R m+n R je nezáporná měřitelná funkce. Pro kždé x R m definujme funkci f x : R n R předpisem f x (y) = f(x, y). Pk pro skoro všechn x R m je funkce f x měřitelná pltí opět vzorec (6). Zde ovšem může být integrál R m+n f dλ nekonečný. Vět 28 (o substituci). Nechť G R n je otevřená množin, funkce ϕ,..., ϕ n C (G) zobrzení ϕ: G R n definovné předpisem ϕ(x) = [ϕ (x),..., ϕ n (x)] nechť je prosté. Dále předpokládejme, že determinnt (tzv. jkobián) ϕ ϕ x (x)... x n (x) J ϕ (x) =..... ϕ n ϕ x (x)... n x n (x) je nenulový v kždém bodě x G. Pk ϕ(g) je otevřená pro kždou měřitelnou ϕ(g) kždou f : G R pltí f dλ = f ( ϕ(x) ) J ϕ (x) dλ(x), ϕ () pokud je lespoň jeden z těchto integrálů definován. 8