KAPITOLA 3: Limita a spojitost funkce [MA-8:P3.] 3. Úvod Necht je funkce f definována alespoň na nějakém prstencovém okolí bodu 0 R. Číslo a R je itou funkce f v bodě 0, jestliže pro každé okolí Ua) bodu a eistuje prstencové okolí P 0 ) bodu 0 takové, že P 0 ) Df) a pro všechna P 0 ) platí f) Ua). Píšeme f) = a, f) 0 a, f) a pro 0. Zápisy pomocí kvantifikátorů: f) = a Ua) P 0 ) R : P 0 ) f) Ua) ) 0 R, a R vlastní ita ve vlastním bodě ) f) = a ε > 0 δ > 0 R : 0 < 0 < δ f) a < ε ) 0 R, a = ± nevlastní ita ve vlastním bodě ) f) = + K R δ > 0 R : 0 < 0 < δ f) > K ) f) = K R δ > 0 R : 0 < 0 < δ f) < K ) 0 = ±, a R vlastní ita v nevlastním bodě ) + f) = a ε > 0 L R R : > L f) a < ε ) f) = a ε > 0 L R R : < L f) a < ε ) 0 = ±, a = ± nevlastní ita v nevlastním bodě ) + + f) = + K R L R R : > L f) > K ) f) = + K R L R R : < L f) > K ) f) = K R L R R : > L f) < K ) f) = K R L R R : < L f) < K ) Poznámka: Z definice ita nezávisí na hodnotě funkce v bodě 0, funkce nemusí být v 0 ani definována. Příklad 3., a) : Pomocí definice ukažte, že 2 2 ) = 2. Řešení: Máme f) = 2 2, Df) = R. Funkce je tedy definována na nějakém zde dokonce na každém) prstencovém okolí bodu a itu lze počítat. Mějme nyní dáno ε > 0 které určuje okolí U ε 2) bodu a = 2). Hledáme k němu δ ε > 0 určující prstencové okolí P δε ) bodu 0 = ) takové, že Bude-li pro nějaké δ > 0 platit < δ, pak bude f) U ε 2), kdykoliv P δε ), f) 2) = f) + 2 < ε, kdykoliv 0 < < δ ε. ) f) + 2 = 2 2 + 2 = ) 2 = 2 < δ 2. Zvolíme-li tedy δ ε tak, že δ 2 ε = ε, tj. δ ε = ε, bude??) platit. Tím jsme dokázali, že 2 2 ) = 2.
[MA-8:P3.2] Necht je funkce f definována alespoň na nějakém pravém prstencovém okolí bodu 0 R. Řekneme, že a R je itou zprava funkce f v bodě 0, jestliže pro každé okolí Ua) bodu a eistuje pravé prstencové okolí P + 0 ) Df) bodu 0 takové, že pro všechna P + 0 ) platí Píšeme + 0 f) Ua). f) = a apod. též zkráceně f + 0 ) = a ). Analogicky definujeme itu zleva 0 f). Limitě f) říkáme oboustranná ita, itám + 0 f), 0 f) jednostranné ity. Vlastní ita zprava pomocí kvantifikátorů: + 0 + 0 f) = a Ua) P + 0 ) R : f) = a ε > 0 δ > 0 R : Podobně pro vlastní itu zleva a nevlastní ity zprava a zleva.) P + 0 ) f) Ua) ) 0 < 0 < δ }{{} 0 < < 0+δ f) a < ε ) Příklad 3., b) : Pomocí definice ukažte, že 0 + + sin ) = +. Řešení: Máme f) = + sin, 0, ) Df), tedy funkce je definována na nějakém zde dokonce na každém) pravém prstencovém okolí bodu 0 a itu lze počítat. Mějme dáno K R které určuje okolí U K + ) bodu a = + ) a hledejme k němu δ K > 0 určující pravé prstencové okolí P + δ K 0) bodu 0 = 0) takové, že f) U K + ), kdykoliv P + δ K 0), f) > K, kdykoliv 0 < < δ K. 2) Zřejmě f) > pro všechna > 0. Tedy pro K lze volit δ K > 0 libovolně. Je-li δ kladné číslo, K >, pak pro všechna taková, že 0 < < δ, máme f) > δ. Zvolíme-li tedy např. δ K tak, že δ K = K, tj. δ K = K+, bude??) platit. Tím jsme dokázali, že 0 + + sin ) = +. Věta 3.: Funkce má v bodě 0 R itu rovnou a právě tehdy, když má v 0 itu zleva i zprava a obě jsou rovny a. Podobně jako v Příkladu 3.,b) můžeme ukázat, že 0 neeistuje. + sin ) =. Tedy podle Věty 3. 0 +sin ) Poznámka: Definici ity lze zobecnit a požadovat po bodu 0 pouze to, aby byl hromadným bodem Df), tj. aby každé jeho prstencové okolí P 0 ) mělo s Df) neprázdný průnik viz [P.5]). Podmínka,,f) Ua) pro všechna P 0 ) se pak nahradí podmínkou,,f) Ua) pro všechna P 0 ) Df). Takovéto zobecnění nám např. dovolí definovat itu posloupnosti, tj. funkce definované na množině přirozených čísel. Množina přirozených čísel neobsahuje prstencové okolí žádného bodu z R, má ale jeden hromadný bod, a to +. Limitu posloupnosti si nyní takto zavedeme. Vezmeme přitom v úvahu, že pro K R je P K + ) N = {n N n n 0 }, kde n 0 N je vhodné číslo. V případě ostatních funkcí budeme dál pro eistenci ity požadovat, aby funkce byla definována na nějakém P 0 ).) Řekneme, že a R je itou posloupnosti a n ) n=, jestliže pro každé okolí Ua) bodu a eistuje přirozené číslo n 0 takové, že pro všechna n N, n n 0 platí a n Ua). Píšeme a n = a, a n a, a n a pro n. Má-li posloupnost vlastní itu a, říkáme, že je konvergentní a že konverguje k a, má-li nevlastní itu + [ ], říkáme, že je divergentní a že diverguje k + [ k ].
Limita posloupnosti pomocí kvantifikátorů: a n = a Ua) n 0 N n N : n n0 a n Ua) ) [MA-8:P3.3] Příklad 3.2 : Uvažujme geometrickou posloupnost a n ) n= s prvním členem a = 2 3 a kvocientem q = 3. Ukažte, že pro posloupnost s n ) n=, kde s n = a +... + a n, platí s n =. Řešení: Abychom ověřili, že ita této posloupnosti je rovna, potřebujeme ukázat, že k libovolnému zadanému číslu ε > 0 najdeme inde n 0 takový, že člen posloupnosti s n ) n= s tímto indeem i každý další se od liší méně než o ε. Mějme tedy dáno ε > 0 a zkoumejme rozdíl s n. Podle vzorce pro součet prvních n členů geometrické posloupnosti je s n = 2 3 3 )n = 2 3 3 )n 2 = ) n. 3 Tedy sn < ε právě tehdy, když 3 )n ) = 3 )n < ε, 3 3 tj. když 3 n > ε, což nastává právě pro čísla n > log ) 3 ε. To znamená, že pokud zvolíme číslo n0 N tak, že bude platit n 0 > log ) 3 ε, pak pro každé n n0 budeme mít s n < ε. Jinými slovy, kdykoliv sečteme minimálně prvních n 0 členů naší geometrické posloupnosti, bude se jejich součet od čísla lišit o méně než ε. Je-li a n ) n= posloupnost reálných čísel a k n ) n= rostoucí posloupnost přirozených čísel, pak posloupnost b n ) n=, kde b n = a kn pro n N, nazýváme vybranou poslopností z posloupnosti a n ) n= podposloupností posloupnosti a n ) n= ). Věta 3.2: Posloupnost má itu a právě tehdy, když každá z ní vybraná posloupnost má itu a. Věta 3.3 Heineova): Funkce f má v bodě 0 R itu rovnou a právě tehdy, když pro každou posloupnost y n ) n= Df) \ { 0 } takovou, že y n = 0, platí fy n) = a. Podobná tvrzení platí i pro ity zleva a zprava. Pro itu zleva uvažujeme posloupnosti y n) n= Df), 0), pro itu zprava posloupnosti y n) n= Df) 0, ). ) Příklad 3.3 : Ukažte, že funkce f) = cos, 0, nemá v bodě 0 = 0 itu zprava ani zleva. Řešení: Pro posloupnosti y n = 2nπ a z n = 2n+)π platí y n ) n=, z n ) n= Df) 0, ), y n 0, z n 0 pro n. Přitom pro každé n N je fy n ) = cos2nπ) =, fz n ) = cos2n + )π) =, takže fy n ) =, zatímco fz n ) =. Protože fy n ) fz n ), podle Heineovy věty 3.3 0 + cos neeistuje. Pro itu zleva stačí u posloupností y n ) n= a z n ) n= jen změnit znaménko, tj. uvažovat posloupnosti y n = 2nπ a z n = 2n+)π. Další postup je stejný jako u ity zprava. Podobně se dá ukázat, že Dirichletova funkce = pro Q ; = 0 pro Q viz konec odstavce 2. ) nemá dokonce ani v jednom bodě itu zprava nebo zleva. Řekneme, že funkce f je spojitá v bodě 0 Df), jestliže pro každé okolí Uf 0 )) hodnoty funkce f v bodě 0 eistuje okolí U 0 ) bodu 0 takové, že pro všechna U 0 ) Df) platí f) Uf 0 )). Analogicky definujeme také spojitost zleva a spojitost zprava funkce f v bodě 0 Df). Místo eistence okolí U 0) jen požadujeme eistenci jednostranného okolí U 0) resp. U + 0) s uvedenou vlastností. Pozorování: Jestliže je funkce f definovaná alespoň) na nějakém okolí bodu 0, pak je v bodě 0 spojitá právě tehdy, když má v bodě 0 itu rovnou f 0 ). Toto analogicky platí i pro spojitost zleva a zprava. Spojitost funkce pomocí kvantifikátorů: Uf 0 )) U 0 ) R : ε > 0 δ > 0 R : Podobně pro spojitost zprava a zleva.) U0 ) Df) f) Uf 0 )) ) Df) 0 < δ) f) f 0 ) < ε )
[MA-8:P3.4] Řekneme, že funkce f je spojitá na intervalu I, jestlliže je spojitá v každém jeho vnitřním bodě a spojitá z příslušné strany v těch krajních bodech intervalu I, které k němu patří. Řekneme, že funkce f je spojitá, jestliže je spojitá na každém podintervalu svého definičního oboru. Platí: Všechny elementární funkce uvedené ve 2. kapitole jsou spojité. 3.2 Věty o itách lokální vlastnosti) nebude-li dále řečeno jinak, je 0, a, b R ) Poznámka: Dále uvedené věty platí analogicky i pro jednostranné ity a ity posloupností pokud v dané situaci má smysl jednostranné ity nebo itu posloupnosti zkoumat). Pokud se ve větě mluví o eistenci prstencového okolí bodu 0 v našem případě 0 = ), na kterém má funkce nějakou vlastnost, v případě posloupnosti tomu odpovídá eistence indeu n N takového, že odpovídající vlastnost mají všechny členy posloupnosti s indeem n a větším. Věta 3.4: Limita funkce je určena jednoznačně. Tedy: Funkce f v bodě 0 bud itu nemá nebo ji tam má právě jednu. Věta 3.5 o zachování znaménka): Je-li f) = a, kde a > 0 [ a < 0 ], pak eistuje P 0 ) tak, že f) > 0 P 0 ) [ f) < 0 P 0 )]. Důkaz: Tvrzení dokážeme pro a < 0, pro a > 0 by se dokazovalo analogicky. Necht tedy 0 f) = a < 0. Z definice ity eistuje pro ε = a 2 = a 2 > 0 ) číslo δ > 0 takové, že kdykoliv platí 0 < 0 < δ, pak f) a < ε, a tedy f) < a + ε = a 2 < 0. To ale znamená, že pro každé P δ 0 ) je f) < 0. Věta 3.6 : Má-li funkce v bodě 0 vlastní itu, pak je na nějakém prstencovém okolí bodu 0 omezená. Věta 3.7 : Každá konvergentní posloupnost je omezená. Je-li tedy a n = a R, pak eistují reálná čísla K, L taková, že pro všechny její členy platí L a n K. Důkaz: Z definice ity posloupnosti pro ε = eistuje n 0 N takové, že pro všechna n N, n n 0 platí a < a n < a +. Členů posloupnosti s indey menšími než n 0 je konečně mnoho, takže z nich můžeme vybrat nejmenší a největší jejich hodnoty označíme L a K ; pro n 0 = položíme L = a, K = a + ). Pro všechny členy posloupnosti tak platí min{a, L } a n ma{a +, K }. Věta 3.8 : Je-li funkce f monotonní na inervalu a, b ), pak eistují Věta 3.9 : Každá monotonní posloupnost má itu. f) a a+ f). b Věta 3.0 o aritmetice it): Je-li f) = a, g) = b, pak f) ± g)) = a ± b, f) g)) = a b, f) g) = a b, kdykoliv je výraz na pravé straně definován.
Poznámka: Zřejmě platí: [MA-8:P3.5] 0 f) = a 0 f) a) = 0 použijeme větu o itě rozdílu na funkce f) a g) = a ) 0 Důsledek 3.: Necht u) v) v) = 0 u) f) neeistuje. Pak platí: = použijeme větu o itě podílu na funkce f) = a g) = u) v) ) a) Jestliže eistuje vlastní 0 g), pak neeistují 0 f) ± g)). b) Jestliže eistuje vlastní 0 g) 0, pak neeistují 0 f) g)), 0 f) g). Poznámka: V předchozím důsledku je podstatný předpoklad eistence vlastní ity funkce g. Uvažujme například funkce f) = sin 2 a g) =. Limita f) neeistuje. Funkce g v nekonečnu itu má, ale nevlastní - g) =. I když funkce f itu nemá, ita součtu obou funkcí v nekonečnu eistuje. Pro každé K R totiž platí f) + g)) = sin 2 + > K, kdykoliv > K. Tedy f) + g)) =. Poznámka: Pokud eistuje vlastní nenulová ita b funkce g v bodě 0 tj. 0 g) = b R\{0}), pak můžeme psát rovnost f)g) = b f), chápeme-li ji tak, že ita vlevo eistuje právě tehdy, když eistuje ita vpravo, a pokud ity eistují, jsou si rovny. Eistuje-li totiž 0 f) = a, pak je součin b a definován protože b R \ {0}) a rovnost platí podle věty o aritmetice it. Kdyby 0 f) neeistovala, pak by podle Důsledku 3. neeistovala ani ita vlevo. Důsledek 3.2: Jsou-li funkce f, g spojité v bodě 0, jsou v 0 je v 0 spojitá též funkce f g. spojité i funkce f + g, f g, f g. Je-li navíc g 0 ) 0, pak Věta 3.3:. a) Jestliže f) = ±, pak f) = 0. b) Jestliže f) = 0 a na nějakém P 0 ) je f) > 0, pak f) = +. Jestliže f) = 0 a na nějakém P 0 ) je f) < 0, pak f) =. 2. a) f) = 0 právě tehdy, když f) = 0. b) Jestliže f) = a, pak f) = a. 3. Jestliže f) = 0 a g je omezená na nějakém P 0 ), pak f) g) = 0. 4. a) Jestliže f g na nějakém P 0 ) a f) = a, g) = b, pak a b. tzv. itní přechod v nerovnosti) b) Jestliže f g na nějakém P 0 ) a f) = +, pak Jestliže f g na nějakém P 0 ) a f) =, pak g) = +. g) =. c) Jestliže f g h na nějakém P 0 ) a f) = h) = a, pak g) = a. tzv. věta o dvou policajtech; o sevření ) d) Jestliže f g na nějakém P 0 ) a g) = 0, pak f) = 0. Příklad 3.4: Ukažte, že 0 sin =. Příklad 3.5: Určete an pro a R. Řešení: a) a > V tomto případě máme a = + h, kde h > 0, tedy podle binomické věty = n { }}) { n a n = + h) n = + h + ) n h 2 +... + h n. 2
[MA-8:P3.6] Vynecháme-li v součtu všechny sčítance kromě druhého jde o kladná čísla), dostaneme a n > nh. Protože n +, h h > 0, je nh = +, a tedy podle Věty 3.3, 4 b) platí an = +. b) a = Tentokrát jde o konstantní posloupnost posloupnost samých jedniček), tedy c) 0 < a < V tomto případě je a už s využitím Věty 3.3, a) okamžitě dostáváme an =. = A >, tedy podle a) máme an = 0. d) a = 0 Zde jde opět o konstantní posloupnost tentokrát posloupnost samých nul), tedy an = 0. a n = A n = +. Odtud e) < a < 0 Nyní zřejmě máme a 0, ), a tedy podle c) je a n = a n = 0. Pomocí Věty 3.3, 2 a) tak dostáváme an = 0. f) a V tomto případě máme { b n = a2n = pro a =, pro a <, Protože jsme našli dvě posloupnosti b n ) n=, c n ) n= dostáváme z Věty 3.2, že tentokrát { pro a =, c n = a2n+ = pro a <. an vybrané z posloupnosti a n ) n=, které mají různé ity, neeistuje. Kdyby totiž ita celé posloupnosti eistovala a byla rovna A, museli by mít itu A i obě z ní vybrané posloupnosti. ) Shrnutí: an = + pro a > pro a = 0 pro a < neeistuje pro a Příklad 3.6: 5 n 5 3) n 3 n 5 n+2 = 5 n 5 5 ) 3 n ) 5 5 n ) 3 n ) = 5 25 5 5 0 0 25 = 25 Věta 3.4 ita složené funkce): Jestliže f) = a, y a gy) = b a platí alespoň jedna z následujících podmínek: a) f) a na nějakém P 0 ), b) g je spojitá v a, pak ) g f ) = b. Poznámka: Pokud je vnitřní funkce f prostá, pak je podmínka a) ve větě o itě složené funkce vždy splněna. Funkce f totiž nabývá hodnoty a nejvýše v jednom bodě, a ten nemůže ležet ve všech P 0 ).
[MA-8:P3.7] Poznámka: Požadavek na splnění podmínky a) nebo b) ve Větě 3.4 nelze vynechat. Vezměme např. funkce f) = sin a gy) =. Platí sice y2 f) = 0 a gy) eistuje = + ), tyto + y 0 funkce ale nesplňují ani jednu z podmínek a), b) a g f)) pro ně neeistuje. Funkce g f totiž není + definována na žádném prstencovém okolí bodu +. Důsledek 3.5 spojitost složené funkce): Je-li funkce f spojitá v bodě 0 a funkce g spojitá v bodě f 0 ), pak je funkce g f spojitá v bodě 0. Příklad 3.7: Víte-li, že 0 e Řešení: což je totéž jako =, ukažte, že ln Podle poznámky za větou o aritmetice it 3.0 máme 0 e =, y 0 y e y =. = 0 ln + ) Položíme-li ve Větě 3.4 f) = ln = y y 0 pro ) a gy) = dostáváme okamžitě gf)) = Ve Větě 3.4 je splněna podmínka a), protože vnitřní funkce f ln =. je prostá.) =. y e y e y = e ln = ), Použijeme-li podruhé větu o itě složené funkce, tentokrát na funkce f) = + = y y pro 0, y = ) a gy) = ln y y, dostaneme 0 gf)) = 0 ln + ) =. Jako u předchozí ity můžeme Větu 3.4 použít, protože je vnitřní funkce prostá.) Funkce typu h) = f) ) g) Definiční obor: Nebude-li g konstantní, budeme pro jednoduchost vždy brát Dh) = Dg) { Df) f) > 0}. To proto, abychom mohli bez problémů používat pravidla pro počítání s mocninami např. 0 = 0 = 0 ) ) 0 ) nebo 2 = 6 /4 = 4) 2 ) /4 4) /2, protože výrazy vpravo nejsou definovány. ) Limita: Pro a > 0, α R je a α = e ln aα = e α ln a = ep α ln a), tedy ) g) f) = ep g) ln f) )). Protože je zde vnější funkce ep = e spojitá, dostáváme z Věty 3.4 o itě složené funkce, že pokud je g) ln f) ) ) g) = A, pak f) = epa) = e A kde zde značíme e + = +, e = 0 ). Předpokládejme nyní, že funkce f je kladná na nějakém P 0 ) a že eistují f) = a a g) = b. Pokud je definován součin ln a) b ln a zde má pro a {0, + } význam ln 0 =, ln+ ) = + ), pak z předešlého ) g) f) = e ln a) b = e ln a) b = a b. Věta o itě složené funkce nám tak v takovémto případě dovoluje získat itu funkce f) g) pouhým umocněním ity základu na itu eponentu. V případech, kdy součin ln a) b není definován, tj. u it typu 0 0, 0, ±, ale takovéto jednoduché dosazení it možné není.
Příklad 3.8: Ukažte, že pro h) = + ) je 0 h) = e. [MA-8:P3.8] Řešení: Zřejmě + > 0 pro všechna, ), D ) = R \ {0}, tedy funkce h je definovaná na nějakém prstencovém okolí nuly např. na P 0)) a má smysl uvedenou itu zkoumat. Máme h) = ep ln + )) = = ep ln+) ). Podle Příkladu 3.4 je ln+) ) 0 =. A to znamená, že 0 + = e = e. Příklad 3.9: Vyšetřete itu f) g), kde f) = e 4 0 a ) g) = 2, 2) g) = 6, 3) g) = 2, 4) g) = 3. Řešení: Zřejmě f > 0 na R \ {0}, a tedy funkce f g je definována na dokonce libovolném) prstencovém okolí nuly. ) Protože 0 =, máme 4 0 f) = 0. Dále ve všech případech je g) = 0. Jde tedy vždy o 0 itu typu 0 0. Přitom ln f) =, a tedy 4 ) f) g) = e 2 4 ) = e 2 = e = 0, 0 0 0 2) f) g) = e 6 4 ) = e 2 = 0 0 0 3) f) g) = e 2 4 ) = e 2 = 0 0 0 e 0 =, e =, 4) f) g) = e 3 4 ) = e = e ± neeistuje. 0 0 0 Tedy přestože jsme definovali 0 0 =, nemůžeme to použít při výpočtu it nemáme větu, která by nám to dovolovala.) Vyjadřovat f g postupem z předchozí poznámky ovšem nebylo nutné. Mohli jsme využít toho, že e /4 ) g) = e /4 ) g).) Přehled některých užitečtých it Funkce: 0 sin = 0 ln + ) 0 0+ α = = e = ln = + ) = e 0 0 pro α > 0 pro α = 0 pro α < 0 α = pro α > 0 pro α = 0 0 pro α < 0 dále α, β > 0 ity těchto čtyř typů je nutné v testu či písemce vždy spočítat postup je uveden v kapitole 5) : ln ) α β = 0 typ 0+ β ln α = 0 typ ) α e ) β = 0 typ ) 0 ) e ) β α = 0 typ 0 ) Posloupnosti: an = n a = pro a > 0 n n = n n! = + + n) n = e Eulerovo číslo) viz skripta [JT-DIP] příklad 2.36 + pro a > pro a = 0 pro a < neeistuje pro a { n k 0 pro k R, a > a n = + pro k R, a 0, ) a n n! = 0 pro a R
Dodatky k itě posloupnosti [MA-8:P3.9] Věta 3.6 Bolzano-Weierstrass): Z každé omezené posloupnosti reálných čísel lze vybrat konvergentní podposloupnost. Věta 3.7: Z každé neomezené posloupnosti reálných čísel lze vybrat podposloupnost, která má nevlastní itu. Věta 3.8 Bolzano-Cauchyova podmínka): Posloupnost a n ) n= konverguje právě tehdy, když platí ε > 0 n 0 N n, m N : n, m n 0 a n a m < ε ). Pomocí této podmínky můžeme ukázat, že posloupnost má itu, i když nevíme, jaká by hodnota ity měla být. )