KMS cvičení 9 Ondřej Marek
SYSTÉM S n DOF ŘEŠENÍ V MODÁLNÍCH SOUŘADNICÍCH Pohybové rovnice lineárního systému: U je modální matice, vlastní vektory u 1, u 2,..., u n jsou sloupce v matici U x - vektor fyzikálních souřadnice, r vektor amplitud fyzikálních souřadnic q - vektor modálních souřadnic, c vektor amplitud modálních souřadnic Dosazení do pohybových rovnic: Matice I a Λ jsou diagonální. Pokud je i U T BU také diagonální, pak se ze soustavy rovnic stanou skupina nezávislých rovnic o jedné neznámé lze také psát: 2!, kde " "! Ω Ω 2
SYSTÉM S n DOF diagonalizovatelnost U T BU Podmínka diagonální matice je v našem případě vyžadována z důvodu jednoduššího řešení a rozpadu soustavy rovnic na nezávislé rovnice o jedné proměnné. Požadavek &, kde & značí diagonální matici platí & &, protože je také diagonální ( ) tedy: ' podmínka diagonalizovatelnosti : ' ' Co vyhovuje podmínce ' '? nejjednodušší a často používaná: ) Caugheyho podmínka +, * ) ' n=: -. ). n=1: ). ) Rayleigho tlumení (proporcionální) n=2: ). ) ) ' 3
SYSTÉM S n DOF ŘEŠENÍ V MODÁLNÍCH SOUŘADNICÍCH Pohybové rovnice lineárního systému ve fyzikálních souřadnicích: Pohybové rovnice lineárního systému v modálních souřadnicích: 2!! 2 " " " Ω Ω Ω Ω Ω Ω 2 3 3 3 n nezávislých rovnic pro n nezávislých systémů řeší se každý modální tvar zvlášť (každý má svoji Ω) Z matic M, B, K se získají ekvivalentní matice pro modální popis Ω, U, ζ. pro řešení v modálních souřadnicích je třeba převést i počáteční podmínky 4 4 buď 4 ' 4 nebo 4 4 4 4 4 4 Řešení: 56 7 5 sin Ω 5 1<" 5 =.5 '>?@? 56 AB 5 @? '>? C '>?@? AB 5 '>? C '>? @? pokud.e e G E 5H *IB 5E G E 4
SYSTÉM S n DOF redukce modelu J J J J Pokud se vyhodnotí, že lze vlastní tvary U B zapomenout (rozměr U B je n x k, rozměr q B k x 1), pak lze systém s n DOF redukovat na n-k DOF. Po redukci: J J 5
Modální souřadnice příklad Příklad: Předepnutá hmotná struna s hmotností m s délky L se chová jako poddajná soustava. Diskretizujte kontinuum dle obrázku na soustavu s r stupni volnosti a určete vlastní frekvence systému a vlastní tvary. L=1m; r=5; m s =.2kg; P=1N P m 1 a 1 a 2 Maticový zápis K K 4 L M N PQP ) R N 1 2S ) < S ) < S ) 2S ) < S ).4 VQV 12 <6 <6 12 <6 <6 12 <6 <6 12 <6 <6 12 P L m 2 m i m n a n+1 < S ) 2S ) 6
Modální souřadnice příklad Maticový zápis 4 Získání matic U a Λ v Matlabu příkazem: [U,Lambda]=eig(K,M) U = -1.4434-2.5 2.8868-2.5 1.4434-2.5-2.5 -. 2.5-2.5-2.8868. -2.8868 -. 2.8868-2.5 2.5. -2.5-2.5-1.4434 2.5 2.8868 2.5 1.4434 Lambda = 1.e+4 *.419 1.5 3. 4.5 5.5981 Vlastní frekvence (s jednotkou Hz) lze spočíst z diagonálních prvků matice Lambda frequencies= sqrt(diag(lambda))(2*pi) frequencies = 1.9 19.4924 27.5664 33.7619 37.6565 Diagonalita matice U T BU se řešit nemusí, jelikož B je nulová matice. Maticový zápis v modálním tvaru 4 Je třeba přepočíst počáteční podmínky z fyzikálních souřadnic do modálních x = [.2.4.6.4.2] T v = [ ] T 4 4 4 X 4 4 = [ -.172 -. -.23 -..12] T 4 = [ ] T rovnice lze řešit po jedné od první vlastní frekvence po n-tou 6 Y cosω \ sinω 6 Y. <.172 6 \ Ω \. Ω 6 <.172cos63.4 7
Modální souřadnice příklad 2. vlastní tvar 6 Y cosω \ sinω 6 Y. 6 \ Ω \. Ω 6 3. vlastní tvar _6 Y _ cosω _ \ _ sinω 6 Y _._ <.23 _6 \ _ Ω _ \ _._ Ω 6 <.23cos173.2 Přechod zpět do fyzikálních souřadnic ab V ab d ab V ab <1.4434 2.8868 _ 1.4434 V <1.4434 <.172 cos63.4 2.8868 <.23 cos173.2 1.4434.12cos236.6.249cos63.4 <.67cos173.2.18cos236.6.431cos63.4 <.31cos236.6 _.498cos63.4.67cos173.2.36cos236.6 a podobně: `6 V6.12cos236.6 8
Průběh modálních souřadnic v čase.2 q 1 -.2.1.2.3.4.5.6.7.8.9 1.2 q 2 x x dle u 3 x dle u 5 -.2.1.2.3.4.5.6.7.8.9 1.2 q 3 -.2.1.2.3.4.5.6.7.8.9 1.2 q 4 -.2.1.2.3.4.5.6.7.8.9 1.2 q 5 -.2.1.2.3.4.5.6.7.8.9 1 9
Příklad (struna) - grafy x 1 x 1.4 x 1,u 2,u 3.2 -.2 -.4 -.6.1.2.3.4.5.6.7.8.9 1 x 2 x 2 dle u 2.4 x 2,u 2,u 3.2 -.2 -.4 -.6.1.2.3.4.5.6.7.8.9 1 x 3 x 3 dle u 3.4 x 3,u 2,u 3.2 -.2 -.4 -.6.1.2.3.4.5.6.7.8.9 1 1
Modální souřadnice příklad přidáno tlumení Uvažujme proporcionální tlumení. Použijeme tedy pohybovou rovnici v následujícím tvaru a zvolíme matici ζ 2!! Ten lze přepsat také jako: 56 '>?@? I 5 cos Ω 5 1<" 5 k 5 sin Ω 5 1<" 5 diag.1.2.4.5.8 Pro ilustraci lze zpětně vypočíst matici B, není však třeba ji znát 2! ' 2! ' 2! B=M'*U*2*Zeta*Omega*U'*M B =.5763 -.3744.761 -.481.54 -.3744.6524 -.4225.131 -.481.761 -.4225.764 -.4225.761 -.481.131 -.4225.6524 -.3744.54 -.481.761 -.3744.5763 Homogenní řešení j-tého tvaru má obecně tvar: 56 7 5 sin Ω 5 1<" 5 =.5 '>?@? Z důvodu, že počáteční podmínky jsou zadány v čase t= (zpravidla bývá), sin= a e =1. 6 '> l@ l I cos Ω 1<" k sin Ω 1<" 6 I. <.172 6 \ Ω 1<". \ Ω 1<" 6 <.172 '..m_` cos63.39 6 _6 <.23 'm.n_ cos173.1 `6 V6.12 'o.n cos235.8 11
Průběh modálních souřadnic v čase tlumený systém.2 q 1.1 -.1 -.2.1.2.3.4.5.6.7.8.9 1 q 2.1 -.1.1.2.3.4.5.6.7.8.9 1 q 3.1 -.1.1.2.3.4.5.6.7.8.9 1 q 4.1 -.1.1.2.3.4.5.6.7.8.9 1 q 5.1 -.1.1.2.3.4.5.6.7.8.9 1 12
Rozvoj pomocí vlastních tvarů.5 x 1 x 1 x 1,u 2,u 3 -.5.1.2.3.4.5.6.7.8.9 1 x 2.5 x 2 x 2,u 2,u 3 -.5.1.2.3.4.5.6.7.8.9 1 x 3.5 x 3 x 3,u 2,u 3 -.5.1.2.3.4.5.6.7.8.9 1 13
Numerické řešení soustavy lin. diferenciálních rovnic druhého řádu 2!! function Xt = CV9_st_popis(t,X,f,U, Omega, Zeta) p p p J p q <! <2! q n=size(omega,2); Xt = [zeros(n,n) eye(n); -Omega^2-2*Zeta*Omega]*X + [zeros(n,n); eye(n)]*u'*f ; end Q = [q; qt]; % pocatecni podminky zapsany do matice T=1; % f=[;;;;]; u=u(:,1); zeta=.1 options=odeset('reltol',1e-8,'abstol',1e-8); [t,q1] = ode45((@(t,y) CV9_st_popis(t,y, f, U, Omega,Zeta)), [,T],Q,options); I... jednotková matice rozměru nxn O... nulová matice rozměru nxn Pokud je znám vektor Q, což jsou většinou počáteční podmínky Q(), pak lze dle rovnice p J p spočítat p. numerickou integrací se získá vektor Q(t + Δt) a výpočet může pokračovat stále dokola. p p s p tu p p 14