Předmět: MA4 Dnešní látka Variační formulace okrajových úloh. Přibližné řešení minimalizační úlohy Ritzova metoda. Homogenní (nulové) okrajové podmínky Nehomogenní (nenulové) okrajové podmínky Literatura: Kapitola 6 ze skript Ondřej Zindulka: Matematika 3, ČVUT, Praha, 27. Kapitola 2 a)-c) a kapitola 4 a)-c) ze skript Karel Rektorys: Matematika 43, ČVUT, Praha, 21.
Variační princip (A vždy bude sym. operátor) Model oboustranně vetknutého nosníku délky L, příčně zatíženého silou f C([, L]): (EIu ) = f, u() = u(l) =, u () = u (L) =. Energie pružné deformace: W 1 (u) = 1 L 2 EIu 2 dx, Energie vnějších sil: W 2 (u) = L fu dx. Celková potenciální energie nosníku při posunutí u C 4 ([, L]) (a OP) je F(u) = W 1 (u)+w 2 (u). Princip minima celkové potenciální energie: skutečné posunutí je to, jehož F(u) je nejmenší mezi myslitelnými přípustnými posunutími (ta jsou dána okrajovými podmínkami a nutnou hladkostí funkcí). Uvidíme, že mezi minimem F(u) a okrajovou úlohou skutečně je přímý vztah daný variačním principem.
Funkcionál energie Funkcionál je zobrazení z prostoru funkcí do R. Např. G : f b a f 2 (x) dx je (nelin.) funkcionál, G : C([a, b]) R. Pro okrajovou úlohu Au = f, u D(A), f C([a, b]) definujme funkcionál energie F R předpisem F(u) = (Au, u) 2(f, u). Pro (EIu ) = f, u() = u(l) =, u () = u (L) = máme díky p.p. (Au, u) = L EIu 2 dx, 2(f, u) = 2 L fu dx. Tedy F(u) = 2 F(u). (Poznámka: Někdy však F nemá fyzikální interpretaci.) K definičnímu oboru D(A): Povšimněme si, že po p.p. je F definován nejen na D(A) = {u C 4 ([, L]) : u() = u(l) =, u () = u (L) = }, nýbrž i na "větším" prostoru, kdy D(A) = {u C 2 ([, L]) : u() = u(l) =, u () = u (L) = }.
Vycházíme z Au = f, u D(A) a F(u) = (Au, u) 2(f, u). u, w D(A) F(u + w) F(u) = 2(Au f, w)+(aw, w), nebot F(u + w) F(u) = (A(u + w), u + w) 2(f, u + w) (Au, u)+2(f, u) = (Au, u)+(au, w)+(aw, u)+(aw, w) 2(f, u) 2(f,w) (Au, u)+2(f,u) = (Au, w)+(aw, u)+(aw, w) 2(f, w) = (Au, w)+(w, Au)+(Aw, w) 2(f, w) = 2(Au, w) 2(f, w)+(aw, w) Důsledek: Je-li Au = f, u D(A) a Av = f, v D(A), pak F(v) = F(u), nebot Au f = a při volbě w = v u platí Aw = A(v u) = Av Au = f f =. Tedy F je na množině všech řešení konstantní. Inspirováni minimem potenciální energie se budeme zabývat minimalizací funkcionálu F. K tomu bude nutné definovat několik nových pojmů.
O množině funkcí M řekneme, že je hustá v množině funkcí V, pokud ve V neexistuje netriviální funkce ortogonální ke každému prvku u M. Tedy D(A) je hustý v C([a, b]), jestliže platí, že u C([a, b]) & v D(A) (u, v) = = u =. Poznámka: Např. v C([, π]) jsou husté polynomy definované na intervalu [,π] nebo množina {sin kx : k = 1, 2,...}, kde x [,π]. "Lidově" řečeno: V husté množině M je tolik a tak rozmanitých funkcí, že se před nimi ve skalárním součinu "neukryje" žádná nenulová funkce z C([a, b]).
Lineární operátor A s definičním oborem D(A) se nazývá slabě pozitivní, pokud pro u D(A) platí (Au, u). Připomenutí: pozitivní... (Au, u) > pro u. (Poznámka: V MA 43 je pozitivnost operátoru formulována trochu odlišně, ale smysl je stejný.) Funkcionál energie F má v u D(A) minimum, pokud v D(A) F(v) F(u) ostré minimum, pokud v D(A), v u F(v) > F(u).
Věta (variační princip): Bud A symetrický operátor s hustým definičním oborem D(A) a bud F funkcionál energie příslušný rovnici Au = f, u D(A). Je-li A slabě pozitivní, pak F má v u D(A) minimum právě tehdy, když Au = f, u D(A). Je-li A pozitivní, pak F má v u D(A) ostré minimum právě tehdy, když Au = f, u D(A). (Poznámka: V MA 43 je věta formulována trochu odlišně.) Pozorování: Je-li Au = f, pak odpovídající minimální "energie" (tj. dvojnásobek potenciální energie) je F(u) = (Au, u) (f, u) (f, u) = (Au f, u) (f, u) = (f, u).
Důkaz: Nejprve "F má v u D(A) minimum Au = f." Necht w D(A), definujme φ(t) = F(u + tw), t R. Z F(u + w) F(u) = 2(Au f, w)+(aw, w) dostaneme φ(t) = F(u)+2t(Au f, w)+t 2 (Aw, w). Protože F nabývá min. v u, nabývá φ min. v, tj. = φ () = [2(Au f, w)+2t(aw, w)] t= = 2(Au f, w). Jelikož Au f C([a, b]) a w D(A) (Au f, w) =, jest Au = f (z hustoty).
Nyní "Au = f, kde u D(A), a A je slabě pozitivní F má v u minimum." Necht v je libovolný prvek D(A), definujme w = v u. Z F(u + w) F(u) = 2(Au f, w)+(aw, w) a slabé pozitivity dostaneme F(v) F(u) = F(u + w) F(u) = (Aw, w), tj. minimum v u. Pro A pozitivní je (Aw, w) >. QED
Pozorování: Rovnice Au = f, kde A je pozitivní operátor na D(A) a f C([a, b]), má nejvýše jedno řešení u D(A). Důkaz: Necht u 1, u 2 D(A) Au 1 = f, Au 2 = f. Definujme v = u 1 u 2. Pak Av = A(u 1 u 2 ) = Au 1 Au 2 =. Vyčísleme (Av, v), tj. (Av, v) = (, v) =. Ale A je pozitivní, tudíž (Av, v) = v =.
Velký nedostatek Věta o vztahu mezi řešením operátorové rovnice a minimem funkcionálu energie není existenční. Neříká nic o tom, zda řešení u D(A) existuje. Netvrdí, že minimum F na D(A) existuje, tj. že se ho nabývá v nějakém prvku u D(A). Vztah mezi řešením OÚ a minimem funkcionálu energie byl dávno" znám, avšak postupně se ukazovalo, že existence minima není samozřejmá, že je to zapeklitý problém, jenž je však elegantně řešitelný, pokud operátor A je pozitivně definitní. Pro takové operátory budeme hledat přibližné řešení okrajových úloh.
Pozitivně definitní operátor Operátor A se nazývá pozitivně definitní na D(A), existuje-li taková konstanta C >, že pro každou funkci u D(A) platí přičemž C nezávisí na u. (Au, u) C u 2, Připomenutí: u 2 = (u, u) = b a u2 (x) dx.
Příklad Operátor Au def = u +(3 sin x)u je symetrický a pozitivně definitní na D(A), kde D(A) = {u C 2 ([,π]) : u() = = u(π)}. Symetrie z integrace po částech. Pozitivní definitnost: (Au, u) = π u u dx + π (3 sin x)u2 dx = π u 2 dx + π (3 sin x)u2 dx π 2u2 dx = 2 u 2.
Zlepšení konstanty v nerovnosti (Friedrichsova nerovnost) Necht u C 1 ([a, b]) a necht u(a) =, přičemž a, b R, a < b. Pak platí: u 2 2 (b a) 2 u 2. Důkaz: Pro x [a, b] je u(x) = x a u (t) dt + u(a) = x a u (t) dt. u 2 = = b a b a ( x 2 b ( x u (t) dt) dx a a a ( ) b (x a) u 2 (t) dt dx = a (b a)2 u 2. 2 b a x 1 2 dt a ) u 2 (t) dt dx b u 2 (t) dt (x a) dx Využili jsme Schwarzovy nerovnosti (v, w) v w, tj. x x x a 1 u (t) dt a 12 dt a u 2 (t) dt, a toho, že x a v 2 (t) dt b a v 2 (t) dt, jestliže a x b a v je prvkem (například) C([a, b]). a
Varianta Friedrichsovy nerovnosti Necht u C 1 ([a, b]) a necht u(b) =, přičemž a, b R, a < b. Pak platí: u 2 2 (b a) 2 u 2. Důkaz: Pro x [a, b] je u(x) = b x u (t) dt. Dále lze integrovat a odhadovat jako v předchozím případě. Konstantu v nerovnosti lze zlepšit viz K. Rektorys: Variační metody...
Aplikujme na náš příklad Au def = u +(3 sin x)u D(A) = {u C 2 ([,π]) : u() = = u(π)}. (Au, u) = = π π π u u dx + u 2 dx + u 2 dx + 2 u 2 /π 2 + π π π π = 2(1+1/π 2 ) u 2. (3 sin x)u 2 dx (3 sin x)u 2 dx ( u 2 min (3 sin t) t [,π] 2u 2 dx ) dx
Pozor: Bez Friedrichsovy nerovnosti se někdy neobejdeme! Příklad: Au def = u 1 (3 sin x)u 3π 2 D(A) = {u C 2 ([,π]) : u() = = u(π)}. Pozitivní definitnost: (Au, u) = = π π π u u dx 1 3π 2 u 2 dx + 1 3π 2 u 2 dx + 1 3π 2 2 u 2 /π 2 + 1 3π 2 π π π u 2 min t [,π] π (3 sin x)u 2 dx (sin x 3)u 2 dx ( 3)u 2 dx = (2/π 2 1/π 2 ) u 2 = π 2 u 2. (sin t 3) dx Modrá hodnota je sice záporná, ale je "přebita" kladnou hodnotou π u 2 dx.
Energetický skalární součin, energetická norma, energetický prostor Necht A je symetrický a pozitivně definitní operátor na D(A). Energetický skalární součin (u, v) A = (Au, v) u, v D(A). Energetická norma u A = (u, u) A u D(A). Energetická vzdálenost ρ A (u, v) = u v A u, v D(A). Díky symetrii a pozitivní definitnosti A je (, ) A opravdu skalární součin a A norma na D(A).
Variační metody Definice: Řekneme, že posloupnost lineárně nezávislých funkcí v 1, v 2,... tvoří v D(A) bázi, lze-li ke každé funkci u D(A) a ke každé hodnotě ε > najít takové přirozené číslo j a taková čísla a 1, a 2,..., a j, že j u a i v i < ε. A i=1 Jinými slovy: Konečné lineární kombinace prvků báze jsou husté v D(A); konečnými lineárními kombinacemi prvků báze se dostaneme libovolně blízko k libovolnému prvku z D(A). Jiný pohled na hustotu, než s jakým jsme se setkali. Zvolme přirozené číslo n a označme V n n-rozměrný vektorový (lineární) podprostor prostoru D(A) vytvořený všemi funkcemi tvaru n b i v i, kde b 1,...,b n R. i=1
Ritzova metoda Funkcionál F(u) = (u, u) A 2(f, u) minimalizujeme nikoliv na D(A), nýbrž jen na podprostoru V n. Tedy mezi všemi n-ticemi hledáme takovou n-tici (c 1,..., c n ) R n, aby pro funkci u = n i=1 c iv i nabýval funkcionál F(u) minima na V n. Jde vlastně o hledání minima reálné funkce více proměnných, tj. proměnných c 1, c 2,..., c n.
Příklad: Řešme Ritzovou metodou problém u +(1+sin 2 x)u = 4, u() = = u(π). Operátor A = u +(1+sin 2 x)u je symetrický a pozitivně definitní na svém D(A) (proč?). Přísně vzato nevíme, zda funkcionál energie F(u) = (Au, u) 2(f, u), kde f = 4, na D(A) nabývá svého minima, ale pokud ano, je to minimum ostré. Najdeme řešení, jímž se k minimu přiblížíme, bude to tedy řešení jen přibližné. Báze 1 D(A): {sin kx : k = 1, 2,...}, vezměme 1. člen v 1 = sin x, tj. hledejme přibližné řešení ve tvaru u c = cv 1 = c sin x (OP splněny). 1 Stanovit bázi nemusí být snadný úkol a nebudeme se mu věnovat. Použitá trigonometrická báze je převzata ze skript K. Retorys: Matematika 43. Tamtéž viz příklad polynomiální báze.
Funkcionál energie pro funkci u c F(u c ) = (Au c, u c ) 2(f, u c ) = c 2 (Av 1, v 1 ) 2c(f, v 1 ) ( ekvivalentní vyjádření je F(uc ) = c 2 (v 1, v 1 ) A 2c(f, v 1 ) ) definuje funkci jedné reálné proměnné g(c) = c 2 (Av 1, v 1 ) 2c(f, v 1 ). Poznámka: Skalární součin (Av, v) lze spočítat přímo nebo jako (v, v) A s využitím integrace po částech. Minimalizovat F na (pod)prostoru V = {c sin x : c R} je totéž, jako najít minimum paraboly g na R. Podmínka minima g (c) = implikuje 2c(Av 1, v 1 ) 2(f, v 1 ) =, tj. minima se nabývá pro c = (f, v 1) (Av 1, v 1 ) = (4, sin x) ( (sin x) +(1+sin 2 x) sin x, sin x) =
= π 4 sin x dx π ( (sin x) sin x +(1+sin 2 x) sin 2 x) dx = 64 1, 85. 11π 2 1 1 2 3 "Přesné" řešení červeně, přibližné řešení 1, 85 sin x modře.
Zkusme nyní hledat přibližné řešení ve tvaru u c = c 1 v 1 + c 2 v 2, kde v 1 = sin x, v 2 = sin 3x. (Výpočtem lze ukázat, že funkce sin 2x se v lineární kombinaci vyjadřující přibližné řešení vyskytuje s koeficientem. Uvidíme za chvíli.) Pak
F(u c ) = (Au c, u c ) 2(f, u c ) = ( ) A(c 1 v 1 + c 2 v 2 ), c 1 v 1 + c 2 v 2 2(f, c1 v 1 + c 2 v 2 ) = c 1 (Av 1, c 1 v 1 + c 2 v 2 )+c 2 (Av 2, c 1 v 1 + c 2 v 2 ) 2c 1 (f, v 1 ) 2c 2 (f, v 2 ) = c1 2 (Av 1, v 1 )+c 1 c 2 (Av 1, v 2 )+c 1 c 2 (Av 2, v 1 )+c2 2 (Av 2, v 2 ) 2c 1 (f, v 1 ) 2c 2 (f, v 2 ) = c1 2 (Av 1, v 1 )+2c 1 c 2 (Av 1, v 2 )+c2 2 (Av 2, v 2 ) 2c 1 (f, v 1 ) 2c 2 (f, v 2 )
Hledá se tedy minimum funkce dvou proměnných: g(c 1, c 2 ) = c 2 1 (Av 1, v 1 )+2c 1 c 2 (Av 1, v 2 )+c 2 2 (Av 2, v 2 ) 2c 1 (f, v 1 ) 2c 2 (f, v 2 ). Podmínky minima: nulové parciální derivace dle c 1 a c 2 vedou k rovnicím (využito (Av j, v i ) = (v j, Av i ) = (Av i, v j )) c 1 (Av 1, v 1 )+c 2 (Av 1, v 2 ) =(f, v 1 ), c 1 (Av 1, v 2 )+c 2 (Av 2, v 2 ) =(f, v 2 ) nebo ekvivalentně c 1 (v 1, v 1 ) A + c 2 (v 1, v 2 ) A =(f, v 1 ), c 1 (v 1, v 2 ) A + c 2 (v 2, v 2 ) A =(f, v 2 ). Po vyčíslení skalárních součinů dostaneme (Ritzovu) soustavu lineárních algebraických rovnic pro dvě neznámé:
Řešení: c 1 = 1, 87, c 2 =, 26 u c = 1, 87 sin x +, 26 sin 3x. 2 c 1 11π/8 c 2 π/8 = 8, c 1 π/8+c 2 21π/4 = 8/3. 1 1 2 3 "Přesné" řešení červeně, 1. přibližné modře, 2. přibližné zeleně.
Zkusme nyní hledat přibližné řešení ve tvaru u c = c 1 v 1 + c 2 v 2 + c 3 v 3 + c 4 v 4 + c 5 v 5, kde v 1 = sin x, v 2 = sin 2x, v 3 = sin 3x, v 4 = sin 4x, v 5 = sin 5x.
Opět se hledá minimum funkce F(u c ) = (Au c, u c ) 2(f, u c ) ( = g(c 1, c 2, c 3, c 4, c 5 ) ), tentokrát však už pěti proměnných, tj. c 1, c 2, c 3, c 4, c 5. Podmínky minima: nulové parciální derivace, z nich dostáváme soustavu (v 1, v 1 ) A c 1 +(v 1, v 2 ) A c 2 +(v 1, v 3 ) A c 3 +(v 1, v 4 ) A c 4 +(v 1, v 5 ) A c 5 = (f, v 1 ), (v 2, v 1 ) A c 1 +(v 2, v 2 ) A c 2 +(v 2, v 3 ) A c 3 +(v 2, v 4 ) A c 4 +(v 2, v 5 ) A c 5 = (f, v 2 ), (v 3, v 1 ) A c 1 +(v 3, v 2 ) A c 2 +(v 3, v 3 ) A c 3 +(v 3, v 4 ) A c 4 +(v 3, v 5 ) A c 5 = (f, v 3 ), (v 4, v 1 ) A c 1 +(v 4, v 2 ) A c 2 +(v 4, v 3 ) A c 3 +(v 4, v 4 ) A c 4 +(v 4, v 5 ) A c 5 = (f, v 4 ), (v 5, v 1 ) A c 1 +(v 5, v 2 ) A c 2 +(v 5, v 3 ) A c 3 +(v 5, v 4 ) A c 4 +(v 5, v 5 ) A c 5 = (f, v 5 ). Symetrie!
Řešení: c 1 = 1, 87, c 2 =, c 3 =, 27, c 4 =, c 5 =, 44 u c = 1, 87 sin x +, 27 sin 3x +, 44 sin 5x. 2 1 1 2 3 "Přesné" řešení červeně, přibližné s 1. bázovou funkcí modře, přibližné s 1., (2.) a 3. bázovou funkcí zeleně, přibližné s 1., (2.), 3., (4.) a 5. bázovu funkcí černě.
Jiný systém bázových funkcí pro OÚ (pu ) + qu = f, u() =, u(b) =, kde p(x) p >, q(x) na intervalu (, b). Polynomiální báze: v 1 = g(x), v 2 = xg(x),..., v n = x n 1 g(x),..., kde g C 2 ([, b]) je kladná funkce v intervalu (, b) splňující okrajové podmínky. Např. g(x) = x(b x).
Přibližné řešení naší úlohy (p = 1, q = 1+sin 2 x) u +(1+sin 2 x)u = 4, u() = = u(π), hledejme ve tvaru u c = cv 1 = cx(π x), tedy v jednorozměrném prostoru {cx(π x) : c R}, jenž je podprostorem prostoru D(A). Hodnotu c R musíme určit. Opět minimalizujeme funkci jedné reálné proměnné g(c) = F(u c ) = (Au c, u c ) 2(f, u c ) = c 2 (Av 1, v 1 ) 2c(f, v 1 ), kde Av 1 = (x(π x)) +(1+sin 2 x)x(π x).
Podmínka minima g (c) = implikuje 2c(Av 1, v 1 ) 2(f, v 1 ) =, tj. minima se nabývá pro c = (f, v 1) (Av 1, v 1 ) = (4, x(π x)) ( (x(π x)) +(1+sin 2 x)x(π x), x(π x)) π 4x(π x) dx = π (2x(π, 738. x)+(1+sin2 x)x 2 (π x) 2 ) dx
Tedy přibližné řešení u =, 738x(π x). 2 1 1 2 3 "Přesné" řešení červeně, přibližné modře.
Srovnání s přibližným řešením u = 1, 85 sin x (fuchsinová) 2 1 1 2 3
Rozšiřme prostor, v němž hledáme přibližné řešení. Necht u c = c 1 v 1 + c 2 v 2 + c 3 v 3, kde v 1 = x(π x), v 2 = x 2 (π x), v 3 = x 3 (π x). Minimalizujeme funkci tří reálných proměnných g(c 1, c 2, c 3 ) = F(u c ) = (Au c, u c ) 2(f, u c ), kde Au c = u c +(1+sin 2 x)u c. Z podmínky nulovosti parciálních derivací funkce g dostaneme soustavu tří rovnic pro tři neznámé, jejím vyřešením pak přibližné řešení:
u = 1, 16x(π x), 416x 2 (π x)+, 132x 3 (π x) 2 1 1 2 3 "Přesné" řešení červeně, přibližné s 1 bázovou funkcí modře, přibližné se 3 bázovými funkcemi zeleně.
Příklad: ((2+sin(x))u ) + xu = f, u() = u(π) =, kde f je taková funkce, aby u = sin(3x)exp(x) bylo přesné řešení OÚ. 15 Presne reseni: sin(3x)exp(x) 1 presne priblizne, 3 baz. fce 5 5 1.5 1 1.5 2 2.5 3 x Prostor, v němž hledáme přibližné řešení, je příliš malý (dimenze 3), rozdíl mezi přesným a přibližným řešením je značný.
15 1 Presne reseni: sin(3x)exp(x) presne priblizne, 5 baz. fci 5 5 1.5 1 1.5 2 2.5 3 x
15 1 Presne reseni: sin(3x)exp(x) presne priblizne, 7 baz. fci 5 5 1.5 1 1.5 2 2.5 3 x
15 1 Presne reseni: sin(3x)exp(x) presne priblizne, 9 baz. fci 5 5 1.5 1 1.5 2 2.5 3 x
Nehomogenní okrajové podmínky převod na úlohu s homogenními okrajovými podmínkami: řešení hledáme ve tvaru u = u + w, kde funkce w splňuje zadané nehomogenní OP a funkce u vyhovuje homogenním OP. Příklad: Okrajová úloha u + e x u = cos x v (, 3), u() = 1, u(3) = 5. Zvolíme například w(x) = 1 2x, pak u = u + w dosadíme do rovnice a odvodíme OÚ pro neznámou funkci u (jest u = (u + w) = u ): u + ex (u + w) = cos x v (, 3)
Po úpravě u + ex u = cos x e x (1 2x) v (, 3), u () =, u (3) =. Ritzovou metodou můžeme najít přibližné řešení u Ritz této nové OÚ. Pak přibližné řešení původní OÚ je u Ritz = u Ritz + 1 2x.