Aplikovná mtemtik 1, NMAF071 6. Určitý integrál výpočet, plikce T. Slč, MÚ MFF UK ZS 2017/18 ZS 2017/18) Aplikovná mtemtik 1, NMAF071 6. Určitý integrál 1 / 13
6.1 Newtonův integrál Definice 6.1 Řekneme, že Newtonův integrál funkce f n intervlu (, b), < b,, b R, existuje, jestliže f má n (, b) primitivní funkci (oznčme ji F ), limity lim x + F (x), lim x b F (x) existují jejich rozdíl je definován. Hodnotou Newtonov integrálu funkce f přes intervl (, b) pk rozumíme číslo (N) f (t) dt = lim F (x) lim F (x). x b x + Pokud (N) f (t) dt existuje vlstní, pk říkáme, že integrál je konvergentní. Není-li integrál konvergentní, říkáme, že je divergentní. ZS 2017/18) Aplikovná mtemtik 1, NMAF071 6. Určitý integrál 2 / 13
6.1 Newtonův integrál Oznčení Množinu všech funkcí f : (, b) R, které mjí konvergentní Newtonův integrál od do b, znčíme N (, b). Je-li f N (, b) F je primitivní k f n (, b), oznčujeme [F ] b := lim F (x) lim F (x), x b x + je-li výrz vprvo definován. ZS 2017/18) Aplikovná mtemtik 1, NMAF071 6. Určitý integrál 3 / 13
6.1 Newtonův integrál Vět 6.1 (vlstnosti Newtonov integrálu) () Nechť f, g N (, b) α R. Potom f + g N (, b), αf N (, b) pltí (f + g) dt = f dt + g dt, αf dt = α f dt. (b) Nechť f, g N (, b) f g. Pk f dt g dt. (c) Nechť < b < c + f N (, c). Potom f N (, b), f N (b, c) pltí c f dt = f dt + c b f dt. (d) Nechť < b < c +, f N (, b), f N (b, c) f je spojitá v b. Potom f N (, c). ZS 2017/18) Aplikovná mtemtik 1, NMAF071 6. Určitý integrál 4 / 13
6.1 Newtonův integrál Vět 6.2 Nechť funkce F je primitivní k f n (, b), G je primitivní ke g n (, b). Potom gf dt = [GF ] b Gf dt, pokud je prvá strn definován. Vět 6.3 (substituce pro určitý integrál) Nechť ω : (α, β) (, b) splňuje ω((α, β)) = (, b) ω má vlstní nenulovou derivci n (α, β). Potom f (x) dx = ω 1 (b) ω 1 () pokud lespoň jeden z integrálů existuje. (f ω)(t) ω (t) dt, ZS 2017/18) Aplikovná mtemtik 1, NMAF071 6. Určitý integrál 5 / 13
6.1 Newtonův integrál Vět 6.4 (první vět o střední hodnotě) Nechť, b R, < b, nechť f : [, b] R je spojitá, g : [, b] R je nezáporná, nechť g N (, b) fg N (, b). Potom existuje ξ (, b) tkové, že fg dt = f (ξ) g dt. Vět 6.5 (druhá vět o střední hodnotě) Nechť, b R, < b, f : [, b] R je spojitá, g : [, b] R je monotónní spojitá n [, b]. Potom existuje ξ (, b) tkové, že ξ fg dt = g() f dt + g(b) f dt. ξ ZS 2017/18) Aplikovná mtemtik 1, NMAF071 6. Určitý integrál 6 / 13
6.2 Riemnnův integrál - poznámky Dělením intervlu [, b] rozumíme posloupnost D n : = x 0 < x 1 < x 2 < < x n 1 < x n = b. (1) Je-li f omezená funkce n [, b], pk definujeme dolní, resp. horní Riemnnův součet (vzhledem k D n ) jko s(f, D n ) := S(f, D n ) := n ( inf {f (x)}).(x i x i 1 ), resp. (2) x [x i 1,x i ] i=1 n ( sup {f (x)} ).(x i x i 1 ). (3) x [x i 1,x i ] i=1 ZS 2017/18) Aplikovná mtemtik 1, NMAF071 6. Určitý integrál 7 / 13
6.2 Riemnnův integrál - poznámky Jelikož pro libovolné dělení D n, pk máme i nerovnost s(f, D n ) < S(f, D n ) (4) sup D n {s(f, D n )} inf D n {S(f, D n )} (5) kde supremum infimum bereme přes množinu všech dělení [, b]. Pokud v (5) pltí rovnost, pk toto číslo nzýváme Riemnnovým integrálem přes [, b] znčíme jej (R) f (x)dx. Toto číslo intuitivně odpovídá obshu plochy, která je pod grfem funkce f. ZS 2017/18) Aplikovná mtemtik 1, NMAF071 6. Určitý integrál 8 / 13
6.2 Riemnnův integrál - poznámky Pro jkékoliv ξ j [x j 1, x j ] máme s(f, D n ) n f (ξ j ) (x j x j 1 ) S(f, D n ). (6) j=1 Buď F primitivní k f n (, b), která je nvíc spojitá v zprv v b zlev. Potom (podle Lgrngeovy věty) existuje ξ j (x j 1, x j ) tkové, že F (x j ) F (x j 1 ) = F (ξ j ) (x j x j 1 ) = f (ξ j ) (x j x j 1 ). Odsud pk F (b) F () = n ( F (xj ) F (x j 1 ) ) = n f (ξ j ) (x j x j 1 ). j=1 Vidíme, že z těchto předpokldů tudíž j=1 s(f, D n ) F (b) F () S(f, D n ) (7) (R) f (x)dx = F (b) F (). (8) ZS 2017/18) Aplikovná mtemtik 1, NMAF071 6. Určitý integrál 9 / 13
6.3 Aplikce určitého integrálu Definice 6.2 Křivkou budeme rozumět zobrzení ϕ : [, b] R N (N N,, b R, < b) tkové, že ϕ = (ϕ 1,..., ϕ N ) je třídy C 1, tj. ϕ i je spojité n [, b], i = 1,..., N. Geometrickým obrzem křivky ϕ rozumíme množinu ϕ = ϕ([, b]) R N. Délkou křivky ϕ rozumíme hodnotu L(ϕ) = sup{l(ϕ, D n ); D n je dělení intervlu [, b]}, kde pro dělení D n dělení intervlu [, b] jko v (1) definujeme L(ϕ, D n ) = n vzdálenost (ϕ(x j 1 ), ϕ(x j )). j=1 ZS 2017/18) Aplikovná mtemtik 1, NMAF071 6. Určitý integrál 10 / 13
6.3 Aplikce určitého integrálu Vět 6.6 (délk křivky) Nechť ϕ = (ϕ 1,..., ϕ N ) : [, b] R N je křivk. Potom pltí L(ϕ) = (ϕ 1 )2 + + (ϕ N )2 dt. Je-li křivk zdán jko grf funkce y = f (x), x [, b], f C 1 ([, b]), pk L(ϕ) = 1 + (f (x)) 2 dx. Je-li křivk zdán v polárních souřdnicích funkcí r = r(ϕ), ϕ [α, β], r C 1 ([α, β]), pk β L(ϕ) = (r(ϕ)) 2 + (r (ϕ)) 2 dϕ. α ZS 2017/18) Aplikovná mtemtik 1, NMAF071 6. Určitý integrál 11 / 13
6.3 Aplikce určitého integrálu Vět 6.7 (plošný obsh rovinných množin) Nechť f je spojitá nezáporná n intervlu, b,, b R, < b. Oznčme P = {(x, y) R 2 ; x [, b], 0 y f (x)}. Pk Ploch (P) = f (x) dx. Je-li množin M vymezen v polárních souřdnicích polopřímkmi ϕ = α, ϕ = β křivkou r = r(ϕ), ϕ [α, β], r C([α, β]), pk Ploch (M) = 1 2 β α r 2 (ϕ)dϕ. ZS 2017/18) Aplikovná mtemtik 1, NMAF071 6. Určitý integrál 12 / 13
6.3 Aplikce určitého integrálu Vět 6.8 (objem povrch rotčního těles) Nechť f je spojitá nezáporná n intervlu [, b],, b R, < b. Oznčme Pk T = {(x, y, z) R 3 ; x [, b], y 2 + z 2 f (x)}. Je-li nvíc f spojitá n [, b], pk Objem (T ) = π f 2 (x) dx. Povrch pláště (T ) = 2π f (x) 1 + (f (x)) 2 dx. ZS 2017/18) Aplikovná mtemtik 1, NMAF071 6. Určitý integrál 13 / 13