9. Vícerozměrná integrace

Podobné dokumenty
9. Vícerozměrná integrace

Definice 1.1. Nechť je M množina. Funkci ρ : M M R nazveme metrikou, jestliže má následující vlastnosti:

Primitivní funkce a Riemann uv integrál Lineární algebra Taylor uv polynom Extrémy funkcí více prom ˇenných Matematika III Matematika III Program

10 Funkce více proměnných

INTEGRÁLY S PARAMETREM

PRIMITIVNÍ FUNKCE. Primitivní funkce primitivní funkce. geometrický popis integrály 1 integrály 2 spojité funkce konstrukce prim.

Lebesgue Manuál. Josef Hekrdla 1. prosince (Vzniklo pro potřeby předmětu Matematická teorie signálů ) 1 Objem intervalu. 3

PRIMITIVNÍ FUNKCE DEFINICE A MOTIVACE

1 Topologie roviny a prostoru

VIII. Primitivní funkce a Riemannův integrál

1 Posloupnosti a řady.

Definice 7.1 Nechť je dán pravděpodobnostní prostor (Ω, A, P). Zobrazení. nebo ekvivalentně

K oddílu I.1 základní pojmy, normy, normované prostory

Dnešní látka Variačně formulované okrajové úlohy zúplnění prostoru funkcí. Lineární zobrazení.

VIII. Primitivní funkce a Riemannův integrál

Teorie. Hinty. kunck6am

11. Číselné a mocninné řady

Riemannův určitý integrál

Posloupnosti a jejich konvergence

(5) Primitivní funkce

18 Fourierovy řady Úvod, základní pojmy

Posloupnosti a jejich konvergence POSLOUPNOSTI

Teorie. Hinty. kunck6am

To je samozřejmě základní pojem konvergence, ale v mnoha případech je příliš obecný a nestačí na dokazování některých užitečných tvrzení.

Přednáška 6, 6. listopadu 2013

Kapitola 1. Úvod. 1.1 Značení. 1.2 Výroky - opakování. N... přirozená čísla (1, 2, 3,...). Q... racionální čísla ( p, kde p Z a q N) R...

Texty k přednáškám z MMAN3: 4. Funkce a zobrazení v euklidovských prostorech

17. Posloupnosti a řady funkcí

1 Báze a dimenze vektorového prostoru 1

22 Základní vlastnosti distribucí

VI. Maticový počet. VI.1. Základní operace s maticemi. Definice. Tabulku

Zobecněný Riemannův integrál

Funkce jedn e re aln e promˇ enn e Derivace Pˇredn aˇska ˇr ıjna 2015

Matematická analýza 4

1 Množiny, výroky a číselné obory

Lineární algebra : Lineární prostor

PŘEDNÁŠKA 9 KŘIVKOVÝ A PLOŠNÝ INTEGRÁL 1. DRUHU

Základy matematiky pro FEK

16 Fourierovy řady Úvod, základní pojmy

Základy teorie pravděpodobnosti

Kapitola 8: Dvojný integrál 1/26

Limita a spojitost funkce a zobrazení jedné reálné proměnné

TEORIE MÍRY V některých předchozích kapitolách jste se setkali s měřením velikostí množin a víte, jaké byly těžkosti s měřením množin i na reálné ose.

Kapitola 7: Integrál.

Derivace funkce. Přednáška MATEMATIKA č Jiří Neubauer

terminologie předchozí kapitoly: (ϕ, Ω) - plocha, S - geometrický obraz plochy

19 Hilbertovy prostory

OBECNOSTI KONVERGENCE V R N

Základy teorie množin

4 Integrální počet funkcí více reálných proměnných

Matematika III. Miroslava Dubcová, Daniel Turzík, Drahoslava Janovská. Ústav matematiky

Míra a měřitelné funkce. 1.1 Měřitelné množiny. 1.2 Míra a vnější míra

Matice. Je dána matice A R m,n, pak máme zobrazení A : R n R m.

Interpolace, ortogonální polynomy, Gaussova kvadratura

Matematika 2 LS 2012/13. Prezentace vznikla na základě učebního textu, jehož autorem je doc. RNDr. Mirko Rokyta, CSc. J. Stebel Matematika 2

Aplikovaná matematika I, NMAF071

Posloupnosti a řady. 28. listopadu 2015

I. D i s k r é t n í r o z d ě l e n í

15 Maticový a vektorový počet II

p(x) = P (X = x), x R,

Věta o sedlovém bodu a Fredholmova alternativa

( + ) ( ) f x x f x. x bude zmenšovat nekonečně přesný. = derivace funkce f v bodě x. nazýváme ji derivací funkce f v bodě x. - náš základní zápis

Projekty - Úvod do funkcionální analýzy

7. Lineární vektorové prostory

Uzavřené a otevřené množiny

DERIVACE FUNKCE KOMPLEXNÍ PROMĚNNÉ

Derivace a monotónnost funkce

Teorie měření a regulace

Úvod do teorie her

Diferenˇcní rovnice Diferenciální rovnice Matematika IV Matematika IV Program

IV. Základní pojmy matematické analýzy IV.1. Rozšíření množiny reálných čísel

Matematická analýza III.

3. Derivace funkce Definice 3.1. Nechť f : R R je definována na nějakém okolí U(a) bodu a R. Pokud existuje limita f(a + h) f(a) lim

Poznámka. Je-li f zobrazení, ve kterém potřebujeme zdůraznit proměnnou, píšeme f(x) (resp. f(y), resp. f(t)) je zobrazení místo f je zobrazení.

10 Určitý integrál Riemannův integrál. Definice. Konečnou posloupnost {x j } n j=0 nazýváme dělením intervalu [a,b], jestliže platí

Kapitola 7: Neurčitý integrál. 1/14

Obsah. Aplikovaná matematika I. Gottfried Wilhelm Leibniz. Základní vlastnosti a vzorce

Matematická analýza 1

8 Matice a determinanty

30. listopadu Derivace. VŠB-TU Ostrava. Dostupné: s1a64/cd/index.htm.

Katedra matematiky Fakulty jaderné a fyzikálně inženýrské ČVUT v Praze Příjmení a jméno ➊ ➋ ➌ ➍ ➎ ➏ Bonus

Úvod. Integrování je inverzní proces k derivování Máme zderivovanou funkci a integrací získáme původní funkci kterou jsme derivovali

Matematika V. Dynamická optimalizace

Limita a spojitost funkce

Petr Hasil. Prvákoviny c Petr Hasil (MUNI) Úvod do infinitezimálního počtu Prvákoviny / 57

Matematika 4 FSV UK, LS Miroslav Zelený

Určete (v závislosti na parametru), zda daný integrál konverguje, respektive zda konverguje. dx = t 1/α 1 dt. sin x α dx =

Dodatek 2: Funkce dvou proměnných 1/9

Komplexní analýza. Holomorfní funkce. Martin Bohata. Katedra matematiky FEL ČVUT v Praze

Organizace. Zápočet: test týden semestru (pátek) bodů souhrnný test (1 pokus) Zkouška: písemná část ( 50 bodů), ústní část

Úvodní informace. 17. února 2018

Otázku, kterými body prochází větev implicitní funkce řeší následující věta.

Matematika I A ukázkový test 1 pro 2014/2015

Faculty of Nuclear Sciences and Physical Engineering Czech Technical University in Prague

Univerzita Karlova v Praze procesy II. Zuzana. funkce

Necht L je lineární prostor nad R. Operaci : L L R nazýváme

Téma 22. Ondřej Nývlt

Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Posloupnosti a řady funkcí. študenti MFF 15. augusta 2008

PŘEDNÁŠKA 2 POSLOUPNOSTI

Funkce a limita. Petr Hasil. Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF)

Transkript:

9. Vícerozměrná integrace Tomáš Salač Ú UK, FF UK LS 2017/18 Tomáš Salač ( Ú UK, FF UK ) 9. Vícerozměrná integrace LS 2017/18 1 / 29

9.1 Elementy teorie míry Poznámka Na R n definujeme systém tzv. měřitelných množin, n, který má následující vlastnosti je-li A n, je i R n \ A n ; jsou-li A j n, pak j=1 A j n, j=1 A j n ; n, R n n ; všechny otevřené a uzavřené množiny z R n jsou prvky n ; Tomáš Salač ( Ú UK, FF UK ) 9. Vícerozměrná integrace LS 2017/18 2 / 29

9.1 Elementy teorie míry Definice 9.1 Buď n systém měřitelných množin na R n. nožinovou funkci µ : n R nazvu míra, pokud platí 1 µ(a) 0 pro všechna A n ; 2 µ( ) = 0; 3 jsou-li A j n po dvou disjunktní, pak platí tzv. princip spočetné aditivity, ( µ j=1 A j ) = µ(a j ). j=1 Zajímavá otázka: Existují neměřitelné množiny? Tomáš Salač ( Ú UK, FF UK ) 9. Vícerozměrná integrace LS 2017/18 3 / 29

9.1 Elementy teorie míry Definice 9.2 Buď n systém měřitelných množin na R n. íru λ n, definovanou na n, která navíc splňuje podmínku λ n ([a 1, b 1 ] [a n, b n ]) = (b 1 a 1 ) (b n a n ) nazvu Lebesgueovou n-dimenzionální mírou (na R n ). Poznámka nožinu [a 1, b 1 ] [a n, b n ] z předchozí definice nazýváme n-rozměrným intervalem (hranolem). Existuje více měr než jenom Lebesgueova. Uvažujte například jednorozměrnou míru µ, splňující µ((a, b)) = arctg b arctg a nebo { 0 x / A µ(a) = 1 x A. Tomáš Salač ( Ú UK, FF UK ) 9. Vícerozměrná integrace LS 2017/18 4 / 29

9.1 Elementy teorie míry Vlastnosti (Lebesgueovsky) měřitelných množin Translační invariance: posunutí, otočení, zrcadlení nemění hodnotu míry dané množiny. onotonie: A, B n, A B = λ n (A) λ n (B), tedy speciálně omezené množiny mají konečnou Lebesgueovu míru. A j n, A j A j+1 j N = λ n ( j=1 A j ) = lim j λ n (A j ). Tomáš Salač ( Ú UK, FF UK ) 9. Vícerozměrná integrace LS 2017/18 5 / 29

9.1 Elementy teorie míry A j n, A j A j+1 j N, k N, λ n (A k ) < = λ n ( j=1 A j ) = lim j λ n (A j ). axiom výběru zaručuje existenci Lebesgueovsky neměřitelné množiny Tomáš Salač ( Ú UK, FF UK ) 9. Vícerozměrná integrace LS 2017/18 6 / 29

9.1 Elementy teorie míry Definice 9.3 (nulové množiny) Řekneme, že množina A n je nulová (v míře λ n ), pokud λ n (A) = 0. Poznámka Někdy značíme N n := {A n, λ n (A) = 0}. A B, B je nulová, pak též A je nulová Prázdná množina a jednobodová množina jsou nulové = (podle principu spočetné aditivity) spočetné množiny jsou nulové (mají míru nula)! Tj. např. λ 1 (Q) = 0 (tedy speciálně neomezené množiny nemusejí mít nekonečnou míru). Tomáš Salač ( Ú UK, FF UK ) 9. Vícerozměrná integrace LS 2017/18 7 / 29

9.1 Elementy teorie míry Definice 9.4 (vlastnost s.v.) Řekneme, že nějaký výrok V (x), x A platí skoro všude (s.v.) na A (vzhledem k míře µ), pokud V (x) platí pro všechna x A \ N, kde µ(n) = 0. Příklady. Funkce x má s.v. na R vlastní derivaci. S.v. reálná čísla jsou iracionální. Pokud se dvě funkce liší nejvýše ve spočetně mnoha bodech, pak jsou si s.v. rovny. Tomáš Salač ( Ú UK, FF UK ) 9. Vícerozměrná integrace LS 2017/18 8 / 29

9.2 Vícerozměrný (Lebesgueův) integrál Definice 9.5 1 Buď n. Řeknu, že funkce s : R je jednoduchá (schodovitá) na, pokud existují konstanty c 1, c 2,..., c k R a množiny 1, 2,..., k n takové, že Definiční obor fukce s, tj. D s = k j=1 j, přičemž λ n ( \ D s ) = 0 (tedy s je definována s.v. na ); s nabývá na j konstantní hodnoty c j, j = 1,..., k. 2 Je-li s : R je jednoduchá (schodovitá) na a navíc je s 0 s.v. na, definujeme (L) s(x) dλ n (x) := k c j λ n ( j ). (1) j=1 Tomáš Salač ( Ú UK, FF UK ) 9. Vícerozměrná integrace LS 2017/18 9 / 29

9.2 Vícerozměrný (Lebesgueův) integrál Poznámky. Je-li v (1) c j = 0 a λ n ( j ) =, klademe c j λ n ( j ) = 0. Jinak v součtu (1) používáme pravidla pro sčítání v rámci rozšířené reálné osy, R. Značení dλ n (x) zdůrazňuje roli Lebesgueovy míry příslušné dimenze. Často zjednodušujeme dλ n (x) dλ(x) dx. Role dimenze je někdy (zejména pro n = 2, 3) vyznačená znásobením symbolu integrálu: (L) s(x) dλ 3 (x) s(x) dx, apod... Tomáš Salač ( Ú UK, FF UK ) 9. Vícerozměrná integrace LS 2017/18 10 / 29

9.2 Vícerozměrný (Lebesgueův) integrál Úmluva. Pokud budeme v dalším textu mluvit o funkci f : R n R, budeme mít typicky na mysli tuto situaci: n, a f je definovaná alespoň s.v. na ; pokud je f 0 na, potom pro skoro všechna x platí f (x) = sup s(x), 0 s f kde s jsou jednoduché funkce definované na ; pro obecnou f píšeme f = f + f, kde f + := max{f, 0} a f := max{ f, 0}; o funkcích f + 0, f 0 předpokládáme, že mají vlastnost z předchozího bodu. Tomáš Salač ( Ú UK, FF UK ) 9. Vícerozměrná integrace LS 2017/18 11 / 29

9.2 Vícerozměrný (Lebesgueův) integrál Definice 9.6 (vícerozměrný Lebesgueův integrál) 1 Buď f : R n R, f 0 funkce (ve smyslu předchozí úmluvy). Pak definujeme: f (x) dλ n (x) := sup s(x) dλ n (x). (2) 0 s f 2 Buď f : R n R, f = f + f, (ve smyslu předchozí úmluvy). Pak definujeme: f (x) dλ n (x) := f + (x) dλ n (x) f (x) dλ n (x), (3) má-li rozdíl vpravo smysl. Tomáš Salač ( Ú UK, FF UK ) 9. Vícerozměrná integrace LS 2017/18 12 / 29

9.2 Vícerozměrný (Lebesgueův) integrál Definice 9.7 Pokud f (x) dλ n(x) je definován (tj. má smysl rozdíl f + f ), říkáme, že integrál z f přes existuje a píšeme f L (). (Integrál, který existuje, může nabýt i nekonečných hodnot.) Pokud f d(x)λ n(x) je konečný (tj. oba integrály f +, f jsou konečné stejně jako jejich rozdíl), říkáme, že integrál z f přes konverguje a píšeme f L(). Poznámka Pokud existuje Newtonův i Lebesgueův integrál (v jedné dimenzi), pak se rovnají. Pokud existuje Riemannův integrál (opět v jedné dimenzi), pak existuje i Lebesgueův a rovnají se. Tomáš Salač ( Ú UK, FF UK ) 9. Vícerozměrná integrace LS 2017/18 13 / 29

9.2 Vícerozměrný (Lebesgueův) integrál Některé základní vlastnosti integrálu. (αf + βg) = α f + β g, pokud integrál vpravo má smysl. f, g L (), f = g s.v. na, = f = g. f g s.v. na, g R = f R. A j A j+1 j N, f L ( j=1 A j) = j=1 A j f = lim f. j A j A j A j+1 j N, k N, f R A k = j=1 A j f = lim f. j A j Tomáš Salač ( Ú UK, FF UK ) 9. Vícerozměrná integrace LS 2017/18 14 / 29

9.3 Fubiniho věta a věta o substituci Označení (k Fubiniho větě) Buď měřitelná v R n+k, označíme: P n () := {x R n, y R k, [x, y] }... projekce do R n. P k () := {y R k, x R n, [x, y] }... projekce do R k. Pro x P n () pevné: x, := {y P k (), [x, y] }... x-ový řez množinou. Pro y P k () pevné:,y := {x P n (), [x, y] }... y-ový řez množinou. Tomáš Salač ( Ú UK, FF UK ) 9. Vícerozměrná integrace LS 2017/18 15 / 29

9.3 Fubiniho věta a věta o substituci Věta 9.1 (Fubini) Buďte resp. P n () resp. P k () měřitelné v R n+k resp. R n resp. R k. Nechť f existuje. Potom ( ) f (x, y) dx dy = f (x, y) dy dx P n() x, ( ) = f (x, y) dx dy P k (),y Tomáš Salač ( Ú UK, FF UK ) 9. Vícerozměrná integrace LS 2017/18 16 / 29

9.3 Fubiniho věta a věta o substituci V situaci kartézského součinu množin i funkcí je znění Fubiniho věty jednodušší: Tvrzení 9.1 Buď = A 1 A n, f (x) = f 1 (x 1 ) f n (x n ). Nechť f existuje. Potom ( ) ( ) f (x) dx = f 1 (x 1 ) dx 1 f n (x n ) dx n. A 1 A n Tomáš Salač ( Ú UK, FF UK ) 9. Vícerozměrná integrace LS 2017/18 17 / 29

9.3 Fubiniho věta a věta o substituci Definice 9.8 Nechť G R n je otevřená množina. Zobrazení ϕ: G R n je regulární, jestliže (i) ϕ C 1 (G), (ii) determinant matice D ϕ D x (tj. jakobián zobrazení ϕ) je nenulový v každém bodě množiny G. Různá značení: ( ) D ϕ( x) det Jac ϕ ( x) J ϕ ( x). D x Tomáš Salač ( Ú UK, FF UK ) 9. Vícerozměrná integrace LS 2017/18 18 / 29

9.3 Fubiniho věta a věta o substituci Věta 9.2 (o substituci) Buďte, G R n otevřené množiny, buď ϕ : G regulární a prosté v G, a takové, že ϕ(g) =. Potom ( ) f ( y) d y = f ( ϕ( x)) D ϕ( x) det d x, (4) D x pro f : R, pokud aspoň jeden z integrálů existuje. G nemotechnická pomůcka: Při ztotožnění ϕ( x) y( x), je mnemonechnika pro výpočet správného jakobiánu tato: ( ) d y = D y det d x. D x Tomáš Salač ( Ú UK, FF UK ) 9. Vícerozměrná integrace LS 2017/18 19 / 29

9.4 Věty o limitních přechodech Věta 9.3 Uvažujme funkce f n definované na. Nechť pro s.v. x existuje lim n f n (x) = f (x). Nechť je dále splněna alespoň jedna z následujících tří podmínek: Potom (Levi I:) 0 f n f n+1 s.v., pro všechna n N; (Levi II:) g f n f n+1 s.v., pro všechna n N, a přitom g > ; (Lebesgue:) f n g s.v., pro všechna n N, a přitom g R. lim f n = lim f n (5) n n Tomáš Salač ( Ú UK, FF UK ) 9. Vícerozměrná integrace LS 2017/18 20 / 29

9.4 Věty o limitních přechodech Poznámka Vztah (5) (záměna limity a integrálu) platí také, pokud jsou Leviho podmínky splněny "zrcadlově vzhledem k nule", tj. pokud je splněna alespoň jedna z následujících podmínek: (Levi I :) 0 f n f n+1 s.v., pro všechna n N; (Levi II :) g f n f n+1 s.v., pro všechna n N, a přitom g <. Tomáš Salač ( Ú UK, FF UK ) 9. Vícerozměrná integrace LS 2017/18 21 / 29

9.4 Věty o limitních přechodech Věta 9.4 Uvažujme funkce f n definované na. Nechť pro s.v. x existuje n=1 f n(x) = f (x). Nechť je dále splněna alespoň jedna z následujících dvou podmínek: (Levi:) f n 0 s.v., pro všechna n N; (Lebesgue:) N n=1 f n g s.v., pro všechna N N, a přitom g R. Potom f n = n=1 n=1 f n Tomáš Salač ( Ú UK, FF UK ) 9. Vícerozměrná integrace LS 2017/18 22 / 29

9.4 Věty o limitních přechodech Poznámka Někdy se také hodí následující modifikace Lebesgueovy podmínky pro řady: Uvažujme funkce f n definované na. Nechť pro s.v. x existuje n=1 f n(x) = f (x). Buď a n := f n(x). Pokud číselná řada n=1 a n konverguje, pak f n = n=1 n=1 f n Tomáš Salač ( Ú UK, FF UK ) 9. Vícerozměrná integrace LS 2017/18 23 / 29

9.5 Integrály s parametrem Označení Budeme studovat následující situaci: R n je měřitelná množina (přes x "budeme integrovat"), množina N R k je množina "parametrů" α. K funkci f (x, α) : N R definujeme funkci F (α) := f (x, α) dx jako "integrál s parametrem α", kdykoli integrál vpravo konverguje. Zajímají nás vlastnosti funkce F. Tuto situaci budeme v tomto paragrafu nazývat "situace (P)". Tomáš Salač ( Ú UK, FF UK ) 9. Vícerozměrná integrace LS 2017/18 24 / 29

9.5 Integrály s parametrem Věta 9.5 (o limitě) Uvažujme situaci (P). Nechť existuje g L() taková, že f (x, α) g(x) s.v. na, a pro α U (α 0 ). Potom lim F (α) = α α 0 lim f (x, α) dx = α α 0 lim f (x, α) dx, α α 0 pokud limita vpravo za znamením integrálu existuje (vlastní). Tomáš Salač ( Ú UK, FF UK ) 9. Vícerozměrná integrace LS 2017/18 25 / 29

9.5 Integrály s parametrem Věta 9.6 (o spojitosti) Uvažujme situaci (P). Nechť existuje g L() taková, že f (x, α) g(x) s.v. na, a pro α G F, G otevřená. Nechť je dále f (x, α) spojitá na G v proměnné α (a to pro s.v. pevná x. Potom F je spojitá na G. Tomáš Salač ( Ú UK, FF UK ) 9. Vícerozměrná integrace LS 2017/18 26 / 29

9.5 Integrály s parametrem Věta 9.7 (o derivaci) Uvažujme situaci (P). Nechť existuje (vlastní) f α j (x, α) pro všechna α U(α 0 ); existuje g L() taková, že f α j (x, α) g(x) s.v. na, a pro všechna α U(α 0 ); existuje α 1 U(α 0 ) takové, že f (x, α 1) dx je konečný. Potom f (x, α) dx je konečný pro všechna α U(α 0), a F α j (α) = α j f (x, α) dx = f α j (x, α) dx. Tomáš Salač ( Ú UK, FF UK ) 9. Vícerozměrná integrace LS 2017/18 27 / 29

9.5 Integrály s parametrem Poznámka Funkce g z předchozích tří vět (mající konečný integrál), nazýváme integrabilní majoranty příslušného problému (problém limity, spojitosti, derivace). Všimněte si: integrabilní majoranty je potřeba hledat tak, aby nezávislely na parametru α. Jsou-li množiny a N ze situace (P) omezené, a f C( N), pak je integrabilní majorantou pro f konstanta (rovná maximální hodnotě f na N). Tomáš Salač ( Ú UK, FF UK ) 9. Vícerozměrná integrace LS 2017/18 28 / 29

9.6 Gamma funkce Definujme Γ(s) := 0 x s 1 e x dx. Potom platí: Γ je konečná pro s (0, + ), navíc Γ C (0, ). Γ(s + 1) = sγ(s) pro všechna s (0, + ). Γ(n + 1) = n! pro všechna n N. Γ( 1 2 ) = π, Γ(n + 1 2 ) = (2n 1)!! 2 n π = (2n)! 2 2n n! π pro všechna n N. Γ klesá na (0, x 0 ) a roste na (x 0, ), kde x 0 1.46163; lim s 0+ Γ(s) = lim s + Γ(s) = + ; Γ je ryze konvexní na (0, + ). Tomáš Salač ( Ú UK, FF UK ) 9. Vícerozměrná integrace LS 2017/18 29 / 29