Matematika A. PetrSalačaJiříHozman Fakulta přírodovědně-humanitní a pedagogická Technická univerzita v Liberci petr.salac@tul.cz jiri.hozman@tul.cz 3.0.06 Fakulta přírodovědně-humanitní a pedagogická TUL ZS 06-07 / 33
Funkce Definice(obecný pojem funkce) Jsou-li A a B libovolné množiny, pakfunkcí fmnožiny Adomnožiny Brozumímepředpis, kterýkaždémuprvku x Apřiřazujejedinýprvekmnožiny y B, píšeme y= f(x). Množina Asenazývádefiničníoborfunkce faznačíse D(f), množina {y B;existuje x Atakový,že y=f(x)}senazýváoborhodnot funkce f aznačíse H(f). Definice(pojem funkce jedné proměnné) Funkcí fjednéproměnnérozumímefunkci fmnožiny M Rdomnožiny R. Způsoby zadání funkce: ) Výrazem ) slovním předpisem 3) tabulkou Fakulta přírodovědně-humanitní a pedagogická TUL ZS 06-07 / 33
Funkce Definice Je-lifunkce fdánavýrazem y= f(x).pak xnazvemenezávisleproměnná(nebo argument) a y závisle proměnná. Pro pevně zvolenou hodnotu a nezávisle proměnné se číslo f(a) nazývá hodnota funkce fvbodě a. Poznámka Je-li funkce f zadána výrazem bez udání definičního oboru, považujeme za D(f) množinu všech čísel, pro něž příslušný výraz existuje. Definice(graf funkce) Množinuvšechbodů[x,y]rovinytakových,že x D(f), y= f(x)nazvemegraf funkce f. Definice(rovnost funkcí) Řekneme,žefunkce fa gjsousirovny,jestliže D(f)=D(g)aprokaždé x D(f) je f(x)=g(x); píšemepak f= g, vopačnémpřípaděpíšeme f g. Fakulta přírodovědně-humanitní a pedagogická TUL ZS 06-07 3/ 33
Funkce Definice(operace s funkcemi) Součet f+gfunkcí fa gsedefinujejakofunkce h,kde h(x)=f(x)+g(x)pro každé x, pro něž tento výraz existuje. Rozdíl f gfunkcí fa gsedefinujejakofunkce h,kde h(x)=f(x) g(x)pro každé x, pro něž tento výraz existuje. Součin f.gfunkcí fa gsedefinujejakofunkce h,kde h(x)=f(x).g(x)prokaždé x, pro něž tento výraz existuje. Podíl f f(x) g funkcí fa gsedefinujejakofunkce h,kde h(x)= g(x) prokaždé x,proněž tento výraz existuje. Fakulta přírodovědně-humanitní a pedagogická TUL ZS 06-07 4/ 33
Funkce Definice(typy funkcí) Funkce fsenazývárostoucí,jestližeprolibovolné x,x D(f), x < x,platí f(x ) < f(x ). Funkce fsenazýváklesající,jestližeprolibovolné x,x D(f), x < x,platí f(x ) > f(x ). Funkce fsenazýváneklesající,jestližeprolibovolné x,x D(f), x < x,platí f(x ) f(x ). Funkce fsenazývánerostoucí,jestližeprolibovolné x,x D(f), x < x,platí f(x ) f(x ). Funkce, která je rostoucí nebo klesající, se nazývá ryze monotónní. Funkce, která je neklesající nebo nerostoucí, se nazývá monotónní. Věta Každá ryze monotónní funkce je monotónní. Fakulta přírodovědně-humanitní a pedagogická TUL ZS 06-07 5/ 33
Funkce Poznámka Obdobně se definuje monotónnost, případně ryzí monotónnost, na podmnožině M, v příslušnýchdefinicíchseúsek x, x D(f) nahradíúsekem x, x M. Funkce fsenazývázdola,resp.shoraomezená,jestližejejíoborhodnot H(f)je zdola, resp. shora omezená množina. Funkce se nazývá omezená, jestliže je zdola omezená a shora omezená. Analogickysedefinujenamnožině M D(f). Funkce fsenazývásudá,resp.lichá,jestližeprokaždé x D(f)jetaké x D(f) aprokaždé x D(f)je f( x)=f(x),resp. f( x)= f(x). Funkce fsenazýváperiodickásperiodou p >0,jestližeprokaždé x D(f)jetaké x+p D(f)ax p D(f)aprokaždé x D(f)je f(x+p)=f(x)=f(x p). Fakulta přírodovědně-humanitní a pedagogická TUL ZS 06-07 6/ 33
Funkce Definice Funkce f: A Bsenazýváprostá,jestližeplatí Věta Každá ryze monotónní funkce je prostá. x, x A, x x = f(x ) f(x ). Fakulta přírodovědně-humanitní a pedagogická TUL ZS 06-07 7/ 33
Funkce Definice Nechť f: A Bjedána.Množinoufunkčníchhodnotfunkce f(ozn. f(a)) rozumímemnožinuvšech y Bproněžexistuje x Atakové,že y= f(x). Poznámka f(a) B,alemůžebýt f(a) B. Definice Říkáme,žefunkce f: A Bzobrazujemnožinou Anamnožinu B,jestliže f(a)=b. Fakulta přírodovědně-humanitní a pedagogická TUL ZS 06-07 8/ 33
Konstantní funkce - - - - Fakulta přírodovědně-humanitní a pedagogická TUL ZS 06-07 9/ 33
Konstantní funkce - - - - Fig Fakulta přírodovědně-humanitní a pedagogická TUL ZS 06-07 9/ 33
Identita Definice Funkce f: A Asenazýváidentickána A,právětehdykdyžprovšechna x A platí f(x)=x. značíme:id A Poznámka id A (x)=x id A : A Ajeprostáana. Fakulta přírodovědně-humanitní a pedagogická TUL ZS 06-07 0/ 33
Mocninná funkce - - - - Fakulta přírodovědně-humanitní a pedagogická TUL ZS 06-07 / 33
Mocninná funkce - - - f(x)=x - Fakulta přírodovědně-humanitní a pedagogická TUL ZS 06-07 / 33
Mocninná funkce f(x)=x - - - f(x)=x - Fakulta přírodovědně-humanitní a pedagogická TUL ZS 06-07 / 33
Mocninná funkce f(x)=x - - - f(x)=x - f(x)=x 3 Fakulta přírodovědně-humanitní a pedagogická TUL ZS 06-07 / 33
Mocninná funkce f(x)=x 4 f(x)=x - - - f(x)=x - f(x)=x 3 Fakulta přírodovědně-humanitní a pedagogická TUL ZS 06-07 / 33
Mocninná funkce f(x)=x 4 f(x)=x - - - f(x)=x - Fig f(x)=x 3 f(x)=x 5 Fakulta přírodovědně-humanitní a pedagogická TUL ZS 06-07 / 33
Exponenciální funkce - - - 3 4 5 6 7 8 - Fakulta přírodovědně-humanitní a pedagogická TUL ZS 06-07 / 33
Exponenciální funkce f(x)= x - - - 3 4 5 6 7 8 - Fakulta přírodovědně-humanitní a pedagogická TUL ZS 06-07 / 33
Exponenciální funkce f(x)= x f(x)=3 x - - - 3 4 5 6 7 8 - Fakulta přírodovědně-humanitní a pedagogická TUL ZS 06-07 / 33
Exponenciální funkce f(x)= x f(x)=3 x f(x)=4 x - - - 3 4 5 6 7 8 - Fakulta přírodovědně-humanitní a pedagogická TUL ZS 06-07 / 33
Exponenciální funkce f(x)= x f(x)=3 x f(x)=4 x f(x)=0,5 x - - - 3 4 5 6 7 8 - Fig3 Fakulta přírodovědně-humanitní a pedagogická TUL ZS 06-07 / 33
Goniometrické funkce - - - 3 4 5 6 7 8 - Fakulta přírodovědně-humanitní a pedagogická TUL ZS 06-07 3/ 33
Goniometrické funkce f(x)=sinx - - - 3 4 5 6 7 8 - Fakulta přírodovědně-humanitní a pedagogická TUL ZS 06-07 3/ 33
Goniometrické funkce f(x)=sinx f(x)=cosx - - - 3 4 5 6 7 8 - Fakulta přírodovědně-humanitní a pedagogická TUL ZS 06-07 3/ 33
Goniometrické funkce f(x)=sinx f(x)=cosx f(x)=tanx - - - 3 4 5 6 7 8 - Fakulta přírodovědně-humanitní a pedagogická TUL ZS 06-07 3/ 33
Goniometrické funkce f(x)=sinx f(x)=cosx f(x)=tanx - - - 3 4 5 6 7 8 - Fakulta přírodovědně-humanitní a pedagogická TUL ZS 06-07 3/ 33
Goniometrické funkce f(x)=sinx f(x)=cosx f(x)=tanx - - - 3 4 5 6 7 8 - Fakulta přírodovědně-humanitní a pedagogická TUL ZS 06-07 3/ 33
Goniometrické funkce f(x)=sinx f(x)=cosx f(x)=tanx - - - 3 4 5 6 7 8 - Fakulta přírodovědně-humanitní a pedagogická TUL ZS 06-07 3/ 33
Goniometrické funkce f(x)=sinx f(x)=cosx f(x)=tanx f(x)=cotx - - - 3 4 5 6 7 8 - Fakulta přírodovědně-humanitní a pedagogická TUL ZS 06-07 3/ 33
Goniometrické funkce f(x)=sinx f(x)=cosx f(x)=tanx f(x)=cotx=cotgx - - - 3 4 5 6 7 8 - Fakulta přírodovědně-humanitní a pedagogická TUL ZS 06-07 3/ 33
Goniometrické funkce f(x)=sinx f(x)=cosx f(x)=tanx f(x)=cotx=cotgx - - - 3 4 5 6 7 8 - Fakulta přírodovědně-humanitní a pedagogická TUL ZS 06-07 3/ 33
Goniometrické funkce f(x)=sinx f(x)=cosx f(x)=tanx f(x)=cotx=cotgx - - - 3 4 5 6 7 8 - Fakulta přírodovědně-humanitní a pedagogická TUL ZS 06-07 3/ 33
Goniometrické funkce f(x)=sinx f(x)=cosx f(x)=tanx f(x)=cotx=cotgx - - - 3 4 5 6 7 8 - Fakulta přírodovědně-humanitní a pedagogická TUL ZS 06-07 3/ 33
Goniometrické funkce f(x)=sinx f(x)=cosx f(x)=tanx f(x)=cotx=cotgx - - - 3 4 5 6 7 8 - Fig4 Fakulta přírodovědně-humanitní a pedagogická TUL ZS 06-07 3/ 33
Funkce Definice Kompozice funkcí Nechť g: A B, f: B Cjsoudvěfunkce. Pakkompozicífunkcí fa grozumímefunkci h:a C,definovanoupředpisem h(x)=f(g(x)) x A. značíme h=f g(jesloženazfunkcí fa g) Funkci f nazveme vnější, funkci g vnitřní. Poznámka Definičníobor f=koobor g. Definice Nechť f: A Bjelibovolnáfunkce.Říkáme,žefunkce g: B Ajeinverzní funkcekf,jestližeplatí ) g f=id A ) f g=id B. Značíme g= f Fakulta přírodovědně-humanitní a pedagogická TUL ZS 06-07 4/ 33
Funkce Poznámka Definicejesymetrická(je-li finverzníke g = je ginverzníkf). Mluvíme o vzájemně inverzních funkcích. Věta Jestližeexistuje f,pakplatí f(f ) = f. Věta(o jednoznačnosti inverzní funkce) Jestližekfunkci f: A Bexistujeinverznífunkce,pakjejediná. Věta(o existenci inverzní funkce) Kfunkci f: A Bexistujeinverznífunkceprávětehdy,když fjeprostáazobrazuje Ana B. Fakulta přírodovědně-humanitní a pedagogická TUL ZS 06-07 5/ 33
Mocninné funkce 3 - - 3 4 5 - - Fakulta přírodovědně-humanitní a pedagogická TUL ZS 06-07 6/ 33
Mocninné funkce f(x)=x 3 - - 3 4 5 - - Fakulta přírodovědně-humanitní a pedagogická TUL ZS 06-07 6/ 33
Mocninné funkce f(x)=x 3 - - 3 4 5 - - Fakulta přírodovědně-humanitní a pedagogická TUL ZS 06-07 7/ 33
Mocninné funkce f(x)=x 3 f (x)=x - - 3 4 5 - - Fakulta přírodovědně-humanitní a pedagogická TUL ZS 06-07 7/ 33
Mocninné funkce 3 f(x)=x f(x)=x 3 f (x)=x - - 3 4 5 - - Fakulta přírodovědně-humanitní a pedagogická TUL ZS 06-07 7/ 33
Mocninné funkce 3 f(x)=x f(x)=x 3 f (x)=x - - 3 4 5 - f (x)=x 3 - Fakulta přírodovědně-humanitní a pedagogická TUL ZS 06-07 7/ 33
Mocninné funkce 3 f(x)=x f(x)=x 3 f(x)=x 4 f (x)=x - - 3 4 5 - f (x)=x 3 - Fakulta přírodovědně-humanitní a pedagogická TUL ZS 06-07 7/ 33
Mocninné funkce 3 f(x)=x f(x)=x 3 f(x)=x 4 f (x)=x - - 3 4 5 - f (x)=x 3 - Fakulta přírodovědně-humanitní a pedagogická TUL ZS 06-07 8/ 33
Mocninné funkce 3 f(x)=x f(x)=x 3 f(x)=x 4 f (x)=x f (x)=x 4 - - 3 4 5 - f (x)=x 3 - Fakulta přírodovědně-humanitní a pedagogická TUL ZS 06-07 8/ 33
Logaritmické funkce 5 4 3 - - - 3 4 5 6 7 8 - Fakulta přírodovědně-humanitní a pedagogická TUL ZS 06-07 9/ 33
Logaritmické funkce f(x)= x 5 4 3 - - - 3 4 5 6 7 8 - Fakulta přírodovědně-humanitní a pedagogická TUL ZS 06-07 9/ 33
Logaritmické funkce f(x)= x 5 4 3 - - - 3 4 5 6 7 8 - f (x)=log x Fakulta přírodovědně-humanitní a pedagogická TUL ZS 06-07 9/ 33
Logaritmické funkce f(x)= x 5 4 f(x)=3 x 3 - - - 3 4 5 6 7 8 - f (x)=log x Fakulta přírodovědně-humanitní a pedagogická TUL ZS 06-07 9/ 33
Logaritmické funkce f(x)= x 5 4 f(x)=3 x 3 - - - 3 4 5 6 7 8 - f (x)=log x f (x)=log 3 x Fakulta přírodovědně-humanitní a pedagogická TUL ZS 06-07 9/ 33
Logaritmické funkce f(x)= x 5 4 3 f(x)=3 x f(x)=4 x - - - 3 4 5 6 7 8 - f (x)=log x f (x)=log 3 x Fakulta přírodovědně-humanitní a pedagogická TUL ZS 06-07 9/ 33
Logaritmické funkce f(x)= x 5 4 3 f(x)=3 x f(x)=4 x - - - 3 4 5 6 7 8 - f (x)=log x f (x)=log 3 x f (x)=log 4 x Fakulta přírodovědně-humanitní a pedagogická TUL ZS 06-07 9/ 33
Logaritmické funkce f(x)= x 5 4 3 f(x)=3 x f(x)=4 x f(x)=0,5 x - - - 3 4 5 6 7 8 - f (x)=log x f (x)=log 3 x f (x)=log 4 x Fakulta přírodovědně-humanitní a pedagogická TUL ZS 06-07 9/ 33
Logaritmické funkce f(x)= x 5 4 3 f(x)=3 x f(x)=4 x f(x)=0,5 x - - - 3 4 5 6 7 8 - f (x)=log x f (x)=log 3 x f (x)=log 4 x f (x)=log 0,5 x Fakulta přírodovědně-humanitní a pedagogická TUL ZS 06-07 9/ 33 Fig8
Cyklometrické funkce - - - 3 4 5 6 7 8 - Fakulta přírodovědně-humanitní a pedagogická TUL ZS 06-07 0/ 33
Cyklometrické funkce f(x)=sinx - - - 3 4 5 6 7 8 - Fig9 Fakulta přírodovědně-humanitní a pedagogická TUL ZS 06-07 0/ 33
Cyklometrické funkce f(x)=sinx - - - 3 4 5 6 7 8 - Fakulta přírodovědně-humanitní a pedagogická TUL ZS 06-07 / 33
Cyklometrické funkce f(x)=sinx f (x)=arcsinx - - - 3 4 5 6 7 8 - Fig0 Fakulta přírodovědně-humanitní a pedagogická TUL ZS 06-07 / 33
Cyklometrické funkce - - - 3 4 5 6 7 8 - Fakulta přírodovědně-humanitní a pedagogická TUL ZS 06-07 / 33
Cyklometrické funkce f(x)=cosx - - - 3 4 5 6 7 8 - Fig Fakulta přírodovědně-humanitní a pedagogická TUL ZS 06-07 / 33
Cyklometrické funkce f(x)=cosx - - - 3 4 5 6 7 8 - Fakulta přírodovědně-humanitní a pedagogická TUL ZS 06-07 3/ 33
Cyklometrické funkce f(x)=cosx f (x)=arccosx - - - 3 4 5 6 7 8 - Fig Fakulta přírodovědně-humanitní a pedagogická TUL ZS 06-07 3/ 33
Cyklometrické funkce - - - 3 4 5 6 7 8 - Fakulta přírodovědně-humanitní a pedagogická TUL ZS 06-07 4/ 33
Cyklometrické funkce f(x)=tanx - - - 3 4 5 6 7 8 - Fig3 Fakulta přírodovědně-humanitní a pedagogická TUL ZS 06-07 4/ 33
Cyklometrické funkce f(x)=tanx - - - 3 4 5 6 7 8 - Fakulta přírodovědně-humanitní a pedagogická TUL ZS 06-07 5/ 33
Cyklometrické funkce f(x)=tanx f (x)=arctanx - - - 3 4 5 6 7 8 - Fig4 Fakulta přírodovědně-humanitní a pedagogická TUL ZS 06-07 5/ 33
Cyklometrické funkce f(x)=cotx - - - 3 4 5 6 7 8 - Fig5 Fakulta přírodovědně-humanitní a pedagogická TUL ZS 06-07 6/ 33
Cyklometrické funkce f(x)=cotx - - - 3 4 5 6 7 8 - Fakulta přírodovědně-humanitní a pedagogická TUL ZS 06-07 7/ 33
Cyklometrické funkce f(x)=cotx f (x)=arccotx - - - 3 4 5 6 7 8 - Fig6 Fakulta přírodovědně-humanitní a pedagogická TUL ZS 06-07 7/ 33
Funkce Definice Základní elementární funkce Základní elementární funkce jsou konstantní, mocninné, exponenciální, logaritmické, goniometrické a cyklometrické funkce. Definice Elementární funkce jsou všechny funkce, které lze získat ze základních elementárních funkcí pouze sčítáním, odečítáním, násobením, dělením a tvořením složených funkcí. Fakulta přírodovědně-humanitní a pedagogická TUL ZS 06-07 8/ 33
Neelementární funkce Funkce absolutní hodnota f(x)= x - - - 3 4 5 6 7 8 - Fig7 Fakulta přírodovědně-humanitní a pedagogická TUL ZS 06-07 9/ 33
Neelementární funkce Funkce signum f(x)=sgnx - - - 3 4 5 6 7 8 - Fig8 Fakulta přírodovědně-humanitní a pedagogická TUL ZS 06-07 30/ 33
Neelementární funkce Funkce celá část f(x)=[x] - - - 3 4 5 6 7 8 - Fig9 Fakulta přírodovědně-humanitní a pedagogická TUL ZS 06-07 3/ 33
Funkce Definice (Polynom a racionální funkce) Polynomem se rozumí funkce s funkčním předpisem f(x)=a m x m +a m x m + +a x+a 0, kde m N {0}, a 0, a,..., a m R. f(x)=0nulovýpolynom f(x)=a x+a 0,kde a 0,senazvelineárnífunkce. Racionální funkcí se rozumí funkce, která je podílem dvou polynomů, přičemž dělitel není nulový polynom. Fakulta přírodovědně-humanitní a pedagogická TUL ZS 06-07 3/ 33
Funkce Definice (Extrémy) Řekneme, že funkce f má v bodě a globální maximum, resp. globální minimum, jestližeprovšechna x D(f)je f(x) f(a),resp. f(x) f(a). Má-lifunkce fvbodě aglobálnímaximum,neboglobálníminimumřekneme,žemá v a globální extrém. Fakulta přírodovědně-humanitní a pedagogická TUL ZS 06-07 33/ 33