1. Těleso komplexních čísel Definice. Množinou komplexních čísel rozumíme množinu R 2.

1. Těleso komplexních čísel Definice. Množinou komplexních čísel rozumíme množinu R 2. Množinu komplexních čísel znčíme C. N množině C definujeme operce sčítání + jko v R 2 násobení. předpisem (x, y).(u, v) = (xu yv, xv + yu). Pozorovní. Obě operce jsou komuttivní. Pozorovní. Jednotkovým prvkem je (1, ). Pozorovní. K prvku (x, y) C, (x, y) (, ) existuje právě jeden inverzní prvek dný předpisem ( x x 2 + y 2, y ) x 2 + y 2. Zákldní vlstnosti komplexních čísel Množin C s opercemi sčítání násobení tvoří komuttivní těleso. Těleso R je izomorfní podtělesu {(x, y) C : y = }. N C není definováno přirozené uspořádání. Vět. Zákldní vět lgebry. Kždý polynom stupně lespoň 1 s komplexními koeficienty má lespoň jeden kořen v C. Pro polynomy stupně 1 ž 4 lze njít předpis pro řešení, pro stupeň 5 vyšší není znám lgebrický důkz. Dokážeme později jko plikci komplexní nlýzy. Zápisy komplexního čísl. Prvek (, 1) oznčíme jko i. Algebrický. Prvek (x, y) zpisujeme jko x + iy, prvek (x, ) zkráceně jko x. ( ) x y Mticový. Prvek (x, y) zpisujeme jko. Sčítní násobení y x n C odpovídá sčítání násobení mtic. Trigonometrický. Prvek (x, y) zpisujeme jko r(cos + i sin ). Zákldní operátory n C. Pro z = x + iy = r(cos + i sin ) definujeme tyto operátory. Reálná část. Re z = x Imginární část. Im z = x Absolutní hodnot (modul). z = x 2 + y 2 = r Číslo komplexně sdružené. z = x iy Argument rg z =, hlvní hodnot rgumentu volb [ π, π), znčíme Arg. Vlstnosti: Pro kždá z, w C pltí z + w = z + w z z = z 2 zw = z w Re z z, Im z z z = z 1

2 C jko metrický prostor. Metrik n C je definován jko d(z, w) = z w. Metrik n C je izomorfní metrice n R 2. Otevřené, uzvřené, kompktní množiny stejné jko v R 2. Limit posloupnosti, limit funkce, spojitost stejné jko v R 2. Komplexní funkce reálné proměnné Komplexní funkce reálné proměnné je zobrzení f : M C, M R. Rozšíření běžných pojmů: Derivce. Derivcí funkce f v bodě x rozumíme číslo f f(y) f(x) (x) = lim, y x y x pokud tto limit existuje (v C.) Primitivní funkce. Funkce F : (, b) C je primitivní funkce k f n (, b), jestliže F (x) = f(x) pro všechn x (, b). Integrál. Riemnnůvintegrál z funkce f definujeme jko b f(x)dx = b Ref(x)dx + i b Imf(x)dx, pokud ob integrály n prvé strně konvergují. Sndná pozorování: Nechť Nechť f : M C, je komplexní funkce reálné proměnné, R z C. Pk pltí lim x + f(x) = z, právě když lim x + Ref(x) = Rez lim x + Imf(x) = Imz. Podobně pro limity zlev oboustrnné. f je spojitá (zlev, zprv) v bodě, právě když obě funkce Ref Imf jsou spojité (zlev, zprv) v bodě. f (x) existuje, právě když existují vlstní derivce (Ref) (x) (Imf) (x). Pk f (x) = (Ref) (x) + i(imf) (x). Funkce F : (, b) C je primitivní funkce k f n (, b), právě když ReF je primitivní funkcí k Ref n (, b) ImF je primitivní funkcí k Imf n (, b). Vět. Odhd integrálu Nechť < b jsou reálná čísl f : [, b] C je spojitá funkce. Pk pltí b f(x)dx b f(x) dx (b ) mx x [,b] f(x). Komplexní funkce komplexní proměnné Komplexní funkce komplexní proměnné je zobrzení f : M C, M C. Definice. Nechť f je komplexní funkce komplexní proměnné C. Potom derivcí funkce f v bodě rozumíme číslo f f(z) f() () = lim, z z pokud tto limit existuje (v C.) Definice. Nechť Ω C, Ω otevřená. Řekneme, že funkce f je holomorfní n množině Ω, pokud má v kždém bodě Ω derivci. Nechť M C. Řekneme, že funkce f je holomorfní n množině M, pokud existuje Ω C, Ω otevřená, M Ω f je holomorfní n Ω.

3 Definice. Funkce holomorfní n C se nzývá celá funkce. Pro funkci f komplexní proměnné oznčíme f 1 (x, y) = Ref(x + iy) f 2 (x, y) = Imf(x + iy) f = (f 1, f 2 ). Vět. Cuchy-Riemnnovy podmínky Nechť z = + ib, kde, b R. Pk f má v bodě z derivci podle komplexní proměnné, právě když f má v bodě (, b) totální diferenciál pltí f 1 x = f 2 y f 1 y = f 2 x. Poznámky Věty o ritmetice skládání derivcí pltí pro derivci komplexní funkce stejně jko pro derivci reálné funkce. Pro funkci f komplexní proměnné g funkci reálné proměnné x R pltí (f(g(x))) = f (g(x))(g(x)), pokud derivce n prvé strně existují. Pokud má f v bodě z derivci, potom je v z spojitá. Pokud Ω C je otevřená konvexní množin pro kždé z Ω pltí f (z) =, potom f je n Ω konstntní. 2. Elementrní funkce n C Exponenciální funkce Definice. Pro z C, z = + ib,, b R definujme exp(z) = e z = e +ib = e (cos b + i sin b). Funkci exp nzýváme exponenciální funkce. Pozorování. N R splývá s obvyklou definicí e x. Vět. Vlstnosti funkce exp. Funkce exp je definovná n C, je n C holomorfní pltí exp (z) = exp(z) pro z C. Pro z, w C pltí exp(z + w) = exp(z) exp(w). Eulerův vzorec Pro b R pltí exp(ib) = cos b + i sin b. Pro z C pltí exp(z), exp( z) = exp(z), exp(z) = e Rez. Goniometrické hyperbolické funkce Definice. Pro z C definujeme: Funkci sinus: sin z = exp(iz) exp( iz) 2i. Funkci kosinus: cos z = exp(iz)+exp( iz) 2. Funkci hyperbolický sinus: sinh z = exp(z) exp( z) 2. Funkci hyperbolický kosinus: cosh z = exp(z)+exp( z) 2. Pozorování. N R splývá s obvyklou definicí. Vět.Vlstnosti goniometrických hyperbolických funkcí. Funkce sin, cos, sinh, cosh jsou definovány n C jsou n C holomorfní. Pro kždé z C pltí sinh iz = i sin z, cosh iz = cos z, exp(z) = cos z + i sin z. Pro kždé z C pltí sin z = cos z, cos z = sin z, sinh z = cosh z, cosh z = sinh z.

4 Im z 5 5 5 5 2 1 Re z 1 2 Obrázek 1. Re exp(z) 5 5 5 2 1 Im z Re z 1 5 2 Obrázek 2. Im exp(z) Pro kždé z C pltí sin 2 z + cos 2 z = 1, cosh 2 z sinh 2 z = 1. Součtové vzorce pltí stejně jko v R. Vět. Funkce exp zobrzuje C n C \ {}. Komplexní logritmus Reálný logritmus (definovný n (, )) budeme znčit ln. Definice. Pro z C \ {} oznčme log z = {w C : exp(w) = z}.

5 Obrázek 3. Re sin(z) Hlvní hodnotou logritmu z nzveme ω log z tkové, že Imw = [ π, π). Hlvní hodnotu znčíme Logz. Poznámk. Někteří utoři používjí opčnou konvenci pro Log log, nebo jiný intervl, npř [, 2π). Vět.Vlstnosti logritmu. Pro kždé z C \ {} pltí log z = {(Logz) + 2πki : k Z}. Funkce Logz je holomorfní n množině C \ (, ] n této množině pltí Log z = 1/z. Pro kždé z C \ {} pltí rg z = {Imw : w log z} Argz = ImLogz. Obecná komplexní mocnin Definice. Pro z C \ {} C znčíme z = exp(logz) m (z) = {exp(w) : w log z}. Pozorování. Pro z C \ {} pltí z = 1, m (z) = {1}. Definice z n pro n N odpovídá lgebrické definici. Dále z = 1/z. Pro = 1/n, n N má množin m (z) n prvků. 3. Stejnoměrná konvergence Definice. Nechť M je množin nechť (Q, σ) je metrický prostor. Nechť f f n, n N jsou zobrzení definovná n M s hodnotmi v Q. Řekneme, že posloupnost f n konverguje bodově k f n M, pokud pro kždé x M lim n f n (x) = f(x), stenoměrně k f n M, pokud pro kždé ε > existuje n tk, že pro kždé x M pro kždé n n σ(f(x), f n (x)) < ε.

6 Obrázek 4. Im log(z) Pokud M je nvíc metrický prostor, řekneme, že posloupnost f n konverguje k f lokálně stejnoměrně n M, pokud pro kždé x M existuje ε > tk, že posloupnost f n konverguje k f stenoměrně n B(x, ε). Vět.Moore Osgoodov Nechť (P, ϱ) je metrický prostor, x P nechť funkce f n s hodnotmi v R nebo C konvergují stenoměrně k funkci f n B(x, r) \ x pro nějké r >. Nechť pro kždé n N lim x x f n (x) = n. Potom exitují lim x x f(x) lim n n tyto limity jsou si rovny. Vět.Stejnoměrná konvergence spojitost Nechť (P, ϱ) (Q, σ) jsou metrické prostory. Nechť f f n, n N jsou zobrzení definovná n P s hodnotmi v Q. Nechť f n jsou spojitá nechť konvegrují lokálně stejnoměrně k f. Potom f je spojité. Vět.Stejnoměrná konvergence integrál Nechť [, b] je omezený intervl nechť f n je posloupnost spojitých reálných funkcí n (, b). Nechť f n konvegrují stejnoměrně k f. Pk b lim n f n (x)dx = b f(x)dx. Vět.Stejnoměrná konvergence derivcí Nechť (, b) je omezený intervl nechť f n je posloupnost reálných funkcí n (, b). Nechť kždá f n má spojitou vlstní derivci f n n (, b). Nechť existuje x (, b) tkové, že f n (x ) je konvergentní posloupnost. Nechť posloupnost f n je stejnoměrně konvergentní n (, b). Pk existuje reálná funkce f n (, b) tk, že f n stejnoměrně konvergují k f f n stejnoměrně konvergují k f n (, b). Řdu funkcí n=1 f n interpretujeme jko posloupnost částečných součtů, plikujeme n ni tyto pojmy věty. Říkáme tedy, že řd konverguje stejnoměrně, pokud konvergují stejnoměrně její částečné součty, pod.

7 4. Mocninné řdy Definice. Nechť C {c n } n= je posloupnost komplexních čísel. Nekonečnou řdu funkcí tvru (*) c n (z ) n n= nzýváme mocninnou řdou o středu. Poloměrem konvergence této řdy rozumíme R [, + ] definovné vzorcem Množinu R = sup{r [, + ) : c n r n konverguje}. n=1 U(, R) = {z C : z < R}, nzýváme kruhem konvergence této řdy. Vět. Kždá mocninná řd konverguje bsolutně lokálně stejnoměrně n svém kruhu konvergence. Vět. Položme L = lim sup n cn. m n>m Potom poloměr konvergence řdy (*) je R = 1 L pokud L > R = pro L =. Pokud existuje c n+1 K = lim, n c n pk K = L. Pozorovní. Řdy nc n (z ) n 1, n=1 mjí stejný poloměr konvergence jko (*). Pro řdu (*) definujeme funkci n U(, R). f(z) = n= c n (z ) n n= Vět. Funkce f je holomorfní n U(, R) n U(, R). Oznčme f (z) = F (z) = nc n (z ) n 1 n=1 n= n U(, R), potom F (z) = f(z) n U(, R). c n (z )n+1 n + 1 c n (z )n+1 n + 1

8 5. Křivky v C. Definice. Křivkou v C rozumíme spojité zobrzení uzvřeného intervlu do C. Definice. Je-li : [, b] C křivk, pk obrzem křivky rozumíme její obor hodnot, znčíme, počátečním bodem křivky rozumíme (), koncovým bodem bod ψ(b), křivku nzýváme uzvřenou, pokud () = (b), opčnou křivkou k rozumíme křivku : [ b, ] C definovnou vzthem (t) = ( t). Definice. Nechť : [, b] C ψ : [c, d] C jsou křivky pro které pltí (b) = ψ(c), pk jejich spojením ψ rozumíme křivku definovnou n intervlu [, b + d c] vzthy ( ψ)(t) = (t) pro t [, b] ( ψ)(t) = ψ(t b + c) pro t (b, b + d c]. Příkldy křivek Orientovná úsečk (t) = z(1 t) + wt; t [, 1] (z bodu z do bodu w.) Kružnice ψ(t) = z + re it ; z C, r >, t [, 2π] (o středu z poloměru r.) Lomená čár je spojení konečně mnoh orientovných úseček. Definice. Cest je po částech hldká křivk. (Tedy má spojitou derivci vyjm nejvýše konečně mnoh bodů, ve kterých má derivce vlstní jednostrnné limity.) Definice. Délkou cesty : [, b] C rozumíme L() = b (t)dt. 6. Integrál podél cesty Definice. Nechť : [, b] C je cest f je spojitá funkce n. Potom definujeme integrál f podél jko b f(z)dz = f((t)) (t)dt. Vět.Vlstnosti integrálu podél cesty. Nechť : [, b] C je cest f je spojitá funkce n. Nechť h je rostoucí C 1 zobrzení intervlu [c, d] n [, b], pk f(z)dz = f(z)dz. h f(z)dz = f(z)dz. Nechť ψ : [c, d] C je křivk pro kterou pltí (b) = ψ(c), g je spojitá funkce n ψ, pk g(z)dz = g(z)dz + g(z)dz. ψ ψ f(z)dz L() mx f(z). z

9 Definice. Nechť G C je otevřená f : G C je funkce. Funkci F nzveme primitivní funkcí k f n G pokud pro kždé z G. F (z) = f(z) Vět. Nechť G C je otevřená, f : G C je spojitá funkce F je primitivní k f n G. Nechť : [, b] C je cest tková, že G. Potom f(z)dz = F ((b)) F (()). Pokud je uzvřená křivk, pk f(z)dz =. 7. Oblst Definice. Otevřená množin Ω C je souvislá, pokud neexistují dvě neprázdné disjunktní otevřené množiny G 1, G 2 Ω tkové, že G 1 G 2 = Ω. Souvislou otevřenou množinu v C nzýváme oblst. Definice. Otevřená množin Ω C je křivkově souvislá, pokud pro kždé dv body z, w Ω existuje křivk tk, že z, w Ω. Vět.Chrkterizce oblsti. Otevřená množin Ω C je souvislá, právě když je křivkově souvislá. (Dále pltí, že kždé dv body Ω lze spojit lomenou črou.) 8. Primitivní funkce Vět.Primitivní funkce křivkový integrál. Nechť Ω C je oblst f : Ω C je spojitá funkce. Pk následující podmíky jsou ekvivlentní (1) f má v Ω primitivní funkci. (2) Pro kždé dvě cesty : [, b] Ω ψ : [c, d] Ω tkové, že () = ψ(c) (b) = ψ(d) pltí f(z)dz = f(z)dz. (3) Pro kždou uzvřenou cestu : [, b] Ω pltí f(z)dz =. Definice. Nechť je uzvřená cest C \. Pk index bodu vzhledem k cestě je definován jko ind = 1 dz 2πi z. Vět. Jordnov vět pro křivky. (bez důkzu) Nechť křivk : [, b] C je prostá n [, b) uzvřená. Pk existují otevřené souvislé neprázdné disjunktní množiny G 1 G 2 tk, že C \ = G 1 G 2. ψ

1 Obrázek 5. N Möbiově proužku Jordnov vět nepltí Obrázek 6. Kochov křivk

11 9. Cuchyov vět její důsledky Pro tři body z, v, w C definujeme τ z,v,w = [z, v] [v, w] [w, z], ([z, v] je úsečk spojující z v) T z,v,w množinu všech konvexních kombincí z, v, w. (T je trojúhelník, τ je jeho hrnice.) Vět. Cuchy-Gourstov Nechť z, v, w Ω C, kde Ω otevřená, T z,v,w Ω, nechť p Ω nechť f je spojitá n Ω holomorfní n Ω \ {p}. Potom τ z,v,w f(z)dz =. Definice. Množin M C se nzývá hvězdovitá, pokud existuje z M tk, že pro kždé z M je úsečk [z, z] celá obsžená v M. Vět. Cuchyov vět pro hvězdovitou množinu. Nechť Ω C je otevřená hvězdovitá množin nechť p Ω. Nechť f je spojitá n Ω holomorfní n Ω\{p}. Potom f má primitivní funkci n Ω. ( A tedy pro kždou uzvřenou cestu : [, b] Ω pltí f(z)dz =.) Vět. Cuchyův vzorec pro kruh Nechť funkce f je holomorfní n uzvřeném kruhu o středu C poloměru r > nechť (t) = + re it, t [, 2π]. (Kružnice o středu poloměru r.) Potom pro kždé w U(, r) pltí f(w) = 1 2πi f(z) z w dz. Dále má funkce f v bodě w derivce všech řádů pltí f (n) (w) = n! f(z) dz. 2πi (z w) n+1 Pozorování. Funkce holomorfní n množině M C má n této množině derivce všech řádů. Pozorování. Nechť Ω C je otevřená, nechť p Ω nechť f je spojitá n Ω holomorfní n Ω \ {p}. Potom f je holomorfní n Ω. Pozorování. Nechť funkce f je holomorfní n uzvřeném kruhu o středu C poloměru r >, potom f() = 1 2π 2π f( + re it )dt. Vět. Vyjádření mocninnou řdou Nechť funkce f je holomorfní n U(, r), C r >. Pk f je n U(, r) součtem mocninné řdy c n (z ) n, kde pro n N n= c n = f (n) () n! c = f(). Vět. Cuchyův odhd Nechť funkce f je n U(, r), C r > součtem řdy c n (z ) n. n=

12 Pro < ϱ < r oznčíme M ϱ = sup{ f(z) ; z = ϱ}. Potom pro n celé pltí c n M ϱ ϱ n. Vět. Liouvilleov Kždá omezená celá funkce je konstntní. Vět. Zákldní vět lgebry. Kždý polynom stupně lespoň 1 s komplexními koeficienty má lespoň jeden kořen v C. Vět. O kořenech Nechť funkce f je holomorfní n U(, r), C r >. Nechť f() = f není konstntní n U(, r). Pk existuje právě jedno n N právě jedn funkce g holomorfní v U(, r) tk, že pro kždé z U(, r) f(z) = (z ) n g(z) g(). Vět. Weierstrssov Nechť G C je otevřená f n jsou holomorfní funkce, které lokálně stejnoměrně konvergují k funkci f. Pk f je holomorfní v G pro kždé m N funkce f n (m) konvergují k f (m) lokálně stejnoměrně. Vět. Klsifikce singulrit Nechť C r >, funkce f je holomorfní n B(, r) \ {}. Pk nstává právě jedn z následujících možností: (1) Existuje tkové ϱ (, r), že f je omezená n P (, ϱ). Pk existuje vlstní lim z f(z). Dodefinujeme-li funkci f v bodě hodnotou této limity, dostneme funkci holomorfní n U(, r). Pk říkáme, že f má v bodě odstrnitelnou singulritu. (2) lim z f (z) =. Pk existuje právě jedno p N, pro které existuje vlstní nenulová lim z (z ) p f(z). Nvíc existují jednoznčně určená čísl 1,..., p tk, že funkce f(z) 1 (z ) p (z ) p má v bodě odstrnitelnou singulritu. Pk říkáme, že f má v bodě pól násobnosti p. (3) lim z f (z) neexistuje. Pk říkme, že f má v podsttnou singulritu. 1. Reziduová vět Definice. Nechť C {c n } n= je posloupnost komplexních čísel. Nekonečnou řdu funkcí tvru (*) c n (z ) n n= nzýváme Lurentovou řdou o středu. Mocninnou řdu c n (z ) n n= nzýváme regulární částí řdy (*) řdu (**) nzýváme hlvní část řdy (*). 1 n= c n (z ) n

13 Pozorování Nechť C r >, funkce f je holomorfní n B(, r) \ {}. Nechť f má v bodě pól násobnosti p. Pk je n B(, r) \ {} součtem Lurentovy řdy ve tvru (1.1) c n (z ) n. n= p Definice.Reziduum Nechť funkce f je holomorfní n B(, r) \ {}, C < R. Nechť f má v pól násobnosti p nechť c n (z ) n n= p je Lurentovou řdou funkce f n P (,, R). Pk reziduem f v bodě nzveme číslo res f = c 1. Vět.Reziduová vět Nechť Ω C je otevřená množin, M Ω konečná množin : [, b] Ω \ M uzvřená cest. Předpokládejme, že pro Ω pltí Cuchyov vět, tj. g(z)dz = pro kždou funkci g holomorfní n Ω. Pk pro kždou funkci f holomorfní n Ω \ M, která má póly v bodech množiny M, pltí f(z)dz = 2πi ind res f. M Pozorování.Prvidl pro výpočet rezidu Nechť f g jsou holomorfní funkce v nějkém prstencovém okolí bodu C. (1) Má-li funkce f v bodě pól násobnosti p, pk res f = 1 (p 1)! lim z (f(z)(z )p ) (p 1). (2) Jsou-li f, g holomorfní v bodě g má v bodě kořen násobnosti 1, pk f res g = f() g (). (3) Je-li f holomorfní v g má v pól násobnosti 1, pk res fg = f()res g. (4) Je-li f holomorfní v bodě g má v bodě pól násobnosti p, pk p f (k 1) () res fg = (k 1)! b k, k=1 kde b k je k-tý koeficient Lurentovy řdy funkce g v bodě. Lemm.Jordnovo Nechť α < β π f je funkce spojitá n {z C : Argz [α, β], z > R} pro nějké R >, pro kterou pltí lim f(z) =. z ;Argz [α,β] Nechť pro r > t [α, β] je r (t) = re it. Pk pro kždé x > lim e ixz f(z)dz =. r r Lemm.Nechť C f je holomorfní v nějkém prstencovém okolí bodu. Dále nechť α < β, r > r (t) = re it, t [α, β]. Pokud je f holomorfní v, pk lim f(z)dz =, r r

14 pokud má f v pól násobnosti 1, pk lim r r f(z)dz = i(β α)res f. 11. Fourierovy řdy Definice. Nechť komplexní funkce reálné proměnné f má Riemnnův integrál n intervlu [, 2π]. Pro n Z definujeme Řdu c n = 1 2π 2π n= f(x)e inx dx. c n e inx nzývme Fourierov řd funkce f. Čísl c n nzveme koeficienty této řdy. Definice. Nechť reálná funkce f má Riemnnův integrál n intervlu [, 2π]. Pro n N definujeme Řdu n = 1 π b n = 1 π 2π 2π = 1 π f(x) cos(nx)dx, f(x) sin(nx)dx, 2π f(x)dx. 2 + n cos(nx) + b n sin(nx). n=1 nzývme Fourierov řd funkce f v reálném tvru. Pozorování Nechť reálná funkce f má Riemnnův integrál n intervlu [, 2π] n, b n c n jsou jko výše. Pk pro n N pltí c n = c n, n = 2Rec n, b n = 2Imc n. = 2c. Pozorování Nechť funkce f je ve tvru N f(x) = n= N d n e inx, potom pro koeficienty její Fourierovy řdy pltí c n = d n f je součtem své Fourierovy řdy. Pozorování Pokud je funkce součtem Fourierovy řdy, pk je periodická. Můžeme tedy hovořit buď o funkcích n intervlu [, 2π], nebo o periodických funkcích s periodou 2π. Pozor le n spojitost derivci v koncových bodech. Definice. Konvoluce Nechť f, g jsou 2π periodické funkce, které mjí Riemnnův integrál n intervlu [, 2π]. Pk definujeme operci konvoluce f g(x) = 1 2π π π f(t)g(x t)dt.

15 Pozorování Konvoluce je komuttivní distributivni vzhledem ke sčítni. Výsledkem konvoluce je 2π periodická funkce. Poznámk Konvoluce je tké socitivní výsledkem konvoluce je spojitá funkce. (Důkz vynecháme.) Definice. Dirichletovo jádro Pro N N {} definujeme Dirichletovo jádro předpisem N D N (x) = e inx. n= N Pozorování Pro N N x R \ {2kπ}, k Z, D N (x) = sin((n + 1 2 )x). sin(x/2) V bodech 2kπ D N spojitě dodefinujeme 2N + 1 rovnost tké pltí. Vět Nechť 2π periodická funkce f má Riemnnův integrál n intervlu [, 2π] má koeficienty Fourierovy řdy c n. Pk pro x R N n= N c n e inx = (D N f)(x). Definice. Fejérovo jádro Pro N N definujeme Fejérovo jádro předpisem F N (x) = 1 N N 1 n= Pozorování. Pro N N x R \ {2kπ}, k Z, F N (x) = 1 N D n (x). sin 2 ( N 2 x) sin 2 (x/2). V bodech 2kπ F N spojitě dodefinujeme N rovnost tké pltí. Definice. Stejnoměrná spojitost Řekneme, že funkce f je n intervlu I stejnoměrně spojitá, pokud pro kždé ε > existuje δ > tk, že pokud x, y I x y δ, pk f(x) f(y) ε. Vět. Nechť I je uzvřený intervl f je spojitá funkce n I, pk f je stejnoměrně spojitá n I. Nechť f je spojitá periodická funkce n R, pk f je stejnoměrně spojitá n R. Vět. Aproximtivní jednotk Nechť K n jsou 2π periodické spojité funkce tkové, že pro kždé n 1 1 π K n (x)dx = 1, 2π π pro kždé n 1 x R K(x) pro kždé π > δ > ( 1 δ ) π lim K n (x)dx + K n (x)dx =. n 2π π Pk pro kždou spojitou 2π periodickou funkci f konverguje K n f stejnoměrně k f n R. δ

16 Vět. Rekonstrukce funkce z Fourierovy řdy Nechť f je 2π periodická spojitá funkce nechť má koeficienty Fourierovy řdy c n. Pk pro x R N 1 1 n lim c n e inx = lim N N (F N f)(x) = f(x). N n= k= n Tto konvergence je nvíc stejnoměrná. Vět.O jednoznčnosti Fourierovy řdy Nechť f je 2π periodická spojitá funkce nechť koeficienty její Fourierovy řdy jsou všechny nulové. Pk f je nulová funkce. Vět.O konvergenci Fourierovy řdy Nechť spojitá komplexní funkce reálné proměnné f je periodická s periodou 2π, nechť koeficienty její Fourierovy řdy jsou c n. Nechť je řd c n n= bsolutně konvergentní. Pk její Fourierov řd je stejnoměrně konvergentní n R f je jejím součtem. Vět.Fourierov řd hldké funkce Nechť komplexní funkce reálné proměnné f je periodická s periodou 2π, má spojitou druhou derivci n R. Pk její Fourierov řd je stejnoměrně konvergentní n R f je jejím součtem. Vět.O proximci trigonometrickým polynomem Nechť f je 2π periodická spojitá funkce, pk pro kždé δ > existuje konečná posloupnost d n, N n N, tk, že pro kždé x R N f(x) d n e inx δ. n= N Vět.Weierstrssov o proximci polynomem Nechť f je spojitá funkce n uzvřeném intervlu I. Pk pro kždé δ > existuje polynom p tk, že pro kždé x I f(x) p(x) δ. 12. Fourierov řd jko ortonormální systém Definice. Sklární součin funkcí, norm. Pro f, g spojité, 2π periodické funkce n R definujeme sklární součin Dále definujeme L 2 normu f, g = 1 2π f 2 = f, f = 2π ( 1 2π f(x)g(x)dx. 2π f(x) 2 dx) 1/2. Pozorování. Funkce e ikx, k Z jsou po dvou kolmé, jejich normy jsou 1. Tyto funkce tvoří ortonormální systém. Pozorování. Nechť funkce f je ve tvru N f(x) = d n e inx, n= N

17 potom f 2 = N n= N d n 2. Vět. L 2 konvergence Fourierovy řdy. Nechť f je spojitá, 2π periodická funkce n R, potom lim f D N f 2 =. N Vět. Prsevl Nechť f je spojitá, 2π periodická funkce n R c n jsou koeficienty její Fourierovy řdy. Potom f 2 = c n 2. n= Vět. Riemnn-Lebesgueovo lemm Nechť f je spojitá, 2π periodická funkce n R c n jsou koeficienty její Fourierovy řdy. Potom lim c n = = lim c n. n n