1. Komplexní funkce Komplexní čísla, elementární funkce. Definice. Množinou komplexních čísel rozumíme množinu R 2 s následujícími operacemi:

Transkript

1 1. Komplexní funkce 1.1. Komplexní čísl, elementární funkce Definice. Množinou komplexních čísel rozumíme množinu R 2 s následujícími opercemi: sčítání násobení reálným číslem (definovnými stejně jko v R 2 ) násobení definovné vzorcem px, yq p, bq : px by, b yq, px, yq, p, bq P R 2. Množinu komplexních čísel znčíme C, prvek px, yq P C zpisujeme tké jko x iy, pokud x 0 (resp. y 0) pk používáme znčení p0, yq iy (resp. px, 0q x). Máme tedy i 2 1 číslo i nzýváme imginární jednotkou. Poznámk. Množinu R přirozeně ztotožnujeme s podmnožinou C pomocí zobrzení R Q x ÞÑ px, 0q P C. Definice. Nechť z px, yq x iy P C. Pk definujeme Re z x (reálná část čísl z), Im z y (komplexní část čísl z), z x 2 y 2 (bsolutní hodnot čísl z), z x iy (komplexně sdružené číslo k číslu z). Tvrzení 1.1 (Zákldní vlstnosti komplexních čísel). Pro kždé z, w P C pltí: (i) z w z w, z w z w, (ii) z 2 z z, z w z w, z z, (iii) Re z z, Im z z, 1 z z z 2 (pokud z 0) Definice. Funkci exp : C Ñ C definujeme předpisem # exppxqpcospyq i sinpyqq px, yq p0, 0q, exppx iyq : 1 px, yq p0, 0q. Funkci sin : C Ñ C definujeme předpisem sinpzq : exppizq expp izq 2i, z P C. exppizq expp izq Funkci cos : C Ñ C definujeme předpisem cospzq : 2, z P C. Poznámk. Pokud ztotožnujeme R s podmnožinou C, pk exp R, sin R cos R jsou shodné s reálnými funkcemi exp, sin cos, které jsme definovli v rámci předmětu Klkulus 1. Tvrzení 1.2 (Zákldní vlstnosti elementárních funkcí). Ať z, w P C. Pltí: (i) exppz wq exppzq exppwq; (ii) exppzq exppzq, exppzq exppre zq, expp zq 1 e z ; (iii) exppzq exppwq právě když z w je celočíselný násobek 2πi; (iv) exppcq Czt0u; (v) sinpz wq sinpzq cospwq cospzq sinpwq, cospz wq cospzq cospwq sinpzq sinpwq; (vi) cospz πq cospzq, sinpz πq sinpzq; (vii) sin 2 z cos 2 z 1, sinpzq sinpzq, cospzq cospzq; 1

2 (viii) Funkce sin je lichá, funkce cos je sudá, funkce sin cos jsou 2π-periodické; (ix) sinpzq 0 právě když z je celočíselný násobek π, cospzq 0 právě když z P tπ{2 kπ : k P Zu; (x) sinpcq C cospcq. Definice. Pro z P Czt0u definujeme rgument čísl z jko Argpzq : tt P R; z z pcos t i sin tqu. logritmus čísl z jko Logpzq : tw P C; exppwq zu. Hlvní hodnotou rgumentu čísl z je jediné reálné číslo t P Argpzq, pro které pltí t P p π, πs. Hlvní hodnotu rgumentu čísl z znčíme rgpzq. Hlvní hodnotou logritmu čísl z je jediné číslo w P Logpzq, pro které pltí Im w P p π, πs. Hlvní hodnotu logritmu čísl z znčíme logpzq. Poznámk. Pokud ztotožnujeme R s podmnožinou C, pk log p0,8q je shodná s reálnou funkcí log, kterou jsme definovli v rámci předmětu Klkulus 1. Tvrzení 1.3 (Zákldní vlstnosti rgumentu logritmu). Ať z, w P Czt0u. Pltí: (i) Argpzq trgpzq 2kπ; k P Zu tim y; y P Logpzqu; (ii) Logpzq tlogpzq 2kπi; k P Zu tlogp z q it; t P Argpzqu; (iii) logpzq logp z q i rgpzq; $ Im z '& rcsin z, pokud Re z 0, Re z (iv) rgpzq rccos z, pokud Im z 0, '% Re z rccos, pokud Im z 0; z (v) pokud z P Czp 8, 0s, pk rgpzq rgpzq logpzq logpzq; (vi) logpzwq logpzq logpwq pmod 2πiq, logpz{wq logpzq logpwq pmod 2πiq; (vii) expplog zq z, logpexppzqq z pmod 2πiq. Definice. Pro z P Czt0u P C definujeme -tou mocninu čísl z jko M pzq : texppwq; w P Logpzqu. Hlvní hodnotou -té mocniny čísl z rozumíme z : expp logpzqq. Tvrzení 1.4 (Zákldní vlstnosti obecné mocniny). Ať z P Czt0u. Pk: (i) Je li n P Z, pk obshuje množin M n pzq právě jeden prvek, to prvek z n, kde z 0 1; lomon n krát z n z z pro n 0; z n 1 z n pro n 0; (ii) Pro n P Zzt0u je w P M 1{n pzq právě tehdy, když w n z. Pokud je n 1, pk! ) n rgpzq 2kπ rgpzq 2kπ M 1{n pzq z cosp n q i sinp n q ; k 0,..., n Derivce komplexních funkcí Definice. Nechť n, m P N, A R n, P A f : A Ñ R m je funkce. (i) Řekneme, že f má v bodě limitu b vzhledem k množině A, 0 Dδ P Aztu: ρpx, q δ ñ ρpfpxq, bq ε. Limitu f v vzhledem k A znčíme lim xñ, xpa fpxq, přípdně lim xñ fpxq (je-li A R n ). (ii) Řekneme, že f je spojitá v bodě, pokud lim xñ fpxq fpq.. 2

3 Poznámk. Pro z 1, z 2 P C máme ρpz 1, z 2 q z 1 z 2 (tj. Euklidovská vzdálenost zděděná z R 2 odpovídá bsolutní hodnotě v C). Pokud budeme hovořit o otevřené kouli, otevřené/uzvřené množině, vnitřku množiny či o konvergenci v C, máme n mysli odpovídjící pojmy z R 2. Anlogicky tké rozumíme limitě spojitosti zobrzení z R do C, z C do R, z C do C. Tvrzení 1.5 (Spojitost elementárních funkcí). Funkce z ÞÑ z, z ÞÑ Re z, z ÞÑ Im z, z ÞÑ z, exp, sin cos jsou spojité. Funkce rg log jsou spojité n Czp 8, 0s. Definice. (i) Komplexní funkcí reálné proměnné rozumíme zobrzení f : M Ñ C, kde M R. (ii) Pokud f je komplexní funkce reálné proměnné x P R, pk derivcí funkce f v bodě x rozumíme číslo f 1 fpyq fpxq pxq : lim, yñx y x pokud tto limit existuje (v C). (iii) Funkce F : p, bq Ñ C je primitivní funkce k f n p, bq, pokud F 1 pxq fpxq pro všechn x P p, bq. (iv) Pokud f je komplexní funkce reálné proměnné, pk integrál (Riemnnův, Newtonův, Lebesgueův) z funkce f od do b definujeme jko číslo b b b fpxq dx : Re f i pokud ob integrály n prvé strně konvergují. Im f, ³ b Fkt 1.6. Je li p, bq R f : p, bq Ñ C funkce tková, že Re fpxq dx 8 ³ b Im fpxq dx 8, pk b fpxq dx b fpxq dx. Tvrzení 1.7 (Zákldní vlstnosti komplexních funkcí reálné proměnné). Ať f je komplexní funkce reálné proměnné, P R z P C. Pk pltí (i) lim xñ fpxq z, právě když lim xñ Re fpxq Re z lim Podobně pro limity zlev oboustrnné. xñ Im fpxq Im z. (ii) f je spojitá (zlev, zprv) v bodě, právě když obě funkce Re f Im f jsou spojité (zlev, zprv) v bodě. (iii) f 1 pxq existuje, právě když existují vlstní derivce pre fq 1 pxq pim fq 1 pxq. Pk f 1 pxq pre fq 1 pxq ipim fq 1 pxq. (iv) Funkce F : p, bq Ñ C je primitivní funkce k f n p, bq, právě když Re F je primitivní funkce k Re f n p, bq Im F je primitivní funkce k Im f n p, bq Definice. (i) Komplexní funkcí komplexní proměnné rozumíme zobrzení f : M Ñ C, kde M C. (ii) Pokud f je komplexní funkce komplexní proměnné P C, pk derivcí funkce f v bodě rozumíme komplexní číslo f 1 fpzq fpq pq : lim, zñ z pokud tto limit existuje (v C). Poznámk. Pro derivci podle komplexní proměnné pltí věty o derivci součtu, součinu, podílu složené funkce ve stejné podobě jko pro derivci v R. Má-li f v bodě P C derivci podle komplexní proměnné, je v bodě spojitá. Je-li f komplexní funkcí komplexní proměnné, g komplexní funkce reálné proměnné x P R, pk pf gq 1 pxq f 1 pgpxqq g 1 pxq, pokud obě derivce n prvé strně existují. 3

4 Vět 1.8 (Cuchy-Riemnnovy podmínky). Ať f je komplexní funkcí komplexní proměnné. Oznčme f p f 1, f 2 q funkci dvou reálných proměnných s hodnotmi v R 2 odpovídjící ztotožnění C R 2, tj. tkovou že fp ibq f 1 p, bq i f 2 p, bq, p, bq P Dpfq. Nechť z ib, kde, b P R. (i) Pokud f 1 pzq existuje, pk existují obě prciální derivce funkcí f1, f2 Cuchy-Riemnnovy podmínky v bodě p, bq pltí Nvíc, f 1 pzq B f 1 Bx p, bq i B f 2 Bx p, bq. B f 1 Bx p, bq B f 2 By p, bq B f 1 By p, bq B f 2 p, bq. (1.1) Bx (ii) Pokud mjí obě funkce f 1, f 2 v bodě p, bq spojité prciální derivce pltí Cuchy-Riemnnovy podmínky (1.1), pk f 1 pzq existuje. Definice. Ať M C. Řekneme, že funkce f je holomorfní n množině M, pokud existuje otevřená množin G M tková, že f má derivci (podle komplexní proměnné) v kždém bodě množiny G. Funkce holomorfní n C se nzývá celá funkce. Tvrzení 1.9 (Derivce elementárních funkcí). (i) Pokud fpzq 1, z P C pk f 1 pzq 0, z P C. (ii) Pokud n P N fpzq z n, z P C, pk f 1 pzq nz n 1, z P C. (iii) Pro z P C pltí exp 1 pzq exppzq, sin 1 pzq cospzq, cos 1 pzq sinpzq. (iv) Pro z P Czp 8, 0s pltí log 1 pzq 1 z. (v) Pokud P C fpzq z, z P Czt0u, pk f 1 pzq z 1, z P Czp 8, 0s Primitivní funkce křivkový integrál komplexní funkce Definice. Křivkou v C rozumíme spojitou funkci ϕ : r, bs Ñ C, kde ϕ : r, bs Ñ C křivk, pk b jsou reálná čísl. Je li ϕpq je počáteční bod křivky ϕ, ϕpq je koncový bod křivky ϕ; rϕs : tϕptq; t P r, bsu je obrz křivky ϕ; pokud ϕpq ϕpbq, říkáme že křivk ϕ je uzvřená; Pokud A C je množin splňující rϕs A, řekneme že ϕ je křivk v A. opčnou křivkou k ϕ rozumíme křivku. ϕ : r b, s Ñ C definovnou vzorcem. ϕptq : ϕp tq, t P r b, s. je li nvíc ψ : rc, ds Ñ C křivk, pro kterou ψpcq ϕpbq, pk spojením ϕ ψ rozumíme křivku ϕ ψ : r, b d cs Ñ C definovnou vzorcem # ϕptq, t P r, bs pϕ ψqptq : ψpt b cq, t P rb, b d cs; Délkou křivky ϕ rozumíme hodnotu Lpϕq supt ķ j1 ϕpx j 1 q ϕpx j q ; n P N, x 0 x 1... x n bu. Křivku ϕ,r,öptq : re it, t P r0, 2πs, kde P C r 0, nzýváme kldně orientovná kružnice o středu poloměru r. Opčnou křivku nzýváme záporně orientovná kružnice. Křivku ϕptq tpb q, t P r0, 1s, kde, b P C, nzýváme orientovná úsečk r, bs. Cestou v C rozumíme křivku ϕ : r, bs Ñ C, pro kterou existují body p 0 p 1... p n b tkové, že ϕ P C 1 prp i 1, p i sq (tj. pro kždé i 1,..., n derivce funkce ϕ je spojitá funkce n pp i 1, p i q má v krjních bodech vlstní jednostrnné limity). 4

5 Poznámk. Pozorný student si může vzpomenout n pojem křivky její délky probírný v rámci předmětu Klkulus 2. Je li ϕ : r, bs Ñ C cest, pk Lpϕq ³ b ϕ1 ptq dt. Definice. Je li ϕ : r, bs Ñ C cest f : rϕs Ñ C spojitá funkce, pk definujeme integrál funkce f podél cesty ϕ jko b f fpzq dz : fpϕptqqϕ 1 ptq dt, ϕ ϕ kde integrál n prvé strně je Lebesgueův. Tvrzení 1.10 (Zákldní vlstnosti křivkového integrálu). Ať ϕ : r, bs Ñ C je cest f : rϕs Ñ C je spojitá funkce. Pk (i) ³. ϕ f ³ ϕ f; (ii) pokud je ψ ³ : rc, ds ³ Ñ C cest splňující ψpcq ϕpbq f : rϕs Y rψs Ñ C spojitá funkce, pk ³ϕ ψ f ϕ f ψ f; (iii) ³ f Lpϕq mxt fpzq ; z P rϕsu. ϕ Definice. Nechť G C je otevřená f : G Ñ C je funkce. Funkce F se nzývá primitivní k funkci f n G, jestliže pro kždé z P G pltí F 1 pzq fpzq. Vět 1.11 (První zákldní vět klkulu v komplexním přípdě). Nechť G C je otevřená, f : G Ñ C je funkce F je primitivní k funkci f n G. Pk pro kždou cestu ϕ : r, bs Ñ G pltí Speciálně, je li ϕ uzvřená cest, pk ³ ϕ f 0. ϕ f F pϕpbqq F pϕpqq. Definice. Řekneme, že neprázdná množin H A R n je souvislá, pokud není sjednocením dvou disjunktních neprázdných otevřených množin. Řekneme, že A je oblst, pokud A je otevřená souvislá. Anlogicky definujeme souvislé podmnožiny oblsti v C. Tvrzení 1.12 (Chrkterizce oblstí v C). Ať G C je otevřená množin. Pk následující podmínky jsou ekvivlentní: (i) G je souvislá; (ii) pro kždé dv body z, w P G existuje spojité zobrzení ϕ : r0, 1s Ñ G, že ϕp0q z ϕp1q w; (iii) kždé dv body v G lze spojit lomenou čárou (tj. pro kždé dv body z, w P G existuje tková konečná posloupnost bodů z x 0, x 1,..., x n w, že pro kždé i 1,..., n leží úsečk spojující body x i 1 x i celá v G). Důsledek Nechť G C je oblst f : G Ñ C funkce. Je li F primitivní k funkci f n G, je kždá jiná primitivní funkce k f n G tvru F k, kde k je konstnt. Má li f n G nulovou derivci, pk je n této množině konstntní. Vět 1.14 (Druhá zákldní vět klkulu v komplexním přípdě). Nechť G C je oblst f : G Ñ C je spojitá funkce. Pk následující podmínky jsou ekvivlentní: (i) f má v G primitivní funkci; (ii) křivkový integrál funkce f nezávisí n cestě v G (tj. kdykoliv ϕ ψ jsou cesty s hodnotmi v G se stejným počátečním koncovým bodem, pk ³ ϕ f ³ ψ f); (iii) pro kždou uzvřenou cestu ϕ v G je ³ ϕ f 0.; (iv) pro kždou uzvřenou lomenou čáru ϕ v G je ³ ϕ f 0. Nvíc, pokud f má v G primitivní funkci, pk primitivní funkci lze popst následujícím způsobem: zvolme libovolný bod z 0 P G, pro z P G položme F pzq : ³ ϕ z f, kde ϕ z je libovolná křivk v G s počátečním bodem z 0 koncovým bodem z. Tkto definovná funkce F je primitivní funkcí k funkci f n G. 5

6 1.4. Cuchyov vět její první důsledky Definice. Nechť G C je otevřená množin ϕ 0 : r, bs Ñ G, ϕ 1 : r, bs Ñ G jsou dvě uzvřené křivky v G. Řekneme, že ϕ 0 ϕ 1 jsou homotopické jkožto uzvřené křivky v G, pokud existuje spojité zobrzení γ : r0, 1s r, bs Ñ G splňující náseldující dvě podmínky γp0, tq ϕ 0 ptq γp1, tq ϕ 1 ptq pro t P r, bs; γps, q γps, bq pro s P r0, 1s. Vět 1.15 (Cuchyov vět). Nechť G C je otevřená množin f : G Ñ C je holomorfní funkce. Pokud ϕ 0 ϕ 1 jsou dvě uzvřené cesty v G, které jsou homotopické jkožto uzvřené křivky v G, pk fpzq dz fpzq dz. ϕ 0 ϕ 1 Vět 1.16 (Cuchyův vzorec pro kruh). Nechť f je holomorfní n uzvřeném kruhu o středu P C poloměru r 0 (tj. n množině Bp, rq : tz P C; z ru). Pk pro kždé z P Bp, rq pltí fpzq 1 2πi ϕ,r,ö fpwq w z dw. Důsledek 1.17 (Vlstnost průměru pro holomorfní funkce). Nechť f je holomorfní n Bp, rq (kde P C r 0). Pk pltí fpq 1 2π fp re it q dt. 2π 0 Definice. Nechť G C je otevřená množin. Řekneme, že uzvřená křivk ϕ : r, bs Ñ G v G je stžitelná v G do bodu, pokud existuje tkový bod z 0 P G, že ϕ z 0 jsou homotopické jkožto uzvřené křivky v G (kde bod z 0 chápeme jko uzvřenou křivku definovnou předpisem r, bs Q t ÞÑ z 0 ). Pokud je G souvislá kždá uzvřená křivk v G je stžitelná v G do bodu, pk říkáme, že G je jednoduše souvislá. Definice. Množin M C se nzývá hvězdovitá, pokud existuje tkové P M, že pro kždé b P M je úsečk spojující body, b celá obsžen v M. Tvrzení Otevřená hvězdovitá množin je jednoduše souvislá. Vět 1.19 (Cuchyov vět v jednoduše souvislé oblsti). Nechť f je holomorfní n jednoduše souvislé oblsti G C. Pk pro kždou uzvřenou cestu ϕ v G je ³ ϕ f Vyjádření holomorfní funkce mocninnou řdou dlší důsledky Cuchyovy věty V C máme nlogické definice výsledky o řdách, posloupnostech řdách funkcí o mocninných řdách jko v R. V následujícím budeme potřebovt zejmén tyto. Definice. Nechť E je množin, f : E Ñ C je funkce pro n P N je f n : E Ñ C funkce. Řekneme, že posloupnost tf n u 8 n1 konverguje stejnoměrně n E k funkci f, pokud Znčíme f n Ñ 0 Dk P P k : f n pxq fpxq ε. Tvrzení Nechť tf n u 8 n1 je posloupnost komplexních spojitých integrovtelných funkcí definovných n neprázdném omezeném intervlu p, bq R, která stejnoměrně konverguje k funkci f n fpxq dx. p, bq. Pk lim nñ8 ³ b f npxq dx ³ b Definice. Nechť t n u je posloupnost komplexních čísel. Pro m P N položme s m 1 2 m. Číslo 8 s m nzýváme m-tým částečným součtem řdy n1 n, přičemž číslo n je n-tým členem 8 řdy n1 8 n. Součet nekonečné řdy n1 n je limit posloupnosti ts m u, pokud tto limit 8 existuje. Součet řdy budeme znčit symbolem n1 8 n. Řekneme, že řd n1 n je konvergentní, 8 existuje-li její součet. Řekneme, že řd n1 8 n je bsolutně konvergentní, jestliže je řd n1 n konvergentní. 6

7 Tvrzení Je-li řd 8 n1 n bsolutně konvergentní, pk je i konvergentní. Fkt Pokud je q 1, pk 8 n0 qn 1 1 q. Definice. Mocninnou řdou o středu P C rozumíme řdu kde n P C pro kždé n P N Y t0u z P C. 8 n0 n pz q n, Vět 1.23 (o poloměru konvergence mocninné řdy). Nechť 8 n0 npz q n je mocninná řd. Pk existuje právě jeden nezáporný prvek ϱ P R Y t8u tkový, že pro kždé z P C, z ϱ, je uvedená řd bsolutně konvergentní, pro kždé z P C, z ϱ, je uvedená řd divergentní. Prvek ϱ splňuje ϱ 1 lim sup nñ8 n n, kde výrzem 1 0 rozumíme 8 výrzem 8 1 rozumíme 0. Prvek ϱ nzýváme poloměrem konvergence uvedené řdy. 8 n0 npz q n. Potom poloměr konvergence řd 8 n1 n npz q n 1 8 n0 Vět 1.24 (derivce integrce mocninné řdy). Nechť ϱ je poloměr konvergence mocninné řdy n n 1 pz qn 1 je 8 tké roven ϱ. Pro z P C splňující z ϱ oznčme fpzq n0 npz q n. Potom (i) funkce f má v kždém tkovém bodě derivci pltí f 1 pzq 8 n1 n npz q n 1 ; 8 (ii) n n0 n 1 pz qn 1 je primitivní funkce k f n Bp, ϱq. Speciálně, f má derivce všech řádů n Bp, ρq dostáváme následující vzorec pro výpočet n-té derivce funkce f v bodě : f pnq pq n! n, n 0. Dále již následují výsledky, které jsou specifické pro C nemjí svou nlogii v R. Vět 1.25 (Holomorfní funkce je součtem mocninné řdy). Nechť f je holomorfní funkce n Bp, rq, kde P C r 0. Pk existují jednoznčně určená čísl n, n P N Y t0u tková, že fpzq 8 n0 n pz q n, z P Bp, rq. Pokud je funkce f holomorfní dokonce n Bp, rq, pk pro koeficienty této řdy pltí n f pnq pq n! 1 2πi ϕ,r,ö fpwq pw q n 1 dw, n P N Y t0u. Důsledek Je li f holomorfní n množině M C, je i f 1 holomorfní n M. Důsledek Je li G jednoduše souvislá oblst, pk funkce f : G Ñ C má v G primitivní funkci, právě když je holomorfní n G. Vět 1.28 (Cuchyovy odhdy). Nechť f je holomorfní n Bp, rq (kde P C r 0). Pk pro n P N máme f pnq pq n! mxt fpzq ; z ru. rn Vět 1.29 (Liouvilleov vět). Omezená celá funkce je konstntní. Vět 1.30 (Zákldní vět lgebry). Kždý polynom stupně lespoň 1 s komplexními koeficienty má lespoň jeden kořen v C. Vět 1.31 (Rozkld n kořenové činitele). Nechť P pzq n z n... 0 je polynom s komplexními koeficienty, pričemž n 1 n 0. Pk existují komplexní čísl z 1,..., z n tková, že P pzq n pz z n q... pz z 2 qpz z 1 q, z P C. 7

8 Vět 1.32 (o kořenech holomorfní funkce). Nechť f je holomorfní funkce n Bp, rq, kde P C r 0. Předpokládejme, že fpq 0 není konstntní nulová funkce n Bp, rq. Pk existuje právě jedno p P N funkce g holomorfní n Bp, rq splňující gpq 0 fpzq pz q p gpzq, z P Bp, rq. Definice. Je li f, p jko ve Větě 1.32, pk řekneme že bod je p-násobný kořen funkce f. Tvrzení Nechť f je holomorfní funkce n Bp, rq, kde P C r 0. Pk je p-násobný kořen funkce f, právě když pro kždé n P t0,..., p 1u máme f pnq pq 0, le f ppq pq 0. Definice. Nechť ϕ je uzvřená cest P Czrϕs. Pk index bodu vzhledem ke křivce ϕ je definován vzorcem ind ϕ : 1 1 2πi z dz. Definice. Nechť M C. Množinu A M nzveme komponentou množiny M, je-li mximální souvislou podmnožinou M. Lemm Nechť ϕ uzvřená cest. Položme ιpq : ind ϕ, P Czrϕs. Funkce ι nbývá jen celočíselných hodnot Funkce ι je konstntní n kždé komponentě Czrϕs. Funkce ι je rovn nule n neomezené komponentě Czrϕs. Poznámk. Pltí Jordnov vět: Je li ϕ : r, bs Ñ C uzvřená křivk tková, že ϕ je prostá n r, bq, pk existuje σ P t 1, 1u tkové, že komplexní rovin C je rozdělen n obrz křivky rϕs, vnitřní oblst tz P C; ind ϕ z σu vnější oblst tz P C; ind ϕ z 0u. Nvíc, vnitřní oblst je omezená oblst, vnější oblst je neomezená oblst. Konečně, pokud otevřená množin U obshuje rϕs její vnitřní oblst, pk ϕ je stžitelná v U do bodu. Pltí propichovcí vět: Nechť ϕ je uzvřená cest,, b P C tková, že b 0, úsečk spojující body, b protíná rϕs v jediném bodě z 0, ten je růuzný od, b, existuje jediné t 0, pro které ϕpt 0 q z 0, Im ϕ 1 pt 0 q 0. Pk ϕ ind ϕ ind ϕ b sgn Im ϕ 1 pt 0 q. Vět 1.35 (Cuchyův vzorec). Nechť G C je otevřená množin, f : G Ñ C holomorfní funkce ϕ uzvřená cest v G stžitelná v G do bodu. Pk fpzq ind ϕ z 1 2πi ϕ fpwq w z dw, z P Gzrϕs. Definice. Nechť M C je množin z 0 P C. Říkáme, že bod z 0 je hromdným bodem množiny M, pokud pro kždé r 0 obshuje otevřená koule Bpz 0, rq nějký bod množiny M různý od z 0. Vět 1.36 (o jednoznčnosti). Nechť G C je oblst funkce f, g jsou holomorfní n G. Pokud množin tz P G; fpzq gpzqu má hromdný bod v G, pk f g n G Důsledek Jsou li dvě celé funkce f, g shodné n R, pk f g n C. Vět 1.38 (Princip mxim pro holomorfní funkce). Nechť G C je omezená oblst f : G Ñ C je spojitá n G holomorfní n G. Pk f nbývá svého mxim n množině GzG. Nvíc, pokud je f nekonstntní, pk pro w P G je fpwq mxt fpzq ; z P Gu. Vět 1.39 (Morerov vět). Nechť G C ³ je otevřená f : G Ñ C je spojitá funkce. Pokud pro kždou uzvřenou lomenou čáru ϕ v G je f 0, pk f je holomorfní n G. ϕ Vět 1.40 (Weierstrssov vět). Nechť G C je otevřená, funkce f n jsou holomorfní v G konvergují stejnoměrně n G k funkci f. Pk f je holomorfní v G f 1 pzq lim nñ8 f 1 npzq. 8

9 1.6. Lurentovy řdy izolovné singulrity Definice. Lurentovou řdou o středu P C rozumíme symbol 8 n 8 n pz q n, (*) kde n P C pro kždé n P Z. Regulární částí řdy (*) rozumíme mocninnou řdu 8 n0 npz q n. Hlvní částí řdy (*) rozumíme symbol 1 n 8 n pz q n. (**) Říkáme, že hlvní část konverguje (v bodě z, bsolutně, stejnoměrně n množině M), pokud příslušnou vlstnost má řd 8 n1 npz q n. Součet této řdy nzveme součtem hlvní části řdy (*) znčíme jej rovněž (**). Říkáme, že řd (*) konverguje (v bodě z, bsolutně, stejnoměrně n množině M), pokud příslušnou vlstnost má hlvní i regulární část. Součtem řdy (*) rozumíme součet součtu regulární části součtu hlvní části, tj n pz q n n pz q n n pz q n. Definice. Nechť 0 r poloměru R je množin n 8 n0 n 8 R 8 P C. Pk mezikruží o středu, vnitřním poloměru r vnějším P p, r, Rq : tz P C; r z Ru. Tvrzení Mějme Lurntovu řdu (*). Pk existují r, R P r0, 8s, pro která pltí Regulární část řdy (*) bsolutně konverguje pro z P C splňující z z P C splňující z R; R diverguje pro Hlvní část řdy (*) bsolutně konverguje pro z P C splňující z r diverguje pro z P C splňující z r. Je li r R, pk řd (*) bsolutně konverguje n mezikruží P p, r, Rq. Nvíc, součet řdy je n tomto mezikruží holomorfní derivce součtu Lurentovy řdy se získá derivcí řdy člen po členu. Toto mezikruží nzýváme mezikruží konvergence řdy (*). Vět Nechť f je holomorfní funkce v mezikruží P p, r, Rq, kde P C r R. Pk f 8 je v P p, r, Rq součtem Lurentovy řdy n 8 npz q n, která n P p, r, Rq konverguje. Její koeficienty jsou určeny jednoznčně pro kždé ρ P pr, Rq pltí n 1 2πi ϕ,ρ,ö fpwq dw, n P Z. pw qn 1 Definice. Nechť f je holomorfní funkce v mezikruží P p, 0, Rq, kde P C 0 8 n 8 npz q n je Lurentov řd funkce f v P p, 0, Rq. Pk řekneme, že f má v bodě odstrnitelnou singulritu, pokud n 0 pro kždé n 0; f má v bodě pól násobnosti p, pokud p 0 n 0 pro kždé n f má v bodě podsttnou singulritu, pokud n 0 pro nekonečně mnoho n 0. Definice. Oznčme C C Y t8u. Pro ε 0 položme Bp8, εq : t8u Y tz P C; z 1 ε u. p; R. Nechť Nechť f je funkce definovná n podmnožině C s hodnotmi v C. Řekneme, že funkce f má v bodě P C limitu A P C, pokud pro kždé ε 0 existuje tkové δ 0, že pro kždé z P Bp, δqztu pltí fpzq P BpA, εq. N C rozšíříme operce P C : z 8 8 z z 8 8 z P Czt0u : z 8 8 z z 0 P C : 8 z 8 z 8 0. Nedefinovné jsou výrzy 8 8, 8 8, 0 8, 8 0, 8 8,

10 Poznámk. Operce jsou rozšířeny tk, by pltil vět o ritmetice limit s dodtkem má li prvá strn smysl. Definice. Nechť f je funkce definovná n Bp8, Rq pro nějké R 0. Řekneme, že f je holomorfní v bodě 8 (resp. f má v bodě 8 kořen násobnosti p), pokud má tuto vlstnost funkce gpzq fp 1 z q v bodě 0. Je li f holomorfní n Bp8, Rq pro nějké R 0, pk říkáme že f má v bodě 8 odstrnitelnou singulritu (pól násobnosti p, podsttnou singulritu), pokud má tuto vlstnost funkce gpzq fp 1 z q v bodě 0. Vět 1.43 (Chrkterizce singulrit). Nechť f je holomorfní funkce v P p, 0, Rq, kde P C 0 R. Pk pltí: (i) f má v bodě odstrnitelnou singulritu, právě když lim zñ fpzq P C. Dodefinujeme li funkci f v bodě hodnotou této limity, dostneme funkci holomorfní v Bp, Rq. (ii) f má v bodě pól násobnosti p, právě když lim zñ pz q p fpzq P Czt0u. Je li 8 n 8 npz q n Lurentov řd funkce f v P p, 0, Rq f má v bodě pól násobnosti p, pk funkce Bp, Rq Q z ÞÑ fpzq p n1 n pz q n má v bodě odstrnitelnou singulritu. Nvíc, lim zñ fpzq 8, právě když existuje p tkové, že f má v bodě pól násobnosti p. (iii) f má v bodě podsttnou singulritu, právě když lim zñ fpzq neexistuje. Vět 1.44 (Velká Pickrdov vět). Nechť f je holomorfní funkce v P p, 0, Rq, kde P C 0 R. Má li f v bodě podsttnou singulritu, pk pro kždé r R nbývá f v P p, 0, rq všech hodnot z C s výjimkou nejvýše jedné. Vět 1.45 (L Hospitlovo prvidlo). Nechť funkce f, g jsou holomorfní nenulové v Bp, Rq, kde P C R 0. Pokud fpq gpq 0, pk existují obě následující limity pltí rovnost 1.7. Rezidu fpzq lim zñ gpzq lim f 1 pzq zñ g 1 pzq. Definice. Nechť f je holomorfní funkce v P p, 0, Rq, kde P C 0 R. Nechť 8 n 8 npz q n je Lurentov řd funkce f v P p, 0, Rq. Pk reziduem funkce f v bodě rozumíme číslo res f : 1. Vět 1.46 (Reziduová vět). Nechť G C je jednoduše souvislá oblst f je komplexní funkce holomorfní n GzM, kde M je konečná množin. Pk pro kždou uzvřenou cestu ϕ : r, bs Ñ GzM pltí f 2πi res f ind ϕ. ϕ PM Tvrzení 1.47 (Některé metody výpočtu reziduí). Nechť f, g jsou funkce holomorfní v P p, 0, Rq, kde P C R 0. (i) Pro kždé ρ R pltí res f 1 fpzq dz. 2πi ϕ,ρ,ö (ii) Má li funkce f v bodě pól násobnosti p, pk res f 1 pp 1q! lim zñ pfpzqpz qp q pp 1q. (iii) Jsou li f, g holomorfní v bodě g má v bodě kořen násobnosti 1 (tj. gpq 0 g 1 pq 0), pk f res g fpq g 1 pq. 10

11 (iv) Je li f holomorfní v bodě g má v bodě pól násobnosti 1, pk res fg fpq res g. (v) Je li f holomorfní v bodě g má v bodě pól násobnosti p, pk res fg p k1 f pk 1q pq pk 1q! b k, kde b 1,..., b p jsou koeficienty Lurentovy řdy funkce g v P p, 0, Rq. Lemm 1.48 (Jordnovo Lemm). Nechť 0 α rα, βs, z Ru pro nějké R 0, pro kterou pltí β π f je funkce spojitá n tz P C; rg z P lim fpzq 0. zñ8,rg zprα,βs Pro r R nechť ϕ r je křivk definovná vzthem ϕ r ptq re it, t P rα, βs. Pk pro kždé x 0 lim rñ8 ϕ r fpzqe ixz dz 0. Lemm Nechť P C f je holomorfní v nějkém prstencovém okolí bodu. Dále nechť α β ϕ r ptq re it, t P rα, βs. Pk pltí: (i) Pokud f je holomorfní v bodě, pk lim rñ0 ³ ϕ r f 0. (ii) Pokud f má v bodě pól násobnosti 1, pk lim rñ0 ϕ r f ipβ αq res f Funkce zdné pomocí komplexních integrálů Vět 1.50 (o derivci integrálu podle komplexní proměnné). Nechť I R je intervl G C je oblst. Nechť funkce F : I G Ñ C splňuje následující podmínky: () Pro skoro všechn t P I má funkce G Q z ÞÑ F pt, zq spojitou derivci podle komplexní proměnné n G. (b) Pro všechn z P G je funkce I Q t ÞÑ F pt, zq měřitelná. (c) Existuje z 0 P G, pro které je funkce t ÞÑ F pt, z 0 q integrovtelná n I. (d) Pro kždé z P G existuje r 0 integrovtelná funkce h n I, pro kterou pltí BF Bz pt, wq hptq pro všechn w P Bpz, rq pro skoro všechn t P I. Potom funkce je holomorfní n G pro z P G pltí gpzq I g 1 pzq F pt, zq dt, I z P G BF pt, zq dt. Bz Definice. Funkci Gmm definujeme n množině DpΓq : tz P C; Re z 0u předpisem Γpzq : 8 Tvrzení 1.51 (Vlstnosti funkce Gmm). 0 e t t z 1 dt, z P DpΓq. (i) Γpzq P C, z P DpΓq. (ii) Funkce Γ je holomorfní n DpΓq pro kždé z P DpΓq pltí Γ 1 pzq ³ 8 0 e t t z 1 log t dt. (iii) Γpz 1q zγpzq, z P DpΓq. (iv) Funkci Γ je možné jednoznčně rozšířit n funkci definovnou n C, která pro kždé z P C splňuje rovnici Γpz 1q zγpzq která je holomorfní n množině Czt0, 1, 2, 3,...u. (Toto rozšíření se tké znčí Γ.) 11

12 (v) Funkce Γ má v kždém z bodů 0, 1, 2, 3,... pól násobnosti 1. Nvíc, res 0 Γ 1 res n Γ p 1q n n! pro n 1, 2,.... (vi) ΓpzqΓp1 zq π sinpπzq, z P CzZ. (vii) Pro všechn z P C máme Γpzq 0. Definice. Eulerovu zet funkci definujeme n množině Dpζ e q tz P C; Re z 1u předpisem ζ e pzq : 8 n1 1 n z. Tvrzení 1.52 (Vlstnosti funkce ζ). (i) ζ e pzq P C, z P Dpζ e q. (ii) Funkce ζ e je holomorfní n Dpζ e q pro kždé z P Dpζ e q pltí ζepzq 1 8 log n n1 n. z (iii) Funkci ζ je možné jednoznčně rozšířit n funkci ζ definovnou n C, která pro kždé z P Czt1, 2, 3,...u splňuje rovnici ζpzq 2 z π z 1 sin zπ 2 Γp1 zqζp1 zq která je holomorfní n množině Czt1u, v bodě 1 má pól násobnosti 1 res 1 ζ 1. Definice. Funkci ζ z předchozího tvrzení nzýváme Riemnnov zet funkce. RIEMANNOVA HYPOTÉZA: Pro kždé z P C, Re z P p0, 1q pltí, že pokud ζpzq 0 pk Re z 1{2. 12

13 2. Lplceov Fourierov trnsformce 2.1. Lplceov trnsformce Definice. Nechť f je reálná (nebo komplexní) funkce definovná n intervlu p0, 8q. Lplceov trnsformce funkce f je funkce Lpf q definovná předpisem Lpfqpsq : 8 0 fptqe st dt, kde s P C jsou čísl, pro která je integrál výše konvergentní. Poznámk. Lplceovu trnsformci jsme definovli i pro komplexní funkce f komplexní hodnoty s, pro nše účely le budeme spíše uvžovt reálné funkce reálné hodnoty s. Definice. Řekneme, že funkce f : p0, 8q Ñ R je po částech spojitá n intervlu r0, 8q, pokud existuje vlstní fp0 q : lim tñ0 fptq pro kždé n P N existuje konečně mnoho bodů b 1,..., b k tkových, že funkce f je spojitá v p0, nqztb 1,..., b k u v bodech b 1,..., b k má funkce f vlstní jednostrnné limity. exponenciálního řádu c P R, pokud existují konstnty K, t 0 0 tkové, že fptq Ke ct pro kždé t t 0. Tvrzení 2.1. Nechť funkce f : p0, 8q Ñ R je po částech spojitá n r0, 8q exponenciálního řádu c P R. Pk Lpfqpsq existuje pro s c lim sñ8 Lpfqpsq 0. Tvrzení 2.2. Nechť s 0, f je reálná (nebo komplexní) funkce nechť existuje Lpfqpsq. Pk (i) pro kždé P C máme Lpfqpsq Lpfqpsq, (ii) kdykoliv g je reálná (nebo komplexní) funkce, pro kterou existuje Lpgqpsq, pk Lpf Lpf qpsq Lpgqpsq. gqpsq Vět 2.3 (Lerchov vět). Nechť f, g : r0, 8q Ñ R jsou spojité funkce, pro které existuje s 0 P R, že Lpfqpsq Lpgqpsq pro s s 0. Pk f g. Tvrzení 2.4 (Lplceov trnsformce posunutí). Nechť f : p0, 8q Ñ R je funkce. Oznčme F : Lpfq. (i) Pokud F psq existuje pro kždé s 0, pk F ps q Lpe t fptqqpsq pro s. (ii) Lpχ r,8q ptq fpt qqpsq e s F psq kdykoliv je s 0 tkové, že F psq je definováno 0. Tvrzení 2.5 (Derivce Lplceovy trnsformce). Nechť funkce f : p0, 8q Ñ R je po částech spojitá n intervlu r0, 8q exponenciálního řádu c P R. Oznčme F Lpfq. Pk F pnq psq Lpp 1q n t n fptqqpsq, n P N, s c. Tvrzení 2.6 (Lplceov trnsformce derivce). Nechť funkce f : p0, 8q Ñ R je po spojitá n p0, 8q exponenciálního řádu c P R nechť její derivce je po částech spojitá n intervlu r0, 8q. Pk Lpf 1 qpsq slpfqpsq lim fptq, s c. tñ0 Důsledek 2.7. Nechť je dán funkce f : p0, 8q Ñ R tková, že fptq,..., f pn 1q ptq jsou spojité funkce n p0, 8q exponenciálního řádu c P R nechť f pnq ptq je po částech spojitá n intervlu r0, 8q. Pk Lpf pnq qpsq s n Lpfqpsq s n 1 fp0 q s n 2 f 1 p0 q... f pn 1q p0 q, s c. Poznámk. Pokud derivce funkce f : r0, 8q Ñ R splňuje, že je spojitá n r0, 8q exponenciálního řádu c P R, pk to smé pltí i pro funkci f. 13

14 Tvrzení 2.8 (Integrce Lplceovy trnsformce). Nechť funkce f : p0, 8q Ñ R je po částech spojitá n intervlu r0, 8q, exponenciálního řádu c P R nechť existuje vlstní lim fptq tñ0 t. Oznčme F Lpfq. Pk 8 F pxq dx L fptq psq, s c. t s Tvrzení 2.9 (Lplceov trnsformce integrálu). Nechť funkce f : p0, 8q Ñ R je po částech spojitá n intervlu r0, 8q exponenciálního řádu c 0. Pk Lp t Lplceov trnsformce - tbulk f ptq Lpf qpsq 1 1 s, s 0 t n n! s, s 0?? n 1 t π 2s? s, s 0 1? π t s, s 0 e t p P Rq 1 s, s t n e t p P Rq n! ps q, s n 1 cosptq p P Rq s s 2, s 0 2 sinptq p P Rq s 2, s 0 2 t cosptq p P Rq s 2 2 ps 2 2 q, s 0 2 t sinptq p P Rq 2s ps 2 2 q, s 0 2 e t sinpbtq p, b P Rq b ps q 2 b, s 2 e t cospbtq p, b P Rq s ps q 2 b, s 2 χ r,8q ptq p 0q e s s, s 0 0 fpxq dxqpsq 1 Lpfqpsq, s c. s 2.2. Řešení diferenciálních rovnic pomocí Lplceovy trnsformce Bylo ukázáno n konkrétních příkldech. 14

15 2.3. Fourierov trnsformce ³ Definice. Nechť f P L 1 prq (tj. f : R Ñ C je funkce splňujcí fpxq dx R trnsformce funkce f je funkce f p definovná předpisem pfptq :? 1 fpxqe itx dx, t P R. 2π R 8). Fourierov Inverzní Fourierov trnsformce funkce f je funkce f q definovná předpisem qfptq :? 1 fpxqe itx dx, t P R. 2π R Poznámk. Někdy tké místo ˆf používáme znčení Fpfq místo q f používáme někdy Fpfq. Tvrzení Nechť f P L 1 prq. Pk ˆf je omezená spojitá funkce lim pfpxq lim qfpxq 0. xñ 8 xñ 8 Tvrzení 2.11 (zákldní vlstnosti Fourierovy trnsformce). Nechť f, g P L 1 prq, y P R λ 0. Pk pltí: (i) ³ R fpxq pgpxq dx ³ R p fpxq gpxq dx. (ii) Fpx ÞÑ fpx yqqptq e iyt p fptq pro t P R. (iii) p fpt yq Fpx ÞÑ fpxq e iyx qptq pro t P R. (iv) Fpx ÞÑ fp x λ qqptq λ p fpλtq pro t P R. (v) q fptq p fp tq pro t P R. Vět 2.12 (Fourierov trnsformce derivce). Nechť f P L 1 prq. (i) Pokud má funkce f spojitou derivci f 1 P L 1 prq, pk ypf 1 qptq itp fptq, t P R. (ii) Pokud funkce gpxq : xfpxq splňuje g P L 1 prq, pk p f má spojitou první derivci pltí pp f q 1 ptq ipgptq, t P R. Tvrzení Nechť Φpxq e x2 {2, x P R. Pk p Φ Φ. Vět 2.14 (o inverzním vzorci). Nechť f P L 1 prq p f P L 1 prq. Pk pro skoro všechn x P R pltí pqfpxq q p fpxq fpxq fpxq p fp xq. Definice. Nechť f, g : R Ñ C jsou měřitelné funkce. Jejich konvolucí f g rozumíme funkci definovnou předpisem f gpxq : pro t x P R, pro která integrál konverguje. R fpx tqgptq dt Tvrzení 2.15 (zákldní vlstnosti konvoluce). Nechť f, g P L 1 prq. Pk f g je skoro všude definovná skoro všude konečná. Nvíc f g P L 1 prq pf gqpxq pg fqpxq pro skoro všechn x P R. Tvrzení 2.16 (konvoluce Fourierov trnsformce). Nechť f, g P L 1 prq. Pk z f g? 2π p f pg. Řešení diferenciálních rovnic pomocí Fourierovy trnsformce bylo ukázáno n konkrétních příkldech. 15

16 3. Vriční počet V celé této kpitole budeme uvžovt následující předpokldy. Předpokldy: Nechť, b, A, B P R, b f P C 2 pr, bs R 2 q. Oznčme M : ty P C 1 pr, bsq; ypq A, ypbq Bu uvžujme zobrzení F : M Ñ R definovné předpisem F pyq : b fpx, ypxq, y 1 pxqq dx, y P M. Argument funkce f znčíme px, y, zq. V zájmu přehlednosti zápisu budeme dále používt znčení f z Bf Bz, td. Domluvme se ještě, že z důvodu zjednodušení budou v dlším výrzy y 1 pq y 1 pbq znment jednostrnné derivce v těchto krjních bodech z vnitřní strny intervlu p, bq. Podobně, budeme-li hovořit o splnění nějké diferenciální rovnice n r, bs, myslíme tím, že v krjních bodech tuto rovnici splňují odpovídjící jednostrnné derivce. Definice. Řekneme, že y 0 P M je bodem lokálního minim zobrzení F, pokud existuje ε 0 tkové, že F py 0 q F pyq kdykoliv y P M P r, bs : ypxq y 0 pxq ε & y 1 pxq y 1 0pxq ε. Anlogicky definujeme bod lokálního mxim zobrzení F. Lemm 3.1 (DuBois-Reymondovo lemm). Nechť g P Cpr, bsq je funkce, pro kterou pltí b gpxqh 1 pxq dx 0, pro kždou funkci h P C 1 pr, bsq splňující hpq hpbq 0. Pk g je konstntní n r, bs. Vět 3.2 (Euler-Lgrngeov rovnice). Nechť y 0 P M je bodem lokálního extrému zobrzení F. Pk funkce r, bs Q x ÞÑ f z px, y 0 pxq, y 1 0pxqq je spojitě diferencovtelná n r, bs splňuje Euler-Lngrngeovu rovnici f y px, y 0 pxq, y 1 0pxqq d dx f zpx, y 0 pxq, y 1 0pxqq 0, x P r, bs. (3.1) Vět 3.3 (o regulritě minimizéru). Nechť y 0 P M je bodem lokálního extrému zobrzení F x 0 P p, bq je bod splňující f zz px 0, y 0 px 0 q, y0px 1 0 qq 0. Pk existuje δ 0 tkové, že y 0 P C 2 ppx 0 δ, x 0 δqq. Vět 3.4 (o postčující podmínce globálního minim). Nechť nvíc pro kždé px, y, zq P r, bs R 2 pltí f yy px, y, zq 0, f zz px, y, zq 0, f yy px, y, zqf zz px, y, zq pf yz px, y, zqq 2 0. Pk y 0 P M je bodem globálního minim právě tehdy, když pltí Euler-Lngrngeov rovnice (3.1) funkce x ÞÑ f z px, y 0 pxq, y 1 0pxqq je spojitě diferencovtelná n r, bs. 16

17 Vět 3.5. Jestliže f fpy, zq nezávisí n proměnné x y 0 Lgrngeovu rovnici, pk fpy 0, y0q 1 y0f 1 z py 0, y0q 1 C. P M X C 2 pr, bsq řeší Euler- Definice. Ať N M. Řekneme, že y 0 P M je bodem lokálního minim zobrzení F vzhledem k množině N, pokud existuje ε 0 tkové, že F py 0 q F pyq kdykoliv y P N P r, bs : ypxq y 0 pxq ε & y 1 pxq y 1 0pxq ε. Anlogicky definujeme bod lokálního mxim zobrzení F vzhledem k množině N. Vět 3.6 (o Lngrngeových multiplikátorech). Nechť g P C 2 pr, bs R 2 q, K P R y 0 P M je bodem lokálního extrému funkce F vzhledem k množině ty P M; Gpyq Ku, kde Gpyq : b gpx, ypxq, y 1 pxqq dx, y P M. Potom je splněn lespoň jedn z následujících podmínek: (i) Pro kždou funkci h P C 1 pr, bsq splňující hpq hpbq 0 pltí b g y px, y, y 1 qh g z px, y, y 1 qh 1 dx 0. (ii) Existuje číslo λ P R tkové, že y 0 je kritickým bodem zobrzení F λg, tj. funkce x ÞÑ f z px, y 0 pxq, y 1 0pxqq, x P r, bs je spojitě diferencovtelná pro kždé x P r, bs pltí f y px, y 0 pxq, y 1 0pxqq λg y px, y 0 pxq, y 1 0pxqq d dx f zpx, y 0 pxq, y 1 0pxqq λg z px, y 0 pxq, y 1 0pxqq 0. pokud x 0 P p, bq je bod splňující f zz px 0, y 0 px 0 q, y 1 0px 0 qq λg zz px 0, y 0 px 0 q, y 1 0px 0 qq 0, pk existuje δ 0 tkové, že y 0 P C 2 ppx 0 δ, x 0 δqq. N přednášce byly detilně předvedeny klsické úlohy vričního počtu: Nejkrtší spojnice v rovině Problém princezny Dido. Dále byl ve stručnosti zmíněn úloh o zvěšeném řetězu. 17