Řešeí písemé zkoušky z Matematické aalýzy a ZS008-09009 Příklad : Spočtěte itu poslouposti + 3 +) 4+3 4+ 5 bodů) Řešeí: Díky tvaru jmeovatele budeme zlomek + 3 +) Z : 4+3 4+ rozšiřovatvýrazem 4+3+ 4+Přepíšemečitatele: + 3 +) 6 +) 3 6 +) :A :B odkudvidímežedálejetřebarozšířitzlomek Z výrazem A 5 + A 4 B+ A 3 B + A B 3 + AB 4 + A 5 6 +) 5 + 6 +) +) + 6 +) 9 +) 4 + + 6 +) 6 3 +) 6 + 6 +) 3 4 +) 8 + 6 5 +) 0 6 +) 5 + 6 +) 4 + 6 +) 3 + 6 +) 3 + 6 +) 4 + 6 +) 0 5 Po rozšířeí tímto výrazem dostaeme v čitateli +) 3 +) +) ) + +) atedy Z +) 4+3+ 4+ ) 6 +) 5 + 6 +) 4 + 6 +) 3 + 6 +) 3 + 6 +) 4 + 6 +) 0 5 povykráceízlomkuvýrazem 5/6 5/ ) ) + ) 4+ 3 4+ + 6 + ) 5+ 6 + ) 4+ 6 + ) 3+ 6 + ) + 6 + ) + 6 + ) 0 Svyužitímfaktuže 0aritmetikyitaspojitosti k-téodmociytedydostaemeže + 3 +) Z 4+ 4) 4+3 4+ 6 3 Bodováí při použití tohoto postupu při výpočtu: úpravajmeovatelebody úpravačitatele 7bodů dopočítáí6bodů Bodové srážky za esprává ebo zapomeutá odůvoděí: uvedeíže 0bod spojitostodmoci bod aritmetikait bod Bodová srážka za um chybu která eměí charakter výpočtu je podle závažosti - body
Příklad : Spočtěte itu fukce log+) arcsi kdelog l)jepřirozeýlogaritmuslogaritmusozákladu e) 5bodů) Řešeí: Nejprve provedeme výpočet který poté okometujemečteář tak dostává šaci přijít sámatocosepřivýpočtuděje): log+) arcsi log+) arcsi arcsi + l H {{ +) {{ :h) :h ) log+) arcsi {{ :g ) +) {{ :h ) arcsi :g ) l H l H {{ :r) Kometář:porozšířeízlomkufukcíarcsijsmesiuvědomiližejdeovýraztypu 0 0 který budeme řešit pomocí l Hospitalova pravidla Aby derivace ve jmeovateli byla co ejjedodušší provedlijsmeúpravuasoučifukcí g a g Profukci g mámeeboťjdeoitutypu 0 0 arcsi l H kde l H zameázdeijidevtétoúloze pokudeistujeitavpravo Limita g ) jetypu 0 0 protoopětpoužijemel Hospitalovopravidlotakžemístoity g )g ) dostaeme h)tatoitajeopěttypu 0 0 apoučeipředchozísituacíopětjiejprve upravímeabyselépederivovaloasouči h )h )Fukce h )jespojitávbodě0protoihed h )h 0)Naitusoučiu h )h )platítedystejáúvahajakov) vpozámcepodčaroulimita h )jeopěttypu 0 0 použijemeaposledyl Hospitalovo pravidlostejětakovšemmůžeme h )rozšířitvýrazem ++)Výsledáfukce r) jepakjižspojitávbodě0mámetedyvýsledekdosazeím 0do r) Bodováí při použití tohoto postupu při výpočtu: l Hospitalčíslo5bodů l Hospitalčíslo5bodů dopočet 5bodů Bodové srážky za esprává ebo zapomeutá odůvoděí: ověřeížejdeol Hospitalatypu 0 0 bod itavboděspojitostibod Bodová srážka za um chybu která eměí charakter výpočtu je podle závažosti - body Jedůležitésiuvědomitžedíky g )skutečěplatí g)g) g) g) g) ) Pokudtotižita g )eistujeaťjejakákolizr )budemítsouči g ) g )smysl Nejdetedyo částečéitěí Právěprovedeáúvahajepravýmobsahemslogau podlevětyoaritmeticeit který velká část studetů považuje za jakousi poviou epříjemost bez většího výzamu Její důležitost však spočívá právěvtomžesiuvědomítecosedějekdybyapříkladbyla g )0ebylobymožo roztržeíit jakov)provéstprotožekdyby g )bylaáhodouekoečádostalibysteeurčitývýraz 0 Psát vtétosituacimechaicky podlevětyoaritmeticeit bypakedokazovaloicjiéhoežskutečostžeezcela rozumítetomupročsetamtakovávěcpíše:-)
Příklad 3: Vyšetřete kovergeci řady + +3 log +3 ) + kdelog l)jepřirozeýlogaritmuslogaritmusozákladu e) 5bodů) Řešeí: Položme a : + log +3 ) +3 + Protože +3 + >je a >0Použijemeodmociovékritérium: Platí a + +3 :b log +3 {{ + :c c +3 3 log + log+ + log0 kdejsmevyužilifaktuže 0aritmetikyitaspojitostilogaritmuvboděDálepro každé přirozeéplatí0 < + +3 <tedyi 0 < + +3 < odkudplyežeposloupost b jeomezeá Podlevětyžeitasoučiuomezeéposloupostia poslouposti jdoucí k ule je ula tedy máme a 0 což podle itího odmociového kritéria zameá že zadaá řada koverguje Pozámka: Jiou možostí bylo ejprve použítitího) srovávacího kritéria tj buď si uvědomit že pro všecha přirozeá platí 0 < + log +3 ) < log +3 ) +3 + + ebo že platí + +3 ) log +3 + log +3 + ) Aťjižpoužijemejedečidruhýargumetvidímežekovergeceřady impli- log +) +3 všakdostaeme log +) +3 kujekovergeciřady + +3 log +3 z odmociového kritéria jako výše +) Kovergeciřady Bodováí při použití tohoto postupu výpočtu: aplikaceodmociovéhokritéria 3body a >0aritmetikait+body výpočetitylogaritmu 4bodů výpočetity -téodmociy 4bodů Bodové srážky za esprává ebo zapomeutá odůvoděí: odůvoděívýpočtuityomezeákrátposloupostsulovouitou)4body Bodová srážka za um chybu která eměí charakter výpočtu je podle závažosti - body Samozřejmějetakémožospočítatitu bapříkladrozpisemobecémociyaepoecielua logaritmus a obdržíme také a0
Příklad 4: Vyšetřete průběh fukce defiovaé předpisem f) arccos log ) kdelog l)jepřirozeýlogaritmuslogaritmusozákladu e) 5bodů) Řešeí: Defiičíobor:musíplatit >0azároveň log tedy0 log eboli log Celkovětedymáme Df) e e fjespojitáacelém Df)eboťjesoučiemrozdílemasložeímspojitýchfukcíDefiičíoborukazuježefukceemásymetrieeísudálicháperiodická)Dáleje f 0 a Df) f)0 Limity v krajích bodech defiičího oboru jsou díky spojitosti fukce v těchto bodech rovy přímo fukčím hodotám: fe )fe ) arccos ) π Prví derivacevýrazy ve jmeovateli určují pro která teto výpočet eplatí): f ) ) ) log log ) log log log sglog ) log log log log 4 Df) \ {e e Fukce fjespojitávbodech e zprava)oboustraě) e zleva)protolzejedostraé derivace v těchto bodech získat taktopokud tedy příslušé ity derivací eistují což jak ukáže výpočet platí): f +e ) f ) f e ) e + e f ) f ) f +) f ) + Zhodotposledíchdvouitplyežederivace f )eeistuje f )+ Fukce fklesáa e arostea e Vbodějelokálíiglobálí)miimum hodoty0vbodech e a e jsouglobálímaimahodoty π Oborhodotjetedy 0 π asymptotyvekoečechemásmysluvažovat Druhá derivace: f )sglog ) ) log log log log ) Df) \ {e e sglog ) log +log log ) 3 Řešeímkvadratickérovicelog +log 0dostaemelog log Prví kořeležímimodefiičíobortedy f )0 evýrazvejmeovatelieměí zamékotedydostaemeže f jekoveía e aa e e jekokávía e Vbodě[e π 4 ]jeifleíbodhodotaderivacevtomtoboděje f e) e
Graf: 5 ypi/ y 05 iflee epi/4) 0 ep-sqrt)) e epsqrt)) 3 4 5 Bodováí při použití tohoto postupu při výpočtu: defiičíoborbod spojitost bod oborhodotbod výpočetprvíderivace body jedostraéderivaceityderivací)ve e body mootoielokálíetrémy body výpočetdruhéderivace body koveitakokávitabod ifleíbod bod graf body Některé časté chyby kterých je dobré se příště vyvarovat: euvedeíbodů e e prokteréeplatíobecývzorecpro f resp f odmocňováípodleschématu A A přičemžsprávěje A A eověřeí jedostraé spojitosti při výpočtu jedostraé derivace jako ity derivací