Mocniné řady Nechť 0, a 0, a, a 2,... jsou konečná komplexní čísla. Pak řadu funkcí a n ( 0 ) n, C, () naýváme mocninou řadou. Číslo 0 koeficienty mocniné řady. Onačme dále: se naývá střed mocniné řady, čísla a n K( 0, R) U( 0, R), pokud R (0, ), K( 0, 0) { 0 }, K( 0, ) C. Věta. Ke každé mocniné řadě o středu 0 existuje právě jedno číslo R 0, tak, že řada konverguje v K( 0, R) a diverguje v C \ K( 0, R). Symbol K( 0, R) načí uávěr množiny K( 0, R), t.j. pokud R (0, ), pak K( 0, R) je kruh o poloměru R se středem 0, který neobsahuje svoji hranici, kdežto K( 0, R) onačuje ten samý kruh i s hranicí. Číslu R se říká poloměr konvergence mocniné řady a množina K( 0, R) se naývá kruh konvergence. Věta. tedy říká, že k dané řadě existuje takové číslo R, že pokud číslo v rovnici () bude ležet uvnitř kruhu konvergence K( 0, R), pak bude řada () konvergovat (t.j. bude existovat limita částečných součtů) a pokud bude ležet mimo kruh konvergence, pak bude řada () divergovat. Věta. ovšem nic neříká o tom, co se stane, pokud bude ležet na hranici kruhu konvergence. Poloměr konvergence mocniné řady le v mnoha případech určit pomocí následujícího tvrení. Tvrení.2 Nechť existuje n lim an, resp. n Pak pro poloměr konvergence R platí: ( R lim n lim a n+ a n. n ) ( n an, resp. R lim n a n+ a n ). Dále platí tato věta, která říká, že každá mocniná řada s nenulovým poloměrem konvergence představuje na svém kruhu konvergence nějakou holomorfní funkci. Poději uvidíme, že i naopak, každá holomorfní funkce le na jistém kruhu vyjádřit jako mocniná řada. Věta.3 Nechť R > 0 je poloměr konvergence mocniné řady se středem v bodě 0. Pak tato mocniná řada konverguje k funkci f(), která je holomorfní v kruhu konvergence K( 0, R).
2 Taylorovy řady Věta 2. (Taylorova) Nechť f() je holomorfní v bodě 0 C. Potom existuje mocniná řada a n ( 0 ) n, a n f (n) ( 0 ), n! která konverguje k f() na K( 0, R), kde R je vdálenost nejbližsí singularity funkce f() od bodu 0. Řada ve věte 2. se naývá Taylorova řada nebo Taylorův rovoj se středem 0. Příklad 2.2 Naleněte Taylorův rovoj funkce: f(), se středem 0 0. Pokud spočítáme první, druhou, popř. třetí derivaci funkce f(), není težké nahlédnout, že obecný vtah pro n-tou derivaci je následující: f (n) () n! ( ) n+. Z věty 2. víme, že pro výpočet koeficinetu a n Taylorovy řady potřebujeme nát hodnotu n-té derivace v bodě 0 0. Dosaením tedy dostáváme f (n) (0) n! a tudíž a n n! n!. Stanovme ještě poloměr konvergence R. Funkce f() má jen jednu singularitu a to v bodě. Poloměr konvergence je tedy vdálenost bodu od středu v bodě 0, t.j. R. Tedy pro K(0, ) můžeme psát: n. Znalosti rovoje funkce jiné funkce. se často využívá určení Taylorových rovojů i pro Příklad 2.3 Naleněte Taylorův rovoj funkce: f() 2 +, se středem 0 0. Určíme nejprve poloměr konvergence. Funkce f() má dvě singularity: v bodě j a v bodě j. Obě dvě jsou od středu v bodu 0 stejně vdáleny a tato vdálenost je, takže R. 2
Dále upravme funkci f() do tvaru funkce a pak použijeme nalosti jejího rovoje. 2 + ( 2 ) ( 2 ) n ( ) n 2n. Příklad 2.4 Naleněte Taylorův rovoj funkce: f() 2 +, se středem 0. Singularity jsou ase j a j. Takže tentokrát je poloměr konvergence vdálenost bodu j nebo j od bodu, t.j. R 2. Dále postupujeme takto: roložíme funkci f() na součet parciálních lomků a pak hledáme Taylorův rovoj pro každý parciální lomek vlášť. Tedy 2 + ( + j)( j) A + j + B j. Čísla A, B musí splňovat následující rovnici: A( j) + B( + j). Řešením dostaneme A j 2 a B j 2. Máme tedy 2 + j 2 Hledejme Taylorův rovoj funkce +j + j + j + ( ) + j n ( )n ( ) ( + j) n+ Obdobně naleneme rovoj funkce j j + j j 2 v bodě. + +j j + ( ) j n ( )n ( ) ( j) n+ j. (2) + j ( ( ) n + j n ( j)n+ ( ) v bodě. + j 2 n+ ( ) n. j ( ( ) n j n ( + j)n+ ( ) 2 n+ ( ) n. Dosaením do rovnice (2) a sloučením členů obou řad dostaneme: 2 j n ( j)n+ ( ) + 2 2 n+ ( ) n j n ( + j)n+ ( ) 2 2 n+ ( ) n j ( )n [ ( j) n+ 2 n+2 ( + j) n+] ( ) n. ) n ) n 3
Někdy také může ulehčit naleení Taylorova rovoje to, že mocniné řady je možné derivovat člen po členu. Příklad 2.5 Naleněte Taylorův rovoj funkce f() ( + j) 3, se středem 0. Funkce f() má jedinou singularitu v bodě j, takže poloměr konvergence R (2). Zase nejprve roložíme funkci f() na součet parciálních lomků. V tomto případě le postupovat jednodušeji: ( + j) 3 + j j ( + j) 3 ( + j) 2 j ( + j) 3. Nyní využijeme nalost Taylorova rovoje funkce +j se středem v bodě příkladu 2.4 a toho, že le mocninou řadu derivovat člen po členu. ( ) ( n ( j)n+ ( + j) 2 ( ) + j 2 n+ ( ) n n+ ( j)n+ ( ) 2 n+ n( ) n n k ( j)k+2 ( ) 2 k+2 (k + )( ) k, k0 kde pro poslední řádek jsme avedli nový sčítací index k takový, že k n a využili nalosti, že ( ) k+2 ( ) k. Odbodně pro další parciální lomek dostáváme: ( + j) 3 ( ) ( ) n ( j)n+ ( ) 2 + j 2 2 n+ ( ) n n ( j)n+ ( ) 2 2 n+ n(n )( ) n 2 n2 k ( j)k+3 ( ) 2 k+4 (k + 2)(k + )( ) k. k0 ) 4
Spojením dostáváme: ( + j) 3 k ( j)k+2 ( ) 2 k+2 (k + )( ) k k0 k ( j)k+3 j ( ) 2 k+4 (k + 2)(k + )( ) k k0 k ( j)k+2 ( ) 2 k+4 (k + ) [4 ( + j)(k + 2)] ( ) k, k0 kde jsme některé části výrau roložili následovně: ( j) k+3 ( j) k+2 ( j), 22 2k+2 2 k+4 4 2 k+4. Číslo ( + j) v hranaté ávorce ve výsledku vniklo jako j( j) ( + j). Podobně jako jsme v minulém příkladě použili fakt, že mocninou řadu le derivovat člen po členu, může být také někdy výhodné využít faktu, že mocninou řadu le integrovat člen po členu. Příklad 2.6 Naleněte Taylorův rovoj funkce f() log, se středem 0 + 2j. Nejbližší singularita funkce log od středu + 2j je bod 0. Poloměr konvergence tedy bude R 5. Poněvadž f (), můžeme nejprve nalét Taylorův rovoj funkce se středem v bodě + 2j a pak integrovat člen po členu. + 2j + ( 2j) + 2j n ( 2j)n ( ) + 2j ( + 2j) n + 2j +2j n ( 2j)n ( ) ( + 2j) n+ Tuto řadu tedy budeme integrovat člen po členu a dostaneme: log ( ) n ( + 2j) n+ n + ( 2j)n+ + C ( ) k+ C + ( + 2j) k k ( 2j)k, k kde C je integrační konstanta. Uvědomíme-li si, že konstanta C je vlastně nultý člen a 0 Taylorovy řady, dostaneme, že C není nic jiného, než hodnota log( 0 ), tn. C log( + 2j). 5
Taylorova řada funkce log se středem v bodě + 2j tedy je: log log( + 2j) + k ( ) k+ ( + 2j) k k ( 2j)k. Příklad 2.7 Naleněte Taylorův rovoj funkce f() sinh se středem 0 0. Protože funkce sinh je holomorfní v C, bude poloměr konvergence R. ( sinh 2 (e e ) ) n 2 n! ( ) n n 2k+ n! (2k + )!. Příklad 2.8 Naleněte Taylorův rovoj funkce f() cos se středem 0. Protože funkce cos je holomorfní v C, bude poloměr konvergence R. cos cos[ + ( )] cos() cos( ) sin() sin( ) ( ) n cos() (2n)! ( ( ) n )2n sin() ( )2n+ (2n + )! cos() sin()( ) 2 cos()( )2 + 6 sin()( )3 + Pokud hledáme jen několik počátečních členů Taylorova rovoje, bývá často výhodné využít faktu, že s mocninými řadami le manipulovat jako s polynomy, t.j. le je sčítat, odčítat, násobit a dělit jako dva polynomy. k0 Příklad 2.9 Spočtěte první čtyři členy Taylorova rovoje funkce f() e, se středem 0 0. Funkce f() má jen jedinou singularitu a to v bodě. To namená, že poloměr konvergence je R. Dále využijeme nalosti rovoje funkcí e a. Pro funkci f() tedy dostaneme: e + + 2 2 + 6 3 +, + + 2 + 3 +. e ( + + 2 2 + 6 3 + )( + + 2 + 3 + ) + ( + ) + ( + + 2 )2 + ( + + 2 + 6 )3 + + 2 + 5 2 2 + 8 3 3 + 6
Při hledání Taylorova rovoje funkce e le také postupovat alternativně tak, že vydělíme Taylorův rovoj funkce e polynomem. ( + + 2 2 + 6 3 + ) : ( ) + 2 + 5 2 2 + 8 3 3 + + 2 + 2 2 + 6 3 + 2 + 2 2 5 2 2 + 6 3 + 5 2 2 + 5 2 3 8 3 3 + 7