1 Číselné řady, konvergence a absolutní konvergence, kritéria konvergence Kritéria pro konvergenci číselných řady... 6

Transkript

1 Matematika III - Sbírka příkladů Prof. RNDr. Drahoslava Janovská, CSc. RNDr. Miroslava Dubcová, Ph.D. Doc. RNDr. Daniel Turzík, CSc. Mgr. Šimon Axmann, Ph.D.

2 Obsah Číselné řady, konvergence a absolutní konvergence, kritéria konvergence. 4. Součet nekonečné řady Kritéria pro konvergenci číselných řady Funkční řady, bodová, stejnoměrná konvergence, kritéria konvergence. Bodová konvergence, obor konvergence Stejnoměrná konvergence Mocninné řady, poloměr konvergence. Taylorovy řady. 5. Mocninné řady, poloměr konvergence Taylorovy řady Aplikace mocninných řad* Ortogonální matice, ortogonální transformace 4. Ortogonální projekce, přeurčené soustavy Ortogonální matice, ortogonální transformace Maticové rozklady LU, QR. 6 Vlastní čísla a vlastní vektory 6 6. Vlastní čísla a vlastní vektory Singulární rozklad matice Lineární zobrazení, operátor a funkcionál. 8 8 Vektorová analýza 4 Výsledky cvičení 49 Číselné řady, konvergence a absolutní konvergence, kritéria konvergence Funkční řady, bodová, stejnoměrná konvergence, kritéria konvergence Mocninné řady, poloměr konvergence. Taylorovy řady Ortogonální matice, ortogonální transformace Maticové rozklady LU, QR Vlastní čísla a vlastní vektory Lineární zobrazení, operátor a funkcionál Vektorová analýza

3 Kapitola Číselné řady, konvergence a absolutní konvergence, kritéria konvergence.. Součet nekonečné řady Příklad.: Vypočtěme součet řady ( ) n. 5 Řešení: Řada je geometrická s kvocientem q = 5 <. Součet řady tedy je s = a q = 5 5 =. Příklad.: Vypočtěme součet řady n(n + ). Řešení: Rozložíme racionální výraz na parciální zlomky n(n + ) = ( n ). n + Nyní sečteme řadu ( n ). n + Napíšeme si součet prvních m členů této řady s m = (( ) ( + ) ( + 4 ) ( m ) ( + m + m )). m +

4 Některé zlomky se nám odečtou a dostaneme s m = ( + m + ) = m + 4 Součet řady tedy je Příklad.: Vypočtěme součet řady s = lim m s m = 4. n + n. ( m + + ). m + Řešení: Nejdříve si upravíme n-tý člen řady n + n = n n n (n ) = n n. Nyní sečteme řadu ( ) n n. Napíšeme si součet prvních m členů této řady s m = ( ) + ( ) + + ( m m) + ( m m ). Některé členy se nám odečtou a dostaneme Součet řady tedy neexistuje. s m = m lim m s m =. Cvičení.: V následujících cvičeních určete součet řady, pokud existuje. ( ) n+ a), b) ln n + 4 n, ( ) n c), d) e n, e) g) n= n(n + ), f) n(n ), n= n, h) n + n +. 5

5 . Kritéria pro konvergenci číselných řady Příklad.4: Pomocí integrálního kritéria vyšetřeme konvergenci řady n k, k R. Řešení: Pro k řada diverguje, protože není splněna nutná podmínka konvergence ( lim ). Vyšetříme nyní konvergenci pro k >. Na intervalu, ) je funkce n n k f(x) = x spojitá, klesající a kladná. Pro n-tý člen dané řady platí a k n = f(n) = n. k Můžeme použít integrální kritérium. Pro k > platí Pro < k < platí Pro k = platí x k dx = x k dx = x k dx = [ x k k [ x k ] k ] =. x dx = [ln x ] =. Daná řada konverguje pro k > a diverguje pro k. =. Příklad.5: Vyšetřeme konvergenci řady n +. Řešení: Použijeme-li pro řadu n + substituci m = n + dostaneme Podle příkladu.4 řada n + = m= m= m m = m= m = =. diverguje, diverguje proto i daná řada. Příklad.6: Vyšetřeme konvergenci řady n n. 6

6 Řešení: Použijeme srovnávací kritérium n < n. n Našli jsme majorantní řadu. Řada n je geometrická řada s kvocientem a n proto konverguje. Podle srovnávacího kritéria konverguje i řada n. n Příklad.7: Vyšetřeme konvergenci řady + n + n. Řešení: Použijeme srovnávací kritérium n = + n n(n + ) = + n n + n < + n + n. Našli jsme minorantní řadu + n + n diverguje. n. Řada n podle příkladu.4 diverguje, tedy i řada Příklad.8: Vyšetřeme konvergenci řady (n)!. Řešení: Použijeme podílové (D Alembertovo) kritérium. lim a n+ n a n = lim n = lim (n)! n (n + )! = lim n (n + )(n + )(n + ) = <. Řada (n)! Příklad.9: (n+)! (n)! podle podílového kritéria konverguje. Vyšetřeme konvergenci řady + n. 7

7 Řešení: Funkce f(x) = je spojitá klesající a kladná na intervalu, ). Použijeme + x integrální kritérium. + x dx = [arctg x] = π π 4 = π 4 <. Integrál konverguje, konverguje tedy i daná řada. Příklad.: Řešení: Funkce f(x) = integrální kritérium. Vyšetřeme konvergenci řady. n + x + je spojitá klesající a kladná na intervalu, ). Použijeme x + dx = [ ] x + Integrál diverguje, diverguje tedy i daná řada. Příklad.: Vyšetřeme konvergenci řady ( ) n. n ( ) = lim x + x =. Řešení: Označme a n =. Platí < a n+ < a n pro n a lim n =. Podle n n Leibnitzova kritéria řada ( ) n konverguje. Vyšetřeme ještě absolutní konvergenci, n t.j. zda konverguje řada absolutních hodnot Řada ( ) n konverguje tedy neabsolutně. n Příklad.: Vyšetřeme konvergenci řady ( ) n + n. n + n. Tato řada podle příkladu.4 diverguje. Řešení: Použijeme odmocninové (Cauchyovo) kritérium. Platí Řada lim n ( ) n + n tedy konverguje. n + n + n an = lim n n + = <. 8

8 Cvičení.: kritérium a) c) Cvičení.: kritérium a) c) e) Cvičení.4: kritérium a) c) V následujících cvičeních vyšetřete konvergenci řady. Použijte srovnávací 4 n, b) n n +, d) ( n ), n + n. V následujících cvičeních vyšetřete konvergenci řady. Použijte podílové ( n )!, b) n! n, n, d) n n, n n (n + )!, f) n 5 (n)!. V následujících cvičeních vyšetřete konvergenci řady. Použijte integrální n (n + ), b) n e n, n ln( n + ), d) n n +. Cvičení.5: V následujících cvičeních vyšetřete konvergenci řady. Použijte odmocninové kritérium a) n, b) ( ) n n, n n + ( ) n n + arctg n n c), d). n + n Cvičení.6: V následujících cvičeních vyšetřete konvergenci řady. Použijte Leibnitzovo kritérium. V případě, že konverguje, vyšetřete, zda konverguje absolutně. a) ( ) n+ n, b) ( ) n+ (n + ), n c) ( ) n n +, d) ( ) n ln(n + ). 9

9 Cvičení.7: V následujících cvičeních vyšetřete konvergenci řady. Použijte vhodné kritérium. a) n +, b) ( ) n+ n, n n + n c), d) sin π n. n e) g) i) arctg n n, f) cos n. n n 5 n!, h) ( ) n. n n + n +, j) n n.

10 Kapitola Funkční řady, bodová, stejnoměrná konvergence, kritéria konvergence. Bodová konvergence, obor konvergence Příklad.: Vyšetřeme bodovou konvergenci a určeme součet řady (ln x) n. Řešení: Řada je geometrická s kvocientem q = ln x. Řada tedy konverguje absolutně, jestliže ln x <, t.j. pro x (, e). Součet řady je e s = ln x ( ) ln x, x e, e. Příklad.: Vyšetřeme bodovou konvergenci řady n x n + n. Řešení: Použijeme podílové kritérium n+ x n+ lim n = lim x n + n (n + ) + = lim x n + n n + n + = x. +(n+) n x n +n Řada konverguje absolutně, jestliže x <, t.j. pro x (, ). Pro x = dostaneme řadu ( )n (resp. +n ). Tyto řady konvergují absolutně, (viz příklad.9). +n n x n Řada + n konverguje absolutně na,.

11 Příklad.: Vyšetřeme bodovou konvergenci řady n x n n. Řešení: Použijeme podílové kritérium lim n = lim x n n n + = x. n+ x n+ n+ n x n n Řada konverguje, jestliže x <, t.j. pro x (, ). Pro x = dostaneme řadu ( ) n n, tato řada konverguje (podle Leibnitzova kritéria). Pro x = dostaneme řadu n, tato řada diverguje (viz příklad.4). Řada n x n n konverguje na, ). Cvičení.: V následujících cvičeních vyšetřete bodovou konvergenci řady. a) + x, x cos n x n R+, b), x R, n ( ) n x(x + n) x n c), x R, d), x R, n n e) g) sin x, x R, f) cos x n n, x R, ln x n, x (, ), h) cos n x, x R.. Stejnoměrná konvergence Příklad.4: Určeme obor konvergence řady sin nx n a rozhodněme, kde řada konverguje stejnoměrně. Řešení: Použijeme Weierstrassovo kritérium sin nx n pro x R. n Řada konverguje, tedy daná řada konverguje stejnoměrně v R. n

12 Příklad.5: Určeme obor konvergence řady x n n + a rozhodněme, kde řada konverguje stejnoměrně. Řešení: Podle podílového kritéria lim n x n+ n+ x n n+ n + = x lim n n + = x řada konverguje bodově pro x <. Pro x = řada konverguje, pro x = diverguje. Pro x < řada konverguje absolutně. Nyní vyšetříme stejnoměrnou konvergenci. Řada nebude stejnoměrně konvergovat na celém intervalu (, ), protože na tomto intervalu platí sup x (,) x n n + = n + a n + =. Zvolme x, ). Použijeme opět Weierstrassovo kritérium. x n n + xn n +, Řada x n n + konverguje například podle podílového kritéria. Řada stejnoměrně na každém intervalu x, x, kde x, ). x n n + konverguje Příklad.6: Určeme obor konvergence řady e nx a rozhodněme, kde řada konverguje stejnoměrně. Řešení: Jedná se o geometrickou řadu s kvocientem e x, řada tedy konverguje bodově pro x (, ). Pro tato x řada konverguje absolutně. Nyní vyšetříme stejnoměrnou konvergenci. Řada nebude stejnoměrně konvergovat na celém intervalu (, ), protože na tomto intervalu platí e nx =. Omezme se na x x >. Použijeme opět Weierstrassovo sup x (, ) kritérium. e nx e nx, Řada e nx x, ), kde x >. konverguje. Řada e nx konverguje stejnoměrně na každém intervalu

13 Cvičení.: V následujících cvičeních vyšetřete stejnoměrnou konvergenci řady. cos nx n a), x R, b) n e, x R, nx c) e) n e n x, x R, d) cos nx e n x, x R, f) e x n n, x R, ln( + n x) n x n+, x (, ). 4

14 Kapitola Mocninné řady, poloměr konvergence. Taylorovy řady.. Mocninné řady, poloměr konvergence Příklad.: Vypočítejme poloměr konvergence a obor konvergence mocninné řady 5 n x n. Řešení: Řada je geometrická s kvocientem q = 5 x. Řada tedy konverguje, jestliže 5 x <, t.j. pro x < a diverguje pro x. Poloměr konvergence je R =. Obor konvergence je otevřený interval (, ). 5 5 Příklad.: Vypočítejme poloměr konvergence a obor konvergence mocninné řady (x ) n n. Řešení: Použijeme substituci y = x. Dostaneme řadu y n. Tato řada je geometrická n s kvocientem q = y. Řada tedy konverguje, jestliže y <, t.j. pro y < a diverguje pro (x ) n y. Poloměr konvergence je R =. Poloměr konvergence řady je tedy n R = a řada konverguje pro x < a diverguje pro x. Obor konvergence je otevřený interval (, 4). Příklad.: Vypočítejme poloměr konvergence a obor konvergence mocninné řady x n n 4 n. 5

15 Řešení: Použijeme podílové kritérium. x n+ lim n = 4 (n+) 4 n+ x n n 4 n x lim n n n + = 4 x Řada tedy konverguje, jestliže x <, t.j. pro x < 4 a diverguje pro x > 4. Poloměr 4 konvergence je R = 4. Pro x = 4 dostaneme řadu, tato řada diverguje (viz příklad n ( ) n.4). Pro x = 4 dostaneme řadu, tato řada konverguje podle Leibnitzova n kritéria. Obor konvergence je polootevřený interval 4, 4). Cvičení.: V následujících cvičeních vypočítejte poloměr konvergence a obor konvergence mocninné řady. x n a) n, b) 4 n n n + xn, c) e) g) 7 n (x ) n, d) n + n! x n, f) n + n (n ) x(n ), h). Taylorovy řady (n + ) x (n+), n! x n, ( ) n xn. Příklad.4: Najděme rozvoj funkce f(x) = e x do Taylorovy řady v a = a zjistěme konvergenci dané řady Řešení: Vypočteme si několik derivací. f(x) = e x f() = f (x) = e x f () = Taylorova řada je.. f (n) (x) = e x f (n) () = T n (x) = +! x +! x +! x + + n! xn + = Nyní vyšetříme konvergenci řady. Použijeme podílové kritérium lim n = lim x n n + = x lim n (n+)! xn+ n! xn Řada tedy konverguje pro všechna x R. 6 n= n + =. n! xn.

16 Příklad.5: Najděme rozvoj funkce f(x) = ln (x + ) do Taylorovy řady v a = a zjistěme konvergenci dané řady Řešení: Vypočteme si několik derivací f(x) = ln (x + ) f() = f (x) = f () = x+ f (x) = f () = (x+) f (x) = f () = (x+).. f (n) (x) = ( ) n (n )! f (n) () = ( ) n (n )! (x+) n Taylorova řada je T n (x) = +!! x!! x +!! x n (n )! + + ( ) x n + = n! Nyní vyšetříme konvergenci řady. Použijeme podílové kritérium lim n = lim x n n n + = x lim n (n+) xn+ n xn ( ) n n xn. n n + = x <. Řada tedy konverguje pro všechna x < a diverguje pro x >. Pro x = řada konverguje, pro x = řada diverguje. Obor konvergence Taylorovy řady je polootevřený interval (,. Cvičení.: V následujících cvičeních najděte rozvoj funkce f(x) do Taylorovy řady v a a zjistěte konvergenci dané řady. a) f(x) = + x, a =, b) f(x) = x, a =, c) f(x) = sin x, a =, d) f(x) = cos x, a =, e) f(x) = x, a =, f) f(x) = sin( x), a = π 4, g) f(x) = e x, a =, h) f(x) = x, a =. Příklad.6: Rozviňme funkci f(x) = x e x do mocninné řady s použitím rozvoje vhodné funkce. Řešení: Pro všechna x R platí e x = n= x n n!. Jednoduše dostaneme rozvoj naší funkce do mocninné řady f(x) = x n= x n n! = n= x n+ n! pro x R. 7

17 Příklad.7: Rozviňme funkci f(x) = vhodné funkce. do mocninné řady s použitím rozvoje ( + x) Řešení: Pro všechna x platí F (x) = f(x)dx = + x. Protože funkce F (x) je součtem geometrické řady s kvocientem x, platí pro x < + x = ( x) n = n= ( ) n x n. (( ) n x n ) = n( ) n x (n ). Řada n( ) n x (n ) je stejnoměrně konvergentní na x, x n= pro x <, můžeme tedy derivovat řadu n= ( ) n x n člen po členu a platí n= ( ) ( ) = = ( ) n x n = ( ) n n x n = ( + x) + x n= n= = ( ) n n x n = ( ) n (n + )x n, pro x x, x. n= Dostali jsme rozvoj naší funkce do mocninné řady ( + x) = ( ) n (n + )x n pro x <. n= Příklad.8: Rozviňme funkci f(x) = arctg x do mocninné řady s použitím rozvoje vhodné funkce. Řešení: Pro všechna x R platí f (x) = + x. Protože funkce f (x) je součtem geometrické řady s kvocientem ( x ), platí pro x < Řada n= + x = ( x ) = ( x ) n = n= ( ) n x n. ( ) n x n je stejnoměrně konvergentní na x, x pro x <, můžeme tedy integrovat řadu člen po členu a platí x + t dt = x ( ) n t n dt = n= n= 8 n= ( ) n xn+ n +, pro x x, x.

18 Dostali jsme rozvoj naší funkce do mocninné řady arctg x = n= ( ) n xn+ n + pro x <. Protože řada n= ( ) n xn+ n + konverguje stejnoměrně na intervalu,, platí arctg x = n= ( ) n xn+ n + na,. Cvičení.: V následujících cvičeních najděte rozvoj funkce f(x) do mocninné řady s použitím rozvoje vhodné funkce. a) e x, b) x sin x, c) ln( + x), d) ( + x).. Aplikace mocninných řad* Příklad.9: Pomocí rozvoje hledané funkce do mocninné řady řešte počáteční úlohu y xy y =, y() =, y () =. (.) Řešení: Z teorie obyčejných diferenciálních rovnic víme, že daná počáteční úloha má právě jedno řešení. Předpokládejme, že jej lze zapsat ve tvaru mocninné řady y(x) = a n x n. (.) n= Potom lze za předpokladu stejnoměrné konvergence následujících řad derivovat řadu člen po členu y (x) = y (x) = na n x n, (.) n(n )a n x n. (.4) n= Z počátečních podmínek vyplývá a = y() = a a = y () =. Naším cílem je určit zbývající koeficienty mocninné řady a n tak, aby byla splněna diferenciální rovnice. Dosazením vztahů (.)-(.4) do rovnice (.) dostáváme n(n )a n x n x na n x n a n x n =. (.5) n= n= 9

19 Roznásobíme a posuneme index v nekonečné sumě, abychom mohli porovnat koeficienty u jednotlivých mocnin x n n(n )a n x n n= na n x n a n x n =, n= (n + )(n + )a n+ x n na n x n a n x n =, n= tedy (n + )(n + )a n+ na n a n = pro všechna n, odkud a n+ = a n n +. Postupným dosazováním s využitím počátečních podmínek dostáváme Celkem tedy a =, a = a k+ = k, a =, a 4 =, a 6 = 6, a k = k!. y(x) = + x + x4! + x6! +... = n= (x ) n n! = e x. Funkce y(x) = e x, x R je řešením dané počáteční úlohy, o oprávněnosti derivování řady člen po členu se lze snadno přesvědčit použitím Weierstrassova kritéria. Příklad.: Spočtěte ln x ln( x)dx. Řešení: Vyjádření primitivní funkce pomocí elementárních funkcí v tomto případě není možné. Použijeme známý rozvoj Potom (alespoň formálně ) ln x ln( x)dx = ln( x) = ln x x n n. (.6) x n n dx = n ln x x n dx Řada (.6) nekonverguje na intervalu (, ) stejnoměrně. Další výpočet lze ospravedlnit uvažováním ɛ ln x ln( x)dx a ɛ +. Rozmyslete podrobněji.

20 Na jednotlivé sčítance použijeme integraci per partes Tedy [ ] ln x x n dx = ln x xn+ n + x= = x n+ n + x dx ln x ln( x)dx = x n n + dx = n + n (n + ). [ x n+ n + Výslednou číselnou řadu rozložíme na,,parciální zlomky = ( n (n+) první členy vytvoří teleskopickou řadu, zatímco ln x ln( x)dx = ( n ) n + ] x= n n+ = (n + ). má známý součet. Celkem n (n + ) = n= ) (n+), kde n = + π 6 = π 6. Cvičení.4: Pomocí rozvoje integrované funkce do mocninné řady spočtěte ln( x)dx.

21 Kapitola 4 Ortogonální matice, ortogonální transformace 4. Ortogonální projekce, přeurčené soustavy Příklad 4.: Popište sloupcový prostor následujících matic: [ ] [ ] [ E =, A =, B = 4 4 ]. Řešení:. Sloupcový prostor matice I je celý prostor R, protože libovolný prvek R je lineární kombinací vektorů e = (, ) T a e = (, ) T. Tedy R(I) = R.. V matici A je druhý sloupec násobkem prvního, tedy sloupcový prostor matice A je přímka procházející počátkem se směrovým vektorem (, ) T. Tedy R(A) = {x R, x = α(, ) T, α R}. Rovnice Ax = b má řešení jen, leží-li b na této přímce.. Pro matici B je sloupcový prostor R(B) také celé R protože ze tří sloupců matice B jsou dva lineárně nezávislé v R, a tedy tvoří bázi R. Na rozdíl od prvního případu dává vektor b více kombinací sloupců matice B. Příklad 4.: Necht b, b, b jsou tři různé vektory. Zkonstruujte matici A tak, aby rovnice Ax = b a rovnice Ax = b byly řešitelné, ale rovnice Ax = b neměla řešení. Je to možné? Jak byste zkonstruovali matici A? Řešení: Vektory b, b musí ležet ve sloupcovém prostoru matice A, nejjednodušší tedy je, aby vektory b a b byly sloupce matice A. Pak řešením rovnice Ax = b je x = (, ) a rovnice Ax = b je vektor x = (, ). Protože nechceme aby rovnice Ax = b byla řešitelná, nezvětšíme sloupcový prostor. Dostaneme rovnici Ax = [ ] [ ] x b b = b x. Je b kombinací vektorů b a b? Jestliže ne, máme hledanou matici A. Pokud ano, nelze zkonstruovat požadovanou matici A, protože sloupcový prostor R(A) bude obsahovat b.

22 Příklad 4.: Necht ρ je rovina zadaná rovnicí x + y z = 4. Tato rovina neprochází počátkem. Najděte dva vektory, které leží v ρ, a ukažte, že jejich součet v ρ neleží. Nyní napište rovnici roviny ρ, která je rovnoběžná s rovinou ρ a prochází počátkem. Nejděte dva vektory, které leží v ρ, a ukažte, že jejich součet v ρ leží. Řešení: Rovnice roviny ρ je nehomogenní soustava jedné rovnice o třech neznámých. Hodnost matice soustavy je jedna, počet neznámých, soustava má nekonečně mnoho řešení. Volíme dvě neznámé jako parametry, konkrétně z = t, y = s. Pak pro x dostaneme x = s + t + 4. Tedy všechna řešení jsou u = s + t + 4 s, t R. Volíme např. s = t = a dostaneme u = (5,, ) T, pro s =, t = dostaneme u = (,, ) T a u + u = (8,, ) T. Získané hodnoty dosadíme do rovnice roviny a dostaneme 8 + = 8 4, tedy součet v rovině ρ neleží, rovina ρ není podprostor R. Rovina ρ má rovnici x + y z =. Zase vypočteme všechna řešení. Mají tvar u = s + t Při stejné volbě s, t dostaneme u = (,, ) T a u = (,, ) T. Jejich součet je u + u = (,, ) T, Dosadíme do obecné rovnice roviny ρ a dostaneme =, tedy součet leží v rovině ρ. Rovina ρ je podprostor R.. Příklad 4.4: Necht A = [ ] je matice. Určete a popište její nulový prostor. Řešení: Nulový prostor N (A) matice A m n je množina N (A) = {x R n, Ax = }. V našem případě je h(a) =, n =. Dimenze nulového prostoru je. Řešíme soustavu Ax =, tedy x [ ] y = x + y + z =. z Poslední rovnice je obecná rovnice roviny procházející počátkem. Tato rovina je podprostor R a je to nulový prostor matice A. Příklad 4.5: A = [ 8 Popište nulové prostory následujících matic: ] [ ] A, B = = A , C = [A A] = [ ]. Řešení:

23 ... A = [ 8 ] [ ], h(a) =, n =, soustava má právě jedno řešení x = (, ) T, tedy N (A) = {x = R }. N (A) je triviální podprostor R. Jeho dimenze je. Poznamenejme, že det(a) =, matice A je tedy invertovatelná, B = [ A A ] = A = [ 8 ] [ h(b) =, n = soustava má právě jedno řešení x = (, ) T, je tedy také N (B) = {x = R }. N (B) je také triviální podprostor R. Jeho dimenze je. C = [A A] = [ ] [ 4 4 h(c) =, n = 4 soustava má nekonečně mnoho řešení, volím dvě neznámé jako parametry: x := s, x 4 := t, s, t R. Zpětným chodem Gaussovy eliminace dopočteme: x = t, x = s, tedy x = s + t N (c) = {x R 4, x = α + β, s, t R, Nulový prostor matice C je rovina v R 4 procházející počátkem. ], ],, α, β R}. Příklad 4.6: Najděte bázi a určete dimenzi prostoru symetrických matic. Řešení: Bázi tvoří symetrické matice,, Dimenze tohoto prostoru je 6.,, Příklad 4.7: Jsou dány dva vektory u = (,, ) a u = (,, ). 4,.

24 a) Jsou u, u lineárně nezávislé? b) Tvoří bázi nějakého prostoru? c) Jaký prostor V generují? d) Jaká je dimenze V? e) Pro jaké matice A je V sloupcový prostor? f) Pro jaké matice B je V nulový prostor? Řešení: Řešení: a) αu + βu = (α + β, α + β, ) = (,, ) α = β =. Jediná lineární kombinace těchto vektorů, která dává nulový vektor je triviální, tedy vektory jsou lineárně nezávislé. b) Jsou to dva lineárně nezávislé vektory v R, tvoří bázi podprostoru R. c) Prostor V obsahuje všechny vektory (x, y, ), což je rovina z = v R. d) Dimenze V je, protože báze obsahuje dva prvky. e) V je sloupcovým prostorem libovolné n matice A, která má hodnost a jejíž třetí řádek je nulový. Např. může být A =. f) M = Volím z = t, pak x = a y =, [ ] [ ]. N (M) = {x R, x = (,, t), t R}. Tedy matice B jsou m matice hodnosti. Například B = [ ], pak Bu =, Bu =. Příklad 4.8: Určete ortogonální projekci vektoru b = [,, ] T do podprostoru R generovaného vektory v = [,, ] T a v = [,, ] T. 5

25 Řešení: Hledejme projekci p ve tvaru lineární kombinace p = αv + βv. Z podmínek ortogonality vyplývá (p b) T v = a (p b) T v =, to jest neboli po vyčíslení skalárních součinů α(v T v ) + β(v T v ) = b T v α(v T v ) + β(v T v ) = b T v [ 5 ] [ α β ] = [ 4 Soustavu můžeme řešit například Cramerovým pravidlem: tedy α = 5 7, β = 7 a A = 4, A =, A = 6, p = 5 7 [,, ]T + 7 [,, ]T = ]. (4.) [ 7, 7, ] T. 7 Ortogonální projekcí vektoru b do dané roviny je vektor [ 7, 7, 7] T. Příklad 4.9: Určete ortogonální projekci funkce x do prostoru P (, ) (polynomy stupně nejvýše na intervalu (, )). Uvažujte skalární součin f, g = fg dx. Řešení: Prostor P (, ) je generován například funkcemi, x. Podobně jako v předchozím příkladu hledejme projekci ve tvaru lineární kombinace p(x) = α + βx. Z podmínek ortogonality pak vyplývá α(, ) + β(x, ) = ( x, ) α(, x) + β(x, x) = ( x, x) Snadno spočteme ( x, x) = x x dx = [ ] x 5/ x/ dx = = atp... Celkem 5/ 5 [ ] [ ] [ ] / α / =, (4.) / / β /5 odkud α = 4, β = 4 4. Ortogonální projekcí dané funkce je p(x) = ( + x) Příklad 4.: Řešte následující přeurčenou soustavu Ax = b ve smyslu nejmenších čtverců, určete velikost rezidua A x b x y = x y = x + y =. Povšimněte si, že výsledná soustava je zcela ekvivalentní soustavě normálních rovnic odpovídající přeurčené soustavě αv + βv = b. 6

26 Řešení: Sestavme soustavu normálních rovnic A =, b = A T A = tedy 6 x ỹ = [ 6 6 x 6ỹ = x =, ỹ =. ] [, A T b = Vektor ( x, ỹ) = (, ) je řešením dané soustavy ve smyslu nejmenších čtverců. Reziduum A x b = [,, ] T má velikost A x b =. Cvičení 4.: rezidua Řešte následující soustavy ve smyslu nejmenších čtverců, určete velikost a) x y = x + y = y =, ], b) x + y = x y = x + y =, c) x + y z = x + z = y z = x + y + z =, d) x + y = x + z = x + y = y z =. 4. Ortogonální matice, ortogonální transformace Příklad 4.: Ukažme, že matice [ cos θ sin θ G(θ) = sin θ cos θ je ortogonální matice pro všechny θ R. ] 7

27 Řešení: Musíme ověřit, že platí G(θ) T G(θ) = E. [ ] [ ] G(θ) T cos θ sin θ cos θ sin θ G(θ) = = sin θ cos θ sin θ cos θ [ ] cos = θ + sin θ cos θ sin θ + cos θ sin θ cos θ sin θ + cos θ sin θ cos θ + sin = θ [ Příklad 4.: Pomocí vhodné Givensovy matice vynulujme prvek na 4. pozici vektoru v = [,,, 4, 5] T pomocí prvku na. pozici. Řešení: K vynulování použijeme matici cos θ sin θ G = sin θ cos θ. Vynásobíme-li vektor v maticí G, dostaneme cos θ sin θ G v = sin θ cos θ Pro vynulování 4. pozice vektoru musí platit Ze vzorečků dostaneme 4 5 = sin θ + 4 cos θ = sin θ cos θ = 4 sin θ = cos θ 4 sin θ sin θ + 4 cos θ 5 tg θ =. ±tg θ tg θ +, cos θ = ± tg θ + sin θ = ± (zvolíme ), cos θ = 5 (zvolíme 5 5 ). Můžeme zvolit Givensovu matici G = Pomocí vhodných Givensových matic vynulujme prvky pod hlavní dia- Příklad 4.: gonálou matice. A = 4. ]. 8

28 Řešení: Stejně jako v předchozím příkladě zvolíme Givensovu matici G pro vynulování prvku a. Dostaneme sin θ = 5, cos θ = 5. Platí G A = = = A Zvolíme Givensovu matici G pro vynulování prvku a (sin θ = 4, cos θ = G A = = = = A Zvolíme Givensovu matici G pro vynulování prvku a (sin θ = 5, cos θ = 5 G A = = = 4 ). Příklad 4.4: Pomocí Householderových matic zrcadlení vynulujme prvky pod hlavní diagonálou matice A =. 5 ). Řešení: K vynulování prvního sloupce použijeme Householderovou matici H = E vvt v kde v = a ± a e. Symbolem a i označujeme i tý sloupec matice A. Protože norma a =, můžeme psát v = + = +, 9

29 H = vv T = ( ) ( ) 6 + ( ) + 6 ( ) 6 + ( ) + 6 Ã = H A = Nyní postup zopakujeme pro matici v = A = [ + 6 Dostaneme Householderovu matici H = Potom platí H = Horní tojúhelníková matice bude mít tvar R = H H A = = a v = + ( + ), ( ) ( ) + ( ) ( ) + [ ] = 4 4 ] v = 4 (4 6). ( ) ( ) 6 4 H. 6 6 ( ) 4 6 ( ) 6 Cvičení 4.: Pomocí vhodných Givensových matic vynulujte prvky pod hlavní diagonálou matice A =. Cvičení 4.: matice 4... Pomocí Householderových matic vynulujte prvky pod hlavní diagonálou A =.

30 Příklad 4.5: Najděte ortogonální bázi podprostoru R 4 generovaného vektory a = [,,, ] T, a = [,,, ] T a a = [,,, ] T. Řešení: Použijeme Gramův-Schmidtův ortogonalizační proces. Volme v = a = [,,, ] T, dále v = a v T a v T v v = [,,, ] T [,,, ]T = [,,, ] T, T a v = a v T a v v v = [,,, ] T v T v v T v [,,, ]T [,,, ]T [ =, ] T,,. Vektory v, v, v tvoří ortogonální bázi daného podprostoru. Příslušnou ortonormální bázi bychom dostali nanormováním těchto vektorů. Cvičení 4.4: Najděte ortonormální bázi podprostoru generovaného vektory a) a = [,, ] T, a = [,, ] T, b) a = [,,, ] T, a = [,,, ] T a a = [,,, ] T.

31 Kapitola 5 Maticové rozklady LU, QR. Příklad 5.: Proved me LU-rozklad matice A =. Řešení: Provedeme Gaussovu eliminaci na matici A. Abychom získali nový druhý řádek, vynásobili jsme prvý řádek (-) a přičetli k druhému řádku. Pak jsme k třetímu řádku přičetli opět (-)-násobek prvého řádku. Vynásobili jsme tedy matici A maticí E =, t.j. E A =. = Potom jsme prohodili druhý a třetí řádek, t.j. vynásobili jsme matici E A permutační maticí P =, t.j. P E A = =. Označme horní trojúhelníkovou matici P E A jako matici U. Potom platí P E A A = E P U = E P U P A = P E P U = L U, kde L je dolní trojúhelníková matice a U je horní trojúhelniková matice. P A = L U, L =, U =..

32 Příklad 5.: Proved te QR-rozklad matice A =. Řešení: V příkladu 4.4 jsme použili Houssholderovu matici k vytvoření trojúhelníkové matice R, Platí tedy R = H H A = Označme Q = H T H T a dostáváme A = Q R, kde Q = A = H T H T R a R = Příklad 5.: Pomocí vhodného software proved te LU-rozklad matice A =. Řešení: Mathematica: Nejdříve definujeme matici A a potom provedeme LU-rozklad. In[]:= A,,,,,,,, Out[]= In[]:= Out[]=,,,,,,,, LU, p, c LUDecomposition A,,,,,,,,,,,, Nyní musíme z výsledku, který nám vrátí Mathematica získat matice L, R, P. In[]:= L LUSparseArray i_, j_ ; j i,, IdentityMatrix Out[]=,,,,,,,,

33 In[4]:= MatrixForm L Out[4]//MatrixForm= In[5]:= Out[5]= In[6]:= U LUSparseArray i_, j_ ; j i,,,,,,,,,, MatrixForm U Out[6]//MatrixForm= In[7]:= Out[7]= In[8]:= P SparseArray i_, j_ ; i p j,, SparseArray,, MatrixForm P Out[8]//MatrixForm= Maple: > with(linearalgebra): > A := <<,,> <,,> <,,>>; A := > P, L, U := LUDecomposition(A); P, L, U :=,, Matlab: >> A= [ ] A = 4

34 >> [L,U,P]=lu(A) L = U = P = Cvičení 5.: Cvičení 5.: Proved te LU-rozklad matice A = Proved te QR-rozklad matice A =. 5

35 Kapitola 6 Vlastní čísla a vlastní vektory 6. Vlastní čísla a vlastní vektory Příklad 6.: Určete vlastní čísla a odpovídající vlastní vektory matice A = Určete algebraickou a geometrickou násobnost vlastních čísel. Řešení: [ λ det λ ] = ( λ)( λ) + = λ 4λ + 4 = (λ ) = [ Charakterisktický polynom má jeden dvojnásobný kořen λ =, matice má tedy jedno vlastní číslo s algebraickou násobností. Hledejme příslušné vlastní vektory [ ] [ ] [ ] x y =. Dostáváme jediný lineárně nezávislý vlastní vektor [, ] T. Geometrická násobnost vlastního čísla je tedy rovna. Cvičení 6.: V následujících cvičeních určete vlastní čísla a vlastní vektory matic. Pro každé vlastní číslo určete jeho algebraickou a geometrickou násobnost. a) A =, b) c) A = A =,. ]. 6

36 6. Singulární rozklad matice Příklad 6.: Vypočtěte singulární hodnoty matice A = a matice B = A T. Řešení: Vypočteme matici A T A, charakteristický polynom této matice, vlastní čísla λ, λ této matice a singulární hodnoty σ, σ matice A: [ ] A T A =, charakteristický polynom λ 6λ + 8 λ = 4, λ =. Singulární hodnoty matice A jsou odmocniny z vlastních čísel matice A T A, tedy σ =, σ =. Poznámka Vypočtěme ortonormální vlastní vektory v, v matice A T A odpovídající příslušným vlastním číslům: [ ] [ ] 4 λ = 4 [, ] h 4 =, h =, λ = [ ] [ [, ] h = Tedy ortonormální vlastní vektory v, v matice A T A jsou v T v = v =, v =, v T v = v T v = Povšimněte si ještě, že Av =, Av = = σ, Av = ], h =., Av = = σ, a že (Av ) T Av = [,, ] =. Necht nyní B = A T. Matice B T B je a má tedy tři singulární hodnoty. Protože matice A T A a AA T mají stejná nenulová vlastní čísla, má matice B singulární hodnoty, a. Cvičení 6.: Vypočtěte vlastní čísla λ, λ a odpovídající ortonormální vlastní vektory v, v matice A T A a singulární hodnoty σ, σ matice A a A T, [ ] A =. 7

37 Kapitola 7 Lineární zobrazení, operátor a funkcionál. Lineární funkcionály Příklad 7.: Ukažte, že T f = C[, ], f = max f(t). Určete jeho normu. t [,] f(t)dt + f() je spojitý lineární funkcionál na X = Řešení: Funkcionál je lineární, protože pro libovolné f, g X, α R platí T (αf + g) = Dále T f = (αf + g)(t)dt + (αf + g)() = α f(t)dt + f() f(t)dt + f(t)dt + f() g(t)dt + αf() + g() = αt f + T g. f(t) dt + f() f dt + f f ( + ) f, odkud plyne, že T je spojitý a T. Na druhou stranu pro f (t), máme f C[, ], f = a T f =. Protože T T f, je T a pro normu operátoru dostáváme T =. Příklad 7.: Určete normu lineárního funkcionálu T : X R, X = C[, ], f = max t [,] f(t). T f = tf(t)dt f(), 8

38 Řešení: Linearitu funkcionálu lze ukázat analogicky jako v předchozím příkladu. T f = tf(t)dt f() tf(t)dt + f() tf(t) dt + f() f tdt + f f ( + ) f, odkud plyne, že T je spojitý a T. Důkaz opačné nerovnosti je v tomto případě obtížnější, nebot funkce {, pro t =, f (t) =, pro t (, ], pro kterou tf(t)dt f() = není spojitá a tedy f / X. Danou funkci však můžeme aproximovat spojitými funkcemi. Pro ɛ (, ) volme, pro t =, f ɛ (t) = + x ɛ, pro t (, ɛ),, pro t [ɛ, ]. Potom f ɛ X, f ɛ = a T f ɛ ɛ tf ɛ (t)dt f ɛ () = [ t ] t=ɛ + = ɛ. Proto T ɛ pro libovolné ɛ > a tedy T =. V následujících cvičeních zjistěte, zda jsou funkcionály T : X R lineární a spojité. Pokud ano, spočtěte normu funkcionálu T. Cvičení 7.: Cvičení 7.: X = C[, ], f = max f(t), T (f) = t [,] t + f(t)dt. f(t) X = C[, ), f = max f(t), T (f) = t [,] + t dt. Cvičení 7.: X = l, {x n } = x n, T {x n } = x + x. Cvičení 7.4: X = c = {{x n }; lim x n = }, {x n } = sup{ x n }, T {x n } = x + x. n n N 9

39 Lineární operátory, spektrální teorie Příklad 7.: Vyšetřeme, zda lineární operátor T : X X je lineární a spojitý. Pokud ano, spočtěme normu operátoru L. X = C[, ], f = max t [,] f(t), T f(t) = ω(t)f(t), kde ω(t) je daná spojitá funkce na [, ]. Řešení: T je lineární, protože pro všechna α, β R a pro všechna f, g X platí T (αf +βg)(t) = ω(t)(αf(t)+βg(t)) = αω(t)f(t)+βω(t)g(t) = αt f(t)+βt g(t), t [, ]. Nyní dokážeme spojitost operátoru T : T f = max ω(t)f(t)) Ω max f(t)) = Ω f, t [,] t [,] kde Ω = max ω(t). T je tedy spojitý operátor. Navíc platí t [,] T = sup T f Ω. f Zvolme nyní f C[, ], f (t), f =. Platí, že T f = Ω. Protože T T f a tedy T Ω. Pro normu operátoru tedy platí T = Ω. V následujících cvičeních zjistěte, zda jsou operátory T : X X lineární a spojité. Pokud ano, spočtěte normu operátoru T. Cvičení 7.5: Cvičení 7.6: X = C[, ], f = max t [,] f(t), T f(t) = et f(t). X = C[, ], f = max t [,] f(t), T f(t) = f(t ). Cvičení 7.7: X = L [, π], f = π f, T f(t) = π f(s) cos(t s) ds. Cvičení 7.8: X = c, {x n } = sup{ x n }, T {x n } = {x, x, x,,,... }. n N Cvičení 7.9: X = l, {x n } = x n, T {x n } = {x, x, x,,,... }. Příklad 7.4: Uvažujme lineární operátor T f(x) = f (x) f (x) f(x) na prostoru X = C [, ] s normou f = max f(t). Ukažte, že T není spojitý. Určete dimenzi jádra t [,] operátoru. 4

40 Řešení: Pro n N volme například f n (x) = x n, potom f n X, f n =, ale T f n () = n(n ), tedy T nemůže být spojitý. Funkce z prostoru X je prvkem jádra T právě tehdy, když splňuje diferenciální rovnici y y y =. Řešením charakteristické rovnice λ λ = dostáváme λ =, λ =, odkud ker T = {C e x + C e x, C, C R}. dim ker T =. Příklad 7.5: Najděte bodové spektrum operátoru T : l l, kde T {x n } = { x, x, x 4,... }. Řešení: Pro normu platí {x n } = x n.. λ potom T λi je prosté, protože (T λi)x = x = λx x x = λx x = λ x x 4 = λx x 4 = λ x.. x n n = λx n x n = (n )!λ n x. Našli jsme nenulovou posloupnost x = {x n } pro kterou (T λi)x =, ale x / l, protože řada x n = x ((n )!λ n ) diverguje. Zjistíme to z podílového kritéria lim n (n!λ n ) ((n )!λ n ) = lim n n λ = Protože neexistuje x takové, že (T λi)x =, je operátor T λi prostý, tedy λ nepatří do spektra.. λ = potom T λi není prosté, protože T x = x = x =, x x = x = x 4 = x 4 =.. x n n = x n = Našli jsme nenulovou posloupnost např. x = {,,, } pro kterou T x =, tedy σ p (T ) = {}. 4

41 Příklad 7.6: Najděte bodové spektrum operátoru T : X X, kde X = C[, ], f = max t [,] x T f(x) = f(t)dt. Řešení: Snadno se ověří, že T =.. λ =, potom (T λi)f = prostý.. λ, potom (T λi)f = x x f(t)dt =, x [, ] tedy nutně f a T je f(t)dt = λf(x), x [, ] odkud dostáváme dosazením f() =, derivováním podle základní věty integrálního počtu potom f(x) = λf (x). Obecným řešením této jednoduché diferenciální rovnice je f(x) = Ce λ x. Z počáteční podmínky však dostáváme C =, tedy f, T λi je prostý a σ p (T ) =. V následujících cvičeních najděte bodové spektrum operátoru T : X X. Cvičení 7.: X = l, {x n } = Cvičení 7.: X = l, {x n } = Cvičení 7.: X = l, {x n } = Cvičení 7.: X = l, {x n } = x n, T {x n } = {, x, x, x,... }. x n, T {x n } = {,, x, x, x,... }. x n, T {x n } = {ix, i x, i x, i 4 x 4, i 5 x 5,... }. x n, T {x n } = {x, x, x, x 4 4,... }. Cvičení 7.4: X = C[, ], f = max f(t). T f(x) = t [,] x f(t)dt f(). V následujících cvičeních najděte spektrum operátoru T. Cvičení 7.5: X = l, {x n } = x n, T {x n } = {x, x, x 4,... }. Cvičení 7.6: X = R, (x, x ) = x n, T (x, x ) = (x + x, x + x ). 4

42 Kapitola 8 Vektorová analýza V následujících příkladech jsou f(x, y, z), g(x, y, z) skalární funkce mající spojité parciální derivace, a (x, y, z), b (x, y, z) jsou spojitě diferencovatelná vektorová pole. Příklad 8.: Ukažte, že (f ± g) = f ± g. (8.) Řešení: ( f (f ± g) = x ± g x, f y ± g y, f z ± g ) = z ( f x, f y, f ) ( g ± z x, g y, g ) = f ± g. z Poznámka Ekvivalentní zápis rovnice (8.): grad (f ± g) = grad f ± grad g. Příklad 8.: Ukažte, že (f g) = ( f) g + ( g) f. (8.) Řešení: ( (fg) (f g) = x, (fg) y, (fg) ) = z ( f x, f y, f ) g + z ( f x g + f g x, f y g + f g y, f z g + f g z ( g x, g y, g z Poznámka Ekvivalentní zápis rovnice (8.): ) f = ( f)g + ( g)f grad (fg) = (grad f)g + (grad g)f. ) 4

43 Příklad 8.: Ukažte, že rot( a + b ) = rot a + rot b. Řešení: ( (a + b ) ( a = = y rot( a + b ) = ( a + b ) = (a + b ), (a + b ) z x i j k x y z a + b a + b a + b = + (a + b ), (a + b ) (a + b ) z x y y + b y a z b z, a x b x + a z + b z, a x + b x a y b y ) ( a y a z, a x + a z, a x a y + = a + b = rot a + rot b. ) = ( b y b z, b x + b z, b x b y ) = ) = Příklad 8.4: Ukažte, že ( a b ) = b ( a ) a ( b ). (8.) Řešení: L := i j k a a a b b b = (a b a b, a b + a b, a b a b ) = = x (a b a b ) + y ( a b + a b ) + z (a b a b ) = ( = a b y + b ) ( b + a z x b ) ( + a b z x + b y ) ) ( a +b y a z ) ( + b a x + a z Upravme nyní pravou stranu rovnice: i j k P := (b, b, b ) (a, a, a ) x y z a a a ( a + b x a y i j k ) + x y z b b b Vyčíslíme determinanty a příslušné skalární součiny a dostaneme L = P. 44

44 Poznámka Ekvivalentní zápis rovnice (8.): div( a b ) = b (rot a ) a (rot b ). Poznámka Diferenciální operátor b ( b = (b, b, b ) x, y, ) z = b x + b y + b z Necht nyní f je skalární funkce. Pak ( f b )f = b x + b f y + b f z. Je-li a vektorová funkce, pak ( b ) ( ) a a = b x + b a y + b a z, b a x + b a y + b a z, b a x + b a y + b a. z Příklad 8.5: Necht r = (x, y, z), t.j. r = x i + y j + z k, kde i = (,, ), j = (,, ), k = (,, ). Položme r = r = x + y + z a f(x, y, z) = ln x + y + z. r Ukažte, že gradf(x, y, z) = r. Řešení: f(x, y, z) = gradf(x, y, z) = x + y + z ( Poznámka: Příklad 8.6: že ω = rot v. x x + y + z, ( f x, f y, f ) ( = z x + y + z y, x + y + z y x + y + z, r = ) z = x + y + z x + y + z ( x x + y y + z ) = z x + y + z x, x + y + z z ) = (x, y, z) x + y + z = r r. Necht ω je konstantní vektor a r = (x, y, z). Je-li v = ω r, dokažte, Řešení: rot v = i j k x y z v v v = ( v y v z, v x + v z, v x v ). (8.4) y 45

45 Nyní si vypočteme v. Tedy v = ω r = i j k ω ω ω x y z = (ω z ω y, ω z + ω x, ω y ω x). v = ω z ω y, v = ω z + ω x, v = ω y ω x. Nyní dosadíme do rovnice (8.4) a dostaneme rot v = (ω + ω, ω + ω, ω + ω ) = ω = ω = rot v. Příklad 8.7: Pomocí Greenovy věty vypočtěte plošný obsah vnitřku elipsy x a + y =, a >, b >. b Řešení: Elipsa splňuje předpoklady Greenovy věty. Počítáme plochu P množiny M = {(x, y) R, Zavedeme zobecněné polární souřadnice: x a + y b }. P = Příklad 8.8: K xdy ydx = x = a cos t, y = b sin t, t, π. π (a cos t b cos t b sin t ( a sin t)) dt = π Vypočtěte ( x y)dx + xy dy, kde K je kružnice x + y = a, K a) pomocí Greenovy věty b) přímo z definice křivkového integrálu a b dt = πab. Řešení: a) Z Greenovy věty (kruh splňuje předpoklady) F (x, y) = x y, F (x, y) = xy, F x (x, y) = y, F (x, y) = x y Greenova věta = F dx + F dy = K M ( F x (x, y) F ) (x, y) dxdy, M = {(x, y), x + y a } y 46

46 Substituce do polárních souřadnic M x = r cos t, y = r sin t, r (, a, t, π). (y + x )dxdy = a π (r cos t + r sin t)rdtdr = π b) Z definice křivkového integrálu Parametrizace K: x = a cos t, y = a sin t, t, π). π ( x y)dx + xy dy = a 4 sin t cos t dt K sin t cos t dt = sin t( sin t)dt = sin tdt = t 4 sin(t) a sin tdt sin 4 tdt = 8 t 4 sin(t) + sin(4t) r dr = π a4. sin 4 tdt Hledaný křivkový integrál je K F dr = a 4 (π 4 π) = π a4, což je stejný výsledek jako v a), ale co to dalo práce!!! Cvičení 8.: Cvičení 8.: neboli Cvičení 8.: Upravte Ukažte, že Ukažte, že ( a + b ). (f a ) = ( f) a + f( a ) div(f a ) = (gradf) a + fdiv a. (f a ) = ( f) a + f( a ). Cvičení 8.4: Necht r = (x, y, z), r = x + y + z. (a) Vypočtěte ( r ). r (b) Vypočtěte rot r = r. (c) Vypočtěte r. 47

47 ( r ) (d) Vypočtěte. r (e) Vypočtěte r. (f) Vypočtěte ( ). r Cvičení 8.5: Cvičení 8.6: Určete divergenci vektorového pole g = gradf, kde f(x, y, z) = x + y + z. Spočtěte F dr, kde F (x, y) = (x + y, x y ) a K je hranice množiny K M = {(x, y) R, < x <, < y < x } probíhaná tak, že tato množina bude po levé ruce. Počítejte a) z Greenovy věty, b) přímo. Cvičení 8.7: Spočtěte F dr, kde F (x, y) = (e x y + arctg x, x e x y ) a K je hranice K obdélníka ABCD, A = (, ), B = (, ), C = (, ), D = (, ). Orientaci volte v kladném smyslu. 48

48 Výsledky cvičení Číselné řady, konvergence a absolutní konvergence, kritéria konvergence.. a) s =, b) s =, c) s =, d) s = e e, e) s =, f) s = 4, g) s = 4, h) s =,. a) Diverguje, b) konverguje, c) konverguje, d) diverguje.. a) Konverguje, b) diverguje, c) konverguje, d) konverguje e) konverguje f) konverguje..4 a) Diverguje, b) konverguje, c) konverguje, d) diverguje..5 a) Konverguje, b) diverguje, c) diverguje, d) konverguje..6 a) Konverguje, b) konverguje absolutně, c) konverguje, d) konverguje..7 a) Diverguje, b) konverguje abs., c) konverguje, d) konverguje e) diverguje f) diverguje. g) konverguje, h) konverguje, i) konverguje j) diverguje. Funkční řady, bodová, stejnoměrná konvergence, kritéria konvergence.. a) Konverguje na (, ), b) konverguje na R, c) konverguje na (, ), d) konverguje na, ), e) konverguje na R, f) diverguje na R, g) diverguje na (, ), h) konverguje pro x kπ, k Z.. a) Konverguje stejnoměrně na R, b) konverguje stejnoměrně na x, ), x >, c) konverguje stejnoměrně na (, x, x > ln, d) konverguje stejnoměrně na R, e) konverguje stejnoměrně na x, ), x >, f) konverguje stejnoměrně na x, ), x >, 49

49 Mocninné řady, poloměr konvergence. Taylorovy řady.. a) R =, (,, b) R = 4, 4, 4 ),. a) c) R =, (, + ), d) R =, (, ), e) R =, R, f) R =, {}, g) R =, (, ), h) R =, (, ). c) e) g). a) c).4 ( ) n x n, b) n= n= ( ) n ((x ) n n+, ( ) n x n+ (n + )!, d) ( ) n xn (n)!, n= (x ) n, f) n= n= n= n= x n n! n, h) x n n= n= n= ( ) n n (x π 4 )n (n)! ln n x n. n! n!,, x R, b) ( ) n x n+ (n + )!, x R, ( ) n xn+ (n + ), x (,, d) n (n + )nxn ( ), x (, ). n n + =. 4 Ortogonální matice, ortogonální transformace. 4. a) x = [, ] T, A x b = 6, b) [ ] T 4 x = 7 7, A x b = 5 7 4, c) [ ] T 4 x = 5 5 5, A x b = 5, n= d) x = [,, ] T, A x b =, soustava není přeurčená. Výsledky následujících příkladů nejsou jednoznačné. U matic záleží na pořadí nulování prvků, u vektorů na pořadí kroků ortogonalizace., 4. R =

50 4. R = a) 5 [,, ] T, [,, 5] T b) 6 [,,, ] T, [,,, 4]T, [,,, ]T 5 Maticové rozklady LU, QR. 5. L = U = Q = , R = Vlastní čísla a vlastní vektory 6. a) λ =, vlastní vektory [,, ] T, [,, ] T, geometrická i algebraická násobnost, 6. λ =, vlastní vektor [,, ] T, geometrická i algebraická násobnost, b) λ =, vlastní vektor [,, ] T, algebraická násobnost, geometrická násobnost, c) λ =, vlastní vektor [, 4, ] T, λ = + i, vlastní vektor [ i, i, ] T, λ = i, vl. vektor [ + i, i, ] T, geom. i alg. násobnost všech vl. čísel je. A T A = [ ], λ =, λ =, v = 5 5, v = 5 5, σ =, σ =. 7 Lineární zobrazení, operátor a funkcionál. 7. T není lineární. 7. T je lineární a spojitý, T = π. 5

51 7. T je lineární a spojitý, T =. 7.4 T je lineární a spojitý, T = T je lineární a spojitý, T = e. 7.6 T je lineární a spojitý, T =. 7.7 T je lineární a spojitý, T π. 7.8 T je lineární a spojitý, T =. 7.9 T je lineární a spojitý, T =. 7. σ p (T ) =. 7. σ p (T ) =. 7. σ p (T ) = {i,, i, }. 7. σ p (T ) = {,,,,,... } σ p (T ) = { }. 7.5 σ(t ) = {λ C; λ }. 7.6 σ(t ) = {, }. 8 Vektorová analýza 8. ( a + b ) = a + b (div( a + b ) = div a + div b ). 8. Rozepište divergenci a gradient podle definice. 8. Rozepište diferenciální operátory podle definice. 8.4 (a) r r r, (b), (c) (,, ), (d), (e) r, (f) r. 5

52 8.6 Podle Greenovy věty platí F dx + F dy = 8.7. M K (x y)dxdy = M ( F x (x, y) F ) (x, y) dxdy = y ( ) x (x y)dy dx = (x x 4 )dx = 5. Při přímém výpočtu křivkového integrálu by bylo třeba rozdělit křivku na čtyři části: K : r (t) = (t, ), t,, úsečka K : r (t) = (, t), t,, úsečka K : r (t) = ( t, t ), t,, část paraboly K 4 : r 4 (t) = (, t), t,, úsečka 5