Užitečé zdroje příkladů jsou: Materiály ke cvičeím z Kalkulu 3 od Kristýy Kucové: http://www.karli.mff.cui.cz/~kucova/historie8. php K posloupostem řad a fukcí Ilja Čerý: Iteligetí kalkulus. Olie zde: http://matematika.cui.cz/ikalkulus.html K mociým řadám se dají použít materiály ke cvičeím z Matematické aalýzy (6/7). K alezeí zde: http://www.karli.mff.cui.cz/~cuth/examples.html K teorii míry a itegrálu Materiály ke cvičeím z teorie míry a itegrálu (3/4) a MFF. K alezeí zde: http://www.karli. mff.cui.cz/~cuth/examples.html Sbírka příkladů (i řešeých) z teorie míry: Lukeš - Příklady k teorii Lebesgueova itegrálu. Olie zde: http://matematika.cui.cz/lukes-pli.html K Fourierovým řadám Stráky doceta Zeleého, apříklad příklady zde: http://www.karli.mff.cui.cz/~zeley/mff/ma_4/ Fourierovy_rady.pdf Ilja Čerý: Iteligetí kalkulus. Olie zde: http://matematika.cui.cz/ikalkulus.html
I. STEJNOMĚRNÁ KONVERGENCE POSLOUPNOSTÍ A ŘAD FUNKCÍ. Vyšetřete bodovou a stejoměrou kovergeci ásledujících posloupostí fukcí (f ) : a) f (x) = x, x [, ] b) f (x) = x, x R c) f + x (x) = x, x [, ) ( x + x ) d) f (x) = + / x, x (, ) e) f (x) = x + 3, x [, ). Vyšetřete bodovou a stejoměrou kovergeci ásledujících řad fukcí f : a) f (x) = x, x R b) f + 5 x (x) = exp( ( + x) ), x [, ) c) f (x) = log( + x ), x R 3. Nechť f(x) = ( ) si(+ x ), x [, ]. Zjistěte, zda je tato fukce spojitá a spočtěte f (). 4. Nechť f(x) = x, x (, ). Ukažte, že f C (, ). 5. Nechť f(x) = x, x [, ]. Je fukce spojitá? Spočtěte f (/) a f (). +x 6. Nalezěte poloměr kovergece ásledujících mociých řad. Určete oblasti absolutí kovergece, eabsolutí kovergece a divergece. a) x (p R) b) (3+( ) ) p x c) x a +b (a, b > ) 7. Sečtěte řady všude a itervalu kovergece: a) = x4+5! b) x c) 8. Sečtěte řady: a) ( ) b) x (+) 9. Nalezěte maximálí řešeí ásledujících difereciálích rovic s počátečí podmíkou: a) y (x) = 3y(x/), y() = b) y xy =, y() = y () = I. STEJNOMĚRNÁ KONVERGENCE POSLOUPNOSTÍ A ŘAD FUNKCÍ - VÝSLEDKY. a) posloupost bodově koverguje k fukci f(x) = pro x [, ) a f(x) = pro x =, posloupost eí stejoměrě kovergetí b) f, posloupost eí stejoměrě kovergetí c) f d) f x, posloupost eí stejoměrě kovergetí e) f f, kde f(x) = 3 pro x [, 3] a f(x) = x pro x > 3. a) řada fukcí je stejoměrě kovergetí b) řada fukcí je stejoměrě kovergetí c) řada je bodově kovergetí a eí stejoměrě kovergetí 3. fukce je spojitá a f () = cos ( ) 3/ 5. fukce je spojitá, f (/) = 6 4, f () eexistuje (4 +) 6. a) R=; pokud p > pak AK pro x a D jiak; pokud p (, ] pak AK pro x <, K pro x = a D pro x = ; pokud p, pak AK pro x < a D jiak b) R = /4, AK pro x < R, jiak D c) R=max{a, b}, AK pro x < R, jiak D 7. a) x 5 e x4 x, x R b), x (, ) c) log( x (x ) x ) log( x) +, x [, ] \ {}, součet je pro x = 8. a) log b) 9. a) y(x) = 3 = x, x R b) y(x) = + x + (! +...+ a3 x 3 + a 3+ x 3+), x R kde a 3 = 3. 3(3 ), a 3+ = 4.3 (3+)3 ( N)
II. KONVERGENCE INTEGRÁLU. Určete, zda Lebesgueovy itegrály existují a zda jsou kovergetí (s parametry p, q, s R, k Z) a) dx b) +x e x dx c) si x dx d) / log x dx výsledky ásledujících příkladů budeme dále považovat za zámé itegrály e) x p (log x) dx f) / q x p (log /x) q dx g) e x x s (log x) k dx h) xp ( x) q dx II. KONVERGENCE INTEGRÁLU - VÝSLEDKY. a) K b) K c) existuje, ale ekoverguje d) K e) existuje vždy, koverguje pokud p > a q R, ebo p = a q > f) existuje vždy, koverguje pokud p < a q R, ebo p = a q > g) existuje vždy, koverguje pokud s (, ) a k Z, ebo s = a k < h) existuje vždy, koverguje pokud p > a q >
III. VÍCEROZMĚRNÁ INTEGRACE. Pomocí Fubiiovy věty spočtěte míru λ (M) možiy M: a) M je omezeá křivkami x =, y = x, xy = b) M je omezeá křivkami: x y =, x y 7 =, x 4y + 7 =, x 4y + 4 = c) M = {[x, y] R : x >, < y < /x}. Pomocí Fubiiovy věty spočtěte [3,4] [,] dλ (x+y) 3. Popište možiu M R jejíž obsah je dá vzorcem 4 y dx dy, vyjádřete obsah možiy jako itegrál kde x je vější proměá a výpočtem ověřte platost Fubiiovy věty 4. Spočtěte itegrál 3 3 y ex dx dy 5. Spočtěte míru λ 3 (M) možiy M: a) M je omezeá plochou z = e x a roviami y =, y = x, x = b) M je omezeá plochami z = 6x xy, y = 3x x a y = x 6. Spočtěte M f(x, y) dλ : a) M = {[x, y] R : x + y }; f(x, y) = x y b) M = {[x, y] R : x 3 y x, x x + y 3x}; f(x, y) = (x +y ) 7. Spočtěte míru λ (M) možiy M: a) M = {[x, y] R : (x + y ) a (x y )} (obsah plochy ohraičeé lemiskátou) b) M = {[x, y] R : < x + y < 3, x < y < 3x} c) M = {[x, y] R : (x + y) 3 < axy, x >, y > } (a > ) 8. Spočtěte míru λ 3 (M) možiy M: (v úlohách uvažujte všechy parametry kladé) a) M = {[x, y, z] R 3 : x + y + z r} (objem koule) b) M = {[x, y, z] R 3 : x + y + z az, x + y z } c) M = {[x, y, z] R 3 : x + y + z R, x + y Rx} (objem Viviaiho okéka) d) M = {[x, y, z] R 3 : (R x + y ) + z a }, R > a (objem auloidu) e) M = {[x, y, z] R 3 y : + z 3 x +x+3 } 9. Spočtěte M z dλ 3, kde M = {[x, y, z] R 3 : x + y + z R, x + y + z Rz} (R > ). Dokažte, že e x dx = π/ (tzv. Laplaceův itegál, dále jej budeme považovat za zámý itegrál). Pomocí Fubiiovy věty spočtěte hodoty ásledujících Lebesgueových itegrálů arctg(ax) arctg(bx) e ax e bx a) dx (ab > ) b) x x dx (a, b ) log( + a x ) log( + b x ) c) x dx (a, b R) III. VÍCEROZMĚRNÁ INTEGRACE - VÝSLEDKY. a) 3/ log b) 7 c) +. a) log 5 4 3. M je ohraičea křivkami x = 4, y = a y = x, máme ( ) 4. (e9 ) 5. a) ( e ) b) 6 3 6. a) π b) 4 9 3 8. a) 4 3 πr3 b) a 3 π c) 3 R3 (π 4 3 ) d) π Ra e) π 3 9. πr 5 59 48. a) sg a π log(a/b) b) πb πa c) π( a b ) 4 y dx dy = 4 x dy dx = 6 3 7. a) a b) 5/8 c) a /6
. Spočtěte ásledující limity: a) lim d) lim x dx e) lim + x a IV. INTEGRACE POSLOUPNOSTÍ A ŘAD FUNKCÍ e ax dx x dx f) lim a + b) lim e ax dx x 3/ x dx c) lim + x + x. V ásledujících příkladech rozviňte itegrovaou fukci v řadu, ověřte možost záměy řady a itegrálu a vyjádřete itegrál jako číselou řadu. a) log( x) x dx b) log(+x) x dx c) x e x dx d) e x cos x dx e) x p +x dx (p, q > ) f) q IV. INTEGRACE POSLOUPNOSTÍ A ŘAD FUNKCÍ e 8x + dx. a) b) c) d) e) f). a) log 8 = (+) b) = ( ) (+) c) = (+) d)! = ( ) ()! e) ( ) = p+q f) = ( ) (e) 8(+) = V. INTEGRÁLY ZÁVISLÉ NA PARAMETRU. Určete defiičí obor ásledujících reálých fukcí (= možiu všech a R, že F (a) R) a dokažte, že jsou a svém defiičím oboru spojité. a) F (a) = e ax dx b) F (a) = +x e ax dx c) F (a) = log(x + a ) dx. Rozhoděte, pro které hodoty parametrů kovergují ásledující Lebesgueovy itegrály a spočtěte jejich hodoty pomocí věty o derivováí itegrálů závislých a parametru. a) e ax xe x dx b) ax si bx e dx x 3. Načrtěte grafy fukce F (a) = e ax (tj. spočtěte prví a druhou derivaci, určete mootoii a +x kovexitu-kokávitu + limity v krajích bodech defiičího oboru) V. INTEGRÁLY ZÁVISLÉ NA PARAMETRU - VÝSLEDKY.defiičí obory: a) [, ) b) (, ) c) R. a) log(a + ), a (, ) b) arctg b a, a >, b R. Lze také zapsat: arctg a b + π pro a, b > ; arctg a b π pro a >, b < ; pro a >, b = 3. bude ukázáo a předášce
VI. POČÍTÁNÍ INTEGRÁLŮ POMOCÍ FUNKCÍ Γ A B.Dokažte platost ásledujících vzorců: (tyto vzorce můžete používat v dalších příkladech) a) B(p, q) = π/ cos p x si q x dx b) B(p, q) = x p (+x) p+q dx. Spočtěte hodotu ásledujících itegrálů: a) x 4 e x dx b) π/ si 4 x cos 6 x dx c) x p +x dx ( < p <, N) d) dx e) e px x 4 +e ( < p <, N) x 3. Spočtěte hodotu ásledujících limit (s použitím Stirligova vzorce): ()! a) lim (!) b) lim! Γ(+/) VI. POČÍTÁNÍ INTEGRÁLŮ POMOCÍ FUNKCÍ Γ A B - VÝSLEDKY. a) 8 3 π b) 3 π π c) 9 si πp 3. a) 4 b) π d) (Γ(/4)) 4 π e) π si πp
FOURIEROVY ŘADY. Rozložte ve Fourierovy řady periodické prodloužeí ásledujících fukcí a určete jejich součet a) f(x) = x, x ( π, π) b) f(x) = x, x (, π) (jako důsledek zkuste odvodit, že = { π 6 ) x ( 5, ] c) f(x) = d) f(x) = x, x [, ] 3 x (, 5). Pomocí Parsevalovy rovosti a Fourierovy řady fukce f(x) = x, x [, ] (viz. jede z příkladů výše) určete součet řady = + + +... ( ) 4 4 3 4 5 4 3. Pomocí Parsevalovy rovosti a Fourierovy řady fukce f(x) = x, x [ π, π] určete součet řady 4 { x [ π, π 4. Napište Fourierovu řadu fukce f(x) = 6 ] [ π 6, π] cos(3x) x ( π 6, π 6 ), určete její součet a pomocí Parsevalovy rovosti odvoďte součet řady cos π 6, 3. (9 ) 5. Pomocí věty o itegraci Fourierovy řady alezěte Fourierovu řadu fukce g(x) = x, x ( π, π) pomocí Fourierovy řady fukce f(x) = x, x ( π, π) (viz. jede z příkladů výše) a pokuste se odvodit součet řady ( ) +. FOURIEROVY ŘADY - VÝSLEDKY. a) ( ) + si(x), řada koverguje k fukci f b) 4π 3 + ( 4 cos(x) 4π si(x)), a itervalu (, π) řada koverguje k fukci f, v bodě x = má řada součet π c) 3 + 3( ( ) ) π si πx 5, a itervalech ( 5, ) a (, 5) řada koverguje k fukci f, v bodech x = 5, x = a x = 5 má součet 3/ d) + 4 (( ) ) cos πx π, řada koverguje k fukci f. ( ) 4 = π4 96 3. π4 9 4. 3π + 6 cos(3x) +, 3 5. π 3 + 4( ) 6 cos(π/6) (9 )π cos(x), ( ) + cos(x), řada koverguje k fukci f, = π, 3 cos π 6 (9 ) = 5π (36) 8 9