Matematika 1A. PetrSalačaJiříHozman Fakulta přírodovědně-humanitní a pedagogická Technická univerzita v Liberci petr.salac@tul.cz jiri.hozman@tul.cz 5.12.2016 Fakulta přírodovědně-humanitní a pedagogická TUL ZS 2016-2017 1/ 12
Polynomy Definice Polynomem se rozumí funkce f definovaná na R vztahem f(x)=a m x m +a m 1 x m 1 + +a 1 x+a 0, kde m N {0}, a 0, a 1,..., a m Rsenazývajíkoeficientypolynomu f. Je-li a m 0,řekneme,žepolynom fjem-téhostupně. Nulovému polynomu nepřiřazujeme stupeň. Věta9.11. Číslo a Rjekořenempolynomu f,právěkdyžexistujepolynom gtakový,žepro každé x Rplatí f(x)=(x a).g(x). Fakulta přírodovědně-humanitní a pedagogická TUL ZS 2016-2017 2/ 12
Polynomy Definice Je-ličíslo akořenempolynomu f,paklineárnífunkci x anazvemekořenový činitel příslušný kořenu a. Je-li kpřirozenéčíslo, fpolynom, a R,řekneme,žečíslo ajek-násobným kořenem polynomu f, jestliže existuje polynom h takový f(x)=(x a) k h(x) provšechna x Ra h(a) 0. Příklad Určetekořenypolynomu f(x)=x 3 8x 2 +21x 18. Poznámka Existují polynomy nenulového stupně, které nemají v R kořen. (Např. f(x)=x 2 +1) Fakulta přírodovědně-humanitní a pedagogická TUL ZS 2016-2017 3/ 12
Polynomy Věta 9.12. (Základní věta algebry) Polynom m-téhostupněmávmnožiněcprávě mkořenů,pokudkaždýkořen považujeme za tolik kořenů, jaká je jeho násobnost. Důsledek (o kořenovém rozkladu v C) Každýpolynom f m-téhostupně, m 1,lzenapsatvetvaru f(x)=a m (x c 1 ) κ 1 (x c 2 ) κ 2...(x c r ) κ r, kde c 1, c 2,..., c r C, r maκ 1 +κ 2 + +κ r = m. Příklad Určetekořenypolynomu f(x)=x 3 +x 2 +x+1anapištejehokořenovýrozkladna kořenové činitele v C. Věta 9.13. (o sdruženosti kořenů) Má-li polynom s reálnými koeficienty v C k-násobný kořen a, pak má také k-násobný komplexně sdružený kořen a. Fakulta přírodovědně-humanitní a pedagogická TUL ZS 2016-2017 4/ 12
Polynomy Věta 9.14. (o kořenovém rozkladu v R) Každýpolynomsreálnýmikoeficienty f(x)= m k=0 a kx k lzevyjádřitvetvarutzv. kořenového rozkladu f(x)=a m (x α 1 ) k 1 (x α 2 ) k 2...(x α r ) k r (x 2 β 1 x+γ 1 ) l 1...(x 2 β s x+γ s ) l s, kde α 1,...,α r jsouvšechnynavzájemrůznéreálnékořenypolynomu f, k 1,...,k r jsoujejichnásobnosti, (x 2 β j x+γ j )pro j=1,...,sjsoukvadratickétrojčleny,kterénelzevrrozložit nasoučinlineárníchčlenů(d <0). Přitom platí k 1 +k 2 + +k r +2(l 1 + +l s )=m tj.stupeň f(x). Fakulta přírodovědně-humanitní a pedagogická TUL ZS 2016-2017 5/ 12
Racionální funkce Definice. Racionální funkcí R(x) se nazývá podíl dvou polynomů, tj. R(x)= P(x) Q(x), kde Q(x) je nenulový polynom. Jedefinovánaprovšechna x,prokteráje Q(x) 0. Racionální funkci, u níž stupeň čitatele je menší než stupeň jmenovatele, nazýváme ryze racionální funkcí, v ostatních případech mluvíme o neryze racionální funkci. Věta 9.15. Neryzeracionálnífunkce P(x) Q(x) jebuďtopolynom,nebojilzezapsatvetvarusoučtu polynomu Maryzeracionálnífunkce N(x) Q(x),tj. P(x) Q(x) = M(x)+ N(x) Q(x). (1) Příklad Vyjádřeteracionálnífunkci x 3 +1 x 2 3x+2 vetvaru(1). Fakulta přírodovědně-humanitní a pedagogická TUL ZS 2016-2017 6/ 12
Racionální funkce Definice. Parciálními zlomky nazýváme tyto dva druhy zlomků A (x r) k, Bx+C (x 2 +px+q) k kde A, B, C, r, p, q R, k Napřitommusíbýtsplněnapodmínka p 2 4q <0. Věta 9.16. (o rozkladu na parciální zlomky) Každou ryze racionální funkci lze vyjádřit ve tvaru součtu parciálních zlomků. Fakulta přírodovědně-humanitní a pedagogická TUL ZS 2016-2017 7/ 12
Postup rozkladu ryze racionální funkce na parciální zlomky 1. Polynom Q(x) napíšeme ve tvaru kořenového rozkladu v R, tj. Q(x)=a m (x α 1 ) k 1 (x α 2 ) k 2...(x α r ) k r (x 2 β 1 x+γ 1 ) l 1...(x 2 β s x+γ s ) l s, 2.Každýčlen(x r) k přispívádorozkladutěmitočleny: A k (x r) k, kdečísla A 1,..., A k určímepozději. A k 1 (x r) k 1,..., A 1 x r, 3.Každýčlen(x 2 +px+q) l přispívádorozkladutěmitočleny: B l x+c l (x 2 +px+q) l, B l 1 x+c l 1 (x 2 +px+q) l 1,..., B 1 x+c 1 x 2 +px+q, kdečísla B 1,..., B l, C 1,..., C l určímepozději. Fakulta přírodovědně-humanitní a pedagogická TUL ZS 2016-2017 8/ 12
4. Napíšeme rovnost Postup rozkladu ryze racionální funkce na parciální zlomky N(x) Q(x) = { všechnysérieparciálníchzlomků určených z kořenového rozkladu } 5. Předchozí rovnost vynásobíme polynomem Q(x), čímž získáme rovnost dvou polynomů { } všechnysérieparciálníchzlomků N(x)=.Q(x) určených z kořenového rozkladu 6.Konkrétníhodnoty A k, B l, C l získámetak,žeporovnámekoeficientyustejných mocnin na levé a pravé straně předchozích rovností - metoda neurčitých koeficientů. Fakulta přírodovědně-humanitní a pedagogická TUL ZS 2016-2017 9/ 12
Postup rozkladu ryze racionální funkce na parciální zlomky Poznámka. Bilanční rovnice pro porovnání koeficientů tvoří soustavu n lineárních rovnic pro n neznámých. Takto vzniklá soustava má vždy právě jedno řešení. Příklad Rozložte na parciální zlomky ryze racionální funkci f(x)= 2x3 +2x 2 +3x+2 x 4 +x 2. Fakulta přírodovědně-humanitní a pedagogická TUL ZS 2016-2017 10/ 12
Postup integrování racionální funkce 1.Racionálnífunkcinapíšemevtzv.kanonickémtvaru P(x) Q(x). 2.Polynom P(x)dělímesezbytkempolynomem Q(x),tj. P(x) Q(x) = M(x)+ N(x) Q(x), kde stn(x) < stq(x). Poznámka:Pokud stp(x) < stq(x)bod2.přeskočíme. 3.Provedemerozkladzbytku N(x) Q(x) naparciálnízlomky. 4. Integrujeme postupně členy polynomu a jednotlivé parciální zlomky. Fakulta přírodovědně-humanitní a pedagogická TUL ZS 2016-2017 11/ 12
Postup integrování racionální funkce Integrace parciálních zlomků A (x r) k dx= Bx+c x 2 +px+q dx= Bx+c (x 2 +px+q) k dx= Příklad 2x 3 +2x 2 +3x+2 x 4 +x 2 dx= 5x+3 x 2 x+1 dx= Fakulta přírodovědně-humanitní a pedagogická TUL ZS 2016-2017 12/ 12