Pjistná matematika Pdstata pjišťvny: se vzrůstajícím pčtem klientů, klesá pjistně technické rizik. Příklad: - Pravděpdbnst, ţe nastane pjistná událst, je 0,01 za jeden rk. Škda, která můţe nastat při tét pjistné událsti je 1 000 000 Kč. Řešení z phledu jednh člvěka, který není pjištěn. pjistně technické rizik Řešení z phledu pjišťvny (kmen s N pjištěných a pjišťvna přebírá za ně jejich ztráty) pjistně technické rezervy (mál lidí) => ptimální řešení
Základní pjmy - Čisté rizik je událst, která se můţe pravdu přihdit (pţár, úraz, ) - Objektivní rizik je dané nějakými faktry (věk, phlaví, ) - Mrální rizik rizik, kdy pjištěný nedělá vše pr t, aby předešel pjistné událsti (např. pţární hlásič nefunguje a pjištěný nezajistí jeh pravu před vznikem událsti) Klasifikace pjištění - Klasifikace tradiční 1. dělení Sukrmé pjištění sb, majetek, dpvědnst za škdu, úraz, zdravtní pjištění, nemcenské pjištění Sciální pjištění nemcenské a důchdvé pjištění (státní důchdvé pjištění a penzijní fndy) Zdravtní pjištění státní, liší se d sukrméh zdravtníh pjištění 2. dělení Dbrvlné pjištění Pvinné smluvní pjištění pvinné ručení Záknné pjištění - Klasifikace z phledu pjistné matematiky Ţivtní pjištění Pjištění na smrt, dţití neb na bje zárveň (smíšené pjištění), důchdvé pjištění zde je garantvaný výns Kapitálvé a investiční ţivtní pjištění zde není garantvaný výns a finance jsu ddělené Pjistné: Jednrázvé zaplatím na začátku a dál uţ nic neplatím Běţné pravidelné splátky (měsíční neb rčně) Ryzí takvé, jeţ v průměru pkryje pjistné plnění, ale nepkryje prvz pjišťvny Hrubé t, které platíme a pjišťvna pkryje prvz, výns, rezervu (variabilitu) => v případě nadměrných pjistných událstí. Valrizvané je navýšen inflaci Prč je ţivtní z phledu pjistné matematiky? Ţivtní pjištění plyne s ţivtem a je t dluhdbá věc. Pjištění je rezervtvrné. Pr pjišťvnu je nárčnější.
Neţivtní pjištění Majetkvé Dmácnst, budvy, havarijní pjištění, průmyslvá rizika, zemědělská rizika, Odpvědnst za škdu Smluvní (dbrvlné) v běţném ţivtě (na blbst), vlastníka nemvitsti, pdnikatele za výrbek, Smluvní (pvinné) pvinné ručení autmbilů, letadel a myslivsti Záknné Odpvědnst rganizace za škdu při pracvním úrazu a nemci z pvlání Úrazvé pjištění Smrt úrazem, trvalé následky, náklady na léčení Sukrmé zdravtní pjištění Cestvní pjištění a nadstandartní pjištění, pjištění denní dávky při pracvní neschpnsti, pjištění denníh pbytu v nemcnici Příklad: - Pjistná událst nastane s pravděpdbnstí 0,001819. Výplata bude 1 000 000 Kč. Cena pjištění je 3 000 Kč, a) máme 100 pjištěnců, b) máme 10 000 pjištěnců, - a chceme spčítat střední zisk na jednu pjistnu smluvu a pjistně technické rizik.
Pjmy k neživtnímu pjištění Intenzita pjistné chrany (0 I 1) Pjistná hdnta (H) Cena v dbě pjištění Nvá cena (N) Cena nvé věci Časvá cena (Č) Bude zhledňvat amrtizaci Pjistná částka (S) Výše pjištění Škda (Š) Příklad pdpjištění: - Cena v dbě pjištění 450 000 Kč, pjistná částka je 200 000 Kč, škda na dané věci je 180 000 Kč a chceme vědět, klik bude pjistnéh plnění. - Řešení: Pjistné plnění, které pjištěný dstane je 80 000 Kč. Neživtní pjištění - Tarifní skupiny jsu hmgenní skupiny pjistných smluv (např. pvinné ručení: typ vzidla, síla mtru, způsb puţití, regin) - Příklad N = pčet smluv v tarifní skupině x = výše škdy q = pravděpdbnst škdy (za rk) X = pčet škd; X ~ Bi (N; q)
= střední výše škdy Princip ekvivalence pr výpčet nett pjistnéh => střední výdaje = středním příjmům Celkvé nett pjistné (ryzí) = Míra klísání (k) vlativita: Řešení: N k při q = 0,001 k při q = 0,01 10 9,99 3,15 100 3,16 0,99 1 000 1,00 0,31 10 000 0,31 0,10
Spčtěte míru klísání, jestliţe pravděpdbnsti úmrtí muţe v 22 letech q = 0,000641 a pravděpdbnst úmrtí muţe v 60 letech q = 0,014. Pjišťvna má pjistný kmen 50 000 lidech.
Základní pjmy - Průměrné pjistné plnění (PPP) - Průměrná pjistná částka (PPČ) - Průměrná škda (PŠ) n pčet pjistných událstí N pčet pjistných smluv - Škdní frekvence (q 1 ) - Škdní stupeň (ŠST) (q 2 ) => čím větší q 2, tím větší škda Odhad q 2 se zpřesňuje vyuţitím empirických charakteristik, kterým říkáme relativní četnsti. - Nett pjistné (P) předpklady pr výpčet: pjistná částka S = PPČ pr kaţdu s N smluv n pjistných událstí, je rvnměrně rzdělen během rku=> t pjistné, které je vybrán na začátku rku, tak vynáší technicku úrkvu míru (i = 1,9 %) přibliţně plvinu rku. Princip ekvivalence diskntní faktr Nett pjistné jedntkvé nettpjistné - Technická úrkvá míra garantvané zhdncení ze zákna
Stanvte jedntkvé nett pjistné p pr pjištění rekreačních staveb s technicku úrkvu míru 1,9 % a se škdní frekvencí 51 a škdním stupněm 9,8 %. Řešení: Škdní tabulka - Tabulka 1 a 2 (škdní tabulka) z intervalvý škdní stupeň. Kdyţ je z = 0,3 tak t dpvídá intervalu T z pčet škd v daném škdném intervalu na n = 100 000 škd (abslutní četnst) t z relativní četnst - pravděpdbnst škdníh stupně váţený škdný stupeň b z kumulativní relativní četnst G z kumulativní váţený škdní stupeň přes všechny z - střední škdní stupeň výsledky škdníh stupně Stanvte jedntkvé nett pjistné, znáte-li technická úrkvá míra je 1,9 %, q 1 je 3 % a puţijte škdní tabulku 2. - Tabulka 3 a 4 (výlukvý řád ze škdnéh stavu) například u zdravtníh, úrazvéh pjištění, kde chceme zjistit střední dbu výluky v pracvní neschpnsti z výsledek náhdné veličiny (pčet dnů neb týdnů) ve výluce V z pčet výluk trvající nejméně z U z pčet výluk trvající právě z u z relativní četnst (pravděpdbnst) z U z => u z *z váţená dba ve výluce d střední dba výluky => V tmt případě se nettpjistné pčítá: => S je pjistné plnění za den (týden) výluky (škdnéh stavu)
Stanvte nett pjistné v úrazvém pjištění, které je dán škdní tabulku 4 s technicku úrkvu míru 1,9 % a škdní frekvencí 25 na 100 Kč pjistnéh plnění.
Frmy pjištění - S pjistná částka - H pjistná hdnta - I intenzita pjistné chrany - Y pjistné plnění - X škda - M maximální mţná škda 1. Pjištění na pjistnu částku pjistné plnění mi bude záviset puze na vzniku pjistné událsti a nezávisí na škdě (např. smrt úrazem) invalidní pjištění, pjištění na smrt Výši škdy nemá smysl zjišťvat vzrec: Y = S Máme 30-ti letéh muţe, který si sjednal pjištění na smrt na 1 rk. Vypčtěte nett pjistné a pjistná částka je 1 000 000 Kč. T samé vypčtěte pr ţenu. Puţijte 2. Škdvé pjištění pjistné plnění závisí na výši škdy. jedná se v zásadě majetkvé pjištění, dpvědnstní pjištění a. Ryzí zájmvé pjištění
S = H I = 1 výše pjistnéh plnění se rvná výši pjistné škdy (Y = X) graf: vzrec: neexistuje pjistná částka, ta je nahrazena pjistnu hdntu b. Pjištění na plnu hdntu I = s => S = s * H vzrec: - Příklad Chceme pjistit dům s hdntu 2 000 000 prti ţivelným phrmám s q 1 = 2 a q 2 37 % a I = 90 %. Klik peněz dstaneme při vytpení se škdu 200 00 Kč. 3. Pjištění na první rizik ryzí zájmvé pjištění mezené shra pjistnu částku S puţívá se typicky u malých častých škd a u velkých, které jsu jedinělé (pjištění dmácnstí) neb chci záměrně pjistit část majetku (pjištění skladu) vzrec:
G s * H = střední výše pjistnéh plnění pr škdy d škdníh stupně s (1 b s ) * S Střední výše pjistnéh plnění pr škdy nad s Pjištění dmácnstí, jeţ se týká tabulka 2. Pjistná částka je 100 000 Kč, ale pjistná hdnta dmácnsti je 500 000 Kč s q 1 = 5 %. Spčítejte nett pjistné. 4. Kvótvé pjištění kmbinace pjištění na první rizik a plnu hdntu Puţívá se v případě, ţe chceme spluúčast implicitně zhlednit v pjištění. S pjistná částka t 0 < t < 1 (faktr spluúčasti kvóta) U = S/t udaná hdnta (pjistná částka pr pjištění na plnu hdntu) vzrec: Pjištění dmácnstí, tedy tabulka 2. Bude nás zajímat kvótvé nett pjištění, kdy faktr spluúčasti je 0,5 a pjistná částka je 100 000 Kč. Stanvte rční nettpjistné při technické úrkvé míře 2,4 %, q1 = 2%, pjistná hdnta je 300 000 Kč. Vyuţijte škdní tabulku 1. Pr ryzí pjištění, pr pjištění na plnu hdntu s pjistnu částku 200 000 Kč, pjištění na první rizik s pjistnu částku 180 000 Kč kvótvé pjištění s pjistnu částku 100 000 Kč a kvótu 0,05.
Spluúčast 1. Pdílvá spluúčast p prcent spluúčasti 2. Odčetná spluúčast (Excedentní spluúčast) pjištění nese spluúčast v hdntě F 0 Pzr F 0 se vztahuje k veliksti škdy, velikst pjistnéh plnění můţe být jiná. př. pjištění na první rizik 3. Integrální spluúčast pjištění s výhradu drbných škd pjištěný kryje škdné částky d F i, ale na vyšších se nijak nepdílí Př. pjištění na plnu hdntu Technická úrkvá míra je 2,4 %, q1 = 0,02; H = 300 000 Kč, škdvá tabulka 1. Ryzí zájmvé pjištění s pdílvu spluúčastí 10 % Odčetná spluúčast pr pjištění na plnu hdntu S = 200 000 Kč, F 0 = 30 000 Kč. Integrální spluúčast pr pjištění na první rizik, H = 300 000, S = 210 000, F i = 30 000 Kč Pjištění na první rizik s dčetnu spluúčastí 30 000 Kč, pjistnu částku 180 000 Kč.
Pdstata výpčtu Integrální spluúčast 30 000 Kč pr kvótvé pjištění na pjistnu částku 120 000 Kč s kvótu 0,7. - t z pravděpdbnst, ţe nastane škda ve výši z - PP z pjistné plnění při škdě z Víceleté pjištění 1. Předplacené pjištění P rční nettpjistné i technická úrkvá míra υ - diskntní faktr Π n nettpjistné na dbu n let Při strnu vrací pjišťvna jednrázvé pjistné v případě, ţe se strn nevrací q 1 - škdní frekvence (pravděpdbnst strna p škdní událsti) a pravděpdbnst přirzenéh strna např. z důvdu zániku z pjistnéh nebezpečí Spčtěte nettpjistné jednrázvé s P = 50 000 Kč, i = 2,4 %, a=2%, n=5 a q 1 = 30.
Bruttpjistné Bezpečnstní přirážka RP rizikvé pjistné - N pčet smluv v jednm rce - S pjistná částka smluv (stejná pr všechny smluvy) - p rční nettpjistné na jedntkvu pjistnu částku - z i, i = 1, N škdní stupeň i-té smluvy, při čemţ většina smluv má z i = 0 => nedšl k pjistné událsti pr i-tu smlvu. - vyuţíváme princip ekvivalence - s směrdatná dchylka pjistnéh plnění z i *S na jednu pjistnu smluvu prtţe p je malé a N je velké, tak - Směrdatná dchylka celkvéh pjistnéh plnění R, tedy směrdatná dchylka na směrdatná dchylka celkvéh pjistnéh plnění - Předpkládáme, ţe celkvé pjistné plnění má nrmální rzd.: Tedy vlíme-li, prtţe pravděpdbnst, ţe ztratím peníze je veliká (0,16) ztráta jednu za 6 let
Rizikvé pjištění =? škdní tabulka č. 1; i = 2,4 %; k = 4; q 1 = 20 ; H = 300 000 Kč a 890 pjistných událstí za rk. Řešení Ryzí zájmvé pjištění pčet smluv u kterých nedšl k pjistné událsti pjistné událsti d škdníh stupně 0,1 => rizik 361,43 pjištění na první rizik s t=0,6 kvótvé pjištění: t = 0,5; S = 100 000; U = 200 000 pjištění na plnu hdntu s = 0,8 a integrální spluúčast = 0,1
Technické rezervy v neživtním pjištění Rezerva na pjistné plnění - pdstatné jsu rezervy na pjistné plnění, v případě, ţe dchází ke zpţdění plateb d pjistné událsti Rk Vý V Je Rk vzniku 0 1 2 3 4 5 2000 9 21 31 42 50 50 2001 13 28 36 46 60 2002 14 29 44 60 2003 16 24 42 2004 12 26 2005 11 - rk vzniku rk, kdy vzniká pjistná událst - rk vývje klik let uběhl d vzniku pjistné událsti - čísla pjistná plnění d danéh rku (kumulativní) - Chceme dhadvat buducí pjistné plnění Metda Chain Ladder - vývjvé keficienty pr rk vývje: Rk Vý V Je Rk vzniku 0 1 2 3 4 5 2000 9 21 31 42 50 50 2001 13 28 36 46 60 60 2002 14 29 44 60 75 75 2003 16 24 42 56 70 70
2004 12 26 39 52 65 65 2005 11 22 33 44 55 55 c všechn se musí vyplatit za pjištění vzniklá d rku 2000 d rku 2005 c jiţ je zaplacen (diagnála) rzdíl c zbývá zaplatit => rezerva =126 - technická rezerva jiţ vzniklé pjistné událsti Vyrvnávací rezerva - na pkrytí výkyvů pjistných plnění (vztahuje se k rizikvému pjistnému) - v Německu se pčítá ze zasluţenéh pjistnéh v rce t P t a ze směrdatné dchylky spčtené z k t-1,, k t-15 - T je hdně
Matematické mdelvání v neživtním pjištění terie rizika - mdel můţe nahradit data, kdyţ je jich mál ppisuje chvání rizika mhu prvádět statistické testvání Mdely pčtu pjistných nárků X náhdná veličina pčet pjistných nárků na rk a) K pčet smluv p - pravděpdbnst pjistné událsti b) střední pčet pjistných nárků c) pčet nezdarů před α-tým zdarem α = 1 => gemetrické rzdělení
d) smíšené Pissnv rzdělení, kdy stední hdnta je řízena husttu při pjištění pţáru je různé λ za různéh pčasí Pčasí suché: λ = 150 => nrmální: λ = 80 => vlhk: λ = 40 => Pvinné ručení: X i pčet událstí na jednu smluvu za rk Prtţe je průměr a rzptyl velmi pdbný, můţeme zvlit Pissnův mdel Neb prtţe < VarX i, můţeme zvlit: Mdel na pčet všech pjistných nárků
q 1 = 6, pčet smluv K = 100, Zvlíme Pissnův mdel, pčet pjistných událstí = X a) Pravděpdbnst ţádná pjistná událst b) pravděpdbnst, ţe pčet pjistných událstí je více neţ 3 Řešení: a) b) q 1 = 0,114; K=2178, Řešení: a), Spčtěte pravděpdbnst, ţe nastane 300 neb méně pjistných událstí. b) Intervalvý dhad splehlivst 95 % pr střední pčet pjistných událstí chci spčítat => kritické hdnty: => => r = 31 => Intervalvý dhad (2178 * 0,114-31;2178 * 0,114 + 31) q 1 = 15, K = 1000, puţijeme Pissnův mdel, chceme pčítat pravděpdbnst X = 0, X = 1, X > 1, X >10 pdle CLV a intervalvý dhad 95% a 99% α = 3,5; p = 0,996; X i ~ NB(α;p) pr jednu smluvu; K = 10 000 smluv, X ~ NB(K*α;p) přes všechny smluvy. chceme pčítat pravděpdbnst X = 1, X > 1, X >1500 pdle CLV a intervalvý dhad 99%
V rce 1993 byl v ČR registrván 6 025 000 aut a dcizen 26 830. Pjišťujeme-li 10 000 aut spčtěte pravděpdbnst, ţe bude za rk 1994 dcizen více jak 50 aut, s mdelem Pissn CLV. Mdely výše škd 1. 2. 3. 4. těţký chvst mhu nastat extrémní výše škd (pr mdelvání dlehlých událstí) např. většinu jsu chřipky a extrémní výše škd je rakvina Slžené pjistné mdely - náhdná veličina celkvá výše škdy (S) - pčet škd (X) - => nevíme jak dluhý je ten sučet.
- předpkládáme, ţe Y 1,, Y X ; X jsu nezávislé Výše celkvé škdy S =?; EY=10 000 a var Y = 2 000 000, q 1 = 5 ; K=100 000 smluv; Puţijeme pravděpdbnst ţe S > 10 000 000. Řešení:. Chceme a) 000 b) intervalvý 99% dhad Interval: (500000-, 500000+ )
Úmrtnstní tabulky Mdelvání úmrtnsti - T 0 délka ţivta - F 0 (t) = distribuční funkce délky ţivta - S 0 (t) = funkce přeţití - T x délka ţivta ve věku dţitých x - F x (t) = - - Např. F 50 (1) = pravděpdbnst, ţe 50 letý muţ se nedţije 51 rku ţivta. - pravděpdbnst úmrtí ve věku x - pravděpdbnst dţití ve věku x - pravděpdbnst úmrtí před dţitím x + t - pravděpdbnst dţití x + t ve věku x - - pravděpdbnst úmrtí ve věku x + s při dsaţených x - - pravděpdbnst úmrtí d věku x + s + t při dţití x + s při dţitých x - - ) - - - - střední délka ţivta, při dţitých x - Hustta úmrtnsti: - Intenzita úmrtnsti důleţitý pjem P úpravách dstaneme aprximaci: - přesné vyjádření intenzity
hustta relativní pravděpdbnst umírání ve věku x
Mdely intenzity úmrtnsti 1. Gmpertzův mdel 2. Makehamův mdel 3. Weibůllův zákn úmrtnsti ţivtnst technických zařízení v terii splehlivsti a. Celčíselná délka živta - celá část délky ţivta - - = -
Úmrtnstní tabulky na 100 000 lidí - x věk - l x pčet přeţivších (pčet dţívajících se věku x) - q x pravděpdbnst úmrtí ve věku x: - d x pčet zemřelých ve věku x - D x pčet zemřelých ve věku x ze sledvaných jedinců, kterých P x, dtud se přepčítávají hdnty na 100000 byvatel.
- L x pčet let prţitých dhrmady jedinci ve věku x u kjenců - T x pčet zbylých let ţivta jedinců ve věku x (všech dhrmady) ; ω = 105 - střední délka ţivta - - Vztahy - Mdelvě: X pčet jedinců dţivších se x ) l 0 je pčet narzených Spčtěte pravděpdbnst, ţe muţ, kterému je 20 let, bude naţivu ještě v 60 letech a t i pr ţeny. Spčtěte pravděpdbnst, ţe muţ, kterému je 20 let, zemře mezi 60. a 65. rkem. - Příklad. Jaký je střední pčet zbývajících let dvacetiletéh muţe neb ţeny?
- Příklad Pjišťvna pjišťuje 100 muţů ve věku 65 let a dává jim měsíční důchd 5000 Kč. Klik musí pr ně vyhradit peněz ve střední hdntě? Panu Vlkvi je 28 let a panu Biskupvi je 27 let. Jaká je pravděpdbnst, ţe puze jeden z nich bude na ţivu ve svých 70ti letech?
Prblémy úmrtnstních tabulek 1) Vývj tabulek v čase řešení pmcí generačních úmrtnstních tabulek pr kaţdý rk narzení mám speciální tabulku vytvření tabulky věkvých psunů viz učebnice puţití tabulky věkvých psunů: tabulka je vztaţena na q x rčníků 1955 (v učebnici) chceme spčítat pravděpdbnst úmrtí člvěka v 50 letech, který se nardil v rce 1975 2) Muţi vs ţeny řešení: všechny ţeny jsu pvaţvané za muţe => platí více v rizikvém pjištění (Pr důchdvé pjištění, napak) 3) Selekce vs antiselekce selekce pjišťvny vyţadují např. zdravtní prhlídku, pdle které zařadí lidi d určité skupiny před vstupem d smluvníh vztahu (lidé uzavírající základní smluvy jsu tudíţ zdravější neţ průměr) antiselekce týká se důchdvéh pjištění; uzavírají h lidé, kteří předpkládají, ţe se dţijí vyskéh věku. Pjišťvny musejí v takvém případě puţívat redukční keficient míst q x. f x *q x. 4) Bezpečnstní přiráţka prjevuje se implicitně v úmrtnstních tabulkách jestliţe mám pjištění rizikvé, tak ptm musím q x zvednut, abychm vybrali dstatečné mnţství pjistnéh v případě důchdvéh pjištění musím q x sníţit a budu předpkládat, ţe lidi budu ţít déle
Odhad pravděpdbnsti úmrtí qx - sledujeme bdbí 1. 1. 2004 aţ 31. 12. 2005 a chceme dhadnut q 50 kmen: Narzení 2004 2005 s i (měsíc) t i (měsíc) t i s i 1. 4. 1953 V kmenu 8. 5. 2005 9 12 3 11. 6. 1953 V kmenu V kmenu 7 12 5 5. 7. 1954 Vstup 1. 8. 2004 3. 5. 2005 1 10 9 30. 10. 1954 V kmenu Výstup 21. 8. 2005 0 10 10 1. 12.1954 V kmenu Výstup 18. 12. 2004 0 1 1 22. 5. 1955 Vstup 28. 9. 2005 V kmenu 4 7 3 1. 8. 1955 V kmenu V kmenu 0 5 5 s i klik mu byl měsíců při začátku pzrvání (neb kdyţ dţije 50) t i měsíců na knci pzrvání (např. smrt, neb kdyţ se dţije 51) D x pčet úrmtí v kmenu ve věku 50 = 1 I mnţina zemřelých v pzrvacím bdbí Pr malé kmeny je dhad značně nepřesný a prt je vhdné puţít vyrvnávání tabulek pmcí kluzavých průměrů či funkcí. Intervaly splehlivsti: ptřebuje zhlednit nepřesnst a variabilitu Jednstranné intervalvé dhady plní funkci bezpečnstní přiráţky pr důchdvé pjištění zmenšujeme q x pr rizikvé pjištění zvětšujeme q x Intervalvý dhad pr důchdvé pjištění
D = celkvý pčet zemřelých v kmeni pčet ţijících ve věku x v pjistném kmeni - hledaná bezpečnstní přiráţka splehlivsti 1 α Puţití CLV kvantli N(0,1) Odhad p elementárních úpravách pr důchdvé pjištění (pr rizikvé by byl u ) n = 1000 lidí; neuvaţujeme příchdy a dchdy z kmene; x = 40 a budeme dhadvat q x ; D 40 = 2; t 1 = 7; t 2 = 2 dva lidi zemřeli v červenci a v únru a pčítáme na kmeni 40 44 let. Spčtěte intervaly splehlivsti pr α = 0,05, je-li,,,. Intenzita úmrtnsti ve věku 50 let
Živtní pjištění princip ekvivalence: příjmy se rvnají výdajům. - prblémy: vývj peněz v čase (inflace) náhdný charakter finančních tků - řešení: příjmy budeme pčítat jak čekávanu (střední hdnta) pčáteční hdntu (čas 0) pjistnéh = čekávané pčáteční hdntě pjistnéh plnění (Příjmy = Výdaje) Vzhledem k linearitě stačí pčítat jedntkvé pjistné (pjistné na jednu krunu) - pjistně technické rizik = σ (směrdatná dchylka) rizik pjištění - i = technická úrkvá míra TÚM - Máme 40. letéh muţe, který si zakládá rizikvé pjištění na dbu 5 let na pjistnu částku 1 000 000 Kč. Vypčítejte jednrázvé nettpjistné. Řešení: Rizik pjištění náhdná veličina udávající jedntkvé pjistné plnění
rizik pjištění na 1 Kč. Na jednh člvěka mám rizik hrzně mc prti vybranému pjistnému. Kmen 100 lidí => na st lidí a na 1 000 000 Kč pjistné částky Kmen 10 000 => je ptimální mnţství lidí. Nett pjistné Kmutační čísla: nultéh řádu: diskntvaný pčet dţívajících se věku x diskntvané mrtvlky prvníh řádu: druhéh řádu: Pkračvání příkladu výše: ----- S vyuţitím dvjitéh diskntníh faktru
1) Pjištění pr případ dţití pjišťuje se člvěk ve věku x na n let a pkud se dţije n let, dstane cílvu částku je EZ pčítán s dvjitým diskntním faktrem - Příklad 40 letý muţ si zakládá pjištění na dţití 60 let na 1 000 000 Kč. Spčtěte jednrázvé nettpjistné a rizik. Řešení 2) Pjištění pr případ smrti Pjistná částka je vyplacena v případě smrti (pjištění nákladů na phřeb) - Příklad Jaké je jednrázvé nettpjistné při pjištění 60 letéh muţe pr případ smrti na pjistnu částku 1000 Kč. Řešení:
3) Dčasné pjištění pr případ smrti viz úvdní příklad k ţivtnímu pjištění ţivtní úvěrvé pjištění dkáţe značně prdraţit hyptéky 4) Smíšené pjištění kmbinace pjištění pr případ smrti a pjištění pr případ dţití. Kapitálvé ţivtní pjištění x = 40, n = 20, pjistná částka v případě smrti 1 000 000 Kč a pjistná částka pr případ dţití je 2 000 000 Kč. Řešení: Jednrázvé nett pjistné je 1 308 793,595 Kč s rizikem 186 018,9 Kč. 5) Pjištění s pevnu dbu výplaty druh stipendijníh pjištění nezávisí na dbě smrti ani na x σ(z) = 0
- Příklad Spčtěte jednrázvé nett pjistné a rizik pr dčasné pjištění pr případ smrti. x = 20, n = 20, pjistná částka je 2 000 000 Kč, TÚM = 1,9 %. - Příklad Kapitálvé ţivtní pjištění x = 20, n = 40, pjistná částka na případ smrti 2 000 000 a pjistná částka pr případ dţití je 10 000 000.
Důchdvé pjištění 1) Pjištění dţivtníh důchdu ve věku x uvaţujeme vţdy předlhůtní mdel budeme pčítat jedntkvý důchd => výplata na začátku bdbí bude 1 Kč pjistné pr případ smrti υ V rce 60 svéh věku chci 100 000 rční důchd. Spčtěte jednrázvé nettpjistné a rizik. 2) Pjištění dlţenéh dţivtníh důchdu => plhůtní varianty 3) Pjištění dčasnéh důchdu ve věku x na n let Plhůtní mdel:
Pjištění dčasnéh důchdu ve věku 40 let na 20 let. Spčtěte jednrázvé nettpjistné a rizik. 4) Pdrční důchdy (důchdy vyplácení např. měsíčně) - příklad: 1000 kč měsíčně dţivtní důchd pr 60 letéh muţe 1000 Kč měsíčně dčasné p dbu 40 let ve věku 20 let
Kalkulace běžnéh pjistnéh v živtním pjištění - vyuţití principu ekvivalence: pjištění na dţití ve věku x + n muţe ve věku x P = běţné pjistné Řešení: jinak: Jaké je rční nett pjistné pr smíšené pjištění 40 letéh muţe na 20 let na 1000 Kč pjistné částky? Řešení: Jaké je měsíční nett pjistné z minuléh příkladu? Jaké je měsíční nett pjistné na 100 Kč měsíčníh dţivtníh důchdu dlţenéh k věku 60 let, jestliţe se pjistné platí během dby dkladu důchdu. (x = 40, TÚM = 1,9 % Spčtěte rční nettpjistné dlţenéh důchdu ve věku x = 20 let a dlţen je k věku 60 let jestliţe se pjistné platí během dby dkladu na 100 Kč vyplácených měsíčně. Spčítejte měsíční nettpjistné pr pjištění smrti na 5 let ve věku 20 let na pjistnu částku 1000 000 Kč.
Brutt pjistné - je t nett pjistné a správní náklady - bezpečnstní přiráţka se implicitně zhledňuje v úmrtnstních tabulkách - rizikvé pjištění = nett pjistné + bezpečnstní přiráţka - musíme zhlednit správní náklady 1) Pčáteční jednrázvé náklady - α prvize za zprstředkvání pjistné smluvy částka je bvykle v prcentech např. α = 5 % za zprstředkvání z cílvé částky 2) Běţné správní náklady - β platí se kaţdý rk a jsu t náklady za administraci např. β = 0,6 % 3) Inkasní náklady - γ náklady spjené s inkasvání d klienta např. γ = 5 % z jednrázvéh brutt pjistnéh 4) Náklady při výplatě důchdu - δ 5) Jedntná správní přiráţka ε Slučuje dhrmady předchzí náklady Smíšené pjištění Pjistné dţivtníh dlţenéh důchdu
Zdravtní aspekty živtníh pjištění 1) Lékařský underwriting tj. lékařská prhlídka před uzavřením smluvy. Při zjištění nedstatků dchází ke zvýšení bruttpjistnéh. Lékařská prhlídka je hrazena ze vstupních pplatků. Při zjištění rizikvých faktrů u pjištěnce je pjistné násben keficientem neúmrtnsti m m. Kuření 40 cigaret: m m =50% Vyský krevní tlak: m m =100% Nadváha: m m =25% 2) Pjištění váţných nemcnění 3) Úrazvé a invalidní pjištění (neţivtní pjištění) 4) Sukrmé zdravtní pjištění (neţivtní pjištění)
Rezerva pjistnéh živtníh pjištění - pčítáme technické rezervy pjistitele, které jsu náklady na pkrytí pjistných závazků pjištěných Pjištění pr případ smrti x = 40, n = 20 Smíšené pjištění x = 40, n = 20, S = 1 000 Kč t Očekávané Očekávané Očekávané Očekávané příjmy výdaje příjmy výdaje 1 6,51 2,9 41,20 2,9 10 6,3 7,12 39,88 7,12 20 5,7 15,96 36,10 851,96 - v ţivtním pjištění je nutné ukládat rezervy na pkrytí buducích výdajů - Hdnta pjistné smluvy v čase - => prspektivní výpčet rezervy - - => retrspektivní výpčet rezervy Zbecnění pjistnéh plnění pr různé typy pjištění - x věk - n dba pjištění - t = 1,2,,n rky - pjistné plnění při dţití t-téh rku - pjistné plnění při úmrtí během t-téh rku Smíšené pjištění na 1 000 KČ, x = 40, n = 20, a t = 0, pkud t = 1,,19, a t = 1000, pkud t = 20, b t = 1000, pkud t = 1,,20 Trvalý důchd n = ω x, x = 60, a t = 1000, pkud t = 1,,n; b t = 0, pkud t = 1,,n - pr výpčet nettpjistné
Smíšené pjištění na 1 000 Kč, x = 40; n = 20; a t = 0, pkud t = 1,,19; a t = 1000, pkud t = 20, b t = 1000, pkud t = 1,,20 Řešení: Retrspektivní Nettrezerva pr rky t = 1, 2, 19 dčasnéh pjištění pr případ smrti na 1 000 Kč, kdy x = 40, n = 20. nettrezerva pr 2 rky na dlţený dţivtní důchd na 1 000 Kč, x = 40, n = 20. (t = 21, 22.)
Mderní pstupy v živtním pjištění 1) Kapitálvé ţivtní pjištění (Flexibilní prdukty ţivtníh pjištění) můţe se měnit: výše a způsb placení pjistnéh, pjistná částka zvyšvání pjistnéh dle míry inflace (valrizace) flexibilita je umţněna ddělením rizikvé slţky a spřící slţky v případě smrti se vyplácí rizikvá tak i spřící slţka dva mdely: knstantní pjistné plnění knstantní dčasné pjistné pr případ smrti zhdncení je dán technicku úrkvu míru a někdy pdíly na zisku 2) Investiční ţivtní pjištění dlišné investvání neţ v 1) investiční rizik nese klient vlbu investičníh fndu
Vzrvá písemka 1) Muţ ve věku 36 let chce uzavřít smíšené ţivtní pjištění na dbu 24 let na částku 400 000 Kč v případě smrti a 800 000 Kč v případě dţití. Jaké bude rční nettpjistné? 2) Spčtěte nett rezervu pr první dva rky výše uvedenéh pjistnéh. 3) Vypčtěte nettpjistné na pjištění RD na 3 000 000 Kč na ryzí zájmvé pjištění s dečtenu spluúčastí 1 000 Kč (q 1 = 0,01 ; G 1.0 = 0,3; G 0,0003 = 0; b 0,0003 = 0). 4) Mdelujeme pčet pjistných událsti pissnvým rzdělením. q 1 = 0,01. Pčet smluv K = 10000. Spčtěte pravděpdbnst, ţe pčet pjistných událstí bbude menší neţ 125.