ANALYTICKÁ GEOMETRIE V PROSTORU 3. přednášk Vektorová lger Prvoúhlé souřdnice odu v prostoru Poloh odu v prostoru je vzhledem ke třem osám k soě kolmým určen třemi souřdnicemi, které tvoří uspořádnou trojici reálných čísel. Bod A je určen jednoznčně trojicí reálných čísel, 2, 3. Píšeme A = [, 2, 3 ]. Vzdálenost dvou odů Mějme v prostoru dány dv ody A = [, 2, 3 ], B = [, 2, 3 ]. Vzdáleností dvou odů nzveme velikost úsečky AB vypočteme ji podle vzthu: d = ( - ) + ( - ) + ( - ) 2 2 2 2 3 3 2. Vektory v prostoru Definice: Je-li vektor v prostoru určen orientovnou úsečkou AB, kde A = [, 2, 3 ], B = [, 2, 3 ], nzývjí se čísl =, 2 = 2 2, 3 = 3 3, souřdnice vektoru. Velikostí vektoru = AB nzýváme délku úsečky AB znčíme ji neo AB. Nulovým vektorem nzýváme vektor, jehož počáteční koncový od splývjí, tkže jeho velikost se rovná nule. Znčíme jej o. Jednotkovým vektorem nzýváme vektor, který má velikost rovnu jedné. Rovnost vektorů Říkáme, že vektor se rovná vektoru ( píšeme = ), jestliže pro ně zároveň pltí: ) mjí stejnou velikost, tedy = ; ) jsou souhlsně orientovné.
Operce s vektory Násoení vektoru reálným číslem Součinem vektoru kldného čísl c je vektor s, který má stejný směr orientci pro jehož velikost pltí s = c. s s 2 s s 2 = - 2 Násoky vektorů můžeme znázornit n jedné přímce tk, y měly společný počáteční od O. C O A B = OA, s = OB, s2 = OC Vektory c se nzývjí rovnoěžné (kolineární vektory). Vynásoíme-li vektor číslem - dostneme opčný vektor. - Součet vektorů Součtem dvou nekolineárních vektorů je vektor c, který geometricky definujeme: c Píšeme + = c. 2
Rozdíl vektorů Rozdílem dvou nekolineárních vektorů je vektor d, který geometricky definujeme: d Píšeme - = d. Odečítání vektorů můžeme nhrdit přičítáním opčného vektoru - = + ( - ) = d. - d Z těchto definic je zřejmé, že sestrojíme-li z vektorů, rovnoěžník ABCD, pk orientovná úhlopříčk AC předstvuje vektor + úhlopříčk DB vektor -. D C A B Sklární součin Umíme sčítt odečítt vektory, násoit je reálným číslem i vypočítt jejich velikost. Dlší operce, kterou si zvedeme, se nzývá sklární součin umožní nám násoit vektory mezi seou. 3
Definice: Sklárním součinem dvou nenulových vektorů, v prostoru je číslo, pro které pltí: = cosj, kde j je úhel vektorů,. Jestliže jeden z vektorů, je nulový, definujeme: = 0. Vět: Jsou-li vektory, dány svými souřdnicemi = (, 2, 3 ), = (, 2, 3 ), pk pro ně pltí: = + + 2 2 3 3, + 2 2 + 3 3 cos j = =. + + + + 2 2 2 3 2 2 2 2 3 2 Z této věty plynou vlstnosti sklárního součinu: ) = komuttivní zákon, + = + distriutivní zákon, 2) ( c ) c 3) dv vektory, jsou n see kolmé právě tehdy, když jejich sklární součin je roven nule. Vektorový součin Vektorový součin je dlší operce s vektory. Už víme, že výsledek sklárního součinu dvou vektorů je číslo, výsledkem vektorového součinu je vektor. Nrozdíl od sklárního součinu, je vektorový součin definován jen pro vektory v prostoru. Kromě toho, že pomocí vektorového součinu určíme vektor kolmý n o původní vektory (čehož využijeme npříkld při určování oecné rovnice roviny), můžeme tké spočítt osh rovnoěžníku dného původními vektory: S= u v. 4
Definice: ) Pro souřdnice vektorového součinu w vektorů = (, 2, 3 ), = (, 2, 3 ) pltí: w = = ( 23-32, 3-3, 2-2 ). ) výpočet pomocí determinntu: i j k w = = 2 2 3 3 Dv nenulové vektory, jsou rovnoěžné právě tehdy, když jejich vektorový součin je nulový vektor. Pro vektorový součin nepltí komuttivní zákon (z vlstnosti determinntu o záměně řádků), = -. pltí le ( ) Fyzikální význm vektorového součinu: Vektor M momentu síly f, půsoící v odě B vzhledem k odu A je vektorový součin M = AB f, moment síly je velikost tohoto vektoru M. Příkld: Vypočtěte osh trojúhelník dného ody A = [, 2, 3 ], B = [ 0, -, 2 ], C = [ 2,, 3 ]. Řešení: Dné tři ody A, B, C určují dv vektory. Velikost jejich vektorového součinu udává osh rovnoěžník, který je z nich sestrojený. Trojúhelník ABC má osh poloviční, tedy S = 2. Určíme souřdnice vektorů, : = AB = B - A = ( -, - 3, - ), = AC = C - A = (, -, 0 ). Vypočítáme souřdnice vektorového součinu pomocí determinntu: i j k - - 3 - = i - j + 4k, = (, -, 4 ). - 0 Tedy osh je 3 2 S = + + 6 =. 2 2 Smíšený součin Spojení vektorového sklárního součinu se nzývá smíšený součin. Smíšený součin je stejně jko vektorový součin definován pouze v prostoru. 5
Definice: Smíšeným součinem tří vektorů,, c nzýváme číslo ( c ). Jestliže jsou dány vektory = (, 2, 3 ), = (, 2, 3 ), c = ( c, c 2, c 3 ), pk smíšený součin vypočteme podle věty: Vět: Jsou-li dány vektory,, c, pk je ( c ) = 2 3 2 3 c c c 2 3. Geometrický význm smíšeného součinu.. Tři vektory jsou komplnární (leží v jedné rovině) právě tehdy, když jejich smíšený součin ( c ) je nul. 2. Asolutní hodnot smíšeného součinu ( c) nekomplnárních vektorů,, c vyjdřuje ojem rovnoěžnostěnu sestrojeného z těchto vektorů. Šestin tohoto čísl je ojem čtyřstěnu určeného vektory,, c. c c P = c P = 6 Fyzikální význm smíšeného součinu: Ojemový tok Q kpliny proudící konstntní rychlostí v otvorem, který je ve tvru rovnoěžník určeného vektory, se rovná smíšenému součinu vektorů,, v, tkže je Q = ( v ). Příkld: Určete ojem čtyřstěnu, který je dán vrcholy A = [ 2, 0, 3 ], B = [ 0, 3, 3 ], C = [ 0, 0, 9 ], D = [ 2, 3, ]. Řešení: Čtyřstěn je určen npříkld vektory AB, AC, AD. Určíme jejich souřdnice smíšený součin. 6
AB = ( - 2, 3, 0 ), AC = ( - 2, 0, 6 ), AD = ( 0, 3, 8 ), - 2 3 0-2 0 6 = 36 + 48 = 84. 0 3 8 Ojem čtyřstěnu je V = 84 = 4 6.. Rovin Rovin je dán třemi nekolineárními (neleží v jedné přímce) ody A, B, C. Tyto ody určují dv vektory u = AB, v = AC, které nzýváme směrovými vektory. v X A u Dále může ýt určen dvěm různými přímkmi (nejsou mimoěžné) neo odem dvěm různými vektory, z nichž jeden není reálným násokem druhého. Zvedeme si dvě různá vyjádření roviny v prostoru - prmetrické vyjádření později oecnou rovnici roviny. Zvolíme v rovině liovolný od X. Vektor AX ležící v dné rovině směrové vektory u, v jsou lineárně závislé, tedy jeden z nich můžeme vyjádřit jko lineární kominci zývjících dvou: AX = tu + t2v, kde t, t2 jsou liovolná reálná čísl. Rovnici přepíšeme X - A = tu + t2v, X = A + t u + t v. Definice: 2 Rovnici X = A + t u + t v, kde t, t 2 Î R nzýváme vektorovou rovnicí roviny ABC. 2 7
Předpokládejme, že je dán od A = [, 2, 3 ], vektory u = ( u, u 2, u 3 ), v = ( v, v2, v3 ) od X = [ x, y, z ]. Souřdnice těchto útvrů dosdíme do vektorové rovnice dostneme tři rovnice. Definice: Rovnice x = + tu + t2v y = 2 + tu2 + t2v2 z = 3 + tu3 + t2v3 nzýváme prmetrické rovnice roviny. Definice: Rovnici x + y + cz + d = 0 nzýváme oecnou rovnicí roviny. Z oecné rovnice roviny sndno zjistíme, jké ody v této rovině leží - jsou to všechny ty, jejichž souřdnice tuto rovnici splňují. Zjímvější složitější ude zjistit, jk pro zdnou rovinu, určíme její oecnou rovnici. Stejně jko v předcházející kpitole, kdy jsme hledli oecnou rovnici přímky, k tomu udeme využívt normálový vektor. Rovin může ýt určen tké vektorem n, který je n ni kolmý který se nzývá normálový vektor. Tento vektor je kolmý n všechny vektory této roviny, tedy AX.n = 0 n A X Pokud je normálový vektor dán souřdnicemi n = (,, c ), pk sklární součin má tvr ( x - ) + ( y - 2 ) + c( z - 3) = 0, což můžeme přepst x + y + cz - ( + 2 + c3) = 0. Oznčíme výrz -( + 2 + c3 ) = d dosdíme do rovnice x + y + cz + d = 0 Různé polohy roviny Rovin s rovnicí x + y + cz + d = 0 může mít vzhledem k souřdnicovým osám různé polohy podle toho, jkých hodnot nývjí koeficienty,, c, d její rovnice. Neoshuje-li rovnice roviny některou proměnnou (souřdnici), pk je dná rovin rovnoěžná s příslušnou osou, popřípdě touto osou prochází. 8
z z z y y y x x + cz + d = 0 x x + y + d = 0 x y + cz + d = 0 Pokud d = 0, rovin prochází počátkem. Bod leží v rovině, jestliže jeho souřdnice splňují její rovnici. To se nejsndněji zjišťuje, je-li rovin dán oecnou rovnicí. Pokud máme zdné prmetrické rovnice, převedeme je n oecnou rovnici roviny pk zjišťujeme, zd od v rovině leží. Převod vektorové rovnice n oecnou Je-li dán vektorová rovnice roviny, je tedy dán od A = [, 2, 3 ] dv směrové vektory u = ( u, u2, u3 ), v = ( v, v2, v3 ). Je-li X = [ x, y, z ] liovolný od roviny, pk vektory u, v, AX jsou komplnární, tedy jejich smíšený součin se rovná nule: AX.( u v ) = 0 x - y - z - u u2 u3 v v v 2 3 2 3 = 0. Výpočtem tohoto determinntu dostneme oecnou rovnici roviny. Příkld: Určete prmetrickou oecnou rovnici roviny dné třemi ody A = [, 2, 3 ], B = [,, 0 ], C = [ -, 0, 2 ]. Řešení: Tři ody roviny určují dv směrové vektory u = AB = ( 0, -, - 3 ), v = AC = ( - 2, - 2, - ). Souřdnice postupně dosdíme do vektorové rovnice dostneme prmetrické rovnice x = - 2t2 y = 2 - t - 2t2 z = 3-3t - t2 Pomocí determinntu njdeme oecnou rovnici roviny x - y - 2 z - 3 0 - -3 = 0-2 -2 - Determinnt počítáme pomocí Srrusov prvidl neo lépe rozvojem podle prvního řádku -5( x - ) + 6( y - 2 ) - 2( z - 3) = 0. Po úprvě dostneme oecnou rovnici roviny 5x - 6y + 2z - = 0. 9
Příkld: Njděte rovnici roviny, která prochází odem A = [ 4, 2, ] je rovnoěžná s rovinou x - 2y + 4z = 0. Řešení: Dvě rovnoěžné roviny mjí stejný normálový vektor, proto rovin rovnoěžná s dnou rovinou má tvr x - 2y + 4z + d = 0. Číslo d určíme z podmínky, že od A je odem roviny, tedy jeho souřdnice rovnici splňují 4-4 + 4 + d = 0. Z toho je d = -4. Hledná rovnice roviny je x - 2y + 4z - 4 = 0. Vzájemná poloh rovin Dvě roviny Mějme dvě roviny, které mjí rovnice x + y + cz + d = 0, 2 x + 2 y + c2z + d2 = 0. Dvě různé roviny jsou rovnoěžné neo různoěžné. Rovnoěžné roviny nemjí žádný společný od. Jejich normálové vektory jsou rovnoěžné, tedy pltí, = l2, = l2, c = lc2, kde l je vhodné číslo. Dvě různoěžné roviny mjí společnou přímku (průsečnice). Odchylkou těchto rovin rozumíme ostrý úhel jejich normálových vektorů. Jeho kosinus se určí podle vzorce 2 + 2 + cc2 cosj = + + c + + c 2 2 2 2 2 2 2 2 2. Příkld: Určete konstntu m tk, y roviny 7x - 2y - z = 0, mx + y - 3z - = 0 yly n see kolmé. Řešení: Kolmé roviny mjí n see kolmé normálové vektory. Jejich sklární součin se musí 0
rovnt nule. 7m - 2 + 3 = 0, 7m = -, m = - 7. Dné roviny jsou kolmé pro m = -. 7 Tři roviny Vyšetření vzájemné polohy tří různých rovin pomocí nlytické geometrie souvisí s řešením soustvy tří rovnic o třech neznámých, protože souřdnice společného odu musí vyhovovt rovnicím všech třech rovin. Rozlišujeme tři přípdy:. má-li soustv právě jedno řešení, mjí roviny právě jeden společný od (or.). 2. má-li soustv nekonečně mnoho řešení, mjí roviny společnou jedinou přímku (or.2). 3. nemá-li soustv řešení, nemjí všechny tři roviny žádný společný od (or. 3, 3, 3c). A p or.. or.2. or. 3. or. 3. or. 3c.