Analytická geometrie (5. - 6. lekce) Sylva Potůčková, Dana Stesková, Lubomír Sedláček Gymnázium a Jazyková škola s právem státní jazykové zkoušky Zlín Zlín, 20. června 2011
Vektory Vektorový součin Vektorový součin dvou vektorů, které leží na jedné přímce, je nulový vektor. Vektorový součin dvou vektorů u, v neležících na jedné přímce je vektor w, který má tyto vlastnosti: 1 vektor w je kolmý k oběma vektorům u, v, 2 vektory u, v, w tvoří pravotočivou bázi, 3 w = u v sin α, kde α je úhel vektorů u, v. Vektorový součin w vektorů u, v značíme u v, tj. w = u v. Pro každé dva vektory u, v platí v u = u v.
Vektory Geometrickým významem čísla u v sin α je obsah rovnoběžníku P URV, kde v sin α je velikost výšky v tomto rovnoběžníku. V R v v sin α P α u U obsah rovnoběžníku: obsah trojúhelníku: S = w = u v sin α S = 1 2 w
Vektory vektory: u = (u 1, u 2, u 3 ), v = (v 1, v 2, v 3 ) u v = (u 2 v 3 u 3 v 2, u 3 v 1 u 1 v 3, u 1 v 2 u 2 v 1 ) Mnemotechnické pomůcky pro výpočet: 1. Souřadnice vektorů u, v napíšeme pod sebe: (u 1, u 2, u 3 ) (v 1, v 2, v 3 ) Nyní zakryjeme první souřadnice obou vrcholů a ke zbylé čtveřici čísel u 1 u 2 v 1 v 2 vypočítáme číslo u 2 v 3 u 3 v 2. Podobně zakrytím druhých souřadnic dostaneme u zbylé čtveřice čísel číslo u 1 v 3 u 3 v 1 a zakrytím třetích souřadnic dostaneme číslo u 1 v 2 u 2 v 1. Dostali jsme trojici čísel (u 2 v 3 u 3 v 2, u 1 v 3 u 3 v 1, u 1 v 2 u 2 v 1 ). Vidíme, že vynásobíme-li druhé číslo v trojici číslem 1, dostaneme souřadnice vektorového součinu u v.
Vektory vektory: u = (u 1, u 2, u 3 ), v = (v 1, v 2, v 3 ) u v = (u 2 v 3 u 3 v 2, u 3 v 1 u 1 v 3, u 1 v 2 u 2 v 1 ) 2. Souřadnice vektorů u, v zapíšeme do následujícího schématu: u 2 u 3 u 1 u 2 v 2 v 3 v 1 v 2 u 2v 3 v 2u 3 u 3v 1 v 3u 1 u 1v 2 v 1u 2 Ve třetím řádku jsou souřadnice vektorového součinu u v. Při výpočtu jeho souřadnic násobíme čísla spojená čarou. Přitom součiny čísel spojených čarou \ opatříme znaménkem plus a součiny čísel spojených čarou / opatříme znaménkem minus.
Vektory Smíšený součin Smíšený součin vektorů a, b, c je číslo ( a b) c. Pro každé tři vektory a, b, c v prostoru platí ( a b) c = ( b c) a = ( c a) b.
Vektory Předpokládejme, že je zadán rovnoběžnostěn pomocí vektorů tří svých hran vycházejících z jednoho bodu. Vektory označíme a, b, c, jejich společný počáteční bod P a jejich koncové body A, B, C. Zbývající vrcholy rovnoběžnostěnu označíme K, L, M, N. N M C L c B b K P a A obsah rovnoběžnostěnu P AKBCLMN: V = ( a b) c obsah čtyřstěnu P ABC: V = 1 6 V
Příklad 1 Příklad 1. Určete vektorový součin vektorů u, v, jestliže platí: u = ( 2, 3, 1), v = (3, 4, 2).
Příklad 1 Příklad 1. Určete vektorový součin vektorů u, v, jestliže platí: u = ( 2, 3, 1), v = (3, 4, 2). Řešení: u = ( 2, 3, 1) u v = v = ( 3, 4, 2)
Příklad 1 Příklad 1. Určete vektorový součin vektorů u, v, jestliže platí: u = ( 2, 3, 1), v = (3, 4, 2). Řešení: u = ( 2, 3, 1) v = ( 3, 4, 2) u v = ( ( 3) ( 2) 1 4;
Příklad 1 Příklad 1. Určete vektorový součin vektorů u, v, jestliže platí: u = ( 2, 3, 1), v = (3, 4, 2). Řešení: u = ( 2, 3, 1) v = ( 3, 4, 2) u v = ( ( 3) ( 2) 1 4; [( 2) ( 2) 1 3];
Příklad 1 Příklad 1. Určete vektorový součin vektorů u, v, jestliže platí: u = ( 2, 3, 1), v = (3, 4, 2). Řešení: u = ( 2, 3, 1) v = ( 3, 4, 2) u v = ( ( 3) ( 2) 1 4; [( 2) ( 2) 1 3]; ( 2) 4 ( 3) 3 ) =
Příklad 1 Příklad 1. Určete vektorový součin vektorů u, v, jestliže platí: u = ( 2, 3, 1), v = (3, 4, 2). Řešení: u = ( 2, 3, 1) v = ( 3, 4, 2) u v = ( ( 3) ( 2) 1 4; [( 2) ( 2) 1 3]; ( 2) 4 ( 3) 3 ) = = (2, 1, 1)
Příklad 2 Příklad 2. Najděte alespoň jeden vektor, který je kolmý k daným vektorům a = (6, 0, 12), b = (2, 3, 6).
Příklad 2 Příklad 2. Najděte alespoň jeden vektor, který je kolmý k daným vektorům a = (6, 0, 12), b = (2, 3, 6). Řešení: u a u b
Příklad 2 Příklad 2. Najděte alespoň jeden vektor, který je kolmý k daným vektorům a = (6, 0, 12), b = (2, 3, 6). Řešení: u a u b u = a b
Příklad 2 Příklad 2. Najděte alespoň jeden vektor, který je kolmý k daným vektorům a = (6, 0, 12), b = (2, 3, 6). Řešení: u a u b u = a b a = (6, 0, 12) b = (2, 3, 6) a b =
Příklad 2 Příklad 2. Najděte alespoň jeden vektor, který je kolmý k daným vektorům a = (6, 0, 12), b = (2, 3, 6). Řešení: u a u b u = a b a = (6, 0, 12) b = (2, 3, 6) a b = (36, 12, 18)
Příklad 2 Příklad 2. Najděte alespoň jeden vektor, který je kolmý k daným vektorům a = (6, 0, 12), b = (2, 3, 6). Řešení: u a u b u = a b a = (6, 0, 12) b = (2, 3, 6) a b = (36, 12, 18) u = (36, 12, 18) u = (6, 2, 3)
Příklad 3 Příklad 3. Užitím vektorového součinu vypočtěte obsah rovnoběžníka určeného vektory u = ( 2, 3, 2), v = (3, 4, 2).
Příklad 3 Příklad 3. Užitím vektorového součinu vypočtěte obsah rovnoběžníka určeného vektory u = ( 2, 3, 2), v = (3, 4, 2). Řešení: Obsah rovnoběžníka S =
Příklad 3 Příklad 3. Užitím vektorového součinu vypočtěte obsah rovnoběžníka určeného vektory u = ( 2, 3, 2), v = (3, 4, 2). Řešení: Obsah rovnoběžníka S = u v = w
Příklad 3 Příklad 3. Užitím vektorového součinu vypočtěte obsah rovnoběžníka určeného vektory u = ( 2, 3, 2), v = (3, 4, 2). Řešení: Obsah rovnoběžníka S = u v = w w = u v : u = ( 2, 3, 2) v = ( 3, 4, 2) w =
Příklad 3 Příklad 3. Užitím vektorového součinu vypočtěte obsah rovnoběžníka určeného vektory u = ( 2, 3, 2), v = (3, 4, 2). Řešení: Obsah rovnoběžníka S = u v = w w = u v : u = ( 2, 3, 2) v = ( 3, 4, 2) w = ( 2, 2, 1)
Příklad 3 Příklad 3. Užitím vektorového součinu vypočtěte obsah rovnoběžníka určeného vektory u = ( 2, 3, 2), v = (3, 4, 2). Řešení: Obsah rovnoběžníka S = u v = w w = u v : u = ( 2, 3, 2) S = w = v = ( 3, 4, 2) w = ( 2, 2, 1)
Příklad 3 Příklad 3. Užitím vektorového součinu vypočtěte obsah rovnoběžníka určeného vektory u = ( 2, 3, 2), v = (3, 4, 2). Řešení: Obsah rovnoběžníka S = u v = w w = u v : u = ( 2, 3, 2) v = ( 3, 4, 2) w = ( 2, 2, 1) S = w = ( 2) 2 + 2 2 + 1 2 =
Příklad 3 Příklad 3. Užitím vektorového součinu vypočtěte obsah rovnoběžníka určeného vektory u = ( 2, 3, 2), v = (3, 4, 2). Řešení: Obsah rovnoběžníka S = u v = w w = u v : u = ( 2, 3, 2) v = ( 3, 4, 2) w = ( 2, 2, 1) S = w = ( 2) 2 + 2 2 + 1 2 = 9 = 3 S = 3
Příklad 4 Příklad 4. Užitím vektorového součinu vypočtěte obsah trojúhelníku s vrcholy A[5, 1, 4], B[ 1, 2, 6], C[2, 3, 2].
Příklad 4 Příklad 4. Užitím vektorového součinu vypočtěte obsah trojúhelníku s vrcholy A[5, 1, 4], B[ 1, 2, 6], C[2, 3, 2]. C Řešení: b A c B
Příklad 4 Příklad 4. Užitím vektorového součinu vypočtěte obsah trojúhelníku s vrcholy A[5, 1, 4], B[ 1, 2, 6], C[2, 3, 2]. Řešení: b C A c B c = AB = B A = ( 6, 3, 2) b = AC = C A = ( 3, 2, 6)
Příklad 4 Příklad 4. Užitím vektorového součinu vypočtěte obsah trojúhelníku s vrcholy A[5, 1, 4], B[ 1, 2, 6], C[2, 3, 2]. Řešení: b C A c B c = AB = B A = ( 6, 3, 2) b = AC = C A = ( 3, 2, 6) obsah ABC: S =
Příklad 4 Příklad 4. Užitím vektorového součinu vypočtěte obsah trojúhelníku s vrcholy A[5, 1, 4], B[ 1, 2, 6], C[2, 3, 2]. Řešení: b C A c B c = AB = B A = ( 6, 3, 2) b = AC = C A = ( 3, 2, 6) obsah ABC: S = 1 2 c b
Příklad 4 Příklad 4. Užitím vektorového součinu vypočtěte obsah trojúhelníku s vrcholy A[5, 1, 4], B[ 1, 2, 6], C[2, 3, 2]. Řešení: b C A c B c = AB = B A = ( 6, 3, 2) b = AC = C A = ( 3, 2, 6) obsah ABC: S = 1 2 c b w = c b =
Příklad 4 Příklad 4. Užitím vektorového součinu vypočtěte obsah trojúhelníku s vrcholy A[5, 1, 4], B[ 1, 2, 6], C[2, 3, 2]. Řešení: b C A c B c = AB = B A = ( 6, 3, 2) b = AC = C A = ( 3, 2, 6) obsah ABC: S = 1 2 c b w = c b = (14, 42, 21)
Příklad 4 Příklad 4. Užitím vektorového součinu vypočtěte obsah trojúhelníku s vrcholy A[5, 1, 4], B[ 1, 2, 6], C[2, 3, 2]. Řešení: b C A c B c = AB = B A = ( 6, 3, 2) b = AC = C A = ( 3, 2, 6) obsah ABC: S = 1 2 c b w = c b = (14, 42, 21) S = 1 2 w S =
Příklad 4 Příklad 4. Užitím vektorového součinu vypočtěte obsah trojúhelníku s vrcholy A[5, 1, 4], B[ 1, 2, 6], C[2, 3, 2]. Řešení: b C A c B c = AB = B A = ( 6, 3, 2) b = AC = C A = ( 3, 2, 6) obsah ABC: S = 1 2 c b w = c b = (14, 42, 21) S = 1 2 w S = 1 2 14 2 + ( 42) 2 + ( 21) 2 =
Příklad 4 Příklad 4. Užitím vektorového součinu vypočtěte obsah trojúhelníku s vrcholy A[5, 1, 4], B[ 1, 2, 6], C[2, 3, 2]. Řešení: b C A c B c = AB = B A = ( 6, 3, 2) b = AC = C A = ( 3, 2, 6) obsah ABC: S = 1 2 c b w = c b = (14, 42, 21) S = 1 2 w S = 1 2 14 2 + ( 42) 2 + ( 21) 2 = 1 2 49 S = 24.5
Příklad 5 Příklad 5. Je dán čtyřstěn ABCD s vrcholy A[ 2, 1, 4], B[ 1, 0, 1], C[ 4, 1, 6], D[ 2, 2, 5]. a) Vypočtěte obsah stěny ABC. b) Vypočtěte objem čtyřstěnu ABCD.
Příklad 5 Příklad 5. Je dán čtyřstěn ABCD s vrcholy A[ 2, 1, 4], B[ 1, 0, 1], C[ 4, 1, 6], D[ 2, 2, 5]. a) Vypočtěte obsah stěny ABC. b) Vypočtěte objem čtyřstěnu ABCD. Řešení: D C b A c a B
Příklad 5 Příklad 5. Je dán čtyřstěn ABCD s vrcholy A[ 2, 1, 4], B[ 1, 0, 1], C[ 4, 1, 6], D[ 2, 2, 5]. a) Vypočtěte obsah stěny ABC. b) Vypočtěte objem čtyřstěnu ABCD. Řešení: C b A c D a B a = AB = B A = (1, 1, 5) b = AC = C A = ( 2, 2, 2) c = AD = D A = (0, 3, 9)
Příklad 5 D C b A c a B a = ( 1, 1, 5) b = ( 2, 2, 2) a) S ABC =
Příklad 5 D C b A c a B a = ( 1, 1, 5) b = ( 2, 2, 2) a) S ABC = 1 2 a b
Příklad 5 D C b A c a B a = ( 1, 1, 5) b = ( 2, 2, 2) a) S ABC = 1 2 a b a b =
Příklad 5 D C b A c a B a = ( 1, 1, 5) b = ( 2, 2, 2) a) S ABC = 1 2 a b a b = ( 12, 8, 4)
Příklad 5 D C b A c a B a = ( 1, 1, 5) b = ( 2, 2, 2) a) S ABC = 1 2 a b a b = ( 12, 8, 4) a b =
Příklad 5 D C b A c a B a = ( 1, 1, 5) b = ( 2, 2, 2) a) S ABC = 1 2 a b a b = ( 12, 8, 4) a b = ( 12) 2 + 8 2 + ( 4) 2 =
Příklad 5 D C b A c a B a = ( 1, 1, 5) b = ( 2, 2, 2) a) S ABC = 1 2 a b a b = ( 12, 8, 4) a b = ( 12) 2 + 8 2 + ( 4) 2 = 224 = 4 14
Příklad 5 D C b A c a B a = ( 1, 1, 5) b = ( 2, 2, 2) a) S ABC = 1 2 a b a b = ( 12, 8, 4) a b = ( 12) 2 + 8 2 + ( 4) 2 = 224 = 4 14 S = 1 2 a b = 1 2 4 14
Příklad 5 D C b A c a B a = ( 1, 1, 5) b = ( 2, 2, 2) a) S ABC = 1 2 a b a b = ( 12, 8, 4) a b = ( 12) 2 + 8 2 + ( 4) 2 = 224 = 4 14 S = 1 2 a b = 1 2 4 14 S = 2 14
Příklad 5 D a = ( 1, 1, 5) C b A c a B b = ( 2, 2, 2) c = ( 0, 3, 9) b) V =
Příklad 5 D a = ( 1, 1, 5) C b A c a B b = ( 2, 2, 2) c = ( 0, 3, 9) ( b) V = 1 6 a ) b c
Příklad 5 D a = ( 1, 1, 5) C b A c a B b = ( 2, 2, 2) c = ( 0, 3, 9) ( b) V = 1 6 a ) b c a b =
Příklad 5 D a = ( 1, 1, 5) C b A c a B b = ( 2, 2, 2) c = ( 0, 3, 9) ( b) V = 1 6 a ) b c a b = ( 12, 8, 4)
Příklad 5 D a = ( 1, 1, 5) C b A c a B b = ( 2, 2, 2) c = ( 0, 3, 9) ( b) V = 1 6 a ) b c a b = ( 12, 8, 4) ( a ) b c =
Příklad 5 D a = ( 1, 1, 5) C b A c a B b = ( 2, 2, 2) c = ( 0, 3, 9) ( b) V = 1 6 a ) b c a b = ( 12, 8, 4) ( a ) b c = ( 12) 0 + 8 ( 3) + ( 4) ( 9) =
Příklad 5 D a = ( 1, 1, 5) C b A c a B b = ( 2, 2, 2) c = ( 0, 3, 9) ( b) V = 1 6 a ) b c a b = ( 12, 8, 4) ( a ) b c = ( 12) 0 + 8 ( 3) + ( 4) ( 9) = 12
Příklad 5 D a = ( 1, 1, 5) C b A c a B b = ( 2, 2, 2) c = ( 0, 3, 9) ( b) V = 1 6 a ) b c a b = ( 12, 8, 4) ( a ) b c = ( 12) 0 + 8 ( 3) + ( 4) ( 9) = 12 V = 1 6 12
Příklad 5 D a = ( 1, 1, 5) C b A c a B b = ( 2, 2, 2) c = ( 0, 3, 9) ( b) V = 1 6 a ) b c a b = ( 12, 8, 4) ( a ) b c = ( 12) 0 + 8 ( 3) + ( 4) ( 9) = 12 V = 1 6 12 V = 2
Příklady k provičení Cvičení 1 Je dán čtyřstěn ABCD, kde A[1, 3, 2], B[1, 1, 2], C[6, 1, 10], D[4, 3, 2]. a) Ověřte, že body A, B, C neleží v jedné přímce. b) Ověřte, že vektor D A není lineární kombinací vektorů C A, B A. c) Vypočtěte obsah stěny ABC. d) Vypočtěte objem daného čtyřstěnu. [c) 24, 5, d) 20]
Příklady k provičení Cvičení 2 Jsou dány body A[2, 6, 0], B[ 3, 4, 5], C[1, 4, 2], D[5, 0, 3]. a) Vypočítejte objem rovnoběžnostěnu ABCEDF GH a určete nějaký vektor kolmý ke stěně ACD. b) Vypočítejte povrch a objem rovnoběžnostěnu BAKCDLM N. c) Vypočtěte objem a povrch čtyřstěnu ABCD. a) Objem V = 156, vektor n = (6, 1, 4) b) Objem V = 156, povrch S =. 266,44 c) Objem V = 26, povrch S =. 77,16
Příklady k provičení Cvičení 3 Jsou dány body A[3, 1, 2], B[ 1, 1, 2], C[1, 6, 10], D[3, 4, 2]. a) Vypočítejte objem čtyřstěnu ABCD. b) Vypočítejte povrch čtyřstěnu ABCD. [a) 24, b) 81.06]