Příklad 1 Určete a načrtněte definiční obory funkcí více proměnných: a) (, ) = b) (, ) = 3 c) (, ) = d) (, ) = e) (, ) = ln f) (, ) = 1 +1 g) (, ) = arcsin( + ) Poznámka V těchto úlohách máme nalézt největší možný definiční obor zadané funkce. Tímto definičním oborem je prostor % zmenšený o všechny dvojice,, ve kterých není výraz vyjadřující funkci definován. Přitom prostor % je prostorem všech dvojic reálných čísel, neboli všech dvojic,, %, %. 1
Řešení 1a Máme nalézt maximální definiční obor funkce 1 (, ) = 25 Výraz vyjadřující funkci musí mít jmenovatel různý od nuly. Musí tedy platit 25, 0 Neboli +, 5 Maximální definiční obor funkce tedy je. / = 0,, +, 5, %, %1 Tento výsledek můžeme vyjádřit i jinak. Rovnice + = 5 popisuje kružnici kolem počátku souřadnic o poloměru 5. Využijeme-li myšlenku uvedenou v poznámce, pak. / = % 0,, + = 5, %, %1 Nalezený výsledek doplníme obrázkem Řešení 1b Máme nalézt maximální definiční obor funkce (, ) = 3 2 Výrazy pod odmocninou musí být nezáporné a jmenovatel zlomku musí různý od nuly. Musí tedy platit (3 2 0) ( 2 0) (, 0) Neboli ( 2 0) ( 5 0) Maximální definiční obor funkce tedy je. / = 0,, ( 2 0) ( 5 0), %, %1 Nalezený výsledek doplníme obrázkem 2
Řešení 1c Máme nalézt maximální definiční obor funkce (, ) = 2 Výraz vyjadřující funkci musí mít jmenovatel různý od nuly a současně musí být výraz pod odmocninou nezáporný. Musí tedy platit, 0 2 0 Neboli 2 0 Maximální definiční obor funkce tedy je. / = 0,, 2 0, %, %1 Nalezený výsledek doplníme obrázkem 3
Řešení 1d Máme nalézt maximální definiční obor funkce (, ) = 6 6 Výraz vyjadřující funkci musí mít podvýraz pod odmocninou nezáporný. Musí tedy platit 2 0 Neboli 2 Což lze vyjádřit jako 2 Maximální definiční obor funkce tedy je. / = 0,, 2, %, %1 Nalezený výsledek doplníme obrázkem Řešení 1e Máme nalézt maximální definiční obor funkce (, ) = ln9 +2 + 2 + : Výraz vyjadřující funkci musí mít kladný argument logaritmu a současně jmenovatel různý od nuly. Musí tedy platit 9 +2 + 2 + 2 0: ( 2 +, 0) Čitatel zlomku představuje kružnici o poloměru 1 a středu (-1,0). Jmenovatel zlomku představuje kružnici o poloměru 1 a středu (1,0). Nerovnost představuje také tuto druhou kružnici. Nerovnost vyjadřuje vnějšek obou kružnic. Maximální definiční obor funkce tedy je. / = ;,, 9 +2+ 2+ 2 0: ( 2 +, 0), %, %< Nalezený výsledek doplníme obrázkem 4
Řešení 1f Máme nalézt maximální definiční obor funkce (, ) = 1 +1 Výraz pod odmocninami musí být nezáporné. Musí tedy platit (1 2 0) (1 2 0) Neboli (1 2 ) (1 2 ) Po úpravě (1 2 ) (1 2 ) Čili = ( 1,1)> = ( 1,1)> Maximální definiční obor funkce tedy je. / =?,, = ( 1,1)> = ( 1,1)>, %, %@ Nalezený výsledek doplníme obrázkem 5
Řešení 1g Máme nalézt maximální definiční obor funkce (, ) = arcsin( + ) Argument arcussinu musí být z intervalu 1,1. Musí tedy platit + A 1 Tato nerovnost vyjadřuje pás ve kterém se obě proměnné liší nejvýše o hodnotu 2. Maximální definiční obor funkce tedy je. / = 0,, + A 1, %, %1 Tento výsledek můžeme vyjádřit i jinak. Rovnice + = 5 popisuje kružnici kolem počátku souřadnic o poloměru 5. Využijeme-li myšlenku uvedenou v poznámce, pak. / = % 0,, + = 5, %, %1 Nalezený výsledek doplníme obrázkem 6
Příklad 2 Najděte řezy grafu funkce rovinami rovnoběžnými se souřadnicovými rovinami = 0, = 0, jestliže: a) (, ) = b) (, ) = Řešení 2a Máme nalézt řezy grafu funkce f(x,y) = x y rovinami rovnoběžnými se souřadnicovými rovinami = 0, = 0. Začneme nejprve řezy rovnoběžnými s rovinou = 0. Obecně můžeme tento řez zvolit jako = E. Hodnota proměnné se v tomto případě změní v konstantu. Dosadíme do naší funkce f(x,y) = c y Je zřejmé, ž v tomto případě se jedná o parabolu otevřenou k záporné straně osy F a mající vrchol v souřadnicích (E,0,c ). Situaci v případě roviny = 1 ukazuje čelní hrana plochy na následujícím obrázku. Nyní podle stejného principu vyšetříme řezy rovnoběžné s rovinou = 0. Řezem v tomto případě je parabola otevřená do kladné části osy F a mající počátek v souřadnicích (0,c, c ). Situaci v případě roviny = 1 ukazuje pravá hrana plochy na následujícím obrázku. 7
Řešení 2b Máme nalézt řezy grafu funkce (, ) = rovinami rovnoběžnými se souřadnicovými rovinami = 0, = 0. Začneme nejprve řezy rovnoběžnými s rovinou = 0. Obecně můžeme tento řez zvolit jako = E. Hodnota proměnné se v tomto případě změní v konstantu. Dosadíme do naší funkce f(x,y) = cy Je zřejmé, ž v tomto případě se jedná o parabolu otevřenou ke kladné straně osy F a mající vrchol v souřadnicích (E,0,0). Situaci v případě roviny = 1 ukazuje čelní hrana plochy na následujícím obrázku. Nyní podle stejného principu vyšetříme řezy rovnoběžné s rovinou = 0. Řezem v tomto případě je přímka obsahující bod (0,c,c ) mající sklon osy kvadrantu. Situaci v případě roviny = 1 ukazuje pravá hrana plochy na následujícím obrázku. 8
Příklad 3 Nalezněte konstantní hladiny a vrstevnice následujících funkcí: a) (, ) = 1 b) (, ) = 3 +2 c) (, ) = d) (, ) = + 2 e) (, ) = + f) (, ) = g) (,,F) = + +F Poznámka Konstantní hladiny (jinak též označované jako vrstevnice) jsou křivky na ploše, které mají stejnou hodnotu příslušné funkce vyjadřující tuto plochu. Řešení 3a Máme nalézt konstantní hladiny a vrstevnice funkce: Budeme tedy vyšetřovat situaci Upravíme A dále (, ) = 1 E = 1, E % E = 1 + = 1 E Vidíme, že upravená rovnice vyjadřuje kružnici o poloměru 1 E. Definiční obor této odmocniny je interval 1,1. Vyhodnocovat konstantní hladiny mimo tento interval nemá smysl. Přitom je jasné, že pro krajní hodnoty tohoto intervalu se kružnice zbortí v jediný bod. Naopak největší poloměr, kterého lze v tomto případě dosáhnout je roven jedné. Následující obrázek ukazuje vrstevnice dané funkce pro hodnoty 0 (zelená), ±0,5 (modrá) a ±0,9 (fialová). 9
Řešení 3b Máme nalézt konstantní hladiny a vrstevnice funkce: (, ) = 3 +2 Budeme tedy vyšetřovat situaci, E % Vzhledem k levé straně je zřejmé, že přípustné jsou pouze nezáporné hodnoty E. Vidíme, že upravená rovnice vyjadřuje elipsu. Následující obrázek ukazuje vrstevnice dané funkce pro hodnoty 1 (modrá), 2 (zelená), a 3 (fialová). Řešení 3c Máme nalézt konstantní hladiny a vrstevnice funkce: Budeme tedy vyšetřovat situaci Upravíme (, ) = = E, E % = E Vidíme, že upravená rovnice vyjadřuje hyperbolu. Pro kladná c má hyperbola větve v prvním a třetím kvadrantu. V opačném případě má větve ve druhém a čtvrtém kvadrantu. Následující obrázek ukazuje vrstevnice dané funkce pro hodnoty -2 (modrá), -1 (zelená), 1 (fialová) a 2(černá). Řešení 3d Máme nalézt konstantní hladiny a vrstevnice funkce: 10
Budeme tedy vyšetřovat situaci Upravíme (, ) = + 2 + 2 = E, E % ( 1) + = E +1 Vidíme, že upravená rovnice vyjadřuje kružnici o poloměru E +1. Definiční obor této odmocniny je interval G 1, ). Vyhodnocovat konstantní hladiny mimo tento interval nemá smysl. Přitom je zřejmé, že v levé krajní hodnotě tohoto intervalu se kružnice zbortí v jediný bod. S rostoucím c se poloměr kružnice zvětšuje. Následující obrázek ukazuje vrstevnice dané funkce pro hodnoty 1 (modrá), 2 (zelená), 3 (fialová) a 4 (černá). Řešení 3e Máme nalézt konstantní hladiny a vrstevnice funkce: (, ) = + Budeme tedy vyšetřovat situaci + = E, E % Vidíme, že upravená rovnice vyjadřuje přímky procházející bodem E,0. Následující obrázek ukazuje vrstevnice dané funkce pro hodnoty 1 (modrá), 2 (zelená), 3 (fialová) a 4 (černá). Řešení 3f Máme nalézt konstantní hladiny a vrstevnice funkce: Budeme tedy vyšetřovat situaci (, ) = = E, E % 11
Vidíme, že upravená rovnice vyjadřuje hyperbolu souměrnou kolem osy. Pro kladné případy této konstanty jde o souměrnost kolem osy. Pro záporné případy jde o souměrnost kolem osy. Následující obrázek ukazuje vrstevnice dané funkce pro hodnoty -2 (modrá), -1 (zelená), 1 (fialová) a 2 (černá). Řešení 3g Máme nalézt konstantní hladiny a vrstevnice funkce: (,,F) = + +F Budeme tedy vyšetřovat situaci + +F = E, E % Vidíme, že rovnice vyjadřuje rovinu v % I. Vrstevnice v tomto případě není tedy linií, ale rovinou. Následující obrázek ukazuje vrstevnice dané funkce pro hodnoty -2 (modrá), -1 (zelená), 1 (fialová) a 2 (černá). 12
Příklad 4 Utvořte složenou funkci = h(k,k ), je-li: a) K (, ) = +2, K (, ) =, h(, ) = + b) K (, ) = 3, K (, ) =, h(, ) = sin + c) K (, ) =, K (, ) = +, h(, ) = d) K (, ) = arctg, K (, ) = +, h(, ) = +ln Řešení 4a Máme vytvořit složenou funkci (, ) = h(k,k ), je-li: a) K (, ) = +2, K (, ) =, h(, ) = + b) K (, ) = 3, K (, ) =, h(, ) = sin + c) K (, ) =, K (, ) = +, h(, ) = d) K (, ) = arctg, K (, ) = +, h(, ) = +ln Nejprve vyjádříme hledanou funkci tak, jak je předepsána, tedy (, ) = h(k,k ) Nyní nahradíme pravou stranu zadanou funkcí h(, ), přičemž jako její argumenty využijeme K,K (, ) = K +K Nyní nahradíme K,K stejně pojmenovanými zadanými funkcemi. (, ) = +2 + Řešení 4b Máme vytvořit složenou funkci (, ) = h(k,k ), je-li: K (, ) = 3, K (, ) =, h(, ) = sin + Nejprve vyjádříme hledanou funkci tak, jak je předepsána, tedy (, ) = h(k,k ) Nyní nahradíme pravou stranu zadanou funkcí h(, ), přičemž jako její argumenty využijeme K,K (, ) = sink +K Nyní nahradíme K,K stejně pojmenovanými zadanými funkcemi. (, ) = sin(3 ) + Řešení 4c Máme vytvořit složenou funkci (, ) = h(k,k ), je-li: K (, ) =, K (, ) = +, h(, ) = Nejprve vyjádříme hledanou funkci tak, jak je předepsána, tedy (, ) = h(k,k ) Nyní nahradíme pravou stranu zadanou funkcí h(, ), přičemž jako její argumenty využijeme K,K 13
(, ) = K K Nyní nahradíme K,K stejně pojmenovanými zadanými funkcemi. Nakonec výraz vpravo upravíme (, ) = ( )( + ) (, ) = Řešení 4d Máme vytvořit složenou funkci (, ) = h(k,k ), je-li: K (, ) = arctg, K (, ) = +, h(, ) = +ln Nejprve vyjádříme hledanou funkci tak, jak je předepsána, tedy (, ) = h(k,k ) Nyní nahradíme pravou stranu zadanou funkcí h(, ) přičemž jako její argumenty využijeme K,K (, ) = K +lnk Nyní nahradíme K,K stejně pojmenovanými zadanými funkcemi. (, ) = + +ln( arctg) 14