Úvod Substituce ve vícenásobném integrálu verze. Následující text popisuje výpočet vícenásobných integrálů pomocí věty o substituci. ěl by sloužit především studentům předmětu ATEAT k přípravě na zkoušku. ohou se v něm vyskytovat některé chyby; autor ocení, když jej na chyby a nejasnosti upozorníte na emailu jiri.lipovskyzavináč uhk.cz. Teorie Věta.. Nechť je množina a nechť ψ je prosté regulární zobrazení otevřené množiny G R r do R r takové, že ψ(g. Pak platí f(y dy f(ψ(x det J dx, ψ ( má-li alespoň jedna strana smysl. Zde Dψ(x D(x je Jacobiho matice zobrazení ψ(x, tedy matice prvních parciálních derivací tohoto zobrazení. Při substituci musíme provést tři věci. Za prvé změnit meze integrálu, aby hranice integrované oblasti byly popsány v nových proměnných. Za druhé provést substituci v integrované funkci, přepsat ji do nových proměnných. Třetí (a možná nejdůležitější změnou je přidání faktoru, který odpovídá determinantu Jacobiho matice. Protože jednotkový čtvereček (např. dx dy má po substituci jinou velikost (např. du dv, je třeba do integrálu přidat faktor, který tuto změnu kompenzuje. Řešené příklady Příklad.. Určete obsah roviny omezené hyperbolami xy a, xy b, < a < b a parabolami y mx, y nx, < m < n. Řešení: Zvolíme si substituci u xy, v y /x. Tuto substituci volíme proto, aby nově zavedené proměnné měly jednodušší meze. Vidíme, že v nových proměnných u a v budeme integrovat přes obdélník: a < u < b, m < v < n. Nyní musíme vyjádřit staré proměnné pomocí nových x x(u, v, y y(u, v. Např. vyjádřením y z první rovnice y u/x, dosazením do druhé v u /x a úpravou dostáváme x u v u/ v /. Zpětným dosazením do rovnice pro y máme y u / v /. Vztahů pro x a y můžeme využít pro výpočet Jacobiho matice: ( x u / v / u/ v / u / v / u/ v /.
.5 xy b y n x.5 y m x.5.5 xy a.5.5.5.5 Obrázek : Obrázek k příkladu..5 y x y x.5.5 xy.5 xy.5.5.5.5 Obrázek : Obrázek k příkladu. det v. Nyní už můžeme využít věty o substituci a dosadit do vztahu výše. Protože počítáme obsah roviny, je integrovaná funkce jednička. dxdy ψ ( v dudv b ( n a m b a v dv du (ln n ln m du (b a ln( n m. Příklad.. Vypočtěte integrál x y dxdy přes množinu danou vztahy x y x a x y x. Řešení: Přepsáním výrazů ohraničujících množinu tak, aby na levé resp. pravé straně nerovnic byly konstanty, získáváme xy, y x. Tyto
.5 y x.5 y x.5 xy.5 xy.5.5.5.5 Obrázek : Obrázek k příkladu. výrazy nás navádí na to, abychom využili substituce u xy, v y x. Nové proměnné se pohybují v mezích u, v. Opět např. vyjádříme y z první rovnice a dosadíme do druhé (případně můžeme taky levé a pravé strany rovnice vynásobit mezi sebou. Dostáváme Jacobiho matice pak je x u / v /, y u / v /. x ( u / v / u/ v / u / v / u/ v /. det v. Integrál tedy vypočítáme následovně: ( x y u [ u dxdy v dv du Příklad.. Pomocí substituce vypočtěte integrál je dána vztahy x y x, x y x. ] [ln v] ln. y x dxdy, kde množina Řešení: Vztahy ohraničující množinu si přepíšeme tak, aby na krajních stranách byly konstanty: xy, y x. Odsud vidíme, že nejlepší substituce je u xy, v y x, kde u a v. Dále nalezneme inverzní vztahy x u / v /, y u / v /. Jacobiho matice je ( x u / v / u/ v / u / v / u/ v /.
.5 y x y x.5.5 x + y x + y.5.5.5 Obrázek : Obrázek k příkladu. S využitím vztahu y x v u y x dxdy det v. integrál určíme jako: ( v u v dv du [ v ] [ln u] ln. Příklad.. Pomocí substituce určete integrál x + y dxdy, kde je dána vztahy x + y, x y x Řešení: Jak výraz v integrálu, tak části kružnic ohraničující množinu navádějí na polární souřadnice x r cos ϕ, y r sin ϕ. nožina je v nich ohraničena vztahy r, r cos ϕ r sin ϕ r cos ϕ, z čehož plyne tg ϕ, a tedy π ϕ π. Nyní vypočteme jakobián pro polární souřadnice, který se nám bude hodit i v dalších příkladech. ( x x ( r ϕ cos ϕ r sin ϕ. sin ϕ r cos ϕ r ϕ det r cos ϕ + r sin ϕ r. Ve výsledném integrálu se objeví jedno r za integrovanou funkci a jedno r z jakobiánu. π/ ( x + y dxdy π/ r dr dϕ [ r ] [ϕ] π/ π/ 7 π. Příklad.5. Pomocí substituce ve vícenásobném integrálu odvoďte vztah pro obsah kruhu o poloměru R.
Řešení: Zavedeme si polární souřadnice jako v minulém příkladu. Víme, že r R, ϕ π a det r. Potom je obsah kruhu roven integrálu: dxdy R ( π r dϕ dr R πr dr π r πr. Příklad.. Určete integrál xy dxdy, kde je část kruhu o poloměru a středu v prvním kvadrantu. Řešení: Protože integrujeme přes čtvrtkruh, zvolíme opět polární souřadnice x r cos ϕ, y r sin ϕ, meze budou r, ϕ π/, jakobián je jako v předchozích příkladech r. V integrálu se objeví r : jedno za x, druhé za y a třetí z jakobiánu. xy dxdy π/ ( r cos ϕ r sin ϕ r dr dϕ π/ [ r ] Využili jsme vztahu sin ϕ sin ϕ cos ϕ. sin ϕ dϕ [ ] π/ cos ϕ 8 Příklad.7. Pomocí substituce vypočtěte (x + y dxdy, kde je omezená křivkami x + y, x + y, x y, x y. Řešení: Zavedeme substituci u x + y a v x y, máme tedy u, v. Inverzní vztahy jsou x u+v, y u v. Jacobiho matice je: ( x. det. Jakobián je /, do integrálu ale dáváme absolutní hodnotu jakobiánu, tj. /. (x + y dxdy u dudv [ u ] [v]. Příklad.8. Určete integrál ( y x + xy dxdy, kde je množina v. kvadrantu ohraničená hyperbolami xy, xy 9 a přímkami y x a y x. Řešení: Ohraničení množiny a výraz v integrálu navádí na substituci u xy, v y x (možná je i jiná volba. Hranice v nových proměnných budou u, v. Vydělením a vynásobením definičních vztahů pro u a v dostáváme x u v, y uv. Jacobiho matice pak je: ( x u v, det u v u v. 5
7 5 y x xy 9 y x xy 5 Obrázek 5: Obrázek k příkladu.8 Pro integrál dostáváme ( y x + ( xy dxdy (u + v u v du dv [ ] u u ( 5 + v v dv v + 8 dv 5 [ln v] + 8( 5 5 ln + 8( ln + 8. Příklad.9. Určete integrál sin (x + y dxdy, kde je kruh o poloměru se středem v počátku. Řešení: Použijeme polární souřadnice x r cos ϕ, y r sin ϕ, det r. π ( sin (x + y dxdy r sin r dr dϕ π [ cos t] π( cos. V integrálu jsme použili substituci za t r. Příklad.. Určete obsah elipsy o poloosách a a b. Řešení: Rovnice elipsy je ( x ( a + y b a lze ji parametrizovat x ar cos ϕ, y br sin ϕ, kde r, ϕ π. Jacobiho matice je ( x x ( a cos ϕ ar sin ϕ r r ϕ ϕ b sin ϕ br cos ϕ, det abr(cos ϕ+sin ϕ abr. Protože počítáme obsah plochy, je integrovanou funkcí jednička. π [ ] r dxdy abr drdϕ abπ abπ.
Příklad.. Přechodem k polárním souřadnicím určete plošný obsah části roviny, určené následujícími nerovnostmi, respektive hraničními křivkami: (x + y a (x y, x + y a, a. Řešení: Použijeme polární souřadnice x r cos ϕ, y r sin ϕ, det r. V nich hraniční křivky vypadají r a r (cos ϕ sin ϕ, tj. r a cos ϕ a r a. Rovnosti v prvním vztahu se pro r a dosahuje pro cos ϕ, tj. ϕ π/. eze v polárních souřadnicích tedy jsou a r a cos ϕ, ϕ π. Pro integrál dostáváme dxdy π a ( a cos ϕ r dr dϕ a π cos ϕ dϕ a 8 π π a ( cos ϕ dϕ cos u du a 8 [sin u] π a V integrálu jsme provedli substituci u ϕ a použili vztah cos t cos t sin t cos t. Příklad.. Kruhový válec o poloměru podstavy R výšce h s osou ve směru osy z je naplněn plynem, jehož hustota se řídí barometrickou formulí ρ ρ e ρ gz p. Určete hmotnost plynu ve válci. Řešení: Použijeme válcové souřadnice x r cos ϕ, y r sin ϕ, z z. Obdobně jako u polárních souřadnic je jakobián det r. Hmotnost plynu vypočteme jako integrál z hustoty přes celý objem válce. m V ρ dxdydz ψ (V ρr drdϕdz π R ρ h π R r h e ρ g p z dz πr p g ρ e ρ g p z dzdrdϕ ( e ρ gh p. Příklad.. Vypočítejte obsah množiny, která je ohraničena lemniskátou (x + y x y. Řešení: Křivka je středově symetrická podle počátku, budeme počítat obsah části v prvním kvadrantu a vynásobíme jej pak. Použijeme polární souřadnice, v nich dostáváme r r (cos ϕ sin ϕ r cos ϕ, tj. r cos ϕ. Použili jsme vztah cos ϕ cos ϕ sin ϕ. Aby tato nerovnost mohla být splněna, musí být cos ϕ kladný. Dostáváme tedy ϕ [ π, π ] [ π, 5π ]. Průnik s prvním kvadrantem dává ϕ [, π ]. 7
Obsah množiny tedy je S dxdy ψ ( π r drdϕ cos ϕ π r drdϕ cos ϕ dϕ Použitá a doporučená literatura π cos u du.. Kopáček Jiří, Příklady z matematiky pro fyziky III., atfyzpress, Praha,, kapitola. Šibrava Zdeněk, Příklady k atematice vícenásobné integrály, dostupné z www: http://mat.fsv.cvut.cz/sibrava/vyuka/vic int.pdf. http://www.wiziq.com/tutorial/87-substitution-of-the-variablesin-double-integration. http://www.math.net/change-of-variables-in-double-integrals.html 8