NÁHODNÁ VELIINA Náhodná veliina je veliina, jejíž hodnota je jednoznan urena výsledkem náhodného pokusu (je-li tento výsledek dán reálným íslem). Jde o reálnou funkci definovanou na základním prostoru a charakterizovanou distribuní funkci. Distribuní funkce je definována jako F(x) P(X<x), jde ted o funkci, která každému reálnému íslu piazuje pravdpodobnost, že náhodná veliina nabývá hodnot menších než toto reálné íslo. Pravdpodobnost výsktu náhodné veliin na njakém intervalu urujeme na základ tchto vztah: P( X < a) F( a) P( X P( a X b) F( b) < b) F( b) F( a) P(a X < b) f(x) Podle toho, jakých mže náhodná veliina nabýt hodnot (resp. z jakého intervalu), rozlišujeme spojitou a diskrétní náhodnou veliinu, pesnji eeno náhodnou veliinu se spojitým a diskrétním rozdlením. Diskrétní náhodná veliina je náhodnou veliinou, která mže nabývat pouze koneného nebo spoetn nekoneného množství hodnot (nap. výsledek hodu kostkou) Diskrétní náhodnou veliinu popisujeme prostednictvím pravdpodobnostní funkce, pop. distribuní funkce. Spojitá náhodná veliina je náhodnou veliinou, která mže nabývat všech hodnot z libovolného koneného nebo nekoneného intervalu (nap. životnost záivk) Pro popis spojité náhodné veliin používáme distribuní funkci, hustotu pravdpodobnosti a v pípad, že jde o nezápornou spojitou náhodnou veliinu používáme také intenzitu poruch. Intenzita poruch má pro vtšinu výrobk z technické praxe charakteristický tvar vanové kivk. V mnoha pípadech je výhodné shrnout celkovou informaci o náhodné veliin do nkolika ísel, které charakterizují nkteré vlastnosti náhodné veliin, pípadn umožují srovnání rzných náhodných veliin. Tato ísla se nazývají íselné charakteristik náhodné veliin. Mezi základní íselné charakteristik adíme nap. stední hodnotu, rozptl, smrodatnou odchlku, kvantil, modus, šikmost a špiatost. V pípad, že g(x) je njaká prostá reálná funkce, definovaná na základním souboru náhodné veliin X, mžeme snadno odvodit rozdlení transformované náhodné veliin Y g(x). x - -
Diskrétní náhodná veliina.. Mjme náhodnou veliinu X definovanou jako výsledek hodu klasickou pravidelnou kostkou. Urete tp NV, její pravdpodobnostní a distribuní funkci (zakreslete). X... výsledek hodu kostkou Základní soubor NV X (množina všech možných výsledk): Ω {; ; ; ; ; } Vzhledem k tomu, že základní soubor je tvoen konen mnoha (šesti) hodnotami, jedná se o diskrétní NV Pravdpodobnostní funkce této NV je uvedena v následující tabulce: (nap. P(X) teme: pravdpodobnost, že výsledek hodu kostkou je ). V tabulce jsou pitom uveden pouze nenulové hodnot pravdpodobnostní funkce. Je zejmé, že platí: x i R \ Ω : P( X x ) (nap. P(X,)P(X-)... ). Všimnte si zárove, že je splnna. ást definice diskrétní NV : P ( X ) ( i) x i x i P( X x i ) / / / / / / Na následujícím obrázku pak vidíme grafickou podobu pravdpodobnostní funkce (izolované bod). i x) / P( x x Dále se pokusíme na základ definice urit distribuní funkci. Z vlastností distribuní funkce vplývá, že bod nespojitosti této funkce jsou t bod, v nichž je pravdpodobnostní funkce nenulová (P( x x ) lim F(x) - F( x )). Proto si uríme hodnot distribuní funkce na x x + všech intervalech vmezených bod nespojitosti. - -
P(x) / x Ing. Martina Litschmannová nap.: x ( ; : F( x) P( X < x) (pravdpodobnost, že na kostce padne íslo menší než ) x ( ; : F( x) P( X < x) / (pravdpodobnost, že na kostce padne íslo menší než ) x ( ; : F( x) P( X < x) / (pravdpodobnost, že na kostce padne íslo menší než )... Hodnot distribuní funkce na celém defininím oboru (R) jsou uveden v následující tabulce. x i F( x i ) (- ;> (;> / (;> / (;> / (;> / (;> / (; ) Na grafu distribuní funkce si všimnte jejich vlastností: neklesající zleva spojitá lim F(x) ; lim F(x) x + x P( X x) lim F(x) F( x x x + ), tj.: distribuní funkce je nespojitá v bodech, v nichž je pravdpodobnostní funkce nenulová velikost skoku v bodech nespojitosti je rovna píslušné pravdpodobnosti x) F( / x.. V osudí je bílých a 7 ervených mík. Náhodná veliina X pedstavuje poet bílých mík mezi pti vbranými. Vtvote pravdpodobnostní a distribuní funkci této náhodné veliin. Náhodná veliina X nabývá hodnot {,,,,,}. - -
Z teorie pravdpodobnosti víme, že se jedná o opakované závislé pokus. Je zejmé, že jde o diskrétní náhodnou veliinu, mžeme ted sestavit pravdpodobnostní funkci: ( ) p x i 7. xi xi Dosazením jednotlivých hodnot náhodné veliin do pravdpodobnostní funkce získáme pravdpodobnostní tabulku: x i P(x i ) 7 79 79 79 79 79 79 Grafické zobrazení pravdpodobnostní funkce (bodový graf): Distribuní funkce: x i F( x i ) (- ;> (;> /79 (;> 9/79 (;> /79 (;> 7/79 (;> 79/79 (; ) 79/79 - -
Spojitá náhodná veliina.. Nech Y je spojitá náhodná veliina definována hustotou pravdpodobnosti: c( )( + ) f ( ) < < jinde a) naleznte konstantu c, b) zakreslete f() c) naleznte a zakreslete distribuní funkci F(), d) urete: P(<Y<), P(Y>,), P(Y,) a) pro nalezení konstant c vužijeme toho, že: f ( x) dt + c( t ) dt + dt t + ct + ( ) c( ) ( ) c. c,7 b) f ( ) ( )( + ) < < jinde Hustota pravdpodobnosti f(),8,,, - - -, c) Distribuní funkci uríme z definice: F( ) f ( t) dt pro < < Pro < < : F( ) dt - -
Ing. Martina Litschmannová Pro < : F( ) ( t ) + t dt t ( + + ) dt + Pro < : F ( ) + dt ( t ) dt + t dt + t + Distribuní funkce F(),,8,,, - - - - -, F() d) Pravdpodobnosti výsktu náhodné veliin Y na uritém intervalu uríme pomocí píslušných vztah: P ( < Y < ) F() F() ( + + ) ~ % P ( Y >,) F(,) ( ( ) P ( Y,) +. + ) 7 ~,% íselné charakteristik diskrétní náhodné veliin.. Vrame se k díve definované diskrétní náhodné veliin X hod kostkou. V jednom z výše ešených píkladu jsme si urili a zakreslili její pravdpodobnostní i distribuní funkci. x i P( X x i ) / / / / / / x i F( x i ) (- ;> (;> / (;> / (;> / (;> / (;> / (; ) - -
Nní ureme: a) stední hodnotu b) rozptl c) smrodatnou odchlku d) medián e) modus + + + + + a) EX µ x. P( ). +. +. +. +. +., ( i) i x i b) DX µ E( X EX ) EX ( ) EX EX ( i) x P( i x i ). +. +. +. +. +. 9, DX EX ( EX ) 9,9 c) σ x DX, 7 d) x,? F ( x i ), x (; i x sup{(; } (ovení: platí, že % hodnot náhodné veliin je ), e) modus je hodnota, pro kterou platí: P( X x) P( X xi ), i,,... (tj. hodnota, které nabývá NV s nejvtší pravdpodobností) Protože v našem pípad nabývá NV X všech hodnot se stejnou pravdpodobností, jedná se o vícemodální rozdlení s mod {;;;;;}. ^ íselné charakteristik spojité náhodné veliin.. A nní najdeme vbrané íselné charakteristik pro spojitou náhodnou veliinu. Zvolme si náhodnou veliinu Y definovanou takto: c( )( + ) f ( ) Urete: < < jinde a) stední hodnotu - -
b) rozptl c) smrodatnou odchlku d) medián e) modus Nejdíve bchom museli urit konstantu c ze vztahu: f ( ) d M vužijeme toho, že daný problém jsme již výše ešili a mžeme proto pímo pevzít výsledek, že c,7. a) EY µ. f ( ) d.d +. ( ) d +.d + + (výsledek bl oekávatelný, protože hustota pravdpodobnosti NV Y je sudá funkce) b) DY EY (EY ) DY EY. f ( ) d EY ( EY ).d +,. ( ) d +.d + + c) σ DY, d) F ( ),, Znovu vužijeme toho, že jsme s touto náhodnou veliinou pracovali již díve a bez optovného výpotu použijeme znalosti distribuní funkce F(). F ( ) ( + + ) pro < ( ) pro ( ) pro > Ze vztahu pro distribuní funkci je zejmé, že medián mže být pouze hodnota z intervalu (-;): (, +, + ) ( + + ),, +,,, - 7 -
, ( + ),,,, ( ;) ( ;) e) modus je hodnota, pro kterou platí: f ( xˆ) f ( x) pro < x < (tj. hodnota, v níž hustota pravdpodobnosti nabývá svého maxima) Pro maximum funkce platí, že první derivace v nm musí být nulová (nebo nedefinována) a druhá derivace v nm musí být záporná. Je zejmé, že rovnž modus budeme hledat na intervalu (-;): df ( ) d ( ), ( ) bod podezelý z maxima Zda se jedná o maximum bchom mohli ovit z druhé derivace f(), ale m vužijeme opt toho, že jsme s danou NV pracovali a pohledem na graf f() si ovíme, že hustota pravdpodobnosti f() skuten nabývá svého maxima v bod. ˆ Funkce náhodné veliin V mnoha pípadech, kd známe rozdlení náhodné veliin X, potebujeme urit rozdlení náhodné veliin Y, která je funkcí X, tzn. Y g(x). Je-li funkce g(x) v oboru možných hodnot veliin X monotónní, pak existuje inverzní funkce g (), a jde o vzájemn jednoznaný vztah mezi X a Y. Je-li v takovém pípad g(x) rostoucí, pak pro všechna x < x je < a distribuní funkci veliin Y lze psát jako: H() P(Y < ) P[X < g ()] F[g ()] Pro klesající funkci g(x), pak pro všechna x < x je > a distribuní funkci veliin Y lze psát jako: H() P(Y < ) P[X > g ()] F[g ()] - 8 -
Je-li X spojitá náhodná veliina s hustotou pravdpodobnosti f(x), piemž g - () má pro všechna spojitou derivaci, pak pro rostoucí funkci g(x) dostaneme hustotu pravdpodobnosti h() veliin Y jako: h Podobn pro klesající funkci h(x) dostaneme: h dh ( ) dg ( ) f ( g ( ) ) f ( g ( ) ) d d d dh ( ) dg ( ) f ( g ( ) ) f ( g ( ) ) d d d Vzhledem k tomu, že v pípad rostoucí funkce g(x) je >, zatímco v pípad klesající d funkce g(x) je <, lze oba pedchozí vztah spojit do jednoho: d h dh ( ) dg ( ) f ( g ( ) ) f ( g ( ) ) d d d.. Nech náhodná veliina W je definována jako lineární transformace náhodné veliin Y.,7( )( + ) f ( ) < jinde < W Y + Naleznte: a) distribuní funkci H(w) náhodné veliin W b) hustotu pravdpodobnosti h(w) náhodné veliin W, c) stední hodnotu EW náhodné veliin W d) rozptl DW náhodné veliin W. Stejn jako v pedchozích pípadech vužijeme toho, že jsme již s NV Y pracovali (v opaném pípad bchom museli nejdíve najít F(), EY a DY). pro < ( ) F ( ) ( + + ) pro ( ), EY, DY, pro > - 9 -
w w a) H ( w) P( W < w) P(Y + < w) P( Y < ) F( ) Nní uríme distribuní funkci H(w) tak, že do pedpisu pro distribuní funkci F() w dosadíme za výraz. ( ) w H w w + + w pro < w pro w pro > H ( w) ( w 8w + w ) pro w < pro w pro w > b) Hustotu pravdpodobnosti uríme jako derivaci distribuní funkce: h ( w) dh ( w) dw (w h ( w) po úprav: h ( w) ( w w + ) w + ) pro pro pro w ( w < ) ( w > ) pro w ( w < ) ( w > ) c) Z vlastností stední hodnot plne, že: EW E( Y + ). EY +. + d) Z vlastností rozptlu plne, že: DW D(Y + ). DY., - -
.7. Nech náhodná veliina X má spojitou rostoucí distribuní funkci F(x). Najdte distribuní funkci a hustotu pravdpodobnosti náhodné veliin Y F(X). Y F(x) F(x) nabývá pro x R hodnot z intervalu <;> náhodná veliina Y nabývá rovnž hodnot z intervalu <;> pro pro < H ( ) > H ( ) pro H ( ) P( Y < ) P( F( X ) < ) P( X < F ( )) F( F ( )) H ( ) pro < pro pro > Hustota pravdpodobnosti náhodné veliin Y h( ) h( ) dh ( ) d pro ; jinde Hustota pravdpodobnosti rovnomrného rozdlení,,8,,, -, - -, - -,,,, Náhodná veliina Y má tzv. rovnomrné (rektangulární) rozdlení v intervalu <, >. - -
π π.8. Nech veliina X má rovnomrné rozdlení v intervalu ; má veliina Y tg X? Naleznte hustotu pravdpodobnosti NV Y.. Jaké rozdlení h ( ) d ( ) f g ( ) Hustota pravdpodobnosti rovnomrného rozdlení na intervalu f ( x) π π na ; π π π jinde π π ; : ( x) tg x g ( ) x arctg g d d ( arctg ) d + + Hustota pravdpodobnosti veliin Y je ted: h ( ) ( ) f g ( ) d π ( + ), R Uvedené rozdlení se nazývá Cauchho. Je píkladem rozdlení, které nemá konený rozptl: DY ( ) g d d ( + ) d π π ( + ) π d ( + ) π [ π ] + d.9. Nech veliina X má rovnomrné rozdlení v intervalu ; π. Jaké rozdlení má veliina Y cot g X? Naleznte distribuní funkci NV Y. Hustota pravdpodobnosti rovnomrného rozdlení na intervalu ; π : - -
f ( x) π π na ; π jinde Distribuní funkce rovnomrného rozdlení na intervalu ; π : F ( x) x x f ( t) dt dt + dt x π π x x ( ;) x ; π ( π ; ) Distribuní funkce NV Y: H ( ) P(Y < ) P( cotg X < ) P( X > arccotg ) F( arccotg ) H ( ) arccot g π arccot g arccot g ( ;) arccot g ; π ( π; ) Vzhledem k tomu, že obor hodnot funkce arccotg x je ( ;π ): 8 arccotg - - - - - - H π ( ) arccot g R - -