CVIČENÍ Z MATEMATIKY II

VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ CVIČENÍ Z MATEMATIKY II Řešené úlohy (Učební tet pro kombinovanou formu studia) RNDr. JIŘÍ KLAŠKA, Dr. ÚSTAV MATEMATIKY FAKULTA STROJNÍHO INŽENÝRSTVÍ BRNO

PŘEDMLUVA Učební tet Cvičení z matematiky II je určen jako učební pomůcka pro posluchače a konzultanty kombinovaného studia na FSI VUT Brno. Tematicky navazují cvičení na tet Matematika II, ve kterém jsou shrnuty všechny nejdůležitější pojmy a tvrzení z vybraných partií matematické analýzy v R n. Výběr látky je určen současnými osnovami předmětu. Cvičení z matematiky II je koncipováno jako malá sbírka řešených úloh. Úlohy jsou rozděleny do třinácti samostatných kapitol. Ke všem úlohám jsou uvedeny výsledky a metodický postup řešení. Tet rovněž obsahuje pro větší názornost několik desítek obrázků. Snahou autora bylo do tetu zařadit zejména takové příklady, které by svou složitostí odpovídaly náročnosti a požadavkům zkoušky. Sbírka úloh je použitelná rovněž pro studenty magisterské formy studia. Budu vděčen čtenářům za všechny připomínky, které by přispěly k vylepšení tetu, a přeji hodně trpělivosti při řešení úloh. Brno, září Autor

Typeset by AMS-TEX

OBSAH Předmluva Obsah 3 Lekce. Funkce více proměnných I 5 Lekce. Funkce více proměnných II 9 Lekce 3. Limita a spojitost 3 Lekce 4. Parciální a směrové derivace, gradient 5 Lekce 5. Diferenciál a Taylorův polynom 8 Lekce 6. Lokální etrémy Lekce 7. Vázané a globální etrémy 6 Lekce 8. Implicitní funkce 3 Lekce 9. Dvojrozměrné integrály I (Fubiniho věta) 33 Lekce. Trojrozměrné integrály I (Fubiniho věta) 37 Lekce. Dvojrozměrné integrály II (Transformace) 4 Lekce. Trojrozměrné integrály II (Transformace) 45 Lekce 3. Aplikace vícerozměrných integrálů 49 3

4

LEKCE. FUNKCE VÍCE PROMĚNNÝCH I. ( Definiční obory funkcí dvou proměnných ) Vyšetřete a v kartézském souřadnicovém systému (O,, y) zakreslete definiční obory následujících funkcí dvou proměnných.. f(, y) = 4 + y 9.. f(, y) = ln( ln(y )). 3. f(, y) = sin y. 4. f(, y) = ( ln y) ln( ). 5. f(, y) = ln( y) + y + 4. 6. f(, y) = ln ( + y ). 7. f(, y) = ( + y). 8. f(, y) = sin(π( + y )). 9. f(, y) = arcsin(y( + ) ).. f(, y) = ln( + y 9) + arctg 5 y. ŘEŠENÍ.. [, y Df (4 ) (y 9 ) ( 4) (y 9) ( ) ( y 3), y (, 3 3, ) [, y, ((, 3 3, )). Tedy Df =, ((, 3 3, )). Viz obr.. Obr. 5

. [, y Df ln(y ) > ( > ln(y ) > ) ( < ln(y ) < ) (> y >) (< < y <) (> y > +) ( < y < + y >). Obr. 3. [, y Df siny ( sin y ) ( sin y ) ( y k= kπ, (k + )π ) ( y (k )π, kπ ). k= Obr. 3 4. [, y Df ( ln y) ln( ) ( lny ln( ) ) ( ln y ln( ) ) (lny ) (ln y > ) ( < y e ) (y e < ). Obr. 4 6

5. [, y Df y > y + 4 y < y +. Odtud Df = {[, y; y < y + }. Obr. 5 6. [, y Df + y > +y > ( + y > > ) ( + y < < ) ( > y > ) ( < y < ). Obr. 6 7. [, y Df ( +y) ( +y) +y ( +y y ) ( +y +y ) +y +y y. Tedy Df = {[, y; y }. Obr. 7 7

8. [, y Df sin π( + y ) kπ π( + y ) (k + )π, k Z k +y k+, kde k Z. Odtud plyne Df = k= {[, y; k +y k+}. Obr. 8 9. [, y Df y( + ) y( + ) y. + Tedy Df = {[, y; y }. Po vyšetření průběhu funkce již snadno + + nakreslíme definiční obor. Obr. 9. [, y Df + y 9 > 5 y y 9 + y + 5 y 9 ( + ) + y 6. Obr. 8

LEKCE. FUNKCE VÍCE PROMĚNNÝCH II. ( Metoda řezů a definiční obory funkcí tří proměnných ) Vyšetřete a nakreslete řezy následujících funkcí.. f(, y) = ln(3 y) rovinou z =. y. f(, y) = 3 + y rovinou z =. Pomocí metody řezů nakreslete grafy následujících funkcí dvou proměnných. 3. f(, y) = + y. 4. f(, y) = + y. 5. f(, y) = ( + y). 6. f(, y) = e y. 7. f(, y) = + y. Vyšetřete a v kartézském souřadnicovém systému (O,, y, z) zakreslete definiční obory následujících funkcí tří proměnných. 8. f(, y, z) = + y z + + y + z 9. f(, y, z) = z + y + 6 ( + y + z).. f(, y, z) = ( + y + z ) + 7/5 ( + z). ŘEŠENÍ.. Předně vyšetříme definiční obor. Platí [, y Df y 3 y > y y < 3. Odtud plyne, že Df ={[, y; y < 3 y }. Viz obr.. Najít řez rovinou z = znamená řešit rovnici y ln(3 y)=. Platí y ln(3 y)= = 3 y = = y = 3. Odtud a z předchozího plyne, že řezem je otevřená polopřímka a přímka s výjimkou jednoho bodu. Viz obr.. Obr.. Definiční obor funkce f(, y) = 3 + y je celá rovina R. Najít řez rovinou z = znamená vyřešit rovnici 3 + y =. Platí y = 3 + a odtud y = ± 3 +. Odtud plyne, že hledaný řez je symetrický podle osy. Vyšetříme průběh funkce g() = ± 3 +. Předně Dg ( + ). Tedy Dg =, ). Určíme první derivaci g () = 3 + = (3+) 3 +. Definiční 3 + obor derivace g je Dg = (, ) {}. Jediný nulový bod je = 3. Dosazením vhodných bodů zjistíme signum g na příslušných intervalech. Na (, 3 ) je g 9

kladná, na ( 3, ) záporná a na (, ) kladná. Odtud plyne, že funkce g je na (, 3 ) rostoucí, na ( 3, ) klesající a na (, ) rostoucí. V bodě = 3 je maimum g( 3 ) = 3 9.38 a v bodě = je minimum g() =. Druhá derivace po úpravě vychází g () = (3+4). Odtud plyne, že na intervalu 4 (+) (+) (, ) je funkce g konkávní a na (, ) konvení. Bod = není inflení bod. Asymptoty funkce g nemá. Z těchto informací lze již nakreslit graf funkce g a tím i obrázek celého řezu. Viz obr.. Obr. 3. Definiční obor funkce f(, y)= +y je celá rovina R a Hf =, ). Řezy rovinami z =c jsou pro z > kružnice +y =c, pro z = bod [, a pro c< jsou řezy prázdné množiny. Řezy rovinami y = c jsou tvaru z = +c. Po umocnění dostáváme z =c, z. Tedy řezy jsou pro c ramena rovnoosých hyperbol a pro c = je řez z =. Grafem funkce f je horní část kuželové plochy. Viz obr. 3. V grafu jsou znázorněny řezy rovinami z = a y =. Obr. 3 4. Pro f(, y) = + y platí, že Df = R a Hf =, ). Řezy rovinami z = c jsou pro z > tvořeny čtyřmi úsečkami y = ±±c, které tvoří hranici čtverce. Pro z = je řez bod [, a pro c < jsou řezy prázdné množiny. Řezy rovinami y =c jsou tvaru z = + c. Viz obr. 4. Obr. 4

5. Pro f(, y) = ( + y) platí, že [, y Df ( + y) y. Tedy Df = {[, y, y }. Zřejmě Hf =, ). Řezy rovinami z = c jsou pro z přímky y = c. Pro c < jsou řezy prázdné množiny. Řezy rovinami y =c jsou tvaru = z c, z. Tyto řezy jsou poloviny parabol. Graf funkce f je na obr. 5. Obr. 5 6. Pro f(, y) = e y je Df = R a Hf =,. Řezy rovinami z = c jsou pro z > tvořeny kružnicemi + y = ln c. Pro z = je řez bod [, a pro c jsou řezy prázdné množiny. Řezy rovinami y =c jsou tvaru z =e c. Jedná se o křivky, jejichž průběh je třeba vyšetřit zvlášť. Graf funkce f vznikne rotací grafu funkce y = e okolo osy z. Viz obr. 6. Obr. 6 7. Pro f(, y)= +y je Df =R {[, } a Hf =(, ). Řezy rovinami z =c jsou pro z > tvořeny kružnicemi +y =. Pro c jsou řezy prázdné množiny. Řezy c rovinami y = c jsou tvaru z = +c. Průběh těchto křivek je zapotřebí vyšetřit zvlášť. Graf funkce f vznikne rotací grafu funkce y = okolo osy z. Viz obr. 7. Obr. 7 8. Pro f(, y, z) = + y z+ + y + z platí [, y, z Df

+ y z + y +z z + y z + y. Df ={[, y, z,, y, +y z +y }. Definiční obor je těleso ohraničené dvěma kuželovými plochami. Viz obr. 8. Obr. 8 9. Pro f(, y, z) = z + y + 6 ( + y + z) platí [, y, z Df z + y 6 ( + y + z) z + y z 6 ( + y ). Df = {[, y, z,, 4 y 4, +y z 6 ( +y )}. Definiční obor je těleso ohraničené zhora paraboloidem a zdola kuželovou plochou. Průnik paraboloidu a kuželové plochy je kružnice +y =4. Viz obr. 9. Obr. 9. Pro f(, y, z) = ( + y + z ) + 7/5 ( + z) platí [, y, z Df ( + y + z ) 7 5 ( + z) + y + z z 7. Definiční 5 obor je koule o poloměru se středem v počátku, ze které je rovinou odříznuta její část. Viz obr.. Obr.

LEKCE 3. LIMITA A SPOJITOST. y. Vyšetřete limitu lim [,y [, 3 + y. + y. Vyšetřete limitu lim [,y [, y. 3 y 3. Vyšetřete limitu lim [,y [, 4 + y 4. y 4. Vyšetřete limitu lim [,y [, 4 + y. y 5. Vyšetřete limitu lim [,y [, + y. y 6. Vyšetřete, zda je funkce f(, y)= pro [, y [, +y pro [, y=[, 4 y 7. Vyšetřete, zda je funkce f(, y)= 8 pro [, y [, +y4 pro [, y=[, + y 8. Spočtěte limitu lim +. [,y [, + y 3 y 3 9. Spočtěte limitu lim [,y [, 4 y. 4. Spočtěte limitu lim [,y [, 3( + y ) + y + 4. spojitá v bodě [,. spojitá v bodě [,. Výsledky úloh:. Neeistuje.. Neeistuje. 3. Neeistuje. 4. Neeistuje. 5. Neeistuje. 6. Spojitá. 7. Nespojitá. 8.. 9. 3 8... ŘEŠENÍ.. K vyšetření limity použijeme metodu postupných limit. Platí y L = lim(lim y 3+y ) = lim 3 = lim 3 = 3. y L = lim(lim y 3+y ) = lim y y y = lim( ) =. Obě postupné limity L, L eistují, ale jsou různé. Z věty o jednoznačnosti limity plyne, že daná limita neeistuje.. K vyšetření limity použijeme opět metodu postupných limit. Platí +y L = lim(lim y y ) = lim = lim =. +y L = lim(lim y y ) = lim y y y = lim ( ) =. Obě postupné limity L, L eistují, ale jsou různé. Z věty o jednoznačnosti limity plyne, že daná limita neeistuje. 3

3. Metoda postupných limit selhává. K vyšetření limity použijeme metodu svazku přímek. Platí L = lim 3 y,y=k 4 +y = lim 3 k k 4 4 +k 4 = lim 4 4 4 (k 4 +) = lim k k 4 + = k k 4 +. Protože limita L závisí na parametru k, z věty o jednoznačnosti limity plyne, že funkce f v bodě [, nemá limitu. 4. Metoda postupných limit i metoda svazku přímek selhává. K vyšetření limity použijeme metodu svazku parabol. Platí L = lim y,y=k 4 +y = lim k k 4 +k = lim 4 k + = k k +. Protože limita L závisí na parametru k, z věty o jednoznačnosti limity plyne, že funkce f v bodě [, nemá limitu. 5. K vyšetření limity použijeme metodu polárních souřadnic. Platí L y ρ cos ϕρ sin ϕ = lim ρ,=ρ cos ϕ,y=ρ sin ϕ +y = lim ρ ρ cos ϕ+ρ sin ϕ = lim cos ϕ sin ϕ=cos ϕ sin ϕ. ρ Protože limita L závisí na ϕ, funkce f nemá v bodě [, limitu. 6. Aby byla funkce f spojitá v bodě [,, musí mít v tomto bodě limitu rovnu nule. Dokažme, že tomu tak je. Použijeme větu, která tvrdí, že limita součinu funkce jejíž limita je nula a ohraničené funkce je rovna rovněž nula. Zřejmě platí lim y +y = lim lim y +y. Přitom =. Ukažme nyní že [,y [, y funkce +y + y [,y [, [,y [, lim [,y [, je ohraničená. Platí ( y ) y + y y y +y y +y y. Tedy funkce +y je ohraničená. 7. Aby byla funkce f spojitá v bodě [,, musí mít v tomto bodě limitu rovnu nule. Metoda postupných limit, metoda svazku přímek i metoda polárních souřadnic dávají výsledek nula. Metodou svazku parabol ukažme, že limita nula není a tedy zkoumaná funkce je v daném bodě nespojitá. L = lim,y=k 4 y 8 +y 4 = lim 4 (k ) k 8 +(k ) = lim 8 4 (+k 4 ) = k 8 +k. 4 Limita L závisí na parametru k. Odtud podle věty o jednoznačnosti limity plyne, že funkce f je v [, nespojitá. 8. Do funkce nelze bezprostředně dosadit. Provedeme proto vhodnou algebraickou úpravu. Výraz rozšíříme. lim +y + ( = lim +y + )( +y ++) = [,y [, +y [,y [, ( +y )( +y ++) lim [,y [, ( +y + ) ( +y )( +y ++) = lim [,y [, = +y ++. 9. Provedeme algebraickou úpravu funkce. Rozložíme čitatele i jmenovatele výrazu a provedeme pokrácení. 3 y 3 ( y)( 4 y = lim +y+y ) 4 ( y)(+y)( +y ) = lim +y+y (+y)( +y ) = 4+4+4 4(4+4) = 3 8. lim [,y [, [,y [, [,y [,. Provedeme algebraickou úpravu funkce. Výraz rozšíříme vhodným zlomkem. lim [,y [, 3( +y ) +y +4 = lim [,y [, 3( +y )( +y +4+) ( +y +4 )( +y +4+) = 3( lim +y )( +y +4+) [,y [, +y +4 4 = lim 3( +y +4+)=3(+)=. [,y [, 4

LEKCE 4. PARCIÁLNÍ A SMĚROVÉ DERIVACE, GRADIENT.. Spočtěte parciální derivace prvního řádu funkce f. (a) f(, y) = ( y + y) 4. (b) f(, y) = e y + y. (c) f(, y, z) = ( y z ).. Spočtěte parciální derivace prvního řádu funkce f v bodě A. (a) f(, y) = ln(+ +y ), A = [,. (b) f(, y) = ( + log y ) 3, A = [e, e. (c) f(, y, z) = arctg y + z z, A = [,,. 3. Spočtěte všechny parciální derivace druhého řádu funkce f v bodě A. (a) f(, y) = e y sin, A = [,. (b) f(, y) = arctg y +y, A = [3,. (c) f(, y) = e ey, A = [,. 4. f(, y) = ln(y). Spočtěte f yy. 36 5. f(, y) = ln( + + y). Spočtěte 79 57 y. 6. Určete bod, ve kterém je gradient funkce f(, y)=ln(+ y 7. Určete body, ve kterých se velikost gradientu funkce f(, y)=( +y ) 3 rovná. 8. Spočtěte derivaci f(, y)= y v bodě A=[, ve směru vektoru u=(, ). +y 9. Zjistěte, zda je funkce f(, y) = 3 + y v bodě A = [, ve směru vektoru u = ( 3, ) rostoucí.. Spočtěte derivaci funkce f(, y)=ln(+y) v bodě A=[, ležícím na parabole y = 4 ve směru jednotkového vektoru tečny k parabole v tomto bodě. Výsledky úloh:. (a) f = 8y4 ( + ) 3, f y = 4y3 ( + ) 4. (b) f = y e y + y y, ) roven vektoru (, 6 9 ). f y = y e y + y ln. (c) f = ( y z ) ln( y z ), f y = ( y )( y z ), f z = ( z )( y z ).. (a) f (A) = 5, f y (A) = 5+. (b) f 5 (A) = e, f y (A) = e. (c) f (A) = 4, f y(a) =, f z(a) = 4 + ln 6. 3. (a) f (A) =, f y (A) =, f yy (A) =. (b) f (A) = 6, f y (A) = 8, f yy (A) = 6. (c) f (A) =, f y(a) =, f yy(a) 35! =. 4.. 5. (++y). 6. [ 36 3, 3 4, [ 7 3, 3 4. 7. Body leží na kružnici + y = 3. 8.. 9. Klesající. f u(a) = 4 3.. 3. ŘEŠENÍ.. (a) f(, y)=( y + y) 4, f =4( y + y) 3 y =8y 4 ( + ) 3, f y =4( y + y) 3 =4y 3 ( + ) 4. (b) f(, y) = e y + y, f = e y y + yy, f y = e y ( ) + ln y. y (c) f(, y, z) = ( y z ), f = ( y z ) ln( y z ), f y = y = ( z y )( y z ), f z = y ( )z = ( z )( y z ). 5

. (a) f = ( + + +y )= +y + =, f +y + +y +y (A) = +y 5, f y = y + +y = y, f +y +y + +y y(a) = 5+. 5 (b) Ze základních vztahů pro logaritmické funkce plyne, že log y = ln ln y. Zadanou funkci f přepíšeme na tvar f(, y) = ( + log y ) 3 = ( + ln ln y )3. Odtud f =3( + log y ) ln y, f (A) = 3( + log e e) e ln e = e, f y =3( + log ln y ) y ln y, (c) f(, y, z) = arctg y + z z, f = f y = + y f z(a)= 4+ln6. f y(a) = 3( + log e e) ln e e ln e = e. + y y y y, f (A) = 4, y y ln, f y(a)=, f z =zz z +ln z z z =z z (ln z+), 3. (a) f(, y) = e y sin, f = e y cos, f y = e y sin, f = e y sin, f (A)=, f yy =4ey sin, f yy (A)=, f y =ey cos, f y (A)=. (b) f(, y) = arctg y +y, f = +y ( y) +( y +y ) (+y) = y f y = f yy = (+y) ( y) +( y +y ) (+y) = +y, f = +y. y ( +y ), f (A) = 6, y ( +y ), f yy(a) = 6, f y = y ( +y ), f y(a) = 8. (c) f(, y)=e ey, f =e ey e y, f y =e ey e y, f =e ey (e y ), f (A)=, f yy = eey (e y ) + e ey (e y ) = e ey e y (e y + ), f yy (A) =, f y = e ey e y e y + e ey e y = e ey e y (e y + ), f y(a) =. 4. f(, y) = ln(y), f = ln(y)+ y y = ln(y)+, f = y y =, f y =. 5. Funkce f(, y) = ln( + + y) je symetrická vzhledem k proměnným a y. Odtud plyne, že u smíšených parciálních derivací nazáleží na tom, podle kterých proměnných derivujeme, ale pouze na řádu derivace. Platí tedy, že 36 f(, y) 79 57 y = 36 f(, y) 36 Pro derivace malých řádů snadno spočteme, že f = ++y, f = (++y), f = (++y) 3, f Z tvaru uvedených derivací se nabízí hypotéza, že = 6 (++y), f (5) 4 4 = (++y). 5 k f(, y) = ( )k+ (k )!. k ( + + y) k Tuto hypotézu lze dokázat pomocí principu matematické indukce. Speciálně tedy platí 36 f(, y) 79 57 y = 36 f(, y) 36 = 35! ( + + y) 36. 6

6. Spočítáme gradient funkce f(, y) = ln( + y ). Pro parciální derivace prvního řádu platí f = + y y y+, y +y y+, y +y = y y+, f y = = + y y +y. y ). Gradient funkce f porovnáme se zadaným vektorem Odtud gradf = ( (, 6 9 ). Platí ( y 6 ) = (, ). Z rovnosti složek vektorů získáme systém 9 y rovnic y+ =, y +y = 6 9. Dosazením první rovnice do druhé dostáváme y = 6 9. Odtud y = ± 3 4. Dopočítáme. Pro y = 3 4 je = 3, pro y = 3 4 je = 7 6 3. Gradient zadané funkce je roven vektoru (, 9 ) v bodech [ 3, 3 4, [ 7 3, 3 4. 7. Spočítáme gradient funkce f(, y) = ( +y ) 3. Pro parciální derivace prvního řádu platí f = 3 ( + y ) = 3 + y, f y = 3 ( + y ) y = 3y + y. Odtud gradf = (3 + y, 3y + y ). Pro velikost gradientu funkce f platí gradf = (f ) +(f y ) = 9 ( +y )+9y( +y )= 9( +y ) =3( +y ). Dostáváme rovnici 3( + y ) =. Velikost gradientu funkce f(, y)=( +y ) 3 se rovná v bodech ležících na kružnici + y = 3. 8. Nejprve určíme parciální derivace funkce f(, y) = y +y v bodě A = [,. f = ( +y ) ( y ) ( +y ) = 4y ( +y ), f (A) =. f y = y( +y ) ( y )y ( +y ) = 4 y ( +y ), f y(a) =. Odtud plyne, že gradf(a) = (, ). Nyní můžeme určit derivaci ve směru. Platí f u(a) = gradf(a) u = (, ) (, ) = =. 9. Spočítáme derivaci funkce f(, y) = 3 + y v bodě A = [, ve směru vektoru u = ( 3, ). Nejprve určíme parciální derivace prvního řádu funkce f v bodě A. f = 3, f 3 +y (A) = 3, f 3 y =, f 3 +y y(a) =. 3 Odtud plyne, že gradf(a) = ( 3, 3 ). Nyní určíme derivaci ve směru. Platí 3 f u(a) = gradf(a) u = ( 3, 3 9 ) ( 3, ) = 3 + 3 = 4 3 3. Protože je derivace f u(a) záporná, je funkce f v bodě A ve směru u klesající.. Nejprve určíme parciální derivace funkce f(, y) = ln( +y ) v bodě A = [,. f = +y, f (A) = 3, f y = +y, f y (A) = 3. Odtud plyne, že gradf(a) = ( 3, 3 ). Spočteme rovnici tečny k parabole = 4 y. Platí = (y )(y y ), kde =, y =, () =. Rovnice tečny je tvaru y + = a tečna má směrový vektor v = (, ). Jeho velikost je. Jednotkový vektor tečny je tedy u = (, ). Spočítáme derivaci ve směru. f u(a) = gradf(a) u = ( 3, 3 ) (, ) = 3 + 3 = 3. 7

LEKCE 5. DIFERENCIÁL A TAYLORŮV POLYNOM.. Spočtěte diferenciály funkcí f v daném bodě A. (a) f(, y) = y y, A = [3,. (b) f(, y) = arctg, A = [,. y (c) f(, y, z) = y z, A = [,, 4.. Spočtěte druhé diferenciály následujících funkcí. (a) f(, y) = e y. (b) f(, y) = y +y. (c) f(, y) = ln y. 3. Spočtěte rovnici tečné roviny a normály ke grafu funkce f v daném v bodě A. (a) f(, y) = 4 + y y +, A = [,. (b) f(, y) = ln( + y ), A = [,. 4. Spočtěte Taylorův polynom T (, y) funkce f(, y)=ln(7 3y) v bodě A=[,. 5. Spočtěte Taylorův polynom T (, y) funkce f(, y)= e +sin v bodě A=[, a s jeho pomocí určete e+sin. 6. Spočtěte Taylorův polynom T (, y) funkce f(, y)= y v bodě A=[,. 7. Spočtěte Taylorův polynom T (, y) funkce f(, y) = + y v bodě A = [3, 4 a s jeho pomocí určete (.98) + (4.5). 8. Spočtěte Taylorův polynom T 3 (, y) funkce f(, y)=e +y. v bodě A=[,. 9. Spočtěte Taylorův polynom T 3 (, y) funkce f(, y)=sin cos y v bodě A=[,.. Spočtěte Taylorův polynom T 3 (, y) funkce f(, y)=e sin y. v bodě A=[,. Výsledky úloh:. (a) d h f(a)= 3 8 d 3 dy. (b) d hf(a)= 5 d 5 dy. (c) d hf(a)= d dy+ 6 dz.. (a) d h f = e y d 4ye y ddy + (4y )e y dy. (b) d h f = 4y (+y) d + 3 4( y) (+y) ddy+ 4 3 (+y) dy. (c) d 3 h f = d + y ddy y dy. 3. (a) 5+y z 3 =, = y 5 = z 5( ). (b) 4 + y = 5z 5( ln 5) =, = 5(y ) = z ln 5 4. 7 4. T (, y) = 7 3y. 5. 4, T (, y) = + + y. 6. T (, y) = y y +. 7. 5.86, T = 5+ 3 5 ( 3)+ 4 6 5 (y 4)+ 5 ( 3) 4 5 ( 3)( 4)+ 9 5 (y 4). 8. T 3 (, y) = + ( ) + ( + ) + [( ) + ( )(y + ) + (y + ) + 6 [( )3 +3( ) (y+)+3( )(y+) +(y+) 3. 9. T 3 (, y) = 6 3 y.. T 3 (, y) = y + y + y 6 y3. 8

ŘEŠENÍ.. (a) Spočteme parciální derivace funkce f(, y) = y y v bodě A = [3,. Platí f = (y) ( y )y y = +y y, f (A) = 3 8, f y(a) = y(y) ( y ) y = +y y, f y(a) = 3. Diferenciál je tvaru d hf(a) = f (A)d + f y(a)dy. Dosadíme. Platí d h f(a) = 3 3 8d dy. (b) Spočteme parciální derivace funkce f(, y) = arctg v bodě A = [,. Platí y f = +( y ) y = y, f +y (A) = 5, f y (A) = =, f +( y ) y +y y (A) = 5. Diferenciál je tvaru d h f(a) = f (A)d + f y(a)dy. Provedeme dosazení. Platí d h f(a) = 5 d 5 dy. (c) Spočteme parciální derivace funkce f(, y, z) = y z v bodě A = [,, 4. Platí f = z, f (A)=, f y(a)= z, f y(a)=, f z = y (, f z) z(a)= 3 6. Diferenciál je tvaru d h f(a) = f (A)d + f y(a)dy + f z(a)dz. Provedeme dosazení. Platí d h f(a) = d dy + 6 dz.. (a) Spočteme druhé parciální derivace funkce f(, y)=e y. Platí f =e y, f y = ye y, f = e y, f y = ye y, f yy = e y ( y)( y)+e y ( ) = (4y )e y. Druhý diferenciál je tvaru d h f = f d + f yddy + f yydy. Provedeme dosazení. Platí d h f = e y d 4ye y ddy + (4y )e y dy. (b) Spočteme druhé parciální derivace funkce f(, y) = y +y. Platí f = y (+y), f y = (+y), f = 4y (+y), f 3 y = ( y) (+y), f 3 yy = 4 (+y). Druhý diferenciál je tvaru 3 d h f = f d + f y ddy + f yy dy. Provedeme dosazení. Platí d h f = 4y (+y) d + 4( y) 3 (+y) ddy + 4 3 (+y) dy. 3 (c) Spočteme druhé parciální derivace f(, y)= ln y. Platí f =ln y+ y y ln y, f y = y y = = y, f = y =, f y = y = y, f yy =. Druhý y diferenciál je tvaru d h f = f d + f yddy + f yydy. Provedeme dosazení. Platí d h f = d + y ddy y dy. 3. (a) Spočteme parciální derivace funkce f(, y) = 4 + y y + v bodě A = [,. Platí f = 4 3 + 4y y +, f (A) = 5, f y(a) =, f y(a) =. Dopočítáme z-ovou souřadnici z = f(a) =. Rovnice tečné roviny má tvar z z = f (, y )( ) + f y(, y )(y y ), kde A = [, y. Provedeme dosazení. Platí z = 5( )+(y ). Odtud plyne 5+y z 3 =. Nyní nalezneme rovnici normály. Její obecná rovnice je tvaru f (,y) = y y z z = f y (,y). Po dosazení dostáváme = y 5 = z. Úlohu o nalezení normály lze řešit také tak, že z rovnice tečné roviny 5 + y z 3 = napíšeme normálový vektor 9

n = (5,, ). Pak vektorová rovnice normály v bodě [,, je tvaru [, y, z = [,, +t(5,, ), t R. Tedy parametrické rovnice jsou = +5t, y = t, z = t. Vyloučením parametru t a porovnáním dostáváme opět vztah 5 = y = z. (b) Spočteme parciální derivace funkce f(, y) = ln( + y ) v bodě A = [,. Platí f =, f +y (A) = 4 5, f y (A) = y, f +y y (A) = 5. Dopočítáme z-ovou souřadnici z = f(a) = ln 5. Provedeme dosazení do rovnice tečné roviny. Platí z ln 5 = 4 5 ( ) + (y ). Odtud plyne 4 + y = 5z 5( ln 5) =. Nyní 5 nalezneme rovnici normály. Platí 5( ) 4 = 5(y ) = z ln 5. 4. Určíme potřebné parciální derivace funkce f(, y)=ln(7 3y) v bodě A=[,. Platí f = 7 7 3y, f (A) = 7, f y = 3 7 3y, f y(a) = 3. Dále d = a dy = y. Diferenciál funkce f v bodě A je tvaru d h f(a) = f (A)d+f y(a)dy = 7d 3dy = 7( ) 3(y ) = 7 3y. Provedeme dosazení do vzorce pro Taylorův polynom T (, y)=f(a)+! d hf(a). Platí f(a) = ln =. Odtud T (, y)=7 3y. 5. Spočteme parciální derivace funkce f(, y) = e + sin y v bodě A = [,. Platí f = e, f e +sin y (A) =, f y = cos y, f e +sin y y(a) =. Dále d = a dy = y. Diferenciál funkce f v bodě A má tvar d h f(a) = f (A)d + f y(a)dy = d + dy = + y. Dosadíme do vzorce pro Taylorův polynom T (, y)=f(a)+! d hf(a). Platí f(a) = e + sin =. Odtud T (, y)= + + y. Nyní zřejmě e + sin = f(, ) T (, ) = + 4 + 4 = 7 4. 6. Určíme potřebné parciální derivace funkce f(, y) = y v bodě A = [,. Platí f = yy, f (A) =, f y = ln y, f y (A) =, f = y(y )y, f (A) =, f y = y +y ln y, f y(a)=, f yy =(ln ) y, f yy(a)=. Dále d= a dy =y. Odtud plyne, že diferenciály potřebné k sestavení Taylorova polynomu mají tvar d h f(a) = f (A)d + f y(a)dy =, d hf(a) = f (A)d + f y(a)ddy + f yy(a)dy = ( )(y ). Diferenciály dosadíme do vztahu pro Taylorův polynom T (, y)=f(a)+! d hf(a)+! d hf(a) a upravíme. Platí T (, y) =y y+. 7. Určíme potřebné parciální derivace funkce f(, y)= + y v bodě A=[3, 4. f =, f +y (A) = 3 5, f y y =, f +y y(a) = 4 5, f y =, f ( +y ) (A) = 6 3 f y y =, f ( +y ) y(a)= 3 5, f, f ( +y ) yy(a)= 9. Dále platí d = 3 3 5 a dy = y 4. Odtud plyne, že diferenciály potřebné k sestavení Taylorova polynomu mají tvar d h f(a) = f (A)d+f y (A)dy = 3 5 ( 3)+ 4 5 (y 4), d hf(a) = f (A)d + f y (A)ddy+f yy (A)dy = 6 5 ( 3) 4 5 ( 3)( 4)+ 9 5 (y 4). Diferenciály dosadíme do vztahu pro Taylorův polynom T (, y) = f(a)+! d hf(a)+! d h f(a). Dostáváme T (, y) = 5+ 3 5 ( 3)+ 4 6 (y 4)+ 5 5 ( 3) 4 5 ( 3)( 4)+ 9 5 (y 4). Dále.98 + 4.5 T (.98, 4.5) = 5 +.8 +.6 = 5.86. Hodnota z kalkulačky je přibližně 5.847. yy = 8. Parciální derivace funkce f(, y) = e +y potřebné k určení diferenciálů nalezneme 5,

snadno. Platí f = f = f y = f = f y = f yy = f = f y = f yy = f yyy = e +y. f(a) = f (A) = f y(a) = f (A) = f y(a) = f yy(a) = f (A) = f y(a) = f yy(a) = f yyy(a) =. Dále platí d = a dy = y +. Diferenciály mají tvar d h f(a) = f (A)d+f y(a)dy =( )+(y+), d hf(a)=f (A)d +f y(a)ddy+f yy(a)dy = ( ) +( )(y+)+(y+), d 3 hf(a)=f (A)d 3 +3f y(a)d dy+3f yy(a)ddy + f yyy(a)dy 3 =( ) 3 +3( ) (y+)+3( )(y+) +(y+) 3. Spočtené diferenciály dosadíme do vztahu pro Taylorův polynom Odtud T 3 (, y)=f(a)+! d hf(a)+! d h f(a)+ 3! d3 h f(a). T 3 (, y)=+( )+(+)+ [( ) +( )(y+)+(y+) + + 6 [( )3 +3( ) (y+)+3( )(y+) +(y+) 3. 9. Určíme potřebné parciální derivace funkce f(, y)=sin cos y v bodě A=[,. f =cos cos y, f (A)=, f y = sin sin y, f y(a)=, f = sin cos y, f (A)=, f y = cos sin y, f y (A) =, f yy = sin cos y, f yy (A) =, f = cos cos y, f (A) =, f y = sin sin y, f y(a) =, f yy = cos cos y, f yy(a) =, f yyy = sin sin y, f yyy(a) =. Dále platí d = a dy = y. Diferenciály potřebné k sestavení Taylorova polynomu mají tvar d h f(a) = f (A)d+f y(a)dy = + y =, d hf(a) = f (A)d + f y(a)ddy + f yy(a)dy = + y + y =, d 3 hf(a) = f (A)d 3 + 3f y(a)d dy + 3f yy(a)ddy + f yyy(a)dy 3 = 3 + 3 y + 3( )y + y 3 = 3 3y. Dosadíme do vztahu pro Taylorův polynom T 3 (, y) = f(a) +! d hf(a) +! d h f(a) + 3! d3 hf(a). Platí T 3 (, y) = 6 3 y.. Určíme potřebné parciální derivace funkce f(, y)=e sin y v bodě A=[,. f = e sin y, f (A) =, f y = e cos y, f y(a) =, f = e sin y, f (A) =, f y = e cos y, f y(a) =, f yy = e sin y, f yy(a) =, f = e sin y, f (A) =, f y = e cos y, f y (A) =, f yy = e sin y, f yy (A) =, f yyy = e cos y, f yyy(a) =. Dále platí d = a dy = y. Odtud plyne, že diferenciály potřebné k sestavení Taylorova polynomu mají tvar d h f(a) = f (A)d+f y(a)dy = + y = y, d hf(a) = f (A)d +f y(a)ddy+f yy(a)dy = + y+ y = y, d 3 hf(a) = f (A)d 3 + 3f y(a)d dy + 3f yy(a)ddy + f yyy(a)dy 3 = 3 +3 y+3 y +( ) y 3 = 3 y y 3. Spočtené diferenciály dosadíme do vztahu pro Taylorův polynom T 3 (, y) = f(a) +! d hf(a) +! d h f(a) + 3! d3 h f(a). Platí T 3 (, y) = y + (y) + 6 (3 y y 3 ) = y + y + y 6 y3.

LEKCE 6. LOKÁLNÍ EXTRÉMY. Vyšetřete lokální etrémy následujících funkcí více proměnných.. f(, y) = + y + 3y + 5 + y.. f(, y) = y 3 y + + y. 3. f(, y) = 3 + y + 5 + y. 4. f(, y) = 3 + y y 5. 5. f(, y) = 3 3y + y 3 +. 6. f(, y, z) = 3 + y + z 3z y + z. 7. f(, y, z) = 3 + y + z + y + z. 8. f(, y) = e ( + y ). 9. f(, y) = ( + y )e y.. f(, y) = e ( + y + y). Výsledky úloh:. Min. [ 3 4, 3 4.. Ma. [ 3, 4. 3. Min. [,, ma. [ 5 3,. 4. Min. [,, ma. [,. 5. Min. [,. 6. Min. [,, 4. 7. Min. [4, 44,. 8. Min. [,. 9. Neostré ma. na + y =, min. [,.. Min. [,. ŘEŠENÍ.. Vyšetříme lokální etrémy funkce f(, y) = + y + 3y + 5 + y. Spočteme parciální derivace a položíme je rovny nule. Vznikne soustava f = +y +5 =, f y = + 6y + =. Parciální derivace eistují pro každé [, y R a proto jedinými kandidáty na lokální etrémy jsou stacionární body, které nalezneme vyřešením vzniklé soustavy rovnic. Soustava je lineární, můžeme tedy použít metod lineární [ algebry. [ [ [ 5 5 5 3 3 4 3. 6 4 3 4 4 Nalezli jsme stacionární bod a = [ 3 4, 3 4. Spočteme druhé parciální derivace a sestavíme matici f (a). Platí f =, f y =, f yy =6. Odtud plyne, že f =f (a)= [ 6. Určíme hlavní minory matice f (a) a použijeme Sylvestrovo kritérium. Platí D (a) = > a D (a) = 8 >. Podle kritéria nastává v bodě a = [ 3 4, 3 4 lokální minimum funkce f.. Vyšetříme lokální etrémy funkce f(, y) = y 3 y + + y. Spočteme parciální derivace a položíme je rovny nule. Vznikne soustava f = y 6+ =, f y = 4y + =. Parciální derivace eistují pro každé [, y R a proto jedinými kandidáty na lokální etrémy jsou stacionární body, které nalezneme vyřešením vzniklé soustavy rovnic. Soustava má jediné řešení a=[ 3, 4. Spočteme druhé parciální derivace a sestavíme matici f (a). Platí f = 6, f y =, f yy = 4. Odtud plyne, že f = f (a) = [ 6 4. Určíme hlavní minory matice f (a) a použijeme Sylvestrovo kritérium. Platí D (a) = 6 < a D (a) = >. Podle kritéria nastává v bodě a=[ 3, 4 lokální maimum funkce f. 3. Vyšetříme lokální etrémy funkce f(, y) = 3 + y + 5 + y. Spočteme parciální derivace a položíme je rovny nule. Vznikne soustava f =6 +y +=, f y = y + y =. Jedinými kandidáty na lokální etrémy jsou stacionární body, které nalezneme vyřešením vzniklé soustavy rovnic. Soustava je nelineární. Ze

druhé rovnice plyne y( + ) =. Odtud = y =. Dosazením = do první rovnice dostáváme 6 + y =, odkud y = ±. Dále dosazením y = dostáváme 6 + =, odkud = = 5 3. Soustava má čtyři řešení. Nalezli jsme čtyři stacionární body a = [,, a = [ 5 3,, a 3 = [,, a 4 = [,. Spočteme druhé parciální derivace a sestavíme matice f (a i ), i =,, 3, 4. Platí f = +, f y = y, f yy = +. Odtud plyne, že f = [ + y y +. Po dosazení souřadnic stacionárních bodů dostáváme f (a )= [, f (a )=[, f (a 4 3 )= [ 4 3 4, f (a 4 )= [ 4 4. Určíme hlavní minory matic f (a i ) a použijeme Sylvestrovo kritérium. Platí D (a ) = >, D (a ) = >. Podle kritéria nastává v bodě a lokální minimum funkce f. Dále D (a ) = <, D (a ) = 4 3 >. V bodě a nastává lokální maimum funkce f. Dále platí D (a 3 ) = <, D (a 3 ) = 6 < a D (a 4 ) = <, D (a 4 ) = <. Podle kritéria nenastává v bodě a 3 ani v bodě a 4 lokální etrém funkce f. 4. Vyšetříme lokální etrémy funkce f(, y)= 3 +y y 5. Spočteme parciální derivace a položíme je rovny nule. Vznikne soustava f = 3 +y y 5 =, f y = y =. Nalezneme stacionární body. Soustava je nelineární. Ze druhé rovnice plyne (y ) =. Odtud = y =. Dosazením = do první rovnice dostáváme y y 5 =, odkud y = ± 6. Dále dosazením y = dostáváme 3 6 =, odkud = ±. Soustava má čtyři řešení. Nalezli jsme čtyři stacionární body a = [,, a = [,, a 3 = [, + 6, a 4 = [, 6. Spočteme druhé parciální derivace a sestavíme matice f (a i ), i =,, 3, 4. Platí f = 6, f y = y, f yy =. Odtud plyne, že f = [ 6 y y. Po dosazení souřadnic stacionárních bodů dostáváme [ f [ (a )= 6 6, f (a )= 6, f (a 3 )= [ 6 6, f (a 4 )= [ 6 6 Určíme hlavní minory matic f (a i ) a použijeme Sylvestrovo kritérium. Platí D (a ) = 6 >, D (a ) = 4 >. Podle kritéria nastává v bodě a lokální minimum funkce f. Dále D (a ) = 6 <, D (a ) = 4 >. V bodě a nastává lokální maimum funkce f. Dále platí D (a 3 ) =, D (a 3 ) = 4 < a D (a 4 ) =, D (a 4 ) = 4 <. Podle kritéria nelze rozhodnout, zda v bodech a 3, a 4 dochází k lokálním etrémům funkce f. Vyšetříme nejprve podrobně okolí bodu a 3. Zvolme podokolí, které je průnikem libovolného okolí s přímkou y = + 6. Zřejmě platí f(, + 6) = 3 + ( + 6) ( + 6) 5 = 3. Je-li >, pak f(, + 6) >, Je-li <, pak f(, + 6) <. Odtud plyne, že v bodě a 3 není lokální etrém. Podobně postupujeme v případě bodu a 4. Volme podokolí, které je průnikem libovolného okolí s přímkou y = 6. Zřejmě platí f(, 6) = 3 + ( 6) ( 6) 5 = 3. Je-li >, pak f(, 6) >, Je-li <, pak f(, 6) <. Odtud plyne, že ani v bodě a 4 není lokální etrém. 5. Vyšetříme lokální etrémy funkce f(, y) = 3 3y+y 3 +. Spočteme parciální derivace a položíme je rovny nule. Vznikne soustava f = 6 3y =, f y = 3 + 6y =. Nalezneme stacionární body. Soustava je nelineární. Z první rovnice plyne y =. Dosazením do druhé rovnice dostáváme 6( ) 3 =, 3.

odkud = =. Soustava má dvě řešení. Nalezli jsme dva stacionární body a = [,, a = [,. Spočteme druhé parciální derivace a sestavíme matice f (a ) a f (a ). Platí f =, f y = 3, f yy =y. Odtud plyne, že f = [ 3. Po dosazení souřadnic stacionárních bodů dostáváme f (a )= [ 3 3, f (a )= [ 6 3 3 6, 3 y Určíme hlavní minory matic a použijeme Sylvestrovo kritérium. Platí D (a ) =, D (a ) = 9. Podle kritéria nelze rozhodnout, zda v bodě a nastává etrém funkce f. Dále D (a ) = 6 >, D (a ) = 7 >. V bodě a nastává lokální minimum funkce f. Nyní vyšetříme podrobně okolí bodu a. Zvolme podokolí, které je průnikem libovolného okolí s osou, tj. přímkou y =. Zřejmě platí f(, ) = 3 +. Je-li >, pak f(, ) > = f(a ), Je-li <, pak f(, ) < = f(a ). Odtud plyne, že v bodě a není lokální etrém. 6. Vyšetříme lokální etrémy funkce f(, y, z) = 3 + y + z 3z y + z. Sestavíme soustavu rovnic f =3 3z =, f y = y =, f z = z 3+ =. Ze druhé rovnice plyne y =. Ze třetí plyne z = 3. Dosazením do první rovnice dostáváme 3 3(3 ) =, odkud = =. Soustava má dvě řešení a = [,,, a = [,, 4. Spočteme druhé parciální derivace a sestavíme matice f (a ) a f (a ). Platí f = 6, f yy =, f zz =, f y =, f z = 3, f yz =. Odtud plyne, že f =. Po dosazení souřadnic stacionárních bodů dostáváme [ 6 3 3 f (a )= [ 6 3 3 [ 3, f (a )=. 3 Určíme hlavní minory matic a použijeme Sylvestrovo kritérium. Platí D (a ) = 6 >, D (a ) = >, D 3 (a ) = 6 <. Podle kritéria nenastává v bodě a lokální etrém funkce f. Dále D (a ) = >, D (a ) = 4 >, D 3 (a ) = 6 >. V bodě a nastává lokální minimum funkce f. 7. Vyšetříme lokální etrémy funkce f(, y, z) = 3 +y +z +y +z. Spočteme parciální derivace a položíme je rovny nule. Vznikne soustava f = 3 +y =, f y = y + =, f z = z + =. Z třetí rovnice plyne z =. Ze druhé plyne y = 6. Dosazením do první rovnice dostáváme 4 =, odkud = = 4. Soustava má dvě řešení a = [,,, a = [4, 44,. Spočteme druhé parciální derivace a sestavíme matice f (a ) a f (a ). f =6, f yy =, f zz =, f y =, f z =, f yz =. Odtud plyne, že f = Po dosazení souřadnic stacionárních bodů dostáváme f (a )=, f (a )= [ [ 44. [ 6 Platí. Určíme hlavní minory matic a použijeme Sylvestrovo kritérium. Platí D (a ) =, D (a ) = 44 <, D 3 (a ) = 88 <. Podle kritéria nelze rozhodnout, zda v bodě a nastává lokální etrém funkce f. Dále D (a ) = 44 >, D (a ) = 88 >, D 3 (a ) = 88 >. V bodě a nastává lokální minimum funkce f. Nyní vyšetříme podrobně okolí bodu a. Zvolme podokolí, které je průnikem libovolného okolí s přímkou =, y =, z =. Zřejmě platí f(,, ) = 3. Je-li >, pak f(,, ) > = f(a ), Je-li <, pak f(,, ) < = f(a ). Odtud plyne, že v bodě a není lokální etrém. 4

8. Vyšetříme lokální etrémy funkce f(, y) = e ( + y ). Spočteme parciální derivace. Vznikne soustava f =e (+y )+e =e ( + y +)=, f y = ye =. Nalezneme stacionární body. Ze druhé rovnice plyne y =. Dosazením do první rovnice dostáváme + =. Odtud =. Soustava má jediné řešení a = [,. Spočteme druhé parciální derivace a sestavíme matice f a f (a). Platí f = 4 e ( + y + 4), f y =ye, f yy =e. Odtud plyne, že [ f = 4 e [ ( + y + 4) ye,, f (a)= e. ye e Určíme hlavní minory matice. Platí D (a) = e >, D (a) = >. Podle e kritéria nastává v bodě a lokální minimum funkce f. 9. Vyšetříme lokální etrémy funkce f(, y)=e y ( +y ). Spočteme parciální derivace. Vznikne soustava f = ( y ) =, f e +y y = y( y ) =. Nalezneme e +y stacionární body. Z první rovnice plyne = + y = a ze druhé rovnice plyne y = + y =. Nalezli jsme stacionární bod a = [, a body b na kružnici + y =. Spočteme druhé parciální derivace a matice f a f (a). Platí f = ( y )( ) 4, f e +y y = 4y( y ), f e +y yy = ( y )( y ) 4y. e +y Odtud plyne, že f = [ ( y )( ) 4 4y( y ) e +y e +y 4y( y ) ( y )( y ) 4y e +y e +y [ f (a)=, f (b)= [ 4 e 4y e 4y e 4y e Určíme hlavní minory matic. Platí D (a) = >, D (a) = 4 >. Podle kritéria nastává v bodě a lokální minimum funkce f. D (b) = 4 >, D e (b) =. Podle kritéria nelze rozhodnout. Platí však f(b) = e c e pro libovolné c. Odtud c plyne, že na + y = nastává neostré maimum f.. Vyšetříme lokální etrémy funkce f(, y)=e (+y +y). Spočteme parciální derivace. Vznikne soustava f = e (y + + 4y + ) =, f y = e (y + ) =. Nalezneme stacionární body. Ze druhé rovnice plyne y =. Dosazením do první rovnice dostáváme =. Soustava má jediné řešení a = [,. Spočteme druhé parciální derivace a matice f a f (a). Platí f =4e (+y +y+), f y =4e (y+), f yy =e. Odtud plyne, že [ [ 4e f = ( + y + y + ) 4e (y + ) e 4e (y + ) e, f (a)= e Určíme hlavní minory matice. Platí D (a) = e >, D (a) = 4e >. Podle kritéria nastává v bodě a lokální minimum funkce f. e.,. 5

LEKCE 7. VÁZANÉ A GLOBÁLNÍ EXTRÉMY. V následujících úlohách vyšetřete vázané a globální etrémy.. f(, y) = y + y s vazbou + y =.. f(, y) = + y s vazbou + y = 88. 3. f(, y) = ln(y) s vazbou + y =. 4. f(, y) = 6 + 6y s vazbou 3 + y 3 = 6. 5. Určete rozměry pravoúhlé nádrže tvaru kvádru o objemu V = 3 m 3 tak, aby dno a stěny měly co nejmenší povrch. 6. Určete rozměry kvádru tak, aby součet délek jeho hran byl 96 cm a jeho objem byl co největší. 7. Určete rozměry otevřené nádrže tvaru kvádru tak, aby při daném povrchu P =8m měla co největší objem. 8. Určete rozměry válce o největším objemu, jestliže jeho povrch je 6πdm. 9. f(, y) = 3 + 4 + y y na množině ohraničené křivkami y = a y =4.. f(, y) = + y 4y + na množině : A = [,, B = [3,, C = [, 5. Výsledky úloh:. Ma. v [, 3.. Min. v [,, ma. v [,. 3. Ma. v bodech [,, [,. 4. Ma. [,. 5. 4 4. 6. 8 8 8. 7. 6 6 3. 8. r =, v =. 9. ma f =3 v [, 4, min f = v [,.. ma f =6 v [, 5, min f = 4 v [,. ŘEŠENÍ.. Z vazby + y = lze jednoznačně vyjádřit y. Platí y =. Dosadíme tento vztah do zadané funkce f(, y) = y + y. Tím vznikne funkce F () = f(, ) =. Zadanou úlohu jsme tak převedli na ekvivalentní úlohu o nalezení lokálního etrému funkce F () =. Platí F () =. Derivaci položíme rovnu nule a nalezneme stacionární bod =. Protože F () = má F v bodě = lokální maimum. Dopočítáme y = ( ) = 3. Odtud plyne, že f má v bodě [, 3 vázané lokální maimum. Hodnota maima je 4. Úlohu řešme nyní pomocí Lagrangeovy funkce. Platí L(, y) = y + y + λ( + y ). Spočteme parciální derivace, položíme je rovny nule a získáme spolu s vazbou soustavu tří rovnic o třech neznámých, y, λ. Platí L = y + λ =, L y = + + λ =, + y =. Z prvních dvou rovnic vyjádříme λ. Platí λ = y, λ =. Odtud y + =. Ze třetí rovnice dosadíme za y = a snadno dostáváme jediný stacionární bod a = [, 3 pro λ =. Spočteme druhé derivace Lagrangeovy funkce. Platí L =, L y =, L yy =. Odtud plyne L =L (a)= [. Určíme hlavní minory matice. Platí D (a) =, D (a) =. Podle kritéria nelze rozhodnout. Vyšetříme podrobně okolí bodu a. Zřejmě pro λ = je L(, 3 ) = 4. Nechť (u, v) je libovolný (tzv. přírůstkový vektor). Spočteme L([, 3 + (u, v)) = uv + 4. Je zřejmé, že výraz uv + 4 může nabývat hodnot větších než 4 i menších než 4. Odtud plyne, že Lagrangeova funkce L nemá ve zkomaném bodě lokální etrém. O eistenci vázaného etrému nelze z této informace nic usuzovat. 6

. Sestavíme Lagrangeovu funkci. Platí L(, y) = +y+λ( +y 88). Spočteme parciální derivace, položíme je rovny nule a získáme spolu s vazbou soustavu tří rovnic o třech neznámých, y, λ. Platí L = + λ =, L y = + λy =, + y = 88. Z prvních dvou rovnic plyne = y a λ =. Dosazením do vazby dostáváme = ±. Nalezli jsme dva stacionární body Lagrangeovy funkce a = [, pro λ = 4 a a = [, pro λ = 4. Spočteme matice L, L (a ), L (a ). Platí L = λ, L y =, L yy = λ. Odtud plyne, L (a )=[, L (a )= [ L = [ λ λ Určíme hlavní minory matic. Platí D (a ) = <, D (a ) = >. Podle 44 kritéria nastává v bodě a lokální maimum funkce L a tedy vázané maimum funkce f. Dále D (a ) = >, D (a ) = 44 >. Podle kritéria nastává v bodě a lokální minimum funkce L a tedy vázané minimum funkce f. 3. Sestavíme Lagrangeovu funkci. Platí L(, y) = ln(y)+λ( +y ). Spočteme parciální derivace, položíme je rovny nule a získáme spolu s vazbou soustavu tří rovnic o třech neznámých, y, λ. Platí L = + λ =, L y = y + λy =, + y =. Z prvních dvou rovnic plyne λ = = y. Odtud = y Dosazením do vazby dostáváme = ±. Nalezli jsme čtyři řešení soustavy rovnic a = [,, a = [,, a 3 = [,, a 4 = [, pro λ =. Pozor! Body a 3, a 4 / DL = Df. V dalším vyšetřování se tedy stačí omezit pouze na body a, a. Spočteme matice L, L (a ), L (a ). Platí L = +λ, L yy = +λ, L y y =. Odtud plyne [ L = +λ, L (a )=L (a ) = [. y +λ. Určíme hlavní minory. Platí D (a ) = D (a ) = <, D (a ) = D (a ) = 4 >. Podle kritéria nastává v bodech a, a lokální maimum funkce L a tedy vázané maimum funkce f. 4. Sestavíme Lagrangeovu funkci. Platí L(, y)=6+6y+λ( 3 +y 3 6). Spočteme parciální derivace, položíme je rovny nule a získáme spolu s vazbou soustavu tří rovnic o třech neznámých, y, λ. Platí L = 6 + 3λ =, L y = 6 + 3λy =, 3 + y 3 = 6. Z prvních dvou rovnic plyne λ = = y. Odtud = y a y = ±. Dosazením y = do vazby dostáváme 3 = 6 a tedy =. Nalezli jsme stacionární bod a = [, pro λ =. Dosazení y = vede k rovnosti 6 =. Bod a je jediné řešení soustavy. Spočteme matice L, L (a ), L (a ). Platí L =6λ, L yy =6λy, L y =. Odtud plyne. L = [ 6λ 6λy, L (a)= [ 6 6 Určíme hlavní minory. Platí D (a) = 6 <, D (a) = 36 >. Podle kritéria nastává v bodě a lokální maimum funkce L a tedy vázané maimum funkce f. 5. Označme, y rozměry dna a z hloubku nádrže. Podle zadání máme minimalizovat povrch nádrže P (, y, z), je-li předepsán její objem V (, y, z) = 3m 3. Máme tedy nalézt vázané minimum funkce P (, y, z) = y + z + yz s vazbou V (, y, z) = yz = 3. Vazba je jednoznačně řešitelná vzhledem k z. Platí z = 3 y. Úlohu na vázaný etrém funkce P převedeme na úlohu o lokálních etrémech funkce f(, y) = P (, y, 3 64 ) = y+ y y + 64. Spočteme parciální derivace, položíme je rovny nule a získáme soustavu dvou rovnic o dvou neznámých, y. Platí f 64 = y+ =, f y = + 64 y =. Z první rovnice plyne y = 64. Dosazením do druhé rovnice 7

dostáváme 4 =. Odtud = = 4. Zřejmě = nevyhovuje zadání 64 úlohy. Nalezli jsme jediný stacionární bod a = [4, 4. Dopočítáme z = 3 4 4 =. Spočteme matice f, f (a). Platí f f = [ 8 3 8 = 8 y 3 3, f yy = 8, f (a)= [, f y 3 y =. Odtud plyne. Určíme hlavní minory. Platí D (a) = >, D (a) = 3 >. Podle kritéria nastává v bodě a = [4, 4 lokální minimum funkce f a tedy v bodě [4, 4, vázané minimum funkce P. Rozměry nádrže jsou 4 4. 6. Označme, y, z rozměry kvádru. Podle zadání máme maimalizovat objem V (, y, z), je-li předepsáno, že 4 + 4y + 4z = 96, tj. že součet délek hran kvádru je 96cm. Máme tedy nalézt vázané maimum funkce V (, y, z) = yz s vazbou 4+4y+4z = 96. Vazba je jednoznačně řešitelná vzhledem k z. Platí z = 4 y. Úlohu na vázaný etrém funkce V převedeme na úlohu o lokálních etrémech funkce f(, y) = V (, y, 4 y) = y(4 y). Spočteme parciální derivace, položíme je rovny nule a získáme soustavu dvou rovnic o dvou neznámých, y. Platí f = y(4 y) y =, f y = (4 y) y =. Triviální řešení, kdy = y = nebudeme uvažovat. Soustavu lze tak převést na tvar + y = 4, + y = 4. Snadno nalezneme jediné řešení a = [8, 8. Dopočítáme z = 4 8 8 = 8. Spočteme matice f, f (a). Platí f = y, f yy f = [ y 4 y 4 y =, f y =4 y. Odtud plyne, f (a)= [ 6 8. 8 6 Určíme hlavní minory. Platí D (a) = 6 <, D (a) = 9 >. Podle kritéria nastává v bodě a = [8, 8 lokální maimum funkce f a tedy v bodě [8, 8, 8 vázané maimum funkce V. Rozměry kvádru jsou 8 8 8. 7. Označme, y rozměry dna a z hloubku nádrže. Podle zadání máme maimalizovat objem nádrže V (, y, z), je-li předepsáno, že y + yz + z = 8. Máme tedy nalézt vázané maimum funkce V (, y, z) = yz s vazbou y + yz + z = 8. Vazba je jednoznačně řešitelná vzhledem k z. Platí z = 8 y (+y). Úlohu na vázaný etrém funkce V převedeme na úlohu o lokálních etrémech funkce f(, y) = V (, y, 8 y (+y) ) = y(8 y) (+y) Spočteme parciální derivace, položíme je rovny nule a získáme soustavu dvou rovnic o dvou neznámých, y. Platí f = y ( +y 8) (+y) =, f y = (y +y 8) =. Triviální řešení, kdy = y = nebudeme uvažovat. Soustavu lze tak převést na tvar + y = 8, y + y = 8. Odtud (+y) plyne, že = y a 3 = 8. Tedy = 6. Nalezli jsme jediný stacionární bod a = [6, 6. Dopočítáme z = 8 36 f = y4 8y (+y) 3, f yy = 4 8 (+y) 3, f f = y = 8y 3 y 3 y y 3 (+y) 3 [ y 4 8y 8y 3 y 3 y y 3 (+y) 3 (+y) 3 8y 3 y 3 y y 3 4 8 (+y) 3 (+y) 3 = 3. Spočteme matice f, f (a). Platí. Odtud plyne [, f 3 3 (a)= 3 3. Určíme hlavní minory. Platí D (a) = 3 <, D (a) = 7 >. Podle kritéria 4 nastává v bodě a = [6, 6 lokální maimum funkce f a tedy v bodě [6, 6, 3 vázané maimum funkce V. Rozměry nádrže jsou 6 6 3. 8. Označme r, v poloměr a výšku válce. Podle zadání máme maimalizovat jeho objem V (r, v), je-li předepsáno, že povrch válce je P (r, v) = 6πdm. Máme tedy nalézt vázané maimum funkce V (r, v)=πr v s vazbou P (r, v)=πrv+πr =6π. Po úpravě má vazba tvar rv + r = 3. Vazba je jednoznačně řešitelná vzhledem 8

k v. Platí v = 3 r. Úlohu na vázaný etrém funkce V převedeme na úlohu o r lokálních etrémech funkce f(r) = V (r, 3 r r ) = πr(3 r ). Spočteme f (r) = π(3 r ) πr = 3π 3πr. Derivaci položíme rovnu nule a získáme rovnici 3 3r =. Odtud plyne r = ±. Zřejmě řešení r = nevyhovuje. Jediný stacionární bod je r =. Z vazby dopočítáme v =. Spočteme f (r) = 6πr a f () = 6π <. Odtud plyne, že v bodě r = nastává lokální maimum funkce f a tedy v bodě [, vázané maimum funkce V. Rozměry válce jsou r =, v =. 9. Nejprve nalezneme lokální etrémy funkce f(, y) = 3 + 4 + y y. Spočteme parciální derivace f = 6 +8 y = a f y = y = a nalezneme stacionární body. Ze druhé rovnice plyne y =. Po dosazení do první rovnice dostáváme ( + ) =. Odtud plyne a = [,, a = [,. Přitom a h() a a /. Funkce f tedy nemá uvnitř lokální etrém. Hranice množiny je tvořena dvěma křivkami. Vyšetření hranice h() se tedy rozpadá na vyřešení dvou úloh na vázané etrémy s funkcí f a vazbami V : y = 4, V : y =. Je zapotřebí zvlášť vyšetřit body A = [, 4, B = [, 4, které jsou průniky vazeb V a V. Úlohy f, V a f, V převedeme na ekvivalentní úlohy nalezení lokálních etrémů funkcí jedné proměnné. Úloha f, V je ekvivalentní úloze nalézt lokální etrémy funkce F ()=f(, 4)= 3 +4 8+6. Platí F ()=6 +8 8=6(+)( 3 ). Stacionární body jsou = a = 3. Dále F ()=+8. Odtud F ( )= 6. Tedy v = je maimum funkce F a v A=[, 4 vázané maimum f. Podobně spočteme, že v bodě a = [ 3, 4 dochází k vázanému minimu f. Úloha f, V je ekvivalentní úloze nalézt lokální etrémy funkce F ()=f(, )= 4 +4. Snadno se zjistí, že úloha f, V má vázané minimum v bodě b = [,. Spočteme funkční hodnoty v nalezených bodech. Platí f(a) = 35 7, f(b) =, f(a) = 3, f(b) = 6. Odtud M = {, 35 7, 6, 3}. Tedy ma f() = ma M = 3 a nastává v bodě A a min f()=min M = a nastává v bodě b.. Nalezneme lokální etrémy funkce f(, y) = +y 4y +. Spočteme parciální derivace f = a f y = y 4 a nalezneme stacionární bod a = [,. Matice druhé derivace je rovna f = f (a) = [. Hlavní minory této matice jsou kladné a proto v bodě a nastává lokální minimum funkce f. Platí f(a) = 4. Tedy A = { 4}. Hranice množiny je tvořena třemi úsečkami. Vyšetření hranice h() se tedy rozpadá na vyřešení tří úloh na vázané etrémy s funkcí f a vazbami V : y =, V : 5 + 3y = 5, V 3 : =. Zvlášť vyšetříme body A, B, C, které jsou průniky různých vazeb. Úlohy f, V i, kde i =,, 3 převedeme na ekvivalentní úlohy nalezení lokálních etrémů funkcí F i, kde F ()=f(, )= +, F ()= f(, 5 5 3 ) = 34 9 + 6, F 3 (y) = f(, y) = y 4y +. Snadno se zjistí, že úloha f, V má vázané minimum v bodě a = [, ; f, V má vázané minimum v a = [, ; f, V 3 má vázané minimum v a 3 = [ 7 7, 4. Spočteme funkční hodnoty 7 v nalezených bodech. Platí f(a ) =, f(a ) = 3, f(a 3 ) = 6 7, f(a) =, f(b) = 4, f(c) = 6. Odtud B = {, 3, 6 6,, 4, 6}. M = { 4,, 3,,, 4, 6}. Odtud 7 7 ma f()=ma M =6 v bodě C. Dále min f()=min M = 4 v bodě a. 9

LEKCE 8. IMPLICITNÍ FUNKCE.. Spočtěte y a y, je-li y + y 3 =.. Spočtěte y a y, je-li + y e y =. 3. Spočtěte y a y, je-li y + y e =. 4. Spočtěte a upravte y, je-li y =. 5. Určete, zda je funkce daná implicitně rovnicí y +y 5= rostoucí v bodě [,. 6. Spočtěte rovnici tečny ke grafu funkce dané implicitně rovnicí 5 + y 5 y = v bodě [,. 7. Spočtěte rovnici tečny ke grafu funkce dané implicitně rovnicí e y + sin y + y = v bodě [,. 8. Spočtěte rovnici normály ke grafu funkce dané implicitně rovnicí y+ln y = v bodě [,. 9. Rozhodněte, zda je funkce daná implicitně rovnicí 3 + y 3 y = konvení nebo konkávní v bodě [,.. Nalezněte lokální etrémy funkce dané implicitně rovnicí ln +y arctg y =. Výsledky úloh:. y = y 3y, y = 4y 6y(y ) 3y 3.. y = e y e y +, y = e y ( y ) e y +. 3. y = e +e y, y = e +e y (y ). 4. y = 6y y = 6( y ). y+ y+ y y 5 5. Klesající. y () = ln. 6. + y =. 7. y =. 8. y =. 9. Konkávní. y ()= 6.. Maimum v bodě e π 4 a minimum v bodě e π 4. ŘEŠENÍ.. První derivaci y určíme oběma možnými metodami. Nejprve podle vzorce y = f f. Pro parciální derivace funkce f(, y) = y + y 3 platí f y = y a f y = + 3y. Po dosazení do vzorce dostáváme y = y 3y. Druhá možnost výpočtu spočívá ve zderivování dané rovnice y + y 3 = podle, přičemž y považujeme za funkci proměnné. Platí y y + 3y y =. Vypočítáme y a opět dostáváme y = y 3y. Nyní přistupme k výpočtu druhé derivace y. Tu podle vzorce určovat nebudeme. Pro výpočet druhé derivace budeme vždy používat metodu derivování rovnice podle. Vztah y y + 3y y = znovu zderivujeme podle. Platí y y y +6yy y +3y y =. Rovnici upravíme a vypočteme y. Dostáváme y = 4y 6y(y ) 3y 3. 3

. Vzorec pro výpočet y je vhodné použít, pokud nemusíme určovat derivace vyšších řádů. Použijeme tedy k výpočtu druhé metody. Rovnici + y e y = zderivujeme podle. Platí + y e y ( y ) =. Odtud po úpravě plyne y = e y e y +. Druhou derivaci y funkce dané implicitně získáme dalším derivováním vztahu +y e y ( y )=. Platí y e y ( y ) e y ( y )=. Z poslední rovnice již vypočítáme y. Dostáváme y = e y ( y ). e y + 3. Postupujme jako v předchozí úloze. První derivací rovnice y + y e = dostáváme y + y + yy e e =. Odtud plyne y = e +e y y+. Druhým zderivováním dostaneme y + y + y + y y + yy e e e =. Vztah upravíme a vypočítáme y. Platí y = e + e y (y ). y + 4. Rovnici y = třikrát zderivujeme podle. Pro první derivaci platí yy =. Odtud y = y. Druhou derivací rovnice dostáváme y y yy =. Odtud y = (y ) y. Ze třetí derivací rovnice dostáváme 4y y y y yy =. Odtud y = 6y y. Po dosazení za y a y a krátké úpravě y = 6( y ) y y 5. 5. Rovnici y +y 5 = zderivujeme podle. Platí ln y (y +y )+yy =. Odtud y ln y y = y+ln. Nyní dosadíme souřadnice zadaného bodu [, do y. y y ln ( ) () = ( )+ln = ln. Protože je derivace ve vyšetřovaném bodě záporná, je funkce daná implicitně v tomto bodě klesající. 6. Předně rovnice tečny ke grafu funkce y = y() v bodě [, y je dána vztahem y y = y ( )( ). Ze zadání úlohy plyne = a y =. K vyřešení úlohy tedy stačí určit hodnotu derivace y (). Rovnici 5 + y 5 y = zderivujeme podle. Platí 5 4 + 5y 4 y y y =. Odtud y = y 54 5y 4 a y () = 5 5 =. Dosadíme do rovnice tečny. Platí y = ( ). Po úpravě dostáváme +y =. 7. Postupujeme analogicky jako v předchozím příkladu. Ze zadání úlohy plyne = a y =. Určíme hodnotu derivace y (). Rovnici e y + sin y + y = zderivujeme podle. Platí e y (y + y ) + cos y y + yy =. Odtud y = ye y y+cos y+e y a y () =. Po dosazení dostáváme, že rovnice tečny je y =. 8. Předně rovnice normály ke grafu funkce y = y() v bodě [, y je dána vztahem y y = y ( ( ) ). Ze zadání úlohy plyne = a y =. K vyřešení úlohy tedy opět stačí určit hodnotu derivace y (). Rovnici y + ln y = zderivujeme podle. Platí y + y + y y =. Odtud y = y +y a y () = + =. Dosadíme do rovnice normály. Platí y = ( ). Po úpravě dostáváme y =. 3

9. Abychom rozhodli, zda je funkce daná implicitně rovnicí 3 + y 3 y = konvení nebo konkávní v bodě [,, musíme spočítat hodnotu derivace y (). Zadanou rovnici zderivujeme podle. Platí 3 + 3y y y y =. Odtud y y 3 = 3y a tedy y () = 3 =. Z tohoto výsledku lze usoudit, 3 že funkce je v bodě = klesající. Nyní zderivujeme zadanou rovnici podruhé. Platí Odtud 6 + 6yy y + 3y y y y y =. y = 4y 6 6y(y ), y 4( ) 6 6 ( ) () = 3y 3 = 6. Protože je druhá derivace záporná, leží graf funkce v okolí bodu [, pod tečnou a tedy funkce je v bodě = konkávní.. Nejprve vypočteme y. Rovnici ln +y arctg y = zderivujeme podle. Platí ( + +y +y yy ) ) ( y y ) =. Vztah upravíme. +yy +y y y +y = a tedy +y+yy y +y y = +y y = ( y + =. Odtud plyne + y + yy y = a y. Podobně dojdeme k výsledku podle vzorce y = F F. y + y + y + y + ( y y + y + ( y ) ) y = + y + y + y y + y = + y +y y. Ve druhém kroku nalezneme stacionární body, tj. body, pro které platí y =. Z předchozího výpočtu ale plyne, že y = právě když + y =, tj. y =. Dosazením do zadané rovnice dostaneme ln arctg( ) =. Odtud plyne ln + π 4 =. Odlogaritmováním získáme = e π 4 a = e π 4. Nalezli jsme dva stacionární body s = e π 4 a s = e π 4. Ve třetím kroku určíme druhou derivaci y. Rovnici + y + y y y = znovu zderivujeme podle. Platí + y + y y + (y ) y y =. Odtud plyne, že y = (y ) + = ( + y ) y ( y) 3. Poslední rovnost vznikla dosazením y = +y y. V závěrečném kroku pomocí druhé derivace rozhodneme, zda v bodech S a S dochází k lokálním etrémům. Pro bod s platí y s (s ) = (s ( s )) 3 = <. s Podobně pro bod s platí y (s ) = s >. Tedy v bodě s dochází k lokálnímu maimu a v bodě s k lokálnímu minimu implicitní funkce. 3