MECHNIK ROVINNÉHO POHYBU TUHÉHO TĚLES Obsah Studjní text po řeštele FO a ostatní zájemce o fyzku Bohuml Vybíal, Přemysl Šedvý Předmluva 2 1 Knematka ovnného pohybu tuhého tělesa 3 1.1 Chaaktestkaovnnéhopohybu.... 3 1.2 Tanslačnípohybtuhéhotělesa.... 3 1.3 Rotačnípohybtuhéhotělesakolemnehybnéosy... 4 1.4 Obecnýovnnýpohyb.Základníozkladpohybu... 6 1.5 Pólovnnéhopohybutělesa... 9 1.6 Zvláštnípřípadypolohypólupohybu... 10 2 Dynamka ovnného pohybu tuhého tělesa 13 2.1 Vnějšíavntřnísíly... 13 2.2 Hybnostsoustavy,hmotnýstřed... 14 2.3 Pvnímpulsovávěta... 15 2.4 Duhámpulsovávětapoobecnýovnnýpohyb... 16 2.5 Dynamkaotáčvéhopohybukolemnehybnéosy.... 18 2.5.1 Moment hybnost tělesa vzhledem k nehybné ose. Momentsetvačnost... 18 2.5.2 Duhámpulsovávětapootackolemnehybnéosy.. 18 2.5.3 Sovnání otačního pohybu kolem nehybné osy s tanslačnímpohybem... 19 2.5.4 Výpočetmomentusetvačnost.... 22 2.5.5 Steneovavěta.... 24 2.5.6 Momenty setvačnost homogenních těles jednoduchého geometckéhotvauohmotnost m.... 25 2.6 Dynamkaobecnéhoovnnéhopohybutuhéhotělesa... 28 2.7 Knetcká enege tuhého tělesa př obecném ovnném pohybu 35 2.8 Zákonzachovánímechanckéenege... 35 Výsledky úloh 42 Lteatua 44 1
Předmluva Předložený studjní text se zabývá mechankou ovnného pohybu tuhého tělesa. Vznkl zkácením a přepacováním podobného studjního textu[4] z oku 1997 tím,žeseomezujejennaovnnýpohybtělesa. Pobíaná látka se vztahuje k mechance tuhých těles, kteá je jedním z plířů celé fyzky. Zabývá se jednak popsem pohybu tělesa, nebol knematkou ovnného pohybu, a také vztahem mez knematckým velčnam pohybu a slam č momenty sl, kteé pohyb ovlvňují, nebol dynamkou ovnného pohybu. plkace této část mechanky jsou významné po techncké oboy, zejména stojíenství. Studjní text je nadstavbou učva, kteé je ve středoškolských učebncích fyzky, a poskytuje půpavu po řešení náočnějších úloh, kteé se často vyskytují ve Fyzkální olympádě. Obsahuje 10 vyřešených příkladů a 12 úloh s uvedeným výsledky řešení. Po další studum dopoučujeme navazující text[5], kteý pojednává o setvačnících. Po vážné zájemce o mechanku pak učebnce[1],[2[ a[3], kteé jsou však už učebncem vysokoškolským. 2
1 Knematka ovnného pohybu tuhého tělesa 1.1 Chaaktestka ovnného pohybu Př ovnném pohybu opsují body tělesa ovnné tajektoe, kteé leží ve vzájemně ovnoběžných ovnách. Poto po pops ovnného pohybu postačí popsovat půmět(s) tělesa do jedné z těchto ovn, kteou volíme za základní. Tak místo tojozměného tělesa vyšetřujeme pohyb plošného útvau v ovně. Do základní ovny umístíme počátek O a osy x, y katézské souřadncové soustavy (ob.1). Poloha tělesa př ovnném pohybu bude jednoznačně učena polohou úsečky B ve vztažné soustavě v základní ovně, tedy polohou efeenčního(vztažného) bodu(např. bodu ) a směem úsečky B. Pohyb budou popsovat ovnce x = x (t) y = y (t), (1) ϕ=ϕ(t). Těleso vykonávající ovnný pohyb má tedy tř stupně volnost. y B (S) B B 0 0 y ϕ 0 0 B O x x O Ob.1 Ob.2 1.2 Tanslační pohyb tuhého tělesa Př tanslačním pohybu zůstává úsečka spojující lbovolné dva body tělesa stále ovnoběžná se svou výchozí polohou. Poto mají tajektoe všech bodů tělesa př jeho tanslac shodný tva a stejnou délku tajektoe jsou shodné, vzájemně posunuté křvky. Př tanslačním pohybu lbovolná přímka spojená s tělesem nemění svůj smě. Uvažujme dva body, B tělesa př tanslačním pohybu(ob. 2). Po jejch polohové vektoy platí 3
= (t), B = B (t)= + 0, kdevekto 0 jekonstantní.potopoychlostazychlenídvoulbovolných bodů tělesa dostaneme v B = d B dt a B = dv B dt = d dt = dv dt = v, (2) = a. (3) Všechny body tuhého tělesa se tedy př tanslačním pohybu pohybují stejnou ychlostí a se stejným zychlením. Pohybový stav tuhého tělesa je poto př tanslačním pohybu jednoznačně učen pohybem jedného bodu, za kteý zpavdla volíme hmotný střed tělesa. K řešení tanslačního pohybu tedy použjeme poznatků po pohyb jednoho hmotného bodu. 1.3 Rotační pohyb tuhého tělesa kolem nehybné osy Přotactuhéhotělesakolemosynehybnévtělesevevztažnésoustavěse pohybují všechny body tělesa(s výjmkou bodů osy) po tajektoích ve tvau kužnc ležících v ovnách kolmých k ose se středem na ose. Rotační pohyb tělesa kolem pevné osy je zvláštním případem ovnného pohybu. Ve zvolené necální vztažné soustavě je pohybový stav tělesa popsán jednou souřadncí úhlemotočení = (t),kteýdefnujemejakovektoležícívoseotace (ob. 3). Jeho smě učíme nejsnáze pavdlem pavé uky: ukazují-l psty pavé uky smě oentované tajektoe =d =d bodů =d2 tělesa, ukáže palec smě vektou.rychlostzměnyúhluotočenípopsujevektoúhlováychlost,kteý defnujemevýazem = lm t 0 t dt. Rychlostzměnyúhlovéychlostpopsujevektoúhlovézychlení,kteýdefnujemevýazem = lm t 0 t dt dt 2. Obavektoy, ležívoseotace(ob.3).nynímůžemeučtychlosta zychlení bodu tělesa otujícího kolem nehybné osy(ob. 4), kteá pochází počátkem O vztažné soustavy. Je zřejmé, že po dáhu s a velkost v ychlost bodu platí s=ϕ, v= ds dt = dϕ dt = ω. 4
ϕ v a t an ϕ s O Ob. 3 Ob.4 d Duhý ze vztahů nás vede k výpočtu obvodové ychlost v jako vektou v=. (4) Jeho devací podle času podle vzoce po devac součnu dvou funkcí př zachování pořadí funkcí(po vektoový součn dvou vektoů ve vztahu(4) neplatí komutatvní zákon) dostaneme po zychlení bodu postupně výazy a= dv dt = d d ( )= + dt dt dt = + ( ). (5) Pvnísložkazychlenív(5)mázřejměsmětečnykekužncvbodě je tedytečnýmzychlením a t bodu.duhásložkazychlenív(5)mázřejmě směnomálykekužncvbodě jetedynomálovýmzychlením a n bodu. Nebol a=a t + a n, a t =, a n = v= ( ). (6) a t = ε, a n = ωv= ω 2 = v2. (7) 5
1.4 Obecný ovnný pohyb. Základní ozklad pohybu S ohledem na pops pohybu ovncem(1) lze ovnný pohyb tělesa ozložt na tanslační pohyb efeenčního bodu a na otační pohyb kolem efeenčního bodu vzob.5.přtomlzeukázat,žeotačnísložkaovnnéhopohybu nezávsí na volbě efeenčního bodu. Na ob. 6 je znázoněn ozklad pohybu popřípad,žeefeenčnímbodemjebod B. y O 1 (1) B 1 Ob.5 B 2 B 2 ϕ 2 (2) x y O 1 (1) B 1 2 Ob.6 Polohulbovolnéhobodu Btělesa,popsanoupolohovýmvektoem B = B (t), lze vyjádřt ve tvau B = + B, kde = (t)jepolohovývektobodu a B = B (t)jepolohovývekto bodu Bvzhledemkbodu vevztažnésoustavě,jejížpočátekjevbodě a souřadncovéosy x, y jsouovnoběžnésosam xay(ob.7).devacítohoto vztahu podle času dostaneme vztah po ychlost bodu B: B 2 ϕ 2 (2) x v B = v + v B = v + B, y kde v B = ω B, v B B. Potože pohybem bodu B v soustavě x y jeotaceokolobodu,jeychlost v B kolmákúsečce B.Pakje zřejmé, že př ovnném pohybu půměty ychlostí dvou lbovolných bodů tělesa na přímku, kteá je spojuje, jsou sovny větaopůmětechychlostí. Po zychlení bodu B analogcky platí (sovnejsevztahy(6)a(7)): y B v B vb ω v B B Ob.7 v x x a B = a + a B = a + a Bt + a Bn = a + B + ( B ). 6
Z výazů po ychlost a zychlení bodu B je zřejmý ozklad ovnného pohybu tělesa na tanslační pohyb efeenčního bodu a na otační pohyb kolem tohoto bodu. Příklad 1 klouzající tyč Tyčdélky lsepohybujetak,že její koncový bod klouže po ose yapřblžujesekbodu Ostálouychlostí v akoncovýbod B kloužepoose x(ob.8).vokamžku, kdy tyč svíá s osou x úhel ϕ, učete: y v a) ychlost a zychlení bodu B, O B x b) úhlovou ychlost a úhlové Ob.8 zychlení tyče. Úlohuřešteobecněapakpohodnoty l=1,00m, v =2,00m s 1, ϕ=25. Řešení a) Zezadáníjezřejmé,žeychlostazychleníbodu Bmajísměosy x.zvolíme bod jako efeenční a na ob. 9 vyznačíme základní ozklad pohybu bodu B. Platí: v B = v + v B, a B = a + a B = 0+a Bn + a Bt, přčemž v B B, a Bt B, a Bn = v2 B. l y l ϕ ω v ε l v B Ob.9 O Z nákesu odvodíme: v B = v tg ϕ, a Bt a B v B = v cosϕ, 7 a Bn ϕ B v ϕ v B x a B= a Bn cosϕ = v2 B lcosϕ = v2 lcos 3 ϕ.
Vekto v B másměkladnépoloosy x,vekto a B másměopačný. Číselněvychází v B =0,93m s 1, a B =5,4m s 2. b) V daném okamžku je velkost úhlové ychlost tyče a velkost úhlového zychlení je ε= a Bt l ω= v B l = a Bsnϕ l = v lcosϕ = v2 snϕ l 2 cos 3 ϕ. Oentace obou velčn je vyznačena v obázku. Číselněvychází ω=2,2ad s 1, ε=2,3ad s 2, Po sovnání poveďme ještě analytcké řešení úlohy a): Vevýchozípolozetyčepopsanéúhlem ϕ,kdymábod souřadnc y=y 0 abod Bsouřadnc x=x 0,volímepočátečníokamžk t=0.závslost x-ové souřadnce bodu B na čase pak vyjadřuje funkce x= l 2 (y 0 v t) 2 = l 2 y 2 0 +2v y 0 t v 2 t2 = = x 2 0 +2v y 0 t v 2 t2, kteou dvakát zdevujeme a dostaneme vztahy vyjadřující závslost x-ových souřadnc ychlost a zychlení bodu B na čase: a B = d2 x dt 2 = v B = dx dt = v y 0 v 2 t x 2 0 +2v y 0 t v 2 t2. v 2 x 2 0 +2v y 0 t v 2 (v t2 y 0 v 2 t)2 x 2 0 +2v y 0 t v 2 t2 x 2 0+2v y 0 t v 2. t2 Dosazením t=0 dojdemekvýsledkům v Bx = y 0v = v tg ϕ, x 0 ( ) ( 1 a Bx = v 2 + y2 0 x 0 x 3 = v2 x 2 0 + y 2 ) 0 0 x 0 x 2 0 = v2 lcos 3 ϕ, kde l= x 2 0 + y2 0. Tytovýsledkyjsouvsouladuspředcházejícímřešením. Gafcko početní metoda s užtím základního ozkladu pohybu byla ale mnohem jednodušší a názonější. 8
1.5 Pól ovnného pohybu tělesa Rychlost bodů tělesa př jeho ovnném pohybu lze jednoduše učt užtím pólu pohybu. Pólem pohybu nebol okamžtým středem otáčení se nazývá bod P půmětu tělesa do základní ovny, jehož ychlost je v daném okamžku nulová (ob.10). v B vb B 1 B b P a ω C ϕ M Ob. 10 v C 1 Ob.11 Nyní je otázkou, zda pól pohybu můžeme po každý okamžk lbovolného ovnného pohybu nalézt. Ukážeme, že ano. Uvažujme lbovolnou úsečku B vpůmětutělesadoovnypohybu(ob.11),kteápřpohybupřejdedopolohy jnéhosměu 1 B 1.Půsečík Msymetálúseček 1, BB 1 jetotžbod,kolem něhožseúsečka Botočíoúhel ϕdonovépolohy 1 B 1,neboťtojúhelníky BM, 1 B 1 M jsoushodnéapohyblzepovažovatzaotočenítojúhelníku BM,kněmužnáležíúsečka B,kolembodu Moúhel ϕ.pokudnastane zvláštnípřípad,žeosyúseček 1, BB 1 splynou(ob.12)budebod Mpřímo půsečíkemúseček B, 1 B 1. B 1 B v B B ϕ M M P 1 Ob. 12 Ob. 13 v 9
Ob.11a12ukazuje,žekaždépřemístěníúsečky Bdonovépolohy 1 B 1, kteéneníposunutím(pakbyúsečky B, 1 B 1 bylyovnoběžné)jeotočením okolonějakéhobodu M,kteývlmtě 1 0, BB 1 0nazývámepól pohybu P. Úsečky 1, BB 1 naob.11a12jsousečnamtajektoípříslušnýchbodů. Vlmtěpokaždýčasovýntevaltytosečnypřejdouvtečny(vzob.13)a osyúseček 1, BB 1 přejdouvnomálytajektoí.jejchpůsečíkjepól pohybu P. Vaťme se nyní k popsu obecného ovnného pohybu podle ob. 9. Zvolme s body, B,jejchžychlost v, v B nejsoupaalelní.pakpól Pjepůsečíkem přímky a,kteápocházíbodem kolmokv,apřímky b,kteápochází bodem Bkolmokv B.Pak v P =0.Kdybychompředpokládal v P 0musel bypodlevětyopůmětechychlostíbýtvekto v P současněkolmýkab,což není možné. Povelkostychlostíbodů, Bplatí v = ω P, v B = ω PB,nebol v P = v B = ω. (8) PB Velkost ychlostí bodů tělesa př ovnném pohybu jsou úměné jejch vzdálenost od pólu pohybu. Je-l znám pól, lze učt ychlost lbovolného bodu C: v C = ω PC, kde ω= v P. Pól nejlépe učíme gafcky ze znalost nepaalelních ychlostí dvou lbovolných bodů tělesa. 1.6 Zvláštní případy polohy pólu pohybu 1. Jestlže se těleso př ovnném pohybu odvaluje bezskluzu,jepólempohybuboddotykutělesaspodložkou(ob.14).vdaném okamžkuje v P =0,jnakbysebod P muselsmýkat.polohabodu P jevšakokamžtá bod Psepřesouvájstouychlostípopodložce. Bude-l se odvalovat koule nebo válec po ovné podložce, bude ychlost přemsťování pólu ovna ychlost v středu tělesa. V jných případech, například př valení po oválu, budou tyto ychlost ůzné. ω v P Ob. 14 10
2.Jsou-lychlost v, v B bodů, Btělesapřovnnémpohybuvzájemně ovnoběžnéakolménaúsečku Bamají-lůznévelkost,ležípól Pvpůsečíku přímky spojující body, B a přímky spojující koncové body vektoů v, v B (ob.15a,b). 3.Budou-lmítsouhlasněovnoběžnévektoy v, v B,naozdílodpřípadu ad2, stejnou velkost a stejný smě jde o lmtní případ polohy pólu pohybu, kteý zřejmě leží v nekonečnu(ob. 16). 4.Jsou-lychlost v, v B,bodů, Btělesapřovnnémpohybusouhlasně ovnoběžné vektoy a nejsou-l kolmé k úsečce B(ob. 17), tak především podlevětyopůmětechychlostímusíbýt v cosα=v B cosα,nebol v = v B. Ztohojepakzřejmé,žepól P. v v v B v B P ω α v ω P v B B v B B α B P Ob. 15a Ob. 15b Ob. 16 Ob. 17 v B Příklad 2 planetové soukolí C Jedánopevnékoloostředu O 1 apoloměu,poněmž R O sebezskluzuodvalujeduhékoloostředu Oapoloměu Rtak,žeunašeč,kteýspojujestředy O 1, O ω 0 seotáčíúhlovouychlostí 0(ob.18).Učetesměa B velkostychlostíbodů O,, B, Cpohyblvéhokola. O 1 Řešení Ob.18 Poblémřešímepomocípólupohybu P,kteýmjezřejměboddotykuobou kol,kolemněhožsepohyblvékolootáčíokamžtouúhlovouychlostí.její velkostučímezúvahy,žebod Ojespolečnýunašečkolu.Poto 11
v ω v 0 v C O R C Ztoho v 0 = ω 0 (R+)=ωR. ω=(1+ R )ω 0. B v B Ob. 19 ω 0 P O 1 Pak v =2Rω=2(R+)ω 0, v B = v C = 2Rω= 2(R+)ω 0. Směy vektoů ychlostí jsou zřejmé zob.19.poblémlzeřeštovněžpřímo (bez výpočtu ω) užtím vztahu(8), přčemž výchozíbudeychlost v 0. Úlohy 1.Vpříkladu1učetevelkostychlostbodu Ba)užtímpólupohybu,b)užtím věty o půmětech ychlostí. 2.Tyčzpříkladu1podloužímezabod Bnadvojnásobnoudélku(ob.20). Bod seopětpohybujepoose ykonstantníychlostí v abod Bklouže poose x.učeteychlostazychlenívolnéhokonce Cvokamžku,kdytyč svíásosou xúhel ϕ. 3.Jedánklkovýmechansmuspodleob.21,uněhož :l=1:3.klka O se otáčí stálou úhlovou ychlostí ω. Užtím základního ozkladu pohybu učetezychleníčepu Bvlevéapavékajnípoloze. y v O l ϕ B l x C O Ob. 20 Ob. 21 ω l B 12
2 Dynamka ovnného pohybu tuhého tělesa 2.1 Vnější a vntřní síly Př odvozování pohybových ovnc tuhého tělesa budeme vycházet z Newtonových pohybových zákonů po hmotný bod. Z metodckého hledska budeme tuhé těleso považovat za soustavu n + hmotných bodů, kteé jsou podobeny tuhým vazbám. Konečné součty pak přecházejí v nekonečné řady, tj. n n lm pojednoduchostjeoznačíme. n + =1 =1 Po zachování lepší souvslost a názonost výkladu tedy ponecháme označení ve tvau sumačních znamének, avšak bez uvedení ntevalu, v němž leží hodnoty ndexu n. Budeme vždy předpokládat, že sumace, esp. ntegace, pobíhá přes celé těleso. Rovněž po hmotnost hmotných bodů, esp. elementů tělesa, kteé mají hmotnost mnohem menší než je hmotnost celého tělesa, ponecháme označení m.přpaktckýchvýpočtechnahadímesumacenekonečnýchřadučtým ntegály. Hmotné body přtom představují elementy hmotnost dm. Př řešeníúlohbudemepředpokládat,žetělesajsouhomogenní,tedydm= dv, kde je konstantní hustota mateálu tělesa a dv je element objemu. Nasoustavuhmotnýchbodůatedynatuhétělesoobecněpůsobídvě soustavy sl síly vnější a síly vntřní. Vnější síly souvsejí s působením jných bodů nebo těles, kteé k vyšetřovanému tělesu nepočítáme. Výslednc vnějších sl,působícína -týbod,označíme F.Patřísemnapř.tíhovásíla,kteoupůsobí Země na uvažované těleso. Vnějším slam jsou síly vzájemného působení př bezpostředním dotyku tělesa s jným tělesy, dále tlakové síly tekutn, síly elektcké a síly magnetcké. Vntřní síly souvsejí se vzájemným působením bodů uvažované soustavy. U tuhého tělesa m F jsou to např. vazbové síly, kteé uskutečňují F j soudžnost tělesa. Potože vntřní síly jsou slam vzájemného působení, platí po ně New- O s F j tonůvpncpakceaeakce.označíme-l F j j sílu,kteoupůsobí j-týbodna -týbod,af j sílu,kteounaopakpůsobí -týbodna j-týbod F j (ob. 22), bude m j Ob. 22 F j + F j =0. Po momenty uvedených sl vzhledem k lbovolné ose O kolmé k ovně pohybu podobně platí F j + j F j =0, neboťoběsílymajístejnéameno sajsouvzájemněopačnéhosměu(ob.22). 13
Tedy součet momentů vntřních sl k lbovolnému bodu je nulový. Př vyšetřování dynamckých účnků sl na tuhé těleso jako celek tedy stačí zkoumatjen účnekvnějších sl.ktomujetřebapoznamenat,ževntřní síly mohou mít vlv na pohyb soustavy hmotných bodů, mohou způsobovat přeskupování bodů uvntř dané soustavy. U tuhého tělesa k tomu však dojít nemůže, potože u něj je vzdálenost mez body podle defnce stále konstantní (tva tělesa se zachovává). U skutečných(pužných) těles vntřní síly způsobují mechancké napětí a mají tedy ozhodující vlv na soudžnost těles př jejch namáhání. 2.2 Hybnost soustavy, hmotný střed Jednou z důležtých dynamckých chaaktestk soustavy hmotných bodů je hybnost soustavy, defnovaná jako vektoový součet hybností jednotlvých bodů: p= m v = ( ) d m dt = d m. (9) dt Zde jsme mohl povést naznačenou úpavu devace podle času, neboť podle klasckémechankymůžemebát m = konst. Nynívýaz(9)upavímeužtímpojmuhmotnýstřed.Jetobod,pomocíněhož zjednodušíme výpočet hybnost soustavy tím, že do něj umístíme celkovou hmotnost m soustavy, tj. m= m. Poloha S hmotnéhostředusedefnujezevztahu m S = m, (10) nebol S = 1 m. (11) m Po soustavu hmotných bodů nebo po tuhé těleso, kteé se nacházejí v homogenním tíhovém pol, je hmotný střed zřejmě totožný s těžštěm. Hmotný střed nemusí být eálným bodem soustavy hmotných bodů nebo tuhého tělesa(je tomu např. u pstence nebo u dutého válce). Zavedeme-l vztah(10) do(9), můžeme po hybnost soustavy psát kde v S jeychlosthmotnéhostředu. p= d dt (m S)=m d S dt = mv S, (12) 14
Hybnost soustavy hmotných bodů je ovna hybnost jedného hmotného bodu, kteý by se pohyboval jako hmotný střed tělesa a ve kteém by byla soustředěna celá hmotnost soustavy. Př výpočtu hybnost tuhého tělesa vykonávajícího ve zvláštním případě posuvný pohyb není an nutné pacovat s hmotným středem, neboť podle(2) jsouychlostvšechbodůstejnéatudížjemožnévevztahu(9) v vytknout před sumu. Pak je hybnost tělesa ovna součnu hmotnost a ychlost lbovolného bodu tělesa př jeho tanslačním pohybu. Z hledska unvezálnost pojmu hmotný střed po obecné případy soustavy hmotných bodů, např. u ovnného pohybu tuhého tělesa, se s tímto pojmem pacuje u tanslačního pohybu. 2.3 Pvní mpulsová věta Uvažujme tuhé těleso, kteé se pohybuje v necální vztažné soustavě. Bude-l na -týbodtohototělesapůsobtvnějšísíla F avýsledncevntřníchsl j F j odostatníchbodůtělesa,budepočasovouzměnujehohybnost p platt dp dt = F + j F j. (13) Sumací přes celé těleso po levou stanu ovnce(13) dostaneme dp dt = d p = d dt dt (mv S), (14) tedy časovou změnu hybnost tělesa vyjádřené vztahem(12). Podobně sumací po pavou stanu ovnce(13) dostaneme F + F j = F = F, j tedy výslednou vnější sílu působící na těleso, neboť výslednce všech vntřních sl je nulová. Změnu hybnost tělesa tudíž způsobuje výslednce působících vnějších sl podle ovnce dp = F. (15) dt Je fomálně shodná s pohybovou ovncí jedného hmotného bodu a je pohybovou ovncí tanslačního pohybu tuhého tělesa. Rovnce(15) se označuje jako pvní mpulsová věta po tuhé těleso. Časová změna hybnost tělesa je ovna výsledné síle působící na těleso. 15
Potože podle klascké mechanky neuvažujeme závslost hmotnost tělesa na jeho ychlost ve vztažné soustavě a potože hmotnost tuhého tělesa se jnak s časem nemění(jnak je tomu např. u aket), můžeme ovnc(15) přepsat s využtím vztahu(12) do tvau m dv S dt = ma S = F, (16) kde a S jezychleníhmotnéhostředu. Je-lvýsledncevnějšíchsl Fnulová,je dp = 0atedy p=konst,nebol dt hybnost tělesa je konstantní. Dospíváme tak k zákonu zachování hybnost. 2.4 Duhá mpulsová věta po obecný ovnný pohyb Př obecném ovnném pohybu tělesa leží tajektoe, ychlost a zychlení jednotlvých bodů tělesa v navzájem ovnoběžných ovnách ovnoběžných se zvolenou základní ovnou. Za tuto ovnu zvolíme ovnu(x, y) katézské soustavy (ob. 23). Budeme předpokládat, že vnější síly působí na hmotné body tělesa v základní ovně. Poloha půmětu -tého hmotného bodu tělesa do základní ovny, ychlost, zychlení tohoto bodu a vnější síla, kteá na něj působí, mají souřadnce =(x, y, 0), v =(v x, v y,0), a =(a x,a y, 0), F =(F x,f y,0). Moment vnější síly, kteá působí na -týhmotnýbod,vzhledemkose zdefnujeme jako vekto z M = F L M kolmý k základní ovně, tedy ovnoběžný s osou z. nalogcky zavedeme moment hybnost -tého hmot- F O P y ného bodu L = p = m v. (17) Tyto vektoy mají souřadnce M =(0, 0, M ), L =(0, 0, L ) x m Ob. 23 Okamžtáosaotacetělesamásměosy z,apotoúhlováychlostaúhlové zychlenímajísouřadnce =(0,0, ω), =(0,0, ε). p 16
Budeme nyní hledat souvslost mez časovou změnou momentu hybnost a výsledným momentem síly, kteý působí na tuhé těleso př otac kolem okamžté osy otace. Poté budeme výpočet specalzovat na otac kolem nehybné osy. Po moment hybnost -tého bodu platí vztah(17). Jeho devací podle času (jako součnu dvou funkcí) dostaneme dl dt =d dt p + dp dt. Pvní součn na pavé staně je nulový, neboť vekto hybnost má stejný smě jako vekto ychlost. Ve duhém součnu dosadíme sílu podle vztahu(13). Tedy dl dt = F + F j. j Povedeme-l sumac těchto příspěvků vzhledem k okamžté ose po celé těleso, dostaneme pohybovou ovnc, jejíž levá stana bude mít tva dl dt = d L = dl dt dt. Jde tedy o časovou změnu momentu hybnost tuhého tělesa. Pavá stana ovncebudemítposumactva F + F j = F = M = M. j Půjde tedy o výsledný moment vnějších sl působící na tuhé těleso, neboť výsledný moment všech vntřních sl je nulový. Tento moment má smě okamžté osy otace. Obecná pohybová ovnce otačního pohybu tedy zní dl dt Výsledek(18) se označuje jako duhá mpulsová věta. = M. (18) Časová změna momentu hybnost tělesa vzhledem k lbovolné ose kolmé k ovně pohybu je ovna výslednému momentu vnějších slvzhledemktéžeose. 17
2.5 Dynamka otáčvého pohybu kolem nehybné osy 2.5.1 Moment hybnost tělesa vzhledem k nehybné ose. Moment setvačnost Př otáčvém pohybu tělesa kolem nehybné osy opsují body tělesa kuhové tajektoe se středem naoseotáčení.povýpočetpříspěvku L -tého bodu tělesa k celkovému momentu hybnost L tělesazvolímepočátek O vestředutétokužnce L (ob. 24). Pak bude velkost polohového vektou hmotnéhobodutotožnáspoloměempříslušné L kuhové tajektoe. Defnujeme O L = p = m v. (19) Tento vekto umsťujeme do osy otace. Rychlost v -téhobodujekolmákpůvodč,můžeme tedy po velkost momentu hybnost -tého bodu psát L = p sn90 = m v = ωm 2, o m Ob. 24 kde ω je úhlová ychlost otace. Potože takto vypočtené příspěvky od jednotlvýchbodůmajístejnýsmě směnehybnéosyotace budemítmoment hybnost celého tělesa velkost L= L = ω m 2 v = ωj, (20) kde J= m 2 (21) je moment setvačnost tuhého tělesa vzhledem k nehybné ose o. Jelkož úhlováychlost jevektoležícívoseotace,jemomenthybnosttuhého tělesa otujícího kolem nehybné osy vekto ležící ovněž v nehybné ose otace. L=J, (22) 2.5.2 Duhá mpulsová věta po otac kolem nehybné osy Vyjádříme-l moment hybnost tuhého tělesa otujícího kolem nehybné osy pomocí vztahu(22) a uvážíme-l, že po dané ozložení hmotnost tuhého tělesa vzhledem k nehybné ose otace je J = konst., můžeme výsledek(18) přepsat 18
do jednoduchého tvau d dt d (J )=J dt = J =M, (23) kde jevektoúhlovéhozychlení,kteýovněžležívoseotace. Je-l výsledný moment sl M nulový, je dl dt = 0atedy L=konst. (24) Tím jsme dospěl k zákonu zachování momentu hybnost. Potože J = konst., dostáváme vzhledem k(22) současně výsledek =konst.. (25) 2.5.3 Sovnání otačního pohybu kolem nehybné osy s tanslačním pohybem Nejpve poovnáme vztahy po výpočet knetcké enege. Př tanslačním pohybu se všechny body tělesa pohybují stejnou ychlostí v. Knetcká enege tělesa je E k = 1 2 m v 2 = 1 2 v2 m = 1 2 mv2. (26) Přotačnímpohybutělesakolemnehybnéosyúhlovouychlostí jevelkostychlost -téhoelementu v = ω.knetckáenegetělesaje E k = 1 2 m v 2 =1 2 ω2 m 2 =1 2 Jω2 (27) Mez velčnam po tanslační pohyb tuhého tělesa a po otační pohyb tuhého tělesa kolem nehybné osy je možné sledovat analoge, kteé mají hlubší fyzkální souvslost. Po získání lepší oentace mez těmto velčnam a vztahy je vhodné s udělat jejch shnutí v následující tabulce: 19
d d d tanslační pohyb otační pohyb elementdáhy d, ds elementúhlovédáhy ychlost v= d úhlováychlost = dt dt zychlení a= dv úhlovézychlení = dt dt hmotnost m moment setvačnost J síla F momentsíly M= F hybnost p=mv momenthybnost L=J I.mpulsovávěta F= dp II.mpulsovávěta M= dl dt dt pohybováovnce ma=f pohybováovnce J =M elementpáce dw= F ds elementpáce dw= M d výkon P= F v výkon P= M knetckáenege E k = 1 2 mv2 knetckáenege E k = 1 2 Jω2 Příklad 3 oztáčení setvačníku Na hřídel s nasazeným setvačníkem o poloměu a o celkovém momentu setvačnost J vzhledem k ose hřídele působí hnací moment síly o velkost M= M 0 kω, kde M 0 a k jsou konstanty a ω je okamžtá úhlová ychlost. Na obvod setvačníku(ob. 25) současně působí čelst bzdy, přčemž přítlačná síla je N a součntel Ob. 25 smykovéhotření f.hřídelseozbíházkldového stavu. Učete a) maxmálníúhlovouychlost ω m hřídele, b) závslost ω= ω(t)ačas t m,kdyhřídeldosáhneúhlovéychlost ω m. Řešení N M(ω) a) Potože hnací moment síly je závslý na úhlové ychlost a bzdný moment síly Nfjekonstantní,dosáhnehřídelmaxmálníúhlovéychlost ω m př vyovnání velkost těchto momentů sl, tedy když M 0 kω m = Nf ω m = M 0 Nf. k 20
b) Pohybová ovnce podle(23) ve skaláním tvau bude J dω dt = M 0 kω Nf. by se hřídel vůbec oztočla, musí být M 0 Nf=M 0 >0. Rovnc upavíme do tvau vhodného k ntegac tím, že oddělíme(sepaujeme)poměnné ωa t: dω J M 0 kω =dt. Integujemevmezíchod ω=0do ωaod t=0do t: Odtud ω t J kdω k 0 M 0 kω = dt, 0 J [ ] ω ln(m 0 kω) k = J 0 k ln M 0 M 0 kω = t. ω= M 0 Nf k (1 e kj t ) Zčasovéhopůběhu ωvdíme,žehřídeldosáhnemaxma ω m ažvlmtním případě t m. Úlohy 4.Setvačník(ob.26)můžemeoztočttak,ženajehopouzdoopoloměu navneme šňůku a za její volný konec táhneme slou až do jejího odvnutí. Vypočtěte úhlovou ychlost setvačníku o momentu setvačnost J, jestlže se odvnula bez pokluzu ze stavu kldu šňůka délky l př působení stálé sílyovelkost F. 5.Jakýjemomentsetvačnostkotoučekladkyopoloměu =180mmvzhledemkosejdoucítěžštěm,jestlžezávažíohmotnost m=4,0kgpoběhne dáhu s=1,2mzadobu t=1,3s?napočátkujezávažívkldu(ob.27). 6. Roto tubíny o momentu setvačnost J volně dobíhá z počáteční úhlové ychlost ω 0 podpůsobenímodpoovýchsl,kteémajímomentovelkost M= kω 2,kde ωjeokamžtáúhlováychlosta k >0jekonstanta.Učete a) závslost ω= ω(t), b) dobu t 1,zanížseúhlováychlostzmenšízω 0 na ω 0 /10.. 21
J J g s Ob. 26 Ob. 27 m 2.5.4 Výpočet momentu setvačnost Moment setvačnost tělesa vzhledem k nehybné ose defnujeme výazem(21): J= m 2. Je to velčna, kteá je míou setvačných účnků tělesa př otačním pohybu. Tato velčna zřejmě závsí nejen na hmotnostech elementů tělesa, ale především na jejch ozložení vzhledem k otační ose. Přtom setvačnost hmotných elementů se uplatňuje s duhou mocnnou jejch vzdáleností od osy otace. JednotkoumomentusetvačnostvsoustavěSIjekg m 2. Př výpočtu momentu setvačnost těles předpokládáme spojtě ozloženou hmotnost. Pak sumace nekonečné řady(21) přejde na učtý ntegál J= (m) 2 dm, (28) kde ntegac povádíme přes celou hmotnost m tělesa. Je-l těleso homogenní, takdm= dv, =konst.adv jeelementobjemu.paksentegál(28) zjednoduší na tva J= (V) 2 dv (29) a ntegac povádíme přes celý objem V tělesa. Element dv volíme tak, aby ntegace byla co nejjednodušší, jak to bude ukázáno na následujících příkladech. Máme-l počítat moment setvačnost k učté ose a známe-l moment setvačnost k ose ovnoběžné s touto osou, kteá pochází hmotným středem, použjeme k výpočtu s výhodou Steneovu větu(vz následující odstavec). Moment setvačnost je zřejmě adtvní velčna. Toho lze výhodně využít přvýpočtumomentusetvačnosttělessloženýchz nčástí,jejchžmomenty J kdanéoseznáme.pak n J= J. (30) =1 Má-l homogenní těleso dutnu nebo otvo, odečteme od celku moment setvačnost tělesa, kteé by vyplňovalo dutnu nebo otvo. Tento postup se využje 22
např.přřešeníúlohč.8a9. dtvnost momentu setvačnost využjeme př výpočtu momentu setvačnost homogenního tělesa, kteé s představíme složené z nekonečného počtu částí, jejchž elementání momenty dj známe. Pak řada(30) přejde v ntegál J= dj. (31) Tohoto postupu je využto např. v příkladě 5, kde s těleso představíme složené z elementáních desek poměnného poloměu. (J) Příklad 4 moment setvačnost válce Vypočtěte moment setvačnost homogenního kuhového válce vzhledem k jeho otační ose. Válec má polomě R a hmotnost m. Řešení K řešení užjeme vzoec(29). Z válce vyjmeme element souměný k ose. Jeho půřez má tva mezkuží (ob. 28) o poloměu a tloušťce d. Označíme-l výšku válce l, bude dv=2pld. Integujemevmezíchod =0do = R.Pak J= R 0 2 dv=2p l R 0 R O Ob. 28 d 3 d= 1 2 p lr4 = 1 2 mr2, (32) kde m=pr 2 l jehmotnostválce. Moment setvačnost válce po učtou hmotnost zřejmě nezávsí na jeho výšce. Stejný vzoec tedy platí po tenkou kuhovou desku stejného poloměu a stejné hmotnost. Příklad 5 moment setvačnost koule Vypočtěte moment setvačnost homogenní koule o hmotnost m a poloměu R vzhledem k ose o, kteá pochází jejím středem. Řešení K řešení použjeme vzoec(31). Koul s představíme složenou z elementáních desek(vstev) o poloměu atloušťcedy(ob.29).deskamávsouladus(32) elementání moment setvačnost dy y R dj= 1 2 2 dm, o kde dm=p 2 dy, 2 = R 2 y 2. 23 Ob. 29
Integacívmezíchod y= R, y= R dostaneme J= p 2 R R kde m= 4 3 pr3 jehmotnostkoule. (R 2 y 2 ) 2 dy= 8 15 p R5 = 2 5 mr2, (33) 2.5.5 Steneova věta Nyní odvodíme větu, kteá umožní vypočíst moment setvačnost J tělesa vzhledem k lbovolné ose, známe-l moment setvačnost J S vzhledem k ovnoběžné ose, kteá pochází hmotným středem. Po výpočet položíme počátek O čákované vztažné soustavy do hmotného středu S (ob. 30). Nečákovaná soustava má osy ovnoběžné se soustavou čákovanou, přčemžosy x, x splývají.půjdenámotonajítvztahmezmomentem Jkose zamomentem J S kose z,kteápocházíhmotnýmstředem S.Osy z, z majívzájemnou vzdálenost d. Podle defnčního vztahu(21) platí po tyto momenty setvačnost vztahy y y O d x O S x Ob. 30 m y =y x x J= m (x 2 + y 2 ), J S = m (x 2 + y 2 ). Zob.30jezřejmé,že x 2 =(x + d)2, y = y. Po dosazení do výazu po J dostaneme J= m (x 2 + y 2 )+2d m x + d 2 m = J S + md 2, potože začátek čákované soustavy leží v hmotném středu tělesa(po jeho polohuvtétosoustavěplatí x S =0)atudížvsouladus(11)je m x =0. Dostal jsme tak důležtý vztah J= J S + md 2, (34) 24
kteý se nazývá Steneova věta: Moment setvačnost J tuhého tělesa vzhledem k lbovolné ose je ovensoučtumomentusetvačnost J S vzhledemkosepocházející hmotným středem S ovnoběžně s uvažovanou osou a součnu hmotnost m tělesa se duhou mocnnou vzdálenost d obou os. Příklad 6 moment setvačnost dvojce koulí Vypočtěte moment setvačnost soustavy dvou dotýkajících se a pevně spojených stejných homogenních koulí podleob.31kose o.každázkoulímáhmotnost ma polomě. Řešení Užtím Steneovy věty a výsledku(33) dostaneme ( ) 2 J=2(J S + m 2 )=2 5 m2 + m 2 = 14 5 m2. o m m Ob. 31 2.5.6 Momenty setvačnost homogenních těles jednoduchého geometckého tvau o hmotnost m V následující tabulce uvedeme momenty někteých homogenních těles jednoduchého tvau. Jedná se vesměs o hlavní centální momenty setvačnost(s výjmkoumomentu J 1 vpvnímpřípadě). Tenká tyč 1 0 l J 0= 1 12 ml2, J 1= 1 3 ml2 Kolmý válec Kuhová deska l 3 2 1 J 1= 1 2 m2 J 2= J 3= m 4 ( 2 + l2 3 ) 25
Dutý kuhový kolmý válec Tenkostěnná válcová tubka Koule Tenkostěnná kulová skořepna Kolmý kužel Komolý kolmý kužel Tenký kuhový pstenec Kychle Hanol Elpsod a a 3 3 1 1 b 3!26 c 3 3 3 1 a 2 2 2 2 2 2 c b 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 J 1= m 2 (2 1+ 2 2) J 1= m 2 J 1= J 2= J 3= 2 5 m2 J 1= J 2= J 3= 2 3 m2 J 1= 3 10 m2 J 3 1= 10 m5 1 2 5 1 3 2 3 J 1= J 2= 1 2 m2 J 3= m 2 J 1= J 2= J 3= m 6 a2 J 1= m 12 (b2 + c 2 ) J 2= m 12 (a2 + c 2 ) J 3= m 12 (a2 + b 2 ) J 1= m 5 (b2 + c 2 ) J 2= m 5 (a2 + c 2 ) J 3= m 5 (a2 + b 2 )
Úlohy 7. Odvoďte vztah po výpočet momentů setvačnost tenké čtvecové desky ostaně aahmotnost mvzhledemkjejímosámsouměnost1,2a3 (ob.32). 8. Odvoďte vztah po výpočet momentu setvačnost tenké kulové skořepny o hmotnost m a poloměu R vzhledem k její ose souměnost. 9.Jedánahomogenníkuhovádeskaopoloměu sotvoempodleob.33. Hmotnost desky je m. Vypočtěte a) moment setvačnost J vzhledem k ose pocházející středem O kolmo k ovně desky. b) momentsetvačnost J S vzhledemkosepocházejícítěžštěmdesky kolmo k ovně desky. a 3 2 O 2 Ob. 32 1 Ob. 33 27
2.6 Dynamka obecného ovnného pohybu tuhého tělesa Po pohyb tělesa budou platí mpulsové věty, kteé mají obecný tva(15) a(18): dp dt = F, dl dt = M, kde p= m v = mv S, L= m v (35) je hybnost a moment hybnost tělesa př ovnném pohybu. V těchto vyjádřeních je osa, vzhledem k níž počítáme momentové velčny L, M, volena obecně jako osa zvztažnésoustavy x, y, z.přřešeníúlohjevhodnébuďvycházetze základního ozkladu pohybu tělesa př kteém za efeenční bod tělesa zvolíme jeho hmotný střed, nebo zvolt počátek vztažné soustavy v pólu pohybu. Oba způsoby řešení podobně pobeeme. 1. Použtí základního ozkladu pohybu Shmotnýmstředemtělesa Sspojímepočátekvztažnésoustavy O x y z, kteá koná posuvný pohyb vzhledem původní necální soustavě Oxyz tak, že souřadncové osy obou soustav jsou ovnoběžné(ob. 34). Pak po polohový vekto -tého bodu měřený v soustavě Oxyz a po ychlost tohoto bodu platí = S +, v = v S + v, kde S jepolohovývektohmotnéhostředuav S jehoychlost. y y m O S x v v S v S O x Ob. 34 Nejpve vyjádříme moment hybnost tělesa vzhledem k ose z dosazením těchto vztahů do výazu(35): 28
neboť L= ( S + ) m (v S + v )= S v S m + + S m v + m = m S =0, m v = S mv S + m v = mv S =0, m v S + m v, (36) potože S =0, v S =0 jepolohaaychlosthmotnéhostředuvzhledem kevztažnésoustavě O x y z pevněspojenéshmotnýmstředem(vzob.34). Výaz(36) může být fomálně přepsán do tvau kde L=L S + L, (37) L S = S p S (38) je moment hybnost hmotného středu tělesa vzhledem k ose z, nazývaný též obtální moment hybnost a L = m v (39) jemomenthybnosttělesavzhledemkose z pocházejícíhmotnýmstředem, nazývanýtéžspnovýmomenthybnost.(označení obtální a spnový mají původ v atomstce, kde se zavádí např. obtální moment hybnost elektonu a spnový moment hybnost elektonu, zvaný spn.) Časovou změnu momentu hybnost dostaneme součtem devovaných vztahů (38)a(39): dl dt = v S p }{{ S + } S ma S + v m v + 0 }{{} 0 m a. (40) Pvní a třetí člen je zřejmě nulový(jde o vektoový součn ovnoběžných vektoů).upavímenyníčtvtýčlen,kdyžsuvědomíme,ževzhledemk(6)a(7) platí: a = a t+ a n= + v, a t, a n. Vzájemnou polohu vektoů vdíme na ob. 35. Z uvedených vztahů plyne: m a = m a t + m a n= m }{{} ( )= m 2, 0 29
S a t z v a t m a = m 2 = J S, kde J S jemomentsetvačnostvzhledem kose z,kteápocházíhmotnýmstředem S. Tak můžeme vztah(40) přepsat do tvau a n dl dt = S ma S + J S. (41) Ob. 35 Výsledný moment sl, kteý je oven výslednému momentu vnějších sl, můžeme analogcky ozložt na dva členy M= F = ( S + ) F = S F+ M S, (42) kde M S jevýslednýmomentvnějšíchslvzhledemkose z pocházejícíhmotným středem. Poovnáme-l vztahy(15),(18),(41) a(42) získáme pohybové ovnce tuhého tělesa konajícího obecný ovnný pohyb ve tvau: Př vyjádření ve složkách dostaneme ma S = F, J S =M S. (43) m d2 x S dt 2 = F x, (44) m d2 y S dt 2 = F y, (45) J S d 2 ϕ dt 2 = M S, (46) kde x S, y S jsousouřadncehmotnéhostředu, F x, F y souřadncevýslednce vnějšíchsl, J S momentsetvačnosttělesakosepocházejícíhmotnýmstředem a M S velkostvýslednéhomomentuvnějšíchslktéžeose. 30
2. Volba počátku vztažné soustavy v pólu pohybu y Z vlastností pólu vyplývá, že ychlost všech bodů jsou kolmé k původčům, nebol v =. Pakmomenthybnost(35)tělesakose zje L= m ( ) apojehodevacpodlečasuplatí dl dt = v m v + }{{} 0 ω O P v m Ob. 36 (m )+ (m v ). }{{} 0 Vektovokouhlézávocevetřetímčlenujeovnoběžnýsvektoem,ovněž vektoy ve vektoovém součnu pvního členu jsou vzájemně ovnoběžné, poto jsouobačlenynulové.nyníupavímeduhýčlen.vektoy, avektoový součn jsouvzájemněkolmé.poto m ( )= m 2, (m )= m = J 2 P. Velčna J P jemomentsetvačnostkose zpocházejícípólempohybu.moment vnějších sl počítáme ovněž k ose pocházející pólem: F = M P. Duhá mpulsová věta tedy dává pohybovou ovnc ve tvau kteou lze psát skaláně J P =M P, J P ε=j P d 2 ϕ dt 2 = M P. (47) Př řešení úloh, podle dspozce zadání, lze výhodně užít jeden nebo duhý způsob sestavení pohybové ovnce. Někdy lze jednoduše užít postupy oba, jak s ukážeme na následujícím příkladě. x 31
Příklad 7 jednostanně uvolněná tyč Homogennítenkátyčohmotnost madélce l je zavěšena na dvou stejných ovnoběžných vláknech1,2podleob.37.pookamžkbezpostředně po přestřžení vlákna 2 učete: a) zychlení hmotného středu S a úhlové zychlení tyče, b) tahovousílu F 1 vevlákně1. Řešení Výslednátíhovásíla mgpůsobívtěžšt Ttotožnémshmotnýmstředem S (ob. 38). Pohybové ovnce(44) až(46) mají tva mẍ S =0, g 1 2 l F 1 m Ob. 37 mÿ S = F 1 mg, (48) P O S T x l J S ϕ= F 1 2, kde J S = 1 12 ml2. mg Ob. 38 Nakonctyče,vbodě O P,jeokamžtýpólpohybuatudížmez y-ovou složkou okamžtého zychlení hmotného středu a úhlovým zychlením platí y F 1 l 2 ϕ, ω ÿ S = l 2 ϕ. (49) Podosazenído(48)za J S a ÿ S řešenímdostaneme a) ẍ S =0, ÿ S = 3 g, ϕ= 3g 4 2l, b) F 1= mg 4. Tahová síla ve vlákně je zřejmě polovční než před přestřžením vlákna 2, kdy každé vlákno zachycovalo polovnu tíhy tyče. Nyní ještě ukážeme duhý způsob využívající pól pohybu, kdy použjeme vztah(47),kamdosadíme J P = 1 3 ml2.platí: v souladu s předchozím řešením. 1 3 ml2 ϕ= mg l, odtud ϕ= 3g 2 2l 32
Příklad 8 koule na nakloněné ovně Homogenní koul o poloměu a hmotnost m položíme na nakloněnou ovnu se sklonem α. S jakým zychlením se bude pohybovat, je-l součntel smykového třenímezkoulíanakloněnouovnou f? Řešení Soustavu souřadnc zvolíme tak, že osa xbudemítsměspádncenakloněné ovny(ob. 39). Rovna působí ε y na těleso eakcí, kteá má nomálovousložku Natečnousložku T.Skalání pohybové ovnce(44) až(46) a S po uvažované těleso jsou O T mẍ S = mgsnα T, (50) mg N mÿ S = N mgcosα, (51) α J S ϕ=t. (52) x Vtěchtotřechovncíchjepětneznámých: N, T, x S, y S, ϕ. Ob. 39 by soustava byla řeštelná, musíme přpojt ještě dvě ovnce(esp. podmínky). Jednou z nch je podmínka vazby, podle níž se hmotný střed pohybuje po přímce ovnoběžné s osou x, nebol y S = = konst., esp. ÿ S =0. (53) Pak z ovnce(51) po nomálovou složku eakce plyne N= mgcosα. (54) Další doplňkové ovnce závsí na tom, zda těleso př odvalování pokluzuje nebo ne. Mohou nastat tyto případy: 1. Těleso se dokonale odvaluje, tedy bez pokluzu. Pak je bod dotyku koule s nakloněnou ovnou okamžtým pólem pohybu( P). Odtud dostaneme vazbovou ovnc x S = ϕ, esp. ẍ S = ϕ. (55) 2. Těleso se odvaluje a současně smýká, tedy mez tělesem a nakloněnou ovnou je pokluz a tečná složka eakce dosahuje hodnoty síly smykového tření ad 1) Řešení po dokonalé odvalování Dosazením z(55) za ϕ do(52) dostaneme T= F t = fn= fmgcosα. (56) T= J S 2 ẍs. (57) 33
Po dosazení(57) do(50) dostaneme po x-ovou složku zychlení hmotného středu výaz ẍ S = a= m 2 J S + m 2 gsnα= m 2 5 gsnα= gsnα. (58) 2 5 m2 + m 2 7 Zpětným dosazením(58) do(57) vychází po tečnou složku eakce výaz T= J S J S + m 2 mgsnα= J S mgsnα= 2 mgsnα, (59) J P 7 kde J P = J S + m 2 = 7 5 m2 je,vsouladusesteneovouvětou,moment setvačnost k ose, kteá pochází okamžtým pólem pohybu P. by př odvalování nedošlo k pokluzu, musí být tečné složky eakce(59) menšínežsílasmykovéhotření,nebol T < fn.musítedybýtsplněnapodmínka J S J P mgsnα < fmgcosα, nebol po úhel α sklonu nakloněné ovny musí platt ad 2) Řešení po odvalování povázené smýkáním tg α < J P = 7 f. (60) J S 2 Nomálová tečná složka eakce jsou po tento případ známy: vz výazy(54) a(56).dosazenímza Tzovnce(56)doovnc(50)a(52)dostaneme ẍ S = a=g(snα fcosα), (61) ϕ=f mg J S cosα. (62) byřešení(61)mělosmysl,musíbýtvýazvzávocekladný,tj.musíplatt snα > fcosα, tj. tg α > f. (63) Potože vyšetřovaný případ ad 2) nastává až př nesplnění podmínky(60), tj. po apodmínka J P JS >1,jetedysplněna. tg α J P J S f= 7 2 f 34
2.7 Knetcká enege tuhého tělesa př obecném ovnném pohybu Př obecném ovnném pohybu po knetckou eneg tělesa platí E k = 1 2 m v 2 =1 m (v v ). (64) 2 Rychlost -téhobodu v nynívyjádřímepomocíychlost v S hmotnéhostředu v uvažované vztažné soustavě. Zřejmě platí(vz ob. 34 vpavo) v = v S + v, kde v jeychlost -téhoboduvzhledemkhmotnémustředu.podosazenído (64) dostaneme E k = 1 m (v S +v 2 ) (v S+v )=1 2 v2 S m +v S m v +1 m v 2 2.(65) Suma ve duhém členu výazu(65) představuje hybnost tělesa ve vztažné soustavě spojené hmotným středem. Sovnáme-l výazy(9) a(12) můžeme analogcky psát m v = mv S, (66) kde v S jeychlosthmotnéhostředuvsoustavěsnímpevněspojené zřejmě je v S =0ačlen(66)jenulový.Pakpřejdevztah(65)poknetckouenegdo tvau E k = 1 2 mv2 S +1 2 m v 2 = 1 2 mv2 S +1 2 ω2 m 2 =1 2 mv2 S +1 2 J Sω 2, (67) kde J S jemomentsetvačnosttělesakosepocházejícíhmotnýmstředem. Knetcká enege tuhého tělesa př jeho obecném ovnném pohybu je ovna součtu knetcké enege hmotného středu(odpovídá tanslační složce pohybu) a knetcké enege pohybu tělesa vzhledem k hmotnému středu(odpovídá otační složce pohybu). 2.8 Zákon zachování mechancké enege Uvažujme pohyb tělesa v slovém pol, kteé je konzevatvní. Přtom konzevatvnípolejetakovépole,uněhožjepácepůsobícísílyvykonanápouzavřené tajektotělesavtomtopolnulová.tomůžebýtjen,kdyžpácemezdvěma body tajektoe závsí pouze na výchozí a konečné poloze tělesa, nkol na 35
tvau tajektoe. V takovém pol můžeme defnovat potencální(polohovou) eneg E p.příklademkonzevatvníchpolívmechancejepolegavtačnía pole pužných sl, v elektomagnetsmu je to pole elektostatcké. Páce, kteou vykoná konzevatvní pole př přemístění tělesa z polohy 1 do polohy2,je W 12 = E p1 E p2. (68) Ztohojezřejmé,žepotencálníenegejedefnovánaažnakonstantu ta se př výpočtu páce podle(68) vyuší. Poto je nutné podle chaakteu úlohy volt nulovou hladnu potencální enege. Páce vykonaná na tělese se pojeví vzůstem jeho knetcké enege v uvažované necální vztažné soustavě. Tedy W 12 = E p1 E p2 = E k2 E k1, nebol E k1 + E p1 = E k2 + E p2. Obecně tedy platí E k + E p = konst. (69) Tento vztah vyjadřuje zákon zachování mechancké enege: Celková mechancká enege tělesa v konzevatvním pol v uvažované necální vztažné soustavě je konstantní. Zákon zachování enege(69) spolu s výazy(26),(27) a(67) po knetckou eneg můžeme s výhodou využít př řešení mnohých úloh z mechanky tělesa. Přtom např. př výpočtu ychlost nebo úhlové ychlost nemusíme řešt dfeencální pohybovou ovnc, jak s ukážeme na následujících dvou příkladech. Příklad 9- klouzající tyč Tenkátuháhomogennítyčodélce l=2aa hmotnost m klouže koncovým bodem B po dokonale hladké vodoovné ploše (ob. 40). Tyč se začala pohybovat z kldové, téměř svslé polohy(ϕ p/2). Učete velkost úhlové ychlost jakofunkcúhlu ϕ. m, l=2a ϕ B Ob. 40 36
Řešení K řešení využjeme zákona zachování mechancké enege(69). V opěném bodě B působínatyčeakce R B vodoovnéplochy, kteá však v případě neexstence tření je kolmákploše,atudížpřpohybutyčenekoná pác(ob. 41). Jednou slou, kteá způsobuje změnu knetcké enege v soustavě spojené s vodoovnou plochou je tíhová síla mg. Potože počáteční ychlost tyčebylanulováatíhovásílajesvslá,pohybuje se hmotný střed po svslé přímce. Mechancká enege v počáteční poloze má složky ω S v S mg Ob. 41 a ϕ ω P B R B v B E k0 =0, E p0 = mga. Vobecnépolozepodle(67)je E k = 1 2 mv2 S +1 2 J Sω 2, E p = mgasnϕ. Povýpočetychlost v S hmotnéhostředu Smůžemesvýhodoupoužítpólu pohybu P(ob.41).Platí v S = ω=ωacosϕ.uvážíme-l,že J S = m(2a) 2 /12, dostaneme po dosazení do vztahu(69) po zákon zachování enege ovnc nebol mga= 1 2 ma2 ω 2 cos 2 ϕ+ 1 2 1 3 ma2 ω 2 + mgasnϕ, g(1 snϕ)= aω2 6 (1+3cos2 ϕ). Odtud dostaneme hledané řešení 6g ω= a 1 snϕ 1+3cos 2 ϕ. 37
Příklad10 otáčejícísetyč Tenká tuhá homogenní tyč o hmotnost madélce ljezestavukldu,kdyjeodkloněnaodsvslceoúhel ϕ 0,volněpuštěna (ob.42). a) Vypočtěte ychlost jejího koncového bodu př dopadu na vodoovnou ovnu. b) Dojakévzdálenost x R odosy Oje nutné ve vodoovné ovně umístt náazník o tuhost k, aby zachytl celousílunáazu,tj.abyeakcevzávěsuosytyčenezávselanasílenáazu. c) Vypočtěte velkost síly náazu př umístění náazníku podle b). Řešení y O ϕ 0 l, m x R Ob. 42 a) Řešíme užtím zákona zachování mechancké enege. Nulovou hladnu potencální enege volíme ve vodoovné ovně. Celková enege ve výchozí poloze je Celková enege ve vodoovné ovně je E 0 = E pmax = mg l 2 cosϕ 0. (70) E v = E kmax = 1 2 Jω2 = 1 2 1 3 ml2 ( ) 2 v = 1 l 6 mv2. Z ovností celkových enegí v obou polohách dostaneme po ychlost koncového bodu tyče výaz v= 3glcosϕ 0. b)přdopadutuhétyčenapužnýnáazníkokonstantnítuhost kdojdeke zpomalenému otočnému zabzdění tyče; úhlové zychlení označíme ε. x R Na element dx tyče působí element x dx náazník síly(ob. 43) O k df= adm=εx m l dx. x df q(x) F Ob. 43 38 Délková hustota síly tedy je q(x)= df dx = εm l x.
Hustota síly tedy naůstá lneáně od osy O(vz ob. 44). Výsledná síla má velkost l F= q(x)dx= εm l xdx=ε ml l 2. (71) 0 by náazník zcela zachytl náazovou sílu, musíme jej umístt tak, aby leželnanostelcevýslednce(71).jejípolohu x R učímezpodmínky,že moment výslednce je oven součtu momentů složkových sl. Složkové síly jsou ozloženy spojtě, poto tento součet přejde v ntegál. Tedy nebol Fx R = ε ml 2 x R= εm l l 0 0 q(x) xdx, l 0 x 2 dx=ε ml2 3. Zpvníhoatřetíhočlenudostanemepopolohuvýslednceatímpopolohu náazníku výaz x R = 2 l. (72) 3 Tato poloha se v dynamce nazývá střed ázu nebo střed pekuze. c) Výše vypočtená velkost výslednce setvačných sl, kteá je dynamckou slou náazu, je podmíněna znalostí úhlového zychlení ε po dopadu na náazník. To závsí na tuhost náazníku a jeho velkost během náazu vzůstá. Výpočet konečné velkost síly F můžeme však udělat přímo úvahou o eneg.celkovámechanckáenege E 0 vypočtenáva)seponáazupřeměnína potencálnípužnoueneg E p náazníkupodlevztahu E 0 = E p = 1 ( ) 2 F 2 ky2 max =1 2 k = F2 k 2k, kde y max = F k jedynamckásložkadefomacepřnáazu.podosazeníza E 0 zvýazu(70)dostanemepokonečnouvelkostsílynáazuvýaz F= mglkcosϕ 0. (73) Po dosazení tohoto výazu do(71) bychom mohl vypočítat velkost příslušného úhlového zychlení př největší defomac náazníku. Celková síla, působící př náazu na náazník, bude komě dynamcké složky (73)zahnovatještěstatckoutíhovousložku,kteázávsínapoloze x R podle (72). Celková síla má velkost F c = 3 4 mg+ mglkcosϕ 0. 39
Úlohy 10. Maxwellovo kyvadlo je soustava dvou blízko sebe umístěných válcových kotoučůopoloměu Raocelkovéhmotnost m,kteéjsouspojenyčepem opoloměu,jehožhmotnostzanedbáme(ob.44).načepujejednímkoncem přpevněno a navnuto neoztažtelné vlákno, kteé je duhým koncem přpevněno k závěsu. Po navnutí vlákna a po uvolnění kotoučů z honí kldové polohy se vlákno odvjí bez pokluzu. Vypočtěte a) ychlost středu kotoučů př jejch přemístění do vzdálenost h od kldové polohy, b) zychlení středu kotoučů. h m g h m g ω R 2 B R C h 1 Ob. 44 Ob. 45 11.Kulčkaohmotnost mapoloměu sezkldovéhostavuvbodě valíbez klouzánípodázepodleob.45avbodě Cjopustí.Je-ldánavýška ha polomě R, vypočtěte a) sílu, kteou bude na kulčku působt dáha, když bude pocházet jejím nejnžším bodem B, b) největšívýšku h 1,dokteévystoupí,aúhlovouychlost ω 1,kteouzde bude mít. 40
12.Tenkáhomogennítyčodélce ljeuvolněnazesvslépolohy(1)(ob.46)asezanedbatelnýmtřenímseotáčí okolo čepu O. a) Užtím pohybové ovnce učete závslost úhlového zychlení ε tyče na úhlu otočení. b) Užtím zákona zachování enege učete závslost úhlové ychlost ω tyče na úhlu otočení. Devací výsledku b) ověřte řešení a). l O (1) ϕ Ob.46 41
Výsledky úloh 1.a) v B v = PB P v B = v PB P = v tg ϕ, b) v snϕ=v B cosϕ. 2.Platí x C =2x B, y C = y.ztoho ẋ C =2ẋ B =2v tg ϕ, ẏ C = ẏ = v, ẍ C =2ẍ B = 2v2 lcos 3 ϕ, ÿ C= ÿ =0. Rychlostbodu Cmávelkost v C = v 4tg 2 ϕ+1asvíásosou xúhel Zychlení bodu C má velkost 1 ψ=actg 2tg ϕ. 2v 2 lcos 3 asmězáponépoloosy x. ϕ 3.Vkajníchpoloháchje v B = 0.Poto v B = v.zychleníbodu Bmá tvalesměosy OB.Potovkajníchpoloháchje a Bt = 0, Vlevékajnípolozeje(vzob.47) a B = a + a Bn a B = a a Bn = v2 v2 = v2 l v2 3 =2 3 ω2. Vpavékajnípolozeje(vzob.48) a B = a + a Bn = v2 + v2 = v2 l + v2 3 =4 3 ω2. v a O v a Bn v B B a B a Ob. 47 42
v B O a v a B a Bn a v B Ob. 48 4. ω= 2Fl J. 5. J= m 2 ( gt 2 2s 1 ) =0,76kg m 2. 6.Pohybováovnceposepaacpoměnných: dω ω 2 = k J dt. a) ω= Jω 0 J+ kω 0 t, b) t 1= 9J kω 0. 7. J 1 = J 2 = 1 12 ma2, J 3 = 1 6 ma2. 8. Označme R vnější polomě, vntřní polomě skořepny. Moment setvačnost plné koule je J 1 = 2 5 mr2 = 8 15 pr5. Moment setvačnost skořepny je tedy J= J 1 J 2 = 8 15 p(r5 5 )= 15 p(r 8 )(R4 + R 3 +R 2 2 +R 3 + 4 ). Hmotnost skořepny je m=m 1 m 2 = 4 3 p(r3 3 )= 4 3 p(r )(R2 + R+ 2 ). Utenkéskořepny R. J m 8 ) 5R4 15 p(r = 4 3 p(r ) 3R2 2 3 R2, J 2 3 mr2. 43
[ 9. J= 1 4 1 2 3 m2 2 m ( ) 2 + m 3 2 3 ( 2) 2 ] = 13 24 m2, těžštějevevzdálenost ( ) 2 6 odstředu O, J S= J m = 37 6 72 m2. 10.a) v= 11.a) F B = mg 2gh, b) a= 1+ R2 2 2 [ 1+ 10(h ) 7(R ) b) h 1 = 5h+2R, ω 7 1 = 2 2 g 2 2 + R 2. ], 10g(h R) 7 2. 12.a) ε= 3g 3g snϕ, b) ω= (1 cosϕ). 2l l Lteatua [1] Bdčka, M., Hladík,.: Teoetcká mechanka. Paha: cadema, 1987. [2] Szabó, J.: Mechanka tuhých těles a kapaln. Paha: SNTL, 1967. [3] Tkal, V.: Mechanka hmotných bodů a tuhého tělesa. Paha: Nakl. ČSV, 1956. [4] Vybíal, B.:Knematka a dynamka tuhého tělesa. Knhovnčka Fyzkální olympády č. 31. Hadec Kálové: MFY, 1997. [5] Vybíal, B.:Setvačníky a jejch aplkace. Knhovnčka Fyzkální olympády č. 34. Hadec Kálové: MFY, 1998. 44