PŘÍKLADY K ATEATIE 3 ZDENĚK ŠIBRAVA. Funkce více proměnných.. Základní pojmy funkce více proměných. Příklad.. Určeme definiční obor funkce tří proměnných f(x, y, z) = x y + x z. Řešení: Definičním oborem funkce f bude taková podmnožina bodů z R 3, pro které má předpis zadávající funkci smysl. (Víme, že t je definována pouze pro t.) usí tedy platit x y x z, tj. x + y x + z. Definičním oborem funkce f je tedy uzavřený průnik dvou rotačních válců s osami z a y a poloměry (Obr. ).,5 z -,5 - - - -,5 -,5 y,5,5 x Obr. Příklad.. Určete definiční obor f(x, y, z) = x + y + z. Výsledek:, + ), + ), + ) Date:
ZDENĚK ŠIBRAVA Příklad.3. Určete definiční obor f(x, y, z) = ln (xyz). Výsledek: Body z R 3, pro které platí xyz >, tj. body ležící v.,3.,6. a 8. oktantu a současně x, y, z Příklad.4. Určete definiční obor f(x, y, z) = arcsin x + arccos y + arctg z. Výsledek:,, (, + ) Příklad.5. Určete definiční obor f(x, y, z) = x y z. Výsledek: x + y + z, tj. všechny body koule se středem v počátku a poloměrem Příklad.6. Určete definiční obor f(x, y, z) = ln (4 x y z ) x +4y +z 4. Výsledek: x /4 + y + z /4 > x + y + z < 4, tj. všechny body, které jsou současně vnější body elipsoidu se středem v počátku a poloosami a =, b =, c = a vnitřní body koule se středem v počátku a poloměrem Příklad.7. Určete definiční obor vektorové funkce F(x) = (arcsin(x ), ln (x 4)). Výsledek: (, 3 Příklad.8. Určete definiční obor vektorové funkce F(x, y) = (arcsin x + arccos y, arcsin (x + y)). Výsledek: Uzavřený šestiúhelník s vrcholy (, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, ) Příklad.9. Najděme vrstevnice (úrovňové plochy) funkce f(x, y, z) = x y+z. Řešení: Funkce f je definována v celém R 3 a oborem jejích funkčních hodnot je R. Pro dané q R je tedy její vrstevnicí rovina q = x y + z. Všechny vrstevnice pak tvoří systém rovnoběžných rovin x y + z q =, q R. Příklad.. Najděte vrstevnice funkce f(x, y, z) = x + y + z. Výsledek: Rovnoběžné roviny x + y + z q =, q R Příklad.. Najděte vrstevnice funkce f(x, y, z) = x + y + z. Výsledek: Soustředné kulové plochy x + y + z = q, q. Příklad.. Najděte vrstevnice funkce f(x, y, z) = x + y z. Výsledek: Pro q = rotační kužel z = x + y, pro q > (Obr. ) a pro q < (Obr. 3) rotační hyperboloidy. Příklad.3. Funkce f je skalární funkce tří proměnných taková, že f(,, 3) = (4,, ). Dále funkce ψ je vektorová funkce jedné proměnné taková, že ψ() = (,, 3) a ψ () = (,, ). Vypočítejme derivaci funkce h(t) = f(ψ(t)) v bodě t =. Řešení: Pro derivaci funkce složené z vnější skalární funkce f a vnitřní vektorové funkce ψ platí h (t) = f(ψ(t))ψ (t)
PŘÍKLADY K ATEATIE 3 3 3,5,5 z -,5 z - - -,5 - y x - - - - -3-3 - - x - - 3-3 y 3 Obr. Obr. 3 a to znamená, že všechny potřebné informace k výpočtu derivace h () máme k dispozici. Pro t = je ψ() = (,, 3) a dále víme, že f(,, 3) = (4,, ). Známe také ψ () = (,, ) a tedy h () = f(ψ())ψ () = f(,, 3)ψ () = (4,, ) (,, ) = 4. Příklad.4. Funkce f je skalární funkce dvou proměnných taková, že f(, ) = (, 3). Dále funkce ψ je vektorová funkce jedné proměnné taková, že ψ() = (, ) a ψ () = (, ). Vypočítejme derivaci funkce h(t) = f(ψ(t)) v bodě t =. Výsledek: Příklad.5. Funkce f je skalární funkce tří proměnných taková, že f(,, 3) = (,, 3). Dále funkce ψ je vektorová funkce jedné proměnné taková, že ψ(3) = (,, 3) a ψ (3) = (,, ). Vypočítejme derivaci funkce h(t) = f(ψ(t)) v bodě t = 3. Výsledek: Příklad.6. Funkce f je skalární funkce dvou proměnných taková, že f(, ) = (, ) a ψ je vektorová funkce jedné proměnné taková, že ψ() = (, ) a ψ () = (, ). Vypočítejme derivaci funkce h(t) = f(ψ(t)) v bodě t =. Výsledek: 4 Příklad.7. Funkce f je skalární funkce dvou proměnných taková, že f(4, ) = (8, 4) a ψ je vektorová funkce jedné proměnné taková, že ψ() = (4, ) a ψ () = (4, ).Vypočítejme derivaci funkce h(t) = f(ψ(t)) v bodě t =. Výsledek: 36 Příklad.8. Vypočítejme derivaci funkce f(x, y, z) = x y + yz xz 3 v bodě P = (,, ) ve směru vektoru v = (,, ).
4 ZDENĚK ŠIBRAVA Řešení: Pro derivaci funkce f v bodě P ve směru jednotkového vektoru u platí f(p ) = f(p ) u, u kde f(p ) je gradient funkce f v bodě P, tj. Je f(p ) = ( f(p ) x, f(p ) y, f(p ) z ). f(p ) = xy z 3 (x,y,z)=(,, ) = 5, x f(p ) = x + z (x,y,z)=(,, ) =, y f(p ) = yz 3xz (x,y,z)=(,, ) = 7 z a f(p ) = (5,, 7). Vektor v = (,, ), v jehož směru máme počítat derivaci, však není jednotkový. Nahradíme ho tedy vektorem u, kde u = v v = (,, ), 3 tj. jednotkovým vektorem ve směru vektoru v. Potom f(p ) u = f(p ) u = 3 (5,, 7) (,, ) = 7 3. Příklad.9. Derivace funkce f dvou proměnných v bodě P ve směru vektoru u = (, ) je a derivace této funkce ve směru vektoru u = (, ) je ( 3. Najděme derivaci funkce f ve směru vektoru u 3 =, ) 3. Řešení: ( K nalezení derivaci ) funkce f ve směru vektoru u 3 potřebujeme znát f(p ) = f(p ), f(p ). Víme, že x y a Je tedy a tedy f(p ) u = f(p ) u = ( f(p ) x, f(p ) ) (, ) = y ( f(p ) f(p ) = f(p ) u = u x, f(p ) ) (, ) = 3. y f(p ) x = f(p ) y = 3 f(p ) = (, 3) f(p ) = f(p ) u 3 = (, ( 3) u 3, ) 3 =.
PŘÍKLADY K ATEATIE 3 5 V příkladech..5 vypočítejte derivaci funkce f v bodě P ve směru vektoru u. Příklad.. f(x, y) = 3x 4xy + 5y 3, P = (, ), u = (3, ). Výsledek: / 3 Příklad.. f(x, y, z) = 3x yz + 4xy z + 5xyz, P = (,, ), u = (6, 6, 3). Výsledek: 5 Příklad.. f(x, y) = ln (x + y), P = (, ), u = (u, u ) je směrový vektor tečny paraboly y = 4x sestrojené v bodě P (u < ). Výsledek: /3 Příklad.3. f(x, y) = x, P = ( 3, 3), u = (u y, u ) je směrový vektor tečny kružnice x + y + 4y = sestrojené v bodě P (u < ). Výsledek: 3/ Příklad.4. f(x, y) = arcsin x, P = (, ), u = (u y, u ) je směrový vektor normály hyperboly xy = sestrojené v bodě P (u > ). Výsledek: 55/34 Příklad.5. f(x, y, z) = xy +z 3 xyz, P = (,, ), u svírá se souřadnicovými osami úhly α = π/3, β = π/4, γ = π/3. Výsledek: 5 Příklad.6. Derivace funkce dvou proměnných f v bodě P ve směru vektoru u = (, ) je a derivace této funkce ve směru vektoru u = (, 3) je 3. Vypočítejte derivaci funkce f v bodě P ve směru vektoru u 3 = (, ). Výsledek: Příklad.7. Derivace funkce tří promměnných f v bodě P ve směru vektoru u = (,, ) je, ve směru vektoru u = (,, ) je a ve směru vektoru u 3 = (,, ) je 4 3. Vypočítejte derivaci funkce f v bodě P ve směru vektoru u 4 = (,, ). Výsledek: /3 Příklad.8. Derivace funkce tří promměnných f v bodě P ve směru vektoru 6 u = (, 3, ) je 4 a ve směru vektoru u = (, 3, ) je 6. Vypočítejte derivaci funkce f v bodě P ve směru vektoru u 3 = (,, ). Výsledek: / 3 Příklad.9. Najděme rovnici tečné roviny k ploše x y + z = 3 rovnoběžné s rovinou ϱ : x + y + z =. Řešení: Pro nalezení rovnice tečné roviny ax + by + cz + d = potřebujeme znát např. normálový vektor této roviny a jeden bod, který v této rovině leží. Protože hledaná tečná rovina má být rovnoběžná s rovinou ϱ, musí být jejich normálové vektory rovnoběžné, tj. (a, b, c) = k(,, ), k R. O ploše x y + z = 3 můžeme předpokládat, že je vrstevnicí (úrovňovou plochou) funkce tří proměnných f(x, y, z) = x y + z pro q = 3. Dále víme, že
6 ZDENĚK ŠIBRAVA gradient funkce v každém bodě P je normálovým vektorem vrstevnice procházející tímto bodem a je tedy normálovým vektorem tečné roviny v bodě P. Tedy ( f(p ) f(p ) = x, f(p ) y, f(p ) ) = (a, b, c). z Nechť tedy P = (x, y, z ) je dotykový bod plochy a tečné roviny. Potom f(p ) = x, x = k x = k x, () f(p ) = 4y, 4y = k y = k y, f(p ) = z, z = k z = k. z Protože bod P leží na ploše x y + z = 3, musí jeho souřadnice splňovat rovnici plochy, tj. k 4 k + k = 3 k = ±. Z () pak dostáváme dva dotykové body P = (,, ) a P = (,, ) a to znamená, že k dané ploše existují dvě tečné roviny rovnoběžné s rovinou ϱ x + y + z ± 3 =. V příkladech.3.3 najděte rovnice tečné roviny a normály k dané ploše v bodě P. Příklad.3. x 3y z =, P = ( 3,, 6). Výsledek: 6x + 6y + z + 6 =, X = P + t(6, 6, ) Příklad.3. x + y + z = 69, P = (3, 4, ). Výsledek: 3x + 4y + z 69 =, X = P + t(3, 4, ) Příklad.3. e xz +yz =, P = (,, ). Výsledek: x + y z + =, X = P + t(,, ) Příklad.33. Najděte rovnice tečných rovin k ploše x + y + z = 7, které jsou rovnoběžné s rovinou x + y z + =. Výsledek: x + y z ± 7 = Příklad.34. Najděte rovnice tečných rovin k ploše x +y +3z 4xz 3 =, které jsou rovnoběžné s rovinou x + 4y 3z =. Výsledek: x + 4y 3z ± 6 = Příklad.35. Najděte rovnice tečných rovin k ploše 3x + y + z 4xz = 8, které jsou rovnoběžné s rovinou 3x 4y z =. Výsledek: 3x 4y z ± 8 =
.. Extrémy funkcí více proměnných.... Lokální extrémy funkcí více proměnných. PŘÍKLADY K ATEATIE 3 7 Příklad.36. Najděme lokální extrémy funkce f(x, y) = 4x 3 + 8y 3 4xy + 3. Řešení: Funkce f je spojitá v celém R a má také v celém R vlastní derivace. To znamená, že lokální extrémy může mít pouze ve svých stacionárních bodech, tj. v bodech kde se obě první parciální derivace rovnají nule. f(x,y) x = x 4y, tj. x y =, f(x,y) y = 4y 4x, tj. y x =. Vyjádříme-li z první rovnice y = x a dosadíme-li do druhé rovnice, dostaneme x(x 3 4) =. Odtud pak x = y = a x = 3 4 y = 3. Funkce f má tedy dva stacionární body P = (, ) a P = ( 3 4, 3 ). O tom, zda v těchto bodech má funkce lokální extrém, rozhodneme na základě znaménka determinantu () D = det tj. znaménka výrazu ( fxx (P ) f xy (P ) f yx (P ) f yy (P ) f(p ) f(p ) x y ), ( ) f(p ) x y v jednotlivých stacionárních bodech. Funkce f má v bodě P extrém pouze v případě, že je D >. V případě, že je D <, funkce v bodě P extrém nemá. Předně je f(x, y) x = 4x, f(x, y) y = 48y, f(x, y) x y = 4. Pro P = (, ) dostáváme dosazením do () ( ) 4 D = det = ( 4) 4 = 4 < f v bodě P nemá extrém. Pro P = ( 3 4, 3 ) dostáváme dosazením do () ( ) 4 3 4 4 D = det 4 48 3 = 78 > a funkce f má v bodě P = ( 3 4, 3 ) extrém. O tom, zda má funkce v tomto bodě lokální maximum nebo minimum, rozhodneme na základě znaménka druhé derivace f(p )/ x. Platí V našem případě je f xx (P ) > f má v bodě P lokální minimum, f xx (P ) < f má v bodě P lokální maximum. f(p ) x = 4 3 4 >
8 ZDENĚK ŠIBRAVA a funkce f má v bodě P = ( 3 4, 3 ) ostré lokální minimum. Hodnota tohoto minima je f( 3 4, 3 ) =. Příklad.37. Najděme lokální extrémy funkce f(x, y) = xy(6 x y). Řešení: Funkce f má parciální derivace v celém R. Lokální extrémy může mít tedy pouze ve stacionárních bodech. Tedy tj. (3) (4) f(x,y) x f(x,y) y = y(6 x y) xy = y(6 x y), = x(6 x y) xy = x(6 x y), y(6 x y) =, x(6 x y) =. Při řešení soustavy (3),(4) budeme postupovat následovně: (i) Nechť je x = y =. Potom je splněna rovnice (3) i (4) a bod P = (, ) je stacionární bod funkce f. (ii) Nechť je x = y. Potom je splněna rovnice (4). Aby byla splněna rovnice (3) musí být (6 x y) =. Podle předpokladu je však x = a tedy y = 6 a bod P = (, 6) je stacionární bod funkce f. (iii) Nechť je x y =. Potom je splněna rovnice (3). Aby byla splněna rovnice (4) musí být (6 x y) =. Podle předpokladu je však y = a tedy x = 6 a bod P 3 = (6, ) je stacionární bod funkce f. (iv) Nechť je x y. Potom, aby byla splněna rovnice (3), resp. rovnice (4), musí být (6 x y) =, resp. (6 x y) =. Další stacionární bod tedy dostaneme řešením soustavy 6 x y =, 6 x y =. Odtud P 4 = (, ). Je zřejmé, že další možnost již nemůže nastat. Pro další vyšetření extrémů potřebujeme druhé derivace funkce f. f(x, y) x = y, f(x, y) y = x, f(x, y) x y = 6 x y. Pro P = (, ) dostáváme ( ) 6 D = det = 36 < funkce nemá v bodě P 6 = (, ) extrém. Pro P = (, 6) dostáváme ( ) 6 D = det = 36 < funkce nemá v bodě P 6 = (, 6) extrém. Pro P 3 = (6, ) dostáváme ( ) 6 D = det = 36 < funkce nemá v bodě P 6 3 = (6, ) extrém.
PŘÍKLADY K ATEATIE 3 9 Pro P 4 = (, ) dostáváme ( ) 4 D = det = > funkce má v bodě P 4 4 = (, ) extrém. Protože v bodě P 4 = (, ) je f(p 4 )/ x = 4 <, má funkce f v tomto bodě ostré lokální maximum. Jeho hodnota je f(, ) = 4(6 ) = 8. Příklad.38. Najděme lokální extrémy funkce f(x, y) = (x y + ). Řešení: Funkce f má parciální derivace v celém R. Lokální extrémy může mít tedy pouze ve stacionárních bodech. Protože dostáváme f(x,y) x = 4x(x y + ), f(x,y) y = 4(x y + ), 4x(x y + ) =, 4(x y + ) =. Obě rovnice budou splněny pouze v případě, když x y + =, tj. funce má nekonečně mnoho stacionárních bodů, které všechny leží na parabole y = (x +). Z definice funkce plyne, že obor funkčních hodnot Hf =, + ) a že f(x, y) = právě tehdy, když x y + = a ve všech ostatních bodech R je f(x, y) >. To znamená, že funkce f nabývá ve všech bodech paraboly y = (x + ) svého neostrého minima. Poznámka.39. Je zřejmé, že příklad.38 jsme mohli vyřešit pouhou úvahou. Jak jsme již uvedli, je obor funkčních hodnot funkce funkce f(x, y) = (x y +) interval, + ) a minimum funkce f je. Platí (x y + ) = x y + = a to znamená, že funkce f nabývá svého neostrého minima ve všech bodech paraboly y = (x + ). Příklad.4. Najděme lokální extrémy funkce f(x, y) = 3 (x y). Řešení: Funkce f je definována v celém R. Její první parciální derivace jsou f(x, y) x = 3 3 x y, f(x, y) y = 3 3 x y. Je zřejmé, že parciální derivace funkce f neexistují pro body (x, y), které leží na přímce y = x. Všechny tyto body jsou vratkými body funkce f a to znamená, že funkce f může v těchto bodech mít lokální extrém. Oborem hodnot funkce f je interval (,, přičemž f(x, y) = právě tehdy, když y = x, a ve všech ostatních bodech R je f(x, y) <. To znamená, že funkce f(x, y) = 3 (x y) ve všech bodech přímky y = x nabývá svého neostrého lokálního maxima. (Při řešení tohoto příkladu jsme mohli postupovat analogickým způsobem podle poznámky.39). Příklad.4. Najděme lokální extrémy funkce f(x, y, z) = x 3 +y +z +xy+z.
ZDENĚK ŠIBRAVA Řešení: Funkce f má parciální derivace v celém R 3. Lokální extrémy může mít tedy pouze ve stacionárních bodech. f(x, y, z) = 3x + y, x Odtud f(x, y, z) y = y + x, 3x + y =, y + x =, z + =. f(x, y, z) z = z +. Z poslední rovnice dostáváme z =. Z druhé rovnice vyjádříme y = 6x a dosadíme do první. Dostaneme kvadratickou rovnici x 4x =. Odtud x =, x = 4. Funkce má dva stacionární body P = (,, ) a P = (4, 44, ). O tom, zda v těchto bodech má funkce lokální extrém, rozhodneme na základě znamének D, D a D 3, kde Protože D = f xx (P ), D 3 = det f(x, y, z) x = 6x, ( fxx (P ) f D = det xy (P ) f yx (P ) f yy (P ) f xx(p ) f xy (P ) f xz (P ) f yx (P ) f yy (P ) f yz (P ) f zx (P ) f zy (P ) f zz (P ) f(x, y, z) y =, f(x, y, z) f(x, y, z) =, =, x y x z dostáváme pro P = (,, ) ( ) D =, D = det = 4, D 3 = det ), f(x, y, z) z =, f(x, y, z) y z =, = 48. Protože D < a dále D 3, nemá funkce f v bodě P = (,, ) lokální extrém. Pro P = (4, 44, ) je D = 44, ( 44 D = det ) = 44, D 3 = det 44 = 88. Protože D >, D >, D 3 >, má funkce f v bodě P = (,, ) lokální extrém, a to minimum. Jeho hodnota je f(4, 44, ) = 693. V příkladech.4.57 najděte lokální extrémy daných funkcí. Příklad.4. f(x, y) = (x + ) + y. Výsledek: Ostré lok. min. f(, ) =
Příklad.43. f(x, y) = x 3 6x 6xy + 6y + 3y. Výsledek: PŘÍKLADY K ATEATIE 3 Ostré lok. min. f(, ) = 7 Příklad.44. f(x, y) = x + y xy x y +. Výsledek: Ostré lok. min. f(, ) = Příklad.45. f(x, y) = 7x y + 4y 3 69y 54x. Výsledek: Ostré lok. min. f(, ) = 8, ostré lok.max. f(, ) = 8 Příklad.46. f(x, y) = x y + x 4y. Výsledek: Příklad.47. f(x, y) = x 3 + y 3 8xy + 5. Výsledek: Funkce nemá lok. extrémy Ostré lok. min. f(6, 6) = Příklad.48. f(x, y) = e x y (x + y ). Výsledek: Ostré lok. min. f(, ) =, lok. max. / e v bodech kružnice x + y = Příklad.49. f(x, y) = (x y + ). Výsledek: Funkce má neostré lok. max. ve všech bodech přímky x y + = Příklad.5. f(x, y) = x ( + y ). Výsledek: Funkce má neostré lok. min. ve všech bodech přímky x = Příklad.5. f(x, y) = 3 (x + y ). Výsledek: Ostré lok. min. f(, ) = Příklad.5. f(x, y) = 3 x y. Výsledek: Funkce nemá lok. extrémy Příklad.53. f(x, y, z) = x + y + z + zy z + y x. Výsledek: Ostré lok. min. f(,, ) = Příklad.54. f(x, y, z) = x 3 + 3x + y + z + xy + 5x + 4y + 4z + 7. Výsledek: Ostré lok. min. f(3, 45, ) = 693 Příklad.55. f(x, y, z) = xyz(4 x y z). Výsledek: Ostré lok. min. f(,, ) = Příklad.56. f(x, y, z) = x + y + z xy xz. Výsledek: Funkce nemá lok. extrémy Příklad.57. f(x, y, z) = (3x + y + z) e x y z. Výsledek: Ostré lok. max. f(3 7/4, 7/7, 7/4) = 7 e /, Ostré lok. min. f( 3 7/4, 7/7, 7/4) = 7 e /... Vázané extrémy funkcí dvou proměnných. Příklad.58. Najděme lokální extrémy funkce f(x, y) = x + y + 6 vázané na podmínku x + y 5 =.
ZDENĚK ŠIBRAVA 8 z 6 4-4 -4 - - yx 4 4 Obr. 4 Řešení: Pro pochopení vázaného lokálního extrému si představme, že se pohybujeme po nějaké ploše (grafu nějaké funkce dvou proměnných f) po cestě, jejíž kolmý průmět do roviny xy je dán rovnicí g(x, y) =. V našem případě se pohybujeme po nakloněné rovině z = x + y + 6 po cestě (elipse), jejímž kolmým průmětem do roviny xy je kružnice x + y = 5 (Obr. 4). Nás zajímá minimální a maximální nadmořská výška, do které se na naši cestě dostaneme (obecně nás zajímají všechna taková místa, kde po sestupu začneme opět stoupat a naopak, kde po stoupání začneme opět klesat), tj. hledáme lokální extrémy funkce f vázané na podmínku g(x, y) =. Tyto extrémy můžeme najít např. následujícím způsobem. Najdeme body P, ve kterých jsou vektory f a g rovnoběžné, tedy platí, že jeden je nějakým λ-násobkem druhého, tj. platí f(p ) = λ g(p ). Spolu s podmínkou, že P je bod, který leží na naší cestě, tj. g(p ) =, dostáváme (je f(x, y) = (, ) a g(x, y) = (x, y)) (5) = λx, = λy, x + y 5 =. ůžeme postupovat také tak, že si setrojíme tzv. Lagrangeovu funkci Φ(x, y) = x + y + 6 λ(x + y 5), kde λ je pevné, zatím neznámé číslo. Pro ukázněné turisty, tj. pro takové, kteří neopustí vyznačenou cestu (tj. platí x + y 5 = ), jsou funkce f a Φ totožné. Nyní budeme hledat lokální extrémy této nové funkce Φ. Jelikož funkce Φ má spojité parciální derivace v celém R, může mít extrémy
pouze ve svých stacionárních bodech. Φ(x, y) x PŘÍKLADY K ATEATIE 3 3 = λx, Φ(x, y) y = λy. Jak už bylo řečeno, jsme ukáznění turisté, a proto nás zajímají body, ve kterých se parciální derivace funkce Φ rovnají nule, ale navíc, tyto body musí ležet na naší cestě, tedy musí splňovat podmínku x + y 5 =. Odtud dostáváme soustavu tří rovnic pro neznámé x, y a λ λx =, λy =, x + y 5 =, která je totožná se soustavou (5). Vyjádříme-li z první rovnice x = /λ, z druhé y = /(λ) a dosadíme-li do třetí, dostaneme a λ = x = y =, λ = x = y =. Funkce Φ má dva stacionární body vázané na podmínku x + y 5 =, a to P = (, ), kde λ = / a P = (, ), kde λ = /. Dále je Φ(x, y) x = λ, Φ(x, y) y = λ, Φ(x, y) x y =. Potom pro P = (, ) a λ = / je ( ) D = det = > funkce má v bodě P = (, ) extrém. Protože v bodě P = (, ) je Φ(P )/ x = >, má funkce Φ v tomto bodě ostré lokální minimum vázané na podmínku x + y 5 =. Pro P = (, ) a λ = / je ( ) D = det = > funkce má v bodě P = (, ) extrém. Protože v bodě P = (, ) je Φ(P )/ x = <, má funkce Φ v tomto bodě ostré lokální maximum vázané na podmínku x + y 5 =. Jak už bylo řečeno, pro všechna (x, y) = {(x, y) R : x + y 5 = } je Φ(x, y) = f(x, y). To ovšem znamená, že funkce Φ a f mají tytéž vázané extrémy vzhledem k množině, tj. funkce f má dva lokální extrémy vázané na podmínku x + y 5 = a to ostré lokální minimum f(, ) = 4 + 6 = a ostré lokální maximum f(, ) = 4 + + 6 =. Příklad.59. Najděme lokální extrém funkce f(x, y) = 6 + xy vázaný na podmínku x y =.
4 ZDENĚK ŠIBRAVA 4 z 8 6 4 4-4 - y -4 - x 4 Obr. 5 Řešení: Budeme postupovat podobně jako v příkladu.58. Sestrojíme Lagrangeovu funkci a budeme vyšetřovat její extrémy vázané na podmínku x y = : Φ(x, y) = 6 + xy λ(x y ). Potom Φ(x, y) Φ(x, y) = y λ, = x + λ. x y Hledáme stacionární body funkce Φ takové, aby současně splňovaly podmínku x y =, tj. řešíme soustavu tří rovnic o třech neznámých y λ =, x + λ =, x y =. Odtud dostáváme, že λ = a x =, y =, tj. funkce Φ má jeden stacionární bod vázaný na podmínku x y =. Protože dostáváme Φ(x, y) x =, Φ(x, y) y =, ( D = det ) = <. Φ(x, y) x y =, Z této podmínky ale vyplývá, že funkce Φ nemá v bodě P = (, ) extrém. Otázkou je, co můžeme v této chvíli usoudit o extrému funkce f vázaného na podmínku x y =. Podívejme se předně na Obr. 5. Jako turisté se tentokrát pohybujeme po úbočí horského sedla, tj. po hyperbolickém paraboloidu z = 6 + xy po cestě, jejímž kolmým průmětem do roviny xy
PŘÍKLADY K ATEATIE 3 5 je přímka x y =. esta, po které se skutečně pohybujeme, má tvar paraboly, kdy nejdříve klesáme až do vrcholu paraboly a poté začneme na cestě opět stoupat. Je tedy zřejmé, že na naší cestě zcela jistě dosáhneme ostrého lokálního minima (jisté minimální nadmořské výšky). K rozhodnutí, zda v bodě P = (, ) má funkce f skutečně extrém vázaný na podmínku x y =, bychom potřebovali znát některé další informace o vyšetřování vázaných extrémů. y však budeme většinou vyšetřovat absolutní extrémy funkcí na množině (Příklad.67), kde nám stačí nalézt pouze body podezřelé z vázaných extrémů (kritické body) a ty uvedenou metodou dokážeme nalézt. Přesto si ukažme, jak v některých jednodušších případech dokážeme rozhodnout o existenci vázaných extrémů. Položme x = t. Protože y = x a z = 6+xy, je y = t a tedy z = 6+t(t ). Potom ψ(t) = (t, t, 6 + t(t )), kde t R, není nic jiného, než parametrizace té paraboly, po které se ve skutečnosti pohybujeme. x a y jsou vlastně naše souřadnice, které bychom našli na mapě a souřadnice z nám určuje naši nadmořskou výšku. Jak jsme již uvedli v příkladu.58, nás zajímá minimální a maximální nadmořská výška, do které se na naší cestě dostaneme. Už víme, že tuto nadmořskou výšku popisuje právě z-tová souřadnice křivky, po které se pohybujeme, tedy funkce z = h(t), kde h(t) = 6 + t(t ). Její extrémy dokážeme nalézt snadno. Je h (t) = t t = t =. Protože h (t) = >, má funkce h v bodě t = lokální extrém a to minimum. Na naší cestě tedy dosáhneme minimální nadmořské výšky h() = 6 + ( ) = 5 a to v bodě, jehož souřadnice jsou (, ) = (, ). Tímto způsobem jsme tedy našli lokální extrém funkce f(x, y) = 6 + xy vázaný na podmínku x y =. Funkce má jeden vázaný lokální extrém (minimum) v bodě P = (, ) a je f(, ) = 5. Druhý způsob, který jsme použili pro hledání vázaných extrémů funkcí dvou proměnných, se dá dobře použít v případě, že se nám podaří jednoduchým způsobem parametricky vyjádřit křivku, po které se na ploše pohybujeme. V opačném případě je pro nalezení kritických bodů vhodnější použít metodu Lagrangeových multiplikátorů. V příkladech.6.66 najděte lokální extrémy daných funkcí vázaných na danou podmínku. Příklad.6. f(x, y) = x + y, x y + 5 =. Výsledek: Ostré lok. min. f(, ) = 5 Příklad.6. f(x, y) = x + y, x + y =. Výsledek: Ostré lok. max. f(/ 5, / 5) = 5/, Ostré lok. min. f( / 5, / 5) = 5/
6 ZDENĚK ŠIBRAVA Příklad.6. f(x, y) = xy x + y, x + y =. Výsledek: Ostré lok. max. f( /, 3/) = /4 Příklad.63. f(x, y) = 3x y, y = x 3 +. Výsledek: Ostré lok. max. f(, ) =, Ostré lok. min. f(, ) = 3 Příklad.64. f(x, y) = x y, y = e x. Výsledek: Ostré lok. max. f(, e ) = 4 e, Ostré lok. min. f(, ) = Příklad.65. f(x, y) = +, 4x + y = 6 x y. x y Výsledek: Ostré lok. max. f(3, 6) = /6, Ostré lok. min. f(, ) = 3/ Příklad.66. f(x, y) = x y, x + y =. Výsledek: Ostrá lok. max. f(±, ) =, Ostrá lok. min. f(, ±) =..3. Globální extrémy funkcí dvou a tří proměnných. Příklad.67. Najděme globální extrémy funkce f(x, y) = x 4x + y y na množině = {(x, y) R : x y x + y }. Řešení: Při hledání globálních (absolutních) extrémů spojité funkce f na uzavřené množině budeme postupovat následujícím způsobem: (i) Najdeme všechny kritické body na. (ii) Najdeme všechny kritické body funkce f vázané na hranici h množiny. (iii) Najdeme všechny body, ve kterých se h láme (ke křivce v tomto bodě nelze sestrojit tečnu). (iv) Ve všech těchto nalezených bodech vypočítáme funkční hodnotu funkce f. Největší, resp. nejmenší z těchto hodnot je globální maximum, resp. globální minimum funkce f na množině. V našem případě je množina kruhová výseč o poloměru se středem v počátku, ohraničená přímkami y = x a y = x, přičemž x (Obr. 6). Hledejme stacionární body funkce f. f(x,y) x = x 4, x 4 =, f(x,y) y = y, y =. Odtud A = (, ). Nyní najdeme kritické body na hranici h množiny. Tato hranice je sjednocením tří křivek (část kružnice x + y = ), (část přímky y = x) a 3 (část přímky y = x), přičemž tyto křivky se postupně protnou v bodech (, ), (, ), (, ). Body podezřelé z extrémů vazaných na podmínku x + y = najdeme metodou Lagrangeových multiplikátorů. Hledáme takový bod A = (x, y) (splňující podmínku g(x, y) = ) a takový skalár λ, pro který platí f(a) = λ g(a).
PŘÍKLADY K ATEATIE 3 7 4 3 4 5 x - -4 Obr. 6 Protože f(x, y) = (x 4, y ) a g(x, y) = (x, y), je A řešením soustavy x 4 λx =, y λy =, x + y =. Vyjádříme-li z první rovnice x = /( λ), z druhé y = /( λ) a dosadíme-li do třetí, dostaneme dva body (4, ) a ( 4, ). Druhý bod však nepatří do množiny a proto jej z dalších úvah vyřadíme. Dostáváme tedy další bod A = (4, ), ve kterém může mít funkce f na množině extrém. Dále najdeme body, ve kterých může mít funkce f extrém vázaný na podmínku y = x. Označme x = t. Potom y = t a dosazením do z = x 4x + y y dostaneme z = t 6t. Funkce h(t) = t 6t, t, má jeden bod podezřelý z extrému t = 3/. Dalším bodem, ve kterém může mít funkce f na množině extrém, je tedy bod A 3 = (3/, 3/). Stejným způsobem najdeme bod podezřelý z extrému funkce f na vazbu y = x. Dostaneme bod A 4 = (/, /). Posledními podezřelými jsou body, ve kterých se hranice množiny láme. To jsou již dříve zmíněné průsečíky jednotlivých křivek, tj. body A 5 = (, ), A 6 = (, ), A 7 = (, ). Nyní vypočítáme funkční hodnoty funkce f v bodech A až A 7. f(, ) = 5, f(4, ) =, f ( 3, ) 3 = 9, f (, ) =, f(, ) =, f(, ) =.633, f(, ) = 3.6754.
8 ZDENĚK ŠIBRAVA Funkce f má maximum 3.6754 v bodě A 7 = (, ) a minimum 5 v bodě A = (, ). Příklad.68. Na elipse, která je průnikem válcové plochy x + y = a roviny x + y + z =, najděme body, jejichž druhá mocnina jejich vzdálenosti od počátku je největší, resp. nejmenší. Řešení: Pro vzdálenost bodu (x, y, z) od počátku platí x + y + z, přičemž ze všech bodů R 3 nás zajímají pouze takové body, které leží na válcové ploše x +y = a současně v rovině x+y+z =. Naším úkolem je tedy nalézt absolutní extrémy funkce f(x, y, z) = x + y + z vázané na dvě podmínky x + y = (g (x, y, z) = ) a x + y + z = (g (x, y, z) = ). Hledáme tedy takový bod (x, y, z), pro který je (6) (7) (8) (9) () f(p ) = λ g (P ) + µ g (P ) a současně g (x, y, z) =, g (x, y, z) =. Protože f = (x, y, z), g = (x, y, ) a g = (,, ) dostáváme x λx µ =, y λy µ =, z µ =, x + y =, x + y + z =, což je soustava pěti nelineární rovnic o pěti neznámých. Za předpokladu, že λ z rovnic (6), (7), (8) dostaneme µ () x = ( λ), y = µ ( λ), z = µ. Dosazením do (9) a () a úpravou pak Odtud pak µ = ( λ), µ = ( λ) 3 λ. λ = 3 ±, µ = ( ± ). Odtud pak dosazením do () ( P =,, + ), P = (,, ). Pro λ = dostaneme z (6) a (7) µ =, z (8) z = a z (9) a () pak x = y = a x = y =. Dalšími kritickými body jsou tedy P 3 = (,, ), P 4 = (,, ). V takovýchto úlohách bývá právě řešení těchto soustav největším problémem. Proto doporučujeme pro jejich řešení použít některý z vhodných programů (athematica, aple, atlab).
Protože PŘÍKLADY K ATEATIE 3 9 f(p ) = + ( + ) = 6.8843, f(p ) = + ( ) =.757 f(p 3 ) = f(p 4 ) = je P = ( /, /, + ) bod elipsy, jehož vzdálenost od počátku je největší a P 3 = (,, ) a P 4 = (,, ) body elipsy, jejiž vzdálenost od počátku je nejmenší. Příklad.69. Najděme absolutní extrémy funkce f(x, y, z) = x+y+z na množině = {(x, y, z) R 3 : x y + z }. Řešení: Protože hledáme extrémy spojité funkce na uzavřené množině, máme zaručeno, že tyto extrémy budou existovat. Při hledání kritických bodů budeme postupovat následovně: (i) Funkce f nemá žádné stacionární body v R 3, tedy ani v. (ii) Najdeme stacionární body funkce f vázané na podmínku y + z x =. (iii) Najdeme stacionární body funkce f vázané na podmínku x =. (iv) Najdeme stacionární body funkce f vázané na podmínky x = a y + z x =, tj. vyšetříme množinu bodů, ve kterých se hranice h množiny láme. V případě (ii) použijeme metodu Lagrangeových multiplikátorů, tj. hledáme bod P a skalár λ, aby f(p ) = λ g (P ) a současně g (P ) =, kde g (x, y, z) = y + z x. Protože f = (,, ), g = (, y, z), dostáváme + λ =, λy =, λz =, y + z x =. Odtud dostáváme první kritický bod P = (,, ). V případě (iii) postupujeme analogicky (podmínka vazby je dána vztahem x = ). Zde nenajdeme žádný kritický bod. V posledním případě opět použijeme metodu Lagrangeových multiplikátorů, tentokrát však pro dvě vazby, tj. hledáme bod P a skaláry λ a µ takové, aby f(p ) = λ g (P ) + µ g (P ) a současně g (P ) = a g (P ) = (g (x, y, z) = x ). Budeme tedy řešit soustavu + λ µ =, λy =, λz =, y + z x =, x =. Jejím řešením získáme tentokrát dva kritické body P = ( ) P 3 =,, ( ),, a
ZDENĚK ŠIBRAVA Protože f(p ) =, f(p ) = + a f(p 3 ) = je zřejmé, že funkce f nabývá na množině svého maxima f (, /, / ) = + a minima f (/, /, /) =. V příkladech.7 až.87 najděte extrémy (absolutní) daných funkcí na daných množinách. Příklad.7. f(x, y) = x 4 + y 4, = {(x, y) R : x + y }. Výsledek: max. f(±, ) = f(, ±) =, min. f(, ) = Příklad.7. f(x, y) = x 3 + y 3, = {(x, y) R : x + y }. Výsledek: max. f(, ) = f(, ) =, min. f(, ) = f(, ) = Příklad.7. f(x, y) = x + 4x + y y 3 = {(x, y) R : x + y }. Výsledek: max. f(4, ) = 37, min. f(, ) = 8 Příklad.73. f(x, y) = x 4x + y y + 3 = {(x, y) R : x + y 5}. Výsledek: max. f(, ) = 8, min. f(, ) = Příklad.74. f(x, y) = x + y + 4x 4y, = {(x, y) R : x y 3}. Výsledek: max. f(, ) = 4, min. f(, ) = 6 Příklad.75. f(x, y) = x + y x + 6y, = {(x, y) R : x 7 4 y 4}. Výsledek: max. f(, 4) = 8, min. f(6, 4) = 84 Příklad.76. f(x, y) = x xy + y, = {(x, y) R : x y x y x}. Výsledek: max. f(, ) = f(, ) = 4, min. f(/, /) = /4 Příklad.77. f(x, y) = x + y xy + x 4y +, = {(x, y) R : x y x}. Výsledek: max. f(, ) = 7, min. f(3/4, 3/4) = /8 Příklad.78. f(x, y) = x + y xy x + 4y, = {(x, y) R : x x y }. Výsledek: max. f(, ) = 5, min. f( 3/4, 3/4) = 7/8 Příklad.79. f(x, y) = x + xy 4x + 8y, kde je ohraničená přímkami x =, y =, x =, y =. Výsledek: max. f(, ) = 7, min. f(, ) = 3 Příklad.8. f(x, y) = x 3 +4x +y xy, = {(x, y) R : y x y 4}. Výsledek: max. f(±, 4) = 3, min. f(, ) = Příklad.8. f(x, y) = x + y + 4x 6y 4, = {(x, y) R ; x y x + y 5}. Výsledek: max. f( 6, 6) = 48 6, min. f(, 3) = 7
PŘÍKLADY K ATEATIE 3 Příklad.8. f(x, y) = x +y +6x y, kde je trojúhelník s vrcholy v bodech (, ), (, 6), (, ). Výsledek: max. f(, ) =, min. f( 9/5, /5) = 9/5 Příklad.83. f(x, y) = x +y +x 6y, kde je trojúhelník s vrcholy v bodech (, ), ( 6, ), (, ). Výsledek: max. f(, ) =, min. f( 4, ) = 9 Příklad.84. f(x, y) = cos x cos y cos (x + y), = {(x, y) R : x π y π}. Výsledek: max. f(, ) = f(π, ) = f(π, π) = f(, π) =, min. f(π/3, π/3) = f(π/3, π/3) = /8 Příklad.85. f(x, y, z) = xyz, kde je polokoule x + y + z 3, z. Výsledek: max. f(,, ) = f(,, ) =, min. f(,, ) = f(,, ) = Příklad.86. f(x, y, z) = x + y + z, kde je elipsoid x + y + z. Výsledek: max. f(/, /, ) =, min. f( /, /, ) = Příklad.87. f(x, y, z) = x y + z, kde je čtyřstěn x + y + z, x, y, z. Výsledek: max. f(,, ) = f(,, ) =, min. f(,, ) = Příklad.88. Na elipse x + y = najděte bod, který je nejblíže, resp. nejdále 4 9 od přímky 3x y 9 =. Výsledek: (4/ 5, 3/ 5), ( 4/ 5, 3/ 5) Příklad.89. Na hyperbole x y = 4 najděte bod, který je nejblíže, bodu (, ). Výsledek: ( 5, ), ( 5, ) Příklad.9. ezi všemi pravoúhlými trojúhelníky daného obsahu najděte ten, který má nejmenší obvod. Výsledek: Rovnoram. trojúh. Příklad.9. V rovině R najděte takový bod, aby součet čtverců jeho vzdáleností od přímek x =, y =, x y + = byl co nejmenší. Výsledek: ( /4, /4) Příklad.9. V rovině x + z 3 = najděte takový bod, aby součet čtverců jeho vzdáleností od bodů (,, ) a (,, ) byl co nejmenší. Výsledek: ( 3/4,, 9/4) Příklad.93. V rovině x + y z = najděte takový bod, aby součet čtverců jeho vzdáleností od rovin x + 3z = 6 a y + 3z = byl co nejmenší. Výsledek: (3,, ) Příklad.94. ezi všemi kvádry vepsanými do elipsoidu s poloosami a, b, c najděte ten, který má maximální objem. Vypočítejte tento objem. Výsledek: 8abc/(3 3) Příklad.95. ezi všemi hrnci o stejném povrchu S najděte ten, který má největší objem. Výsledek: R = S/(3π), v = S/(3π), V = S 3 /(7π) Příklad.96. Do polokoule o poloměru R vepište kvádr největšího objemu. Výsledek: Kvádr o hranách R/ 3, R/ 3, R/ 3
ZDENĚK ŠIBRAVA.. Dvojné integrály.. Vícenásobné intergrály Příklad.. Vypočítejme dvojný integrál x 3 + y da, kde =, 3,. Řešení: Funkce f(x, y) = x je na obdélníku (dvojrozměrném intervalu) 3+y spojitá. Užitím Fubiniovy věty převedeme dvojný integrál na dvojnásobný integrál (přičemž nezáleží na pořadí, ve kterém budeme integrovat) a postupnou integrací dostaneme x 3 + y da = 3 = π 3 8 x 3 [ x dy dx = arctg y ] y= dx = 3 + y 3 3 y= 3 x dx = π 3 Příklad.. Vypočítejme dvojný integrál x sin y da, kde =,, π/. Řešení: Funkce f(x, y) = x sin y je na spojitá. Pomocí Fubiniovy věty opět převedeme dvojný integrál na dvojnásobný. Protože meze pro x i y jsou konstantní, opět nezáleží v jakém pořadí budeme integrovat. Postupně dostaneme. π/ x sin y da = x sin y dx dy = = 3 π/ sin y dx = 3. π/ [ x sin y ] y= y= dx = Příklad.3. Vypočítejte dvojný integrál x y da, kde =,,. Výsledek: 4
Příklad.4. Vypočítejte dvojný integrál e x y da, PŘÍKLADY K ATEATIE 3 3 kde =,, 4. Výsledek: 8(e ) Příklad.5. Vypočítejte dvojný integrál ( + x + y) da, 3 kde =,, 4. Výsledek: 9 Příklad.6. Vypočítejte dvojný integrál x y e xy da, kde =,,. Výsledek: Příklad.7. Vypočítejte dvojný integrál xy sin (x + y) da, kde =, π, π/. Výsledek: 4 π,5 x -,5,5,5 -,5 - -,5 - Obr. 7 Příklad.8. Vypočítejme dvojný integrál xy da,
4 ZDENĚK ŠIBRAVA kde je množina ohraničená křivkami y = x a y = x x. Řešení: je ohraničená přímkou y = x a parabolou y = x x (Obr. 7). Souřadnice průsečíků obou křivek získáme řešením soustavy dvou rovnic y = x, y = x x. Řešením této soustavy zjistíme, že křivky se protnou v bodech (, ) a (, ). Funkce f(x, y) = xy je na spojitá a je zřejmé, že pro libovolné x, je x y x x. Užitím Fubiniovy věty pak dostáváme xy da = = x x x xy dy dx = Příklad.9. Vypočítejme dvojný integrál x y da, [ ] y=x x xy y= x (x(x x ) x 3 ) dx = 6 5. kde je množina ohraničená křivkami y = x, y = x a x = 3. dx = Řešení: nožina je část roviny ohraničená přímkami y = x, x = 3 a hyperbolou y = (Obr. 8). x 3,5 3,5 y,5,5,5,5,5 3 x Obr. 8 3,5
PŘÍKLADY K ATEATIE 3 5 Vyšetřením průsečíků křivek, které tvoří hranici množiny a také z obrázku je zřejmé, že pro všechny body (x, y) množiny je x, 3 a y x. Protože x funkce f(x, y) = x je na spojitá můžeme použít Fubiniovu větu. Potom y x y da = = 3 x /x 3 x 3 dy dx = y ( x + x 3 ) dx = Příklad.. Vypočítejme dvojný integrál x y da, ] y=x [ x y y=/x dx = ] 3 [ x + x4 = 6. 4 kde je množina ohraničená křivkami y = x a y = x. Řešení: nožina je ohraničena parabolou y = x a přímkou y = x (Obr. 9), přičemž hraniční křivky se protnou v bodech (, ), a (4, ) y - 3 x 4 - Obr. 9 Z obrázku je patrné, že v tomto případě bude lepší dvojný integrál převést pomocí Fubiniovy věty na dvojnásobný tak, abychom integrovali nejdříve podle x a teprve pak podle y. V opačném případě bychom totiž museli množinu rozdělit na dvě množiny, a to na, kde x, a x y x a na, kde x, 4 a x y x. V případě, že zaměníme pořadí integrace, platí pro, že y, a y x y +. Potom
6 ZDENĚK ŠIBRAVA -,5 y -,5,5 x -,5 -,4, z,8,6,4 -, -,5 x - -,5,5 y Obr. Obr. x y da = = y+ y x y dx dy = [ ] x=y+ 3 x3 y dy = x=y 3 y ( (y + ) 3 y 6) dy = 63 4. Příklad.. Vypočítejme dvojný integrál (x + y ) da, kde je množina ohraničená křivkou x + y =. Řešení: Hraniční křivkou množiny je lomená čára, s vrcholy v bodech (, ), (, ), (, ) a (, ), (Obr. ). Funkce f(x, y) = x + y je na množině spojitá a nezáporná. Z definice dvojného integrálu f(x, y) da víme, že jeho geometrickým významem (za předpokladu, že funkce f je na spojitá a nezáporná) je objem válcového tělesa (Obr. ) Ω = { (x, y, z) R 3 : (x, y) z f(x, y) }. Těleso, jehož objem máme počítat (část hranolu jehož osa je rovnoběžná s osou z), je symetrické podle rovin x = a y =. Stačí tedy počítat pouze přes část množiny ležící v. kvadrantu. Výsledný integrál bude čtyřnásobkem takto
vypočítaného integrálu. Je tedy x (x + y ) da = 4 (x + y ) dy dx = 4 = 4 PŘÍKLADY K ATEATIE 3 7 (x ( x) + ( x)3 3 Příklad.. Vypočítejte dvojný integrál (x + y) da, ] y= x [yx + y3 dx = 3 y= ) dx = 3. kde = {(x, y) R : x y x + y 3}. Výsledek: 7/ Příklad.3. Vypočítejte dvojný integrál xy y da, kde = {(x, y) R : y y x y}. Výsledek: 6 Příklad.4. Vypočítejte dvojný integrál y x + y da, kde je uzavřená množina ohraničená křivkami y = x a y = x. Výsledek: ln (5/4) Příklad.5. Vypočítejte dvojný integrál e x/y da, kde je uzavřená množina ohraničená křivkami y = x, x = a y =. Výsledek: / Příklad.6. Vypočítejte dvojný integrál (x + y ) da, kde je uzavřená množina ohraničená křivkami y = x a y = x. Výsledek: 33/4 Příklad.7. Vypočítejte dvojný integrál x y da, kde je uzavřená množina ohraničená křivkami y = x x + a y = x +. Výsledek: 79/8
8 ZDENĚK ŠIBRAVA,5,5-3 - y - 3 -,5 x - -,5 Obr. Příklad.8. Vypočítejte dvojný integrál 4x y da, kde je trojúhelník s vrcholy (, ), (, ), (, ). Výsledek: 8 (3 3 + π) Příklad.9. Vypočítejte dvojný integrál x(y ) da, kde = {(x, y) R : x + y y x + y }. Výsledek: / Příklad.. Vypočítejte dvojný integrál xy da, kde = { (x, y) R : x + 4y 8 y x } (Obr. ). Výsledek: Příklad.. Vypočítejme dvojný integrál x + y da, kde = { (x, y) R : x + y 4 x y 3x }.
PŘÍKLADY K ATEATIE 3 9 - - x - - Obr. 3 Řešení: Při výpočtu tohoto integrálu použijeme substituci do polárních souřadnic () x = r cos φ, y = r sin φ a J = r. V našem případě je (Obr. 3) obrazem obdélníku N =, π/4, π/3 jak zjistíme dosazením za x a y z () do nerovnic popisujících množinu x + y 4, x y 3x, r cos φ + r sin φ 4, r cos φ r sin φ 3r cos φ, r, tg φ 3, π 4 φ π 3. Použitím věty o substituci ve dvojném integrálu a Fubiniovy věty pak dostaneme x + y da = N r r da = π/3 π/4 r dρ dφ = π/3 π/4 [ r 3 3 ] dφ = = π/3 π/4 7 3 dφ = 7 36 π. Příklad.. Vypočítejme objem tělesa, které je ohraničeno plochami x + y = x + y, z = x + y a z =. Řešení: Těleso, jehož objem máme nalézt, je část rotačního válce určeného řídicí kružnicí x + y = x + y, zdola ohraničeného rovinou z = a shora rovinou z = x + y. (Obr.4)
3 ZDENĚK ŠIBRAVA,5,5 z,5 -,4 x-,4,8 -,5,,4 y,8, Obr. 4 Jak víme již z příkladu., je objem takového tělesa číselně roven hodnotě dvojného integrálu (x + y) da, kde = { (x, y) R : x + y x + y }. Doplněním na čtverec a úpravou můžeme podmínku x + y x + y upravit na tvar ( (3) x ( + y ) ). Z (3) je zřejmé, že množina je kruh se středem v bodě (/, /) a poloměrem / (Obr. 5). Dvojný integrál (x + y) da budeme opět počítat pomocí substituce do polárních souřadnic. (Tato substituce převádí integraci přes kruh na integraci přes dvojrozměrný interval.) V našem případě však posuneme těleso tak, aby střed řídicí kružnice byl počátek. Toho dosáhneme tak, že substituci do polárních souřadnic budeme volit ve tvaru (4) x = + r cos φ, y = + r sin φ a J = r. Dosazením do (3) dostaneme ( x ) + ( y ), ( + r cos φ ( ) + + r sin φ r. ),
PŘÍKLADY K ATEATIE 3 3,,8,4,4 x,8, Obr. 5 Pro φ jsme nedostali žádnou omezující podmínku, je tedy φ π. Potom (x + y) da = π / ( r + r (cos φ + sin φ) ) dr dφ = = = π π [ r + r3 (cos φ + sin φ) 3 ( 4 + (cos φ + sin φ) ] r= / r= ) dφ = dφ = π. Při počítání objemu jsme mohli místo substituce pomocí posunutých polárních souřadnic (4) použít substituci (). Dosazením () do podmínky x +y x + y postupně dostaneme r (cos φ + sin φ) r(cos φ + sin φ), r (cos φ + sin φ). Z podmínky r cos φ + sin φ pak plyne π φ 3π. Odtud 4 4 3π/4 cosφ+sin φ ( (x + y) da = r (cos φ + sin φ) ) dr dφ = = 3 π/4 3π/4 (cos φ + sin φ) 4 dφ = π. π/4
3 ZDENĚK ŠIBRAVA V tomto případě je však výpočet posledního integrálu složitější než při substituci (4).,5 - -,5 x,5 -,5 - Obr. 6 Příklad.3. Vypočítejme obsah množiny, která je ohraničená lemniskátou (x + y ) = x y (Obr. 6). Řešení: Pro obsah množiny platí µ() = da, kde v našem případě je = { (x, y) R : (x + y ) x y }. Z rovnice lemniskáty je vidět, že tato křivka je symetrická podle osy x i podle osy y (je sudá v obou proměnných). Při výpočtu obsahu plochy ohraničené touto křivkou stačí počítat obsah pouze té části, která leží v prvním kvadrantu a výsledek násobit čtyřmi. Pro výpočet integrálu použijeme substituci do polárních souřadnic. Dosazením () do nerovnice určující dostaneme (5) (x + y ) x y, r 4 r (cos φ sin φ), r cos φ sin φ = cos φ. Z podmínky (5) dostáváme r cos φ a dále (6) cos φ, tj. φ π 4, π 4 3π 4, 5π 4.
PŘÍKLADY K ATEATIE 3 33-3 - - y x - 3 - Obr. 7 Podle předpokladu počítáme obsah pouze té části, pro kterou je x a y, tj. cos φ sin φ φ, π. Spolu s (6) tedy dostáváme φ, π. Potom 4 π/4 cos φ µ() = da = 4 r dr dφ = Příklad.4. Vypočítejme dvojný integrál (x + y ) da, kde = { (x, y) R : x 9 + y 4 }. π/4 cos φ dφ =. Řešení: Protože v tomto případě je množina ohraničená elipsou (Obr. 7), bude výhodné použít substituci pomocí zobecněných polárních souřadnic (7) x = ar cos φ, y = br sin φ a J = abr, V zobrazení (7) (uvažovaném na množině (, + ) (, π)) má elipsa x /a + y /b = rovnici r =. Při výpočtu integrálu opět stačí, budeme-li integrovat pouze přes část, která leží v prvním kvadrantu. Použitím substituce (7), kde a = 3, b =, tj. x = 3r cos φ, y = r sin φ a J = 6r,
34 ZDENĚK ŠIBRAVA 3 z -3-3 - - - - yx 3-3 Obr. 8 a dosazením do (za podmínky x, y ) dostaneme r, φ π. Odtud µ() = ( x + y ) da = 4 π/ ( 9r cos φ + 4r sin φ ) 6r dr dφ = = 6 π/ ( 9 cos φ + 4 sin φ ) dφ = 39 π. Příklad.5. Vypočítejme obsah části kuželové plochy z = x + y, kterou z ní vytne parabolický válec z = x (Obr. 8). Řešení: Víme, že pro obsah S plochy P, která je částí grafu funkce z = f(x, y), (x, y) platí ( ) ( ) f f (8) S = + + da. x y V našem případě je plocha částí grafu funkce f(x, y) = x + y. Hranici množiny najdeme jako (pravoúhlý) průmět průniku ploch z = x + y a z = x do roviny z = x = x + y, tj, x + y = x, z =.
PŘÍKLADY K ATEATIE 3 35 Je tedy = { (x, y) R : (x ) + y }. nožina je tedy kruh se středem v bodě (, ) a poloměrem. Dále je a odtud f(x, y) x = x x + y, f(x, y) y + ( ) f + x = ( ) f =. y y x + y Substitucí do polárních souřadnic () dostaneme π/ cos φ S = da = r dr dφ = π. π/ Příklad.6. Vypočítejte dvojný integrál ( 3x y) da, kde = {(x, y) R : x + y 4 y x}. Výsledek: π + 8 3 Příklad.7. Vypočítejte dvojný integrál ln (x + y ) da, x + y kde = {(x, y) R : x + y e y }. Výsledek: π/4 Příklad.8. Vypočítejte dvojný integrál x y + x + y da, kde = {(x, y) R : x + y x }. Výsledek: π(π )/4 Příklad.9. Vypočítejte dvojný integrál sin x + y da, kde = {(x, y) R : π x + y 4π }. Výsledek: 6π Příklad.3. Vypočítejte dvojný integrál arctg y x da, kde = { (x, y) R : 4 x + y 9 3 3 x y 3x }. Výsledek: 5 48 π
36 ZDENĚK ŠIBRAVA Příklad.3. Vypočítejte dvojný integrál xy da, kde = {(x, y) R : x + y ax} (a > ). Výsledek: a 5 π/4 Příklad.3. Vypočítejte dvojný integrál y da, kde = {(x, y) R : (x + y ) ay 3 } (a > ). Výsledek: 56 πa3 Příklad.33. Vypočítejte dvojný integrál xy da, kde = {(x, y) R : (x + y ) a (x y )} (a > ). Výsledek: Příklad.34. Vypočítejte dvojný integrál x 4 y 9 da, kde = { (x, y) R : x 4 + y 9 }. Výsledek: 4π Příklad.35. Vypočítejte dvojný integrál (x y) da, kde = { (x, y) R : x + 4y 4 x y }. Výsledek: 3 ( 3) Příklad.36. Vypočítejte obsah rovinného obrazce ohraničeného křivkami y = x a y = x. Výsledek: 9/ Příklad.37. Vypočítejte obsah rovinného obrazce ohraničeného křivkami xy = 9, y = x a x = 5. Výsledek: 8 + 9 ln 3 9 ln 5 V příkladech.58.64 vypočítejte obsahy množiny. Příklad.38. = {(x, y) R : (x ) + y x + (y ) }. Výsledek: (π )/ Příklad.39. = {(x, y) R : x + y x + y y}. π Výsledek: 3 3 { ( ) } Příklad.4. = (x, y) R x : + y 9 4 xy. Výsledek: 8
PŘÍKLADY K ATEATIE 3 37 Obr. 9 V příkladech.4.47 vypočítejte objemy daných těles. Příklad.4. {(x, y, z) R 3 : 9(x ) + (y + ) z 9}. Příklad.4. {(x, y, z) R 3 : (x ) + 4(y ) z 4}. Výsledek: 7 π Výsledek: 4π Příklad.43. {(x, y, z) R 3 : x + y ax x z x} (a > ). Výsledek: πa 3 Příklad.44. { (x, y, z) R 3 : x + y (y x) z (x + ) (y ) }. Výsledek: 7 4 π Příklad.45. { (x, y, z) R 3 : x + y (x y) z 3 (x ) (y + ) }. Výsledek: Příklad.46. {(x, y, z) R 3 : 3x + 7y z 6 3x 7y }. Výsledek: 5π π Příklad.47. {(x, y, z) R 3 : 8x + y z 4 8x y }. Výsledek: π V příkladech.48.53 vypočítejte objemy těles ohraničených danými plochami:
38 ZDENĚK ŠIBRAVA Obr. Obr. Příklad.48. x =, y =, x + y = 3, z =, z = 4x + y +. Výsledek: 45 Příklad.49. y =, y = x, z =, z = x + y. Výsledek: 88 5 Příklad.5. y = ln x, y = ln x, z =, y + z =. (Pomůcka: Platí ln n x dx = x ln n x n ln n x dx.) Výsledek: 3 e 8 Příklad.5. x + y = x, z = xy, z = (z ). Výsledek: /3 Příklad.5. x + y = y, z = x + y, z =. Výsledek: 3 π Příklad.53. x + y = a, z =, z = e x y (a > ). Výsledek: ) π ( e a Příklad.54. Vypočítejte objem tzv. Vivianiova tělesa (Obr. 9) { (x, y, z) R 3 : x + y + z a x + y ax } (a > ). Výsledek: (3π 4)a3 9 Příklad.55. Vypočítejte objem a povrch tělesa ohraničeného dvěma rotačními válcovými plochami o stejném poloměru R, jejichž osy se kolmo protínají 6 (Obr. ) a (Obr. ). Výsledek: 3 R3, 6R Příklad.56. Vypočítejte obsah části rotačního paraboloidu z = x y, kterou z něj vyřízne válcová plocha x + y =. Výsledek: 6 (5 5 )π Příklad.57. Vypočítejte obsah části hyperbolického paraboloidu z = 4 + x y, kterou z něj vyřízne válcová plocha x + y = 4. Výsledek: 6 (7 7 )π V příkladech.58.64 vypočítejte obsahy daných ploch. Příklad.58. {(x, y, z) R 3 : x + 3y + 4z = x y z }. Výsledek: 6 9
PŘÍKLADY K ATEATIE 3 39 Příklad.59. {(x, y, z) R 3 : x + y = z z xy}. Výsledek: ( 3π) 9 Příklad.6. { (x, y, z) R 3 : (x + y ) 3/ + z = z }. ( ) Výsledek: 6 3 + ln (3 + ) π Příklad.6. { (x, y, z) R 3 : x + y 3 = z x 9 + y 4 }. Výsledek: 4( )π Příklad.6. { (x, y, z) R 3 : x + y = z z z ( x + )}. Výsledek: 8π Příklad.63. {(x, y, z) R 3 : x + z = a z y x}. (a > ) Výsledek: a Příklad.64. {(x, y, z) R 3 : x + y + z = a x + y ax, z } (a > ). Výsledek: (π )a, (Obr. 9) Příklad.65. Vypočítejte obsah části zemského povrchu (za předpokladu, že jde o kulovou plochu o poloměru R = 6378 km), ohraničenou poledníky odpovídajícími západním zeměpisným délkám 3 a 6 a rovnoběžkami odpovídajícími severním zeměpisným šířkám 45 a 6. Výsledek: R π( 3 ) = 3.38 6 km Fyzikální aplikace dvojného integrálu Nechť je dvourozměrná množina (rovinná deska), jejíž plošná hustota v každém bodě (x, y) je h(x, y). (I) Hmotnost této množiny je (9) m = h(x, y) da. (II) Statický moment této množiny vzhledem k ose x, resp. vzhledem k ose y je () S x = yh(x, y) da, resp. S y = xh(x, y) da. (III) Souřadnice těžiště této množiny (v pravoúhlém souřadnicovém systému) jsou () x T = S y m, y T = S x m.
4 ZDENĚK ŠIBRAVA (IV) oment setrvačnosti této množiny vzhledem k ose x, resp. vzhledem k ose y, resp. vzhledem k počátku je I x = y h(x, y) da, resp. I y = x h(x, y) da, () resp. I z = I x + I y = (x + y )h(x, y) da. Poznámka.66. V dalších příkladech budeme vždy v případě homogenní desky (tělesa) předpokládat, že h(x, y) = (h(x, y, z) = ). Příklad.67. Najděme souřadnice těžiště nehomogenní rovinné desky ohraničené kružnicí x + y = ax, a >, jejíž plošná hustota v každém bodě (x, y) je rovna vzdálenosti tohoto bodu od počátku (, ). Řešení: Víme, že h(x, y) = x + y. Protože deska je symetrická podle osy x a funkce h je sudá v proměnné y, je zřejmé, že těžiště desky bude ležet na ose x, tj. y T =. Pro určení x T potřebujeme znát celkovou hmotnost desky m a dále statický moment desky vzhledem k ose y (viz ()). Podle (9) a () je m = x + y da, S y = x x + y da. Použitím substituce pomocí polárních souřadnic () dostaneme Potom m = x + y ax, r (cos φ + sin φ) ar cos φ, r a cos φ a tedy φ π, π. x + y da = π/ a cos φ r dr dφ = a S y = = π/ π/ [ r 3 3 x x + y da = ] a cos φ π/ π/ = 8a 4 π/ dφ = 6 3 a3 a cos φ π/ cos 3 φ dφ = 3 9 a3, r 3 cos φ dr dφ = cos 5 φ dφ = 64 5 a4.
PŘÍKLADY K ATEATIE 3 4 Podle () je tedy x T = S y m = 64a4 5 9 3a = 6a 3 5. Příklad.68. Vypočítejme moment setrvačnosti kruhové desky o poloměru R vzhledem k její libovolné tečně t, jestliže její plošná hustota v každém bodě je rovna vzdálenosti tohoto bodu od tečny t. Řešení: Zvolme si souřadnicový systém tak, že střed kružnice ohraničující desku je v bodě (, R), tj. její rovnice je x + (y R) = R a tečna, ke které budeme moment setrvačnosti počítat, je osa x. Potom plošná hustota desky v každém bodě (x, y) je h(x, y) = y. Je tedy I t = I x = y h(x, y) da = y 3 da, kde = {(x, y) R : x + (y R) R }. Použitím substituce pomocí posunutých polárních souřadnic pak dostaneme I t = x = r cos φ, y = R + r sin φ a J = r, y 3 da = π R (R + r sin φ) 3 r dr dφ = 7 4 πr5. V příkladech.69.73 vypočítejte souřadnice těžiště rovinných homogenních desek: Příklad.69. Deska ohraničená parabolou y = x a přímkou x = a, (a > ). Výsledek: (3a/5, ) Příklad.7. Deska ohraničená křivkami 4y = x, x + y = 3. Výsledek: (, 7/5) Příklad.7. Deska ohraničená křivkami y = x 3x, y = x. Výsledek: Příklad.7. Deska ohraničená křivkou y = x x 4, x. Výsledek: (/, /5) ( 3 π, ) 6 Příklad.73. Deska ohraničená křivkou (x + y ) = x y, (x, y ). ( Výsledek: 6, ) 5π 4 Příklad.74. Nehomogenní deska má tvar půlkruhu o poloměru R, kde plošná hustota v každém bodě desky je rovna vzdálenosti tohoto bodu od středu kruhu. 3 R Určete vzdálenost těžiště desky od středu kruhu. Výsledek: π Příklad.75. Nehomogenní deska má tvar čtvrtkruhu o poloměru R, kde plošná hustota v každém bodě desky je rovna druhé mocnině vzdálenosti tohoto bodu od středu kruhu. Určete vzdálenost těžiště desky od středu kruhu. 8 Výsledek: R 5 π
4 ZDENĚK ŠIBRAVA Příklad.76. Vypočítejte moment setrvačnosti kruhové desky o poloměru R a plošné hustotě h(x, y) = x y vzhledem k přímce procházející jejím středem. Výsledek: R 6 /6 Příklad {.77. Vypočítejte moment } setrvačnosti homogenní rovinné desky (x, y) R : x + y y vzhledem k ose x. ( π Výsledek: ) 3 4 3 4 Příklad.78. Vypočítejte moment setrvačnosti rovinné desky ohraničené křivkami y = 4 x a y = vzhledem k ose x, jestliže plošná hustota v každém bodě je rovna vzdálenosti tohoto bodu od osy y. Výsledek: 64/3 Příklad.79. Vypočítejte moment setrvačnosti homogenní desky ohraničené elipsou 4(x + ) + y = 4 vzhledem k ose y. Výsledek: 5π/ Příklad.8. Vypočítejte moment setrvačnosti homogenní rovinné desky {(x, y) R : (x + y ) a (x y )}, (a > ) vzhledem k ose x a y. Výsledek: I x = (3π 48 8)a4, I y = (3π + 8)a4 48.. Trojné integrály. Příklad.8. Vypočítejme trojný integrál (x y + z) dv, kde =,,, 3. Řešení: Funkce f(x, y, z) = x y + z je na trojrozměrném intervalu spojitá. Užitím Fubiniovy věty převedeme trojný integrál na jednoduchý integrál z dvojného integrálu (x y + z) dv = (x y + z) da dx. K výpočtu dvojného integrálu nyní použijeme opět Fubiniovu větu (pro dvojný integrál) a tím převedeme zadaný trojný integrál na trojnásobný integrál (x y + z) dv = 3 (x y + z) dz dy dx = = = ] z=3 [xz yz + z dy dx = z= [xy y + 5 y ] y= y= dx = (x + ) dx =. ( x y + 5 ) dy dx =