LOGARITMICKÁ SPIRÁLA HISTORIE První, kdo se zabýval problematikou logaritmické spirály a zkoumal jí, byl René Descartes (1596-1650) přibližně kolem roku 1638. Nezávisle na něm zkoumal křivku také Evangelista Toriccelli (1608-1647), kterému se podařilo najít vzorec pro výpočet délky křivky. Byla to také oblíbená křivka matematika Jakoba Bernoulliho (1654-1705) - zřejmě za svého života strávil jejím zkoumáním tolik času, že si dokonce nechal vyzdobit svojí hrobku ornamenty právě ve tvaru logaritmické spirály a vytesat si na ní epitaf edem mutata resurgo, což znamená ve volném překladu ač změněn, stále zůstává stejný. Tento text poměrně výstižně charakterizuje i Bernoulliho oblíbenou křivku, což ukážeme níže. Další ekvivalentní názvy pro tuto křivku jsou Fibbonaciho spirála, ekvalingulární spirála, růstová spirála, Bernoulliho spirála nebo spira mirabilis. POPIS SPIRÁLY Logaritmická spirála je křivka, jejíž poloměr r roste exponenciálně s velikostí úhlu. Všechny níže popsané parametry a body spirály ilustruje obrázek na další straně. Polární rovnice logaritmické spirály je: kde r = a e bϕ, r je poloměr - vektor spojující pól spirály P (pojem pólu je vysvětlen níže) a bod ležící na spirále - B; (r je funkce r(ϕ)) ϕ je úhel příslučný příslušnému bodu B spirály a, b jsou konstantní parametry Tečný úhel (budeme ho značit τ) je úhel, který svírá pro daný bod spirály vektor poloměru s tečnou ve stejném bodě. Důležitými body spirály jsou pól a počátek. Pól je bod, ze kterého by vycházela spirála v případě, kdyby se parametr a 0; v podstatě jde o pomyslný střed spirály. Pól se dá také popsat jako bod, kde se protnou všechny vektory poloměru - přímky vedené libovolnými body logaritmické spirály, každá svírající v daném bodě s příslušnou tečnou stejný tečný úhel τ. V kartézských souřadnících pro neposunutou křivku je pólem počátek souřadné soustavy [0,0]. Počátek spirály je bod, ze kterého se začíná spirála vykreslovat, pro neposunutou spirálu se nachází v místě [a, 0]. 1
Další možné vyjadření rovnice logaritmické spirály získáme jednoduchou úpravou: ln r a = bϕ Z tohoto vztahu také vznikl název křivky logaritmická spirála. Obrázek, kde najdeme výše uvedené informace přímo ve spirále: P - pól spirály B - libovolný bod na spirále r - vektor poloměru τ - tečný úhel v bodě B t - tečna v bodě B a - konstantní parametr z rovnice spirály 2
Rovnici této křivky můžeme vyjádřit také parametricky: x = r cos ϕ = ae bϕ cos ϕ y = r sin ϕ = ae bϕ sin ϕ Pro hodnoty b 0 se bude tvar spirály blížit kružnici. Pro b=0 dostáváme: x = a cos ϕ tedy rovnici kružnice s poloměrem a. y = a sin ϕ Růst poloměru r můžeme vyjádřit jako: dr dϕ = abebϕ = br Pro tečný úhel τ, který svírají vektor poloměru a tečný vektor pro daný bod (r,ϕ) platí: tedy tan τ = r dr dϕ τ = arctan r dr dϕ = arctan 1 b Odtud je opět vidět, že když b 0, pak 1 a arctan( 1) π. Tedy tvar spirály se blíží b b 2 kružnici (tečna kružnice v každém bodě svírá s vektorem poloměru příslušejícímu danému bodu úhel π). 2 Také je z tohoto vztahu zřejmé, že tečný úhel (τ), pod kterým protíná vektor poloměru křivku, je v každém bodě dané spirály stejný, protože parametr b je konstantní. Odtud vznikl název křivky ekvalingulární spirála. Z obou výše uvedených výrazů můžeme zjistit, že samotný tvar křivky (tedy nárůst poloměru nebo úhel tečného vektoru) závisí pouze na hodnotě b. Hodnota a určuje vzdálenost počátku spirály od jejího pólu. Na následující straně jsou příklady logaritmické spirály pro různé hodnoty parametrů a, b, všechny ve stejném měřítku. 3
4
Pro názornost ukážeme ještě obrázky včetně souřadných os (každý v jiném měřítku) pro různé parametry a, b. Všechny následující obrázky jsou vykresleny pro ϕ < 0, 8π >, tedy 4 závity spirály. 5
DÉLKA KŘIVKY A JINÉ UŽITEČNÉ VZTAHY Na křivce zvolíme libovolný bod P ve vzdálenosti r od pólu spirály. Délka křivky od P do jejího počátku je vždy konečná a je rovna délce úsečky PQ, kde Q je průsečík osy y a tečny ke křivce procházející bodem P. Jsme schopni tuto délku spočítat následovně: s = x ds = 2 + y 2 dt = a 1 + b 2 e bϕ b = r 1 + b 2 b Evoluta je obálka normál křivky - množina jejích středů křivosti. Pro rovnici evoluty křivky zadané parametricky (f(ϕ), g(ϕ)) platí: x e = f R sin ϕ y e = g + R cos ϕ kde R je poloměr křivosti pro daný bod [x, y] (vzdálenost mezi středem křivosti S křivky v jejím bodě T a bodem T ) který zjistíme: 2 (x 2 + y R = 2 ) 3 = a 1 + b x y x y 2 e bϕ Dosazením dostáváme rovnici evoluty logaritmické spirály: x e = abe bϕ sin ϕ y e = abe bϕ cos ϕ což je rovnice další logaritmické spirály (b e b, a e ab). V některých případech může jít dokonce o totožnou spirálu s původní křivkou. Stačí když provedeme substituci: ( k N) a dosadíme do rovnice evoluty: ϕ = φ 1 2 π ± 2kπ x e = abe b(φ π 2 ±2kπ) sin(φ π 2 ± 2kπ) = abebφ e b( π 2 ±2kπ) cos φ y e = abe b(φ π 2 ±2kπ) cos(φ π 2 ± 2kπ) = abebφ e b( π 2 ±2kπ) cos φ Tyto rovnice evoluty jsou shodné s rovnicí původní spirály právě tehdy, když platí: be b( π 2 ±2kπ) = 1 ln b + b( π 2 ± 2kπ) = 0 ln b b = π 2 ± 2kπ 6
Křivost κ je převrácená hodnota poloměru křivosti, tedy: κ = x y x y 2 (x 2 + y 2 ) = 1 3 a 1 + b 2 e bϕ Pro tečný úhel τ platí, že je konstantní (což už jsme vlastně zjistili z jiného vztahu dříve): τ = κ(s)ds = konst. KONSTRUKCE Logaritmickou spirálu můžeme zkonstruovat následovně - z jednoho bodu (který se stává pólem spirály) vedeme n polopřímek, kde odchylky každých dvou sousedních jsou stejné: 2π (např. 5 polopřímek, kde sousední polopřímky svírají úhel 2π, 7 polopřímek s n 5 úhly 2π atd.). Na jedné polopřímce zvolíme bod - počátek spirály (jeho vzdálenost od 7 středu je rovna parametru a) a vedeme přímku kolmou na polopřímku od které začínáme k následujícímu paprsku. Z bodu, kde tato přímka prostne následující paprsek opět vedeme kolmici na tuto polopřímku a k následujícímu paprsku atd. Čím vyšší bude hodnota n, tím hladší křivku dostaneme. Když n potom se křivka bude blížit logaritmické spirále. 7
Spirálu s takovými parametry, že jí lze vepsat do zlatého obdélníku můžeme zkonstruovat ještě jiným způsobem. Zlatý obdélník je takový obdélník, jehož strany jsou ve zlatém poměru. Tj. poměr větší strany b k menší straně a je roven poměru součtu delék stran (a+b) k větší z nich (b). Tj. poměr délky a šířky je roven 1+ 5. Do tohoto obdélníku 2 vepíšeme k jedné kratší hraně čtverec o straně a, zbylá plocha je opět zlatý obdélník, do něj vepíšeme další čtverec stejným způsobem atd. Když do každého takto zkonstruovaného čtverce vepíšeme čtvrtkružnici, získáme logaritmickou spirálu (ne jen její aproximaci) s b 0, 306349, pro kterou existuje označení zlatá spirála. KDE NAJDEME LOGARITMICKOU SPIRÁLU Myší problém - do každého vrcholu pravidelného n-úhelníka umístíme jednu myš. Těchto n myší se začne v jeden časový okamžik pohybovat konstantní rychlostí směrem k nejbližší myši (všechny stejným směrem - bud po nebo proti směru hodinových ručiček). Myši se takto setkají ve středu n-úhelníka, budou se pohybovat po logaritmické spirále a urazí dráhu 1 s = 1 cos( 2π) n S logaritmickou spirálou se můžeme setkat všude kolem sebe každý den. Díky konstantnímu tečnému úhlu na ní můžeme narazit velmi často přírodě - například když se hmyz blíží k nějakému bodu (třeba k žárovce), letí v takovém směru, aby svíral stále stejný úhel se zdrojem světla. A toho dosáhne právě tehdy, když se bude pohybovat po logaritmické spirále. V praxi ale vypadá dráha většinou spíš jako přímka, protože bud je cíl obvykle hodně vzdálený (například slunce) nebo je úhel od něj tak malý, že se dráha blíží přímce (spirála bude mít ve 2D minimální nárůst poloměru, tedy bude se blížit bodu a přidání třetí dimenze bod pouze roztáhne do přímky). 8
Spirálu také najdeme u rostlin - když se podíváte do květu například slunečnice nebo sedmikrásky, najdete tyčinky nebo semínka uspořádané ne v kruzích, ale v logaritmických spirálách. Stejně tak jsou uspořádaná třeba semínka na šiškách, nebo ostny na kaktusech. Do tvaru logaritmické spirály ve 3D roste velká většina neživých části živých organismů - rohy, drápy nebo třeba sloní kly (nabývají tohoto tvaru stejným způsobem, který je popsán v následujícím odstavci). Také pavoučí sítě jsou aproximací logaritmické spirály - jsou pavouky stavěny podobným způsobem, jakým jsme aproximovali křivku pomocí polopřímek. Nejoblíbenějším příkladem výskytu spirály jsou ulity měkkýšů. Tohoto tvaru nabývají následujícím způsobem - převedeme problém do 2 dimenzí a vytvoříme nepravidelný objekt O 1, zvětšíme ho k-krát, získáme O 2 a přiložíme ho k O 1 tak, aby se dvě hrany dotýkaly. Nyní zvětšíme O 2 k-krát, vznikne O 3 který přiložíme k hraně objektu O 2 atd. Když problém převedeme do 3D, získáme postup, jakým si staví ulity někteří měkkýši - na začátku mají určitou velikost a jsou schovaní v jedné komůrce, pak povyrostou a přistaví si další kousek ulity. Tvar jejich těla se ale nemění, tedy se nemění ani tvar ulity, pouze roste velikost přistavovaného dílu (zvětšování komůrek pro tělo je hezky vidět na obrázku vpravo pod textem - jde o řez ulitou měkkýše Nautila, který si staví ulitu dokonce do tvaru zlaté spirály). Navíc tito živočichové rostou spojitě, takže výsledný tvar spirálu aproximuje poměrně přesně a hladce. 9
Další místo, kde můžeme tuto křivku najít jsou spirálovité galaxie - jejich ramena mají tvar právě logaritmické spirály (na obrázcích jsou galaxie NGC 3370 a M51). Naše vlastní galaxie Mléčná dráha má (údajně) 4 ramena ve tvaru spirály s tečným úhlem přibližně 12. Stejně tak ramena tropických cyklónů a hurikánů mají tvar logaritmické spirály. 10
POUŽITÉ OBRÁZKY: konstrukce logaritmické spirály - mathworld.wolfram.com galaxie - hubblesite.org satelitní snímek tornáda - airs.jpl.nasa.gov řez ulitou Nautila - en.wikipedia.org 11