Matematika I Ètvercové matice - determinanty RNDr. Renata Klufová, Ph. D. Jihoèeská univerzita v Èeských Budìjovicích EF Katedra aplikované matematiky a informatiky
Co u¾ známe? vektory - základní operace (sèítání, odèítání, násobení reálným èíslem, skalární souèin, norma vektoru) matice - základní operace (sèítání, odèítání, násobení reálným èíslem, souèin matic) vektorový prostor lineární závislost/nezávislost hodnost souboru vektorù/matice podprostory vektorového prostoru V n
Determinant Def. Pro ka¾dou ètvercovou matici A je denováno èíslo deta, které nazýváme determinant matice A. Pro matice 1. a¾ 3. øádu se vypoète determinant takto: 1. øád: A = (a 11 ), deta = a 11 ( a11 a 2. øád: A = 12,tzv. køí¾ové pravidlo: a 21 a 22 deta = a 11 a 22 a 12 a 21 3. øád: A = ) a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33,tzv. Sarussovo pravidlo: deta = (a 11 a 22 a 33 + a 12 a 23 a 31 + a 13 a 21 a 32 ) (a 13 a 22 a 31 + a 12 a 21 a 33 + a 11 a 23 a 32 )
Schéma výpoètu determinantu pomocí Sarussova pravidla
Ukázka výpoètu determinantù ni¾¹ích øádù Vypoètìte determinanty matic: ( ) 3 13 A = ( 26), B =, C = 5 10 0 1 3 5 2 3 4 10 0
Jiné znaèení determinantù V literatuøe se mù¾eme setkat s jiným znaèením determinantù: ukázka: det 1 1 2 2 0 3 0 0 1 = 1 1 2 2 0 3 0 0 1 = 2
Submatice a algebraický doplnìk Def. Je-li A ètvercová matice øádu n 2, pak pro ka¾dé i = 1, 2,..., n a pro ka¾dé j = 1, 2,..., n vytvoøíme její submatici (podmatici) A #ij øádu n 1 tak, ¾e z pùvodní matice A vy¹krtneme i tý øádek a j tý sloupec. Pro ka¾dý prvek a ij matice A denujeme jeho algebraický doplnìk v matici A, který oznaèíme symbolem A ij a vypoèteme podle vztahu: A ij = ( 1) i+j deta #ij.
Ukázka výpoètu algebraických doplòkù Vypoètìte algebraické doplòky matic: ( ) 0 1 3 3 13 B =, C = 5 2 3 5 10 4 10 0
Výpoèet determinantù vy¹¹ích øádù Def a vìta o rozvoji. Je-li A ètvercová matice øádu n 2, pro ka¾dé i = 1, 2,..., n denujeme determinant matice A rozvojem podle i tého øádku jako výraz: det A=a i1 A i1 + a i2 A i2 +... + a in A in a pro ka¾dé j = 1, 2,..., n denujeme determinant matice A rozvojem podle j tého sloupce jako výraz: det A=a 1j A 1j + a 2j A 2j +... + a nj A nj
Ukázka výpoètu determinantù vy¹¹ích øádù rozvojem Vypoètìte rozvojem determinanty matic: C = 0 1 3 5 2 3 4 10 0, D = 1 0 0 1 1 0 1 1 0 0 0 0 2 0 1 1 2 0 0 0 0 0 0 0 3
Vlastnosti determinantù Vìta o matici a determinantu. Ka¾dá ètvercová matice A má tyto vlastnosti: 1. pøi vzájemné výmìnì dvou libovolných øádkù se mìní znaménko deta na opaèné, 2. jestli¾e zvolený øádek matice A násobíme (dìlíme) libovolným nenulovým èíslem r, pak se hodnota deta r krát zvìt¹í (zmen¹í), 3. jestli¾e ke zvolenému øádku matice A pøièteme lineární kombinaci øádkù ostatních, hodnota deta se nezmìní,
Vlastnosti determinantù 4. je-li v matici A nulový øádek nebo dva stejné øádky, pak deta = 0, 5. vlastnosti (1) - (4) platí i pro sloupce, 6. deta = deta T, 7. je-li B libovolná ètvercová matice stejného øádu jako A, pak det(a B) = deta detb, 8. je-li A trojúhelníková matice, pak deta je roven souèinu prvkù na hlavní diagonále.
Strategie pro výpoèet determinantu matice A úpravami 1. Je-li v matici A nulový øádek èi sloupec, pak deta = 0. 2. Není-li v matici A øádek nebo sloupec, jeho¾ prvky a¾ na jeden jsou nulové, pak takový "pøipravíme" pomocí pøípustných úprav. 3. Provedeme rozvoj podle øádku (sloupce), kde jsou v¹echny prvky a¾ na jeden nulové. 4. Jediný potøebný determinant matice øádu o 1 ni¾¹ího vypoèteme buï pøímo nebo popstupem popsaným v bodech (1) - (4). Variantní strategie: úprava matice A na trojúhelníkový tvar.
Výpoèet determinantu matice úpravami Vypoètìte úpravami a následným rozvojem determinant matice: 1 0 0 1 1 0 1 1 0 0 M = 1 0 2 0 1 1 2 0 0 0 0 0 0 1 3
Aplikace 1: Cramerovo pravidlo = metoda výpoètu øe¹ení soustavy lineárních rovnic pomocí determinantù a 11 x 1 + a 12 x 2 = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 = b 2 vytvoøíme pomocné matice: A = ( a11 a 12 a 21 a 22 ), A 1 = ( b1 a 12 b 2 a 22 ), A 2 = ( a11 b 1 a 21 b 2 ), øe¹ení: x 1 = deta 1 deta, x 2 = deta 2 deta obecnì: A j... matice, která vznikne nahrazením j tého sloupce sloupcem pravých stran x j = deta j deta
Aplikace 1: Cramerovo pravidlo Øe¹te Cramerovým pravidlem soustavu 3x 1 + 5x 2 = 8 4x 1 2x 2 = 7
Aplikace 2: Vektorový souèin Vìta o vektorovém souèinu. Ve vektorovém prostoru V n, n 1, oznaème e 1, e 2,..., e n základní jednotkové vektory. Pro libovolný soubor n 1 vektorù tohoto prostoru S : v 1, v 2,..., v n 1 vytvoøíme následující pomocnou matici M: (i) øádky i = 1, 2,..., n 1 tvoøí pøímo jednotlivé vektory v 1, v 2,..., v n 1, (ii) poslední øádek matice M je tvoøen seznamem symbolù e 1, e 2,..., e n.
Aplikace 2: Vektorový souèin Determinant matice M nazveme vektorovým souèinem souboru S. Je to speciální lineární kombinace základních jednotkových vektorù, pro kterou platí: 1. Je-li soubor S závislý, pak detm = o. 2. Je-li S nezávislý, je detm nenulový vektor kolmý ke v¹em vektorùm souboru S. 3. Vektor detm má jako slo¾ky algebraické doplòky prvkù posledního (n tého) øádku matice M, tj. je roven (M n1, M n2,..., M nn ).
Aplikace 2: Vektorový souèin Speciálnì pro n = 3.... vektorový souèin dvou vektorù: u v = det u 1 u 2 u 3 v 1 v 2 v 3 e 1 e 2 e 3 = (M 31, M 32, M 33 ) = = ( det ( u2 u 3 v 2 v 3 ), det ( u1 u 3 v 1 v 3 ), det ( u1 u 2 v 1 v 2 ))
Aplikace 2: Vektorový souèin Pomocí determinantù urèete vektorový souèin vektorù u = (1, 2, 4), v = ( 1, 5, 3)
Aplikace 3: Determinanty v geometrii Jsou-li A = [a 1, a 2 ], B = [b 1, b 2 ], C = [c 1, c 2 ] tøi body v rovinì, potom pro obsah trojúhelníku ABC platí: S = ± 1 2 det a 1 a 2 1 b 1 b 2 1 c 1 c 2 1 Nech» A, B, C, D jsou body v prostoru. Zaveïme vektory a = A D = (a 1, a 2, a 3 ), b = B D = (b 1, b 2, b 3 ) a c = C D = (c 1, c 2, c 3 ). Potom objem ètyø¹tìnu ABCD je: V = ± 1 6 det a 1 a 2 a 3 b 1 b 2 b 3 c 1 c 2 c 3