Kapitola 11: Vektory a matice 1/19

Kapitola 11: Vektory a matice 1/19

2/19 Prostor R n R n = {(x 1,..., x n ) x i R, i = 1,..., n}, n N x = (x 1,..., x n ) R n se nazývá vektor x i je i-tá souřadnice vektoru x rovnost vektorů: x = y i = 1,..., n : x i = y i grafická reprezentace vektorů pro n = 2, 3

Operace na vektorech 3/19 Definice: Necht a = (a 1,..., a n ), b = (b 1,..., b n ) R n, α R. součet: a + b = (a 1 + b 1,..., a n + b n ) R n α-násobek: α a = (α a 1,..., α a n ) R n Věta: (neučte se zpaměti, stačí umět používat) a, b R n α, β R: (i) a + b = b + a (ii) ( a + b) + c = a + ( b + c) (iii) α ( a + b) = α a + α b (iv) (α + β) a = α a + β a (v) (α β) a = α (β a) Dk: Rozepsáním definice.

Lineární kombinace vektorů 4/19 Definice: Necht a 1, a 2,..., a k R n jsou vektory a necht α 1, α 2,..., α k R jsou reálná čísla. Vektor a = α 1 a 1 + α 2 a 2 + + α k a k = k α i a i i=1 nazýváme lineární kombinací (LK) vektorů a 1,..., a k. Čísla α 1,..., α k... koeficienty této lineární kombinace. Triviální lineární kombinace... všechna α i = 0. (Je vždy rovna nulovému vektoru o = (0,..., 0)). Netriviální lineární kombinace... alespoň jedno α i 0.

Lineární nezávislost vektorů (1) 5/19 Definice: Systém vektorů a 1,..., a k R n nazýváme lineárně nezávislým (LN), jestliže pouze triviální lineární kombinace těchto vektorů je rovna o. Systém vektorů a 1,..., a k R n nazýváme lineárně závislým (LZ), jestliže není LN, t.j. existuje alespoň jedna netriviální lineární kombinace těchto vektorů, která je rovna o. Větička: (přeformulování definice) Systém vektorů a 1,..., a k R n je LN právě tehdy, když platí implikace k α i a i = o α 1 = = α k = 0. i=1 Příklad: Vektory a = (1, 0, 2), b = (0, 2, 3), c = ( 1, 1, 1) jsou LN. Vektory u = (1, 0, 1), v = (1, 1, 0), w = (2, 1, 1) jsou LZ.

6/19 Lineární nezávislost vektorů (2) Věta: Systém vektorů a 1,..., a k R n je LN žádný z vektorů nelze vyjádřit jako lineární kombinaci ostatních vektorů. Ekvivalentně: Systém a 1,..., a k R n je LZ některý z vektorů je lineární kombinací ostatních vektorů. Věta: (využijeme později při určování hodnosti matice) Následující úpravy nemění LZ/LN vektorů a 1,..., a k : vynásobení některého vektoru a i nenulovým číslem přičtení nějakého vektoru a i k vektoru a j Důsledek: Přičteme-li k některému vektoru (např. a 1 ) lineární kombinaci ostatních vektorů, LZ/LN systému se nezmění. Formálně: Označme b 1 = a 1 + k i=2 α i a i. a 1,..., a k jsou LN b 1, a 2,..., a k jsou LN

Matice A = a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n.... a m1 a m2 a mn Rm n A - matice typu (m, n), (též m n matice) (a i1,, a in ) R n - i-tý řádkový vektor matice A (a 1j,, a mj ) T R m - j-tý sloupcový vektor matice A (a ij ) - prvek A v i-tém řádku a j-tém sloupci rovnost matic A = B i = 1,..., m, j = 1,..., n : a ij = b ij {a 11,..., a kk }, k = min{m, n} - hlavní diagonála matice A matice typu (n, n) se nazývá čtvercová matice 7/19

Operace s maticemi - sčítání, násobení číslem Definice: Jsou-li A, B matice stejného typu (m, n) a α R, pak součet matic A a B je matice A + B = C c ij = a ij + b ij. α - násobek matice A je matice α A = C c ij = α a ij. s prvky s prvky Věta: (neučte se zpaměti, stačí umět používat) Necht A, B, C jsou libovolné matice typu (m, n) a necht α, β R, pak platí: (i) A + B = B + A (ii) (A + B) + C = A + (B + C) (iii) α (A + B) = α A + α B (iv) (α + β) A = α A + β A (v) (α β) A = α (β A) Dk: Rozepsáním definice. 8/19

Operace s maticemi - násobení (1) Definice (připomenutí ze SŠ): Necht a = (a 1,..., a n ), b = (b 1,..., b n ) R n. Skalární součin vektorů a a b je reálné číslo a b n = a 1 b 1 + + a n b n = a i b i. Definice: Necht A R m k, B R k n. Součin matic A a B (v tomto pořadí!) je matice A B = C R m n s prvky c ij = a i b k j = a il b lj, kde a i je i-tý řádek matice A a b j je j-tý sloupec matice B. l=1 i=1 Poznámka: Prvek c ij = skal. součin i-tého řádku A a j-tého sloupce B. Násobení matic není komutativní (A B B A). 9/19

Operace s maticemi - násobení (2) Věta: (neučte se zpaměti, stačí umět používat) (Pokud mají uvedené operace smysl), platí: (i) (A B) C = A (B C) (ii) A (B + C) = A B + A C (iii) (A + B) C = A C + B C (iv) α (A B) = (α A) B = A (α B) Definice: Jednotková matice... čtvercová matice, která má na hlavní diagonále 1 a jinak samé 0. Značí se E (nebo E n ). 1 0 0 0 1 0 E =.... 0 0 1 Platí: Je-li A matice typu (m, n), pak E m A = A, A E n = A. 10/19

11/19 Operace s maticemi - transponování Definice: Necht A R m n. Transponovaná matice k matici A je matice A T = (b ji ) R n m, kde b ji = a ij ( i, j ). Poznámka: j-tý řádek matice A T je j-tý sloupec matice A i-tý sloupec matice A T je i-tý řádek matice A Věta: (neučte se zpaměti, stačí umět používat) (Pokud mají uvedené operace smysl) platí: (i) (A + B) T = A T + B T (ii) (α A) T = α A T (iii) (A B) T = B T A T (iv) (A T ) T = A Definice: Symetrická matice... čtvercová A, pro kterou platí A = A T.

12/19 Hodnost matice Definice: Říkáme, že matice A má hodnost k, jestliže k je maximální počet lineárně nezávislých řádků matice A. Píšeme h(a) = k. Věta: h(a) = h(a T ). (bez Dk) Důsledek: Je-li A matice typu (m, n), pak h(a) min{m, n}. Definice: Matici typu (m, n) nazýváme horní trojúhelníkovou maticí (HT-maticí) jestliže (i) m n (ii) a ii 0, pro i = 1,..., m (iii) a ij = 0, pro j < i. Věta: Hodnost HT-matice je rovna počtu jejích řádků.

13/19 Ekvivalentní úpravy Ekvivalentní úpravy matice: záměna dvou řádků nebo sloupců vynásobení řádku nebo sloupce nenulovým číslem přičtení násobku řádku k jinému řádku (analogicky pro sloupce) vynechání nulového řádku (sloupce) Definice: Pokud matice B vznikla z matice A ekvivalentními úpravami, říkáme, že B je ekvivalentní A a značíme B A. Věta: Je-li A B, potom h(a) = h(b). Věta: Každou matici lze postupným prováděním ekvivalentních úprav převést na HT-matici.

Determinanty 14/19

Definice determinantu 15/19 Necht A je čtvercová matice. Definice (rozvoj determinantu podle k-tého řádku): Je-li A matice 1 1, tj. A = [a ]. Pak definujeme det A = a. Necht A je matice n n. Označme symbolem M ij determinant čtvercové matice řádu (n 1), která vznikne z matice A vynecháním i-tého řádku a j-tého sloupce. Zvolme libovolně k N, 1 k n. Potom determinant matice A číslo det A = ( 1) k+1 a k1 M k1 + + ( 1) k+n a kn M kn n = ( 1) k+j a kj M kj j=1 Názvosloví: M ij... minor (n 1)-ho řádu k prvku a ij A ij := ( 1) i+j M ij... algebraický doplňek prvku a ij Poznámka: V literatuře je obvyklá jiná definice determinantu (pomocí permutací).

16/19 Determinanty - vlastnosti rozvoje Platí: (bez Dk) (i) Hodnota determinantu nezávisí na volbě řádku, podle kterého determinant rozvíjíme. (ii) Podobně lze udělat rozvoj podle k-tého sloupce det A = n a ik A ik i=1 a hodnota determinantu se také nezmění. (iii) det A = det A T.

Determinanty 2x2 a 3x3 Věta: det [ a 11 a 12 a 21 a 22 ] = a 11 a 22 a 12 a 21 Věta (Sarrusovo pravidlo): a 11 a 12 a 13 det a 21 a 22 a 23 = a 11 a 22 a 33 + a 21 a 32 a 13 + a 12 a 23 a 31 a 31 a 32 a 33 a 13 a 22 a 31 a 32 a 23 a 11 a 21 a 12 a 33 + a11 + a12 + a13 a11 a12 a 21 a22 a 31 a 32 a23 a21 a 31 a33 a22 a 32 17/19

Determinanty - výpočet převodem na HT-matici Věta: (i) Determinant matice A se nezmění, přičteme-li k řádku (sloupci) matice A libovolný násobek jiného řádku (sloupce) matice A. (ii) Vznikne-li matice B z matice A vynásobením jejího řádku (sloupce) číslem α, platí det B = α det A. (tj. z řádku (sloupce) lze vytknout číslo α před determinant) (iii) Vznikne-li matice B z matice A zaměněním dvou řádků (sloupců) matice A, platí det B = det A. Věta: Je-li A = (a ij ) čtvercová HT-matice řádu n, je n det A = a 11 a 22... a nn = a ii. i=1 18/19

Determinanty - další vlastnosti Definice: Čtvercová matice A je regulární, jestliže det A 0, čtvercová matice A je singulární, jestliže det A = 0. Věta: Je-li A čtvercová matice řádu n, pak det A 0 h(a) = n Dk: (plyne z převodu na HT-matici) Důsledek: Je-li A čtvercová matice řádu n, pak A je regulární det A 0 h(a) = n řádky A jsou LN sloupce A jsou LN Věta: (bez Dk) Jsou-li A a B čtvercové matice řádu n, pak platí det A B = det A det B 19/19