1 Vektorové prostory.

1 Vektorové prostory DefiniceMnožinu V, jejíž prvky budeme označovat a, b, c, z, budeme nazývat vektorovým prostorem právě tehdy, když budou splněny následující podmínky: 1 Je dáno zobrazení V V V, které každé uspořádané dvojici (a, b) V V přiřazuje prvek a + b V tak, že platí: (a) (b) (c) (d) a, b V : a + b = b + a a, b, c V : a + (b + c) = (a + b) + c o V, a V : a + o = a a V, ( a) V : a + ( a) = o Prvky množiny V budeme nazývat vektory, zobrazení V V V nazýváme sčítání na množině V, vektor a + b se nazývá součet vektorů a, b 2 Je dáno zobrazení R V V, které každé uspořádané dvojici (c, a) (R V ) přiřazuje vektor ca V tak, že platí: (a) a V : 1a = a (b) c, d R, a V : c(d a) = (cd) a (c) c, d R, a V : (c + d) a = c a + d a (d) c R, a, b V : c (a + b) = c a + c b Toto zobrazení budeme nazývat násobením vektorů reálným číslem, vektor c a se nazývá c - násobek vektoru a Množina V je neprázdná, neboť je zaručena existence prvku o, tento prvek nazýváme nulový vektor Podobně vektor ( x) nazýváme vektor opačný k vektoru x Aritmetický vektorový prostor R n Jde o vektorový prostor všech uspořádaných n tic reálných čísel Snadno ověříte, že pokud definujeme operace sčítání dvou uspořádaných n tic jako sčítání po složkách, tj (a 1, a 2,, a n ) (b 1, b 2,, b n ) = = (a 1 + b 1, a 2 + b 2,, a n + b n ) a násobení vektoru reálným číslem jako násobení po složkách, tj α (a 1, a 2,, a n ) = (α a 1, α a 2,, α a n ), tak tímto způsobem definované operace vyhovují definici vektorového prostoru Jedná se nejdůležitější příklad vektorového prostoru Příklad Vypočtěte souřadnice vektoru w, pro který platí: Řešení w = 3(2, 6, 4, 3) 2( 3, 1, 2, 4) + 4(7, 6, 3, 2) w = 3(2, 6, 4, 3) 2( 3, 1, 2, 4) + 4(7, 6, 3, 2) = (6, 18, 12, 9) + (6, 2, 4, 8) + (28, 42, 12, 8) = = (40, 58, 20, 7) Definice Nechť S = {u 1, u 2,, u n } je skupina vektorů ve vektorovém prostoru V Potom vektor v = α 1 u 1,, α n u n, kde všechna α i R, se nazývá lineární kombinace skupiny vektorů S Vektor w je tedy podle definice lineární kombinací vektorů (2, 6, 4, 3), ( 3, 1, 2, 4) a (7, 6, 3, 2) Definice Nechť S = {u 1, u 2,, u n } je skupina vektorů ve vektorovém prostoru V (1) Nechť n > 1 Potom o skupině vektorů S řekneme, že je lineárně závislá, jestliže alespoň jeden ze skupiny vektorů je lineární kombinací ostatních vektorů této skupiny V opačném případě říkáme, že skupina S je lineárně nezávislá 1

(2) Nechť n = 1 O skupině S řekneme, že je lineárně závislá, jestliže u 1 = o V opačném případě řekneme, že S je lineárně nezávislá Definice Nechť ve vektorovém prostoru V existuje skupina vektorů B = {a 1,, a n } těchto dvou vlastností: (1) B je lineárně nezávislá skupina vektorů, (2) každý vektor x V je lineární kombinací skupiny vektorů B Potom V nazýváme konečně rozměrným vektorovým prostorem a B nazýváme bází vektorového prostoru V Definice Dimenzí vektorového prostoru rozumíme číslo, které označujeme dim V a které definujeme takto: (1) dim V = 0 právě tehdy, když V je triviální vektorový prostor (2) dim V = n právě tehdy, když V má bázi složenou z n vektorů Definice Nechť W je neprázdná podmnožina vektorového prostoru V Jestliže vzhledem k operacím sčítání vektorů a násobení vektoru reálným číslem je W vektorovým prostorem, potom W nazýváme vektorovým podprostorem vektorového prostoru V a píšeme W V Definice Množinu všech lineárních kombinací skupiny vektorů W = {w 1,, w n } z vektorového prostoru V budeme nazývat lineárním obalem skupiny vektorů W a označovat ji 2 Matice a její hodnost Definice Schéma mn reálných čísel A = (a mn ) = L w 1,, w n a 11, a 12,, a 1n a 21, a 22,, a 2n a m1, a m2,, a mn nazýváme maticí typu (m, n) Poznámky: Čísla a ij nazýváme prvky matice (1) Prvky a ii se nazývají diagonální prvky a v matici tvoří hlavní diagonálu Matice (1) se skládá z m řádků, každý z nich můžeme chápat jako n rozměrný aritmetický vektor Dále se matice skládá z n sloupců, každý z nich můžeme chápat jako m rozměrný aritmetický vektor Jestliže jsou v matici všechny diagonální prvky různé od nuly a všechny prvky pod hlavní diagonálou rovny nule, mluvíme o horní lichoběžníkové matici (ve speciálním případě m = n o horní trojúhelníkové matici) Jsou-li všechny prvky matice (1) rovny nule, nazýváme ji nulovou maticí a označuje ji O mn nebo stručně O Jestliže m = n, nazývá se matice (1) čtvercová matice Čtvercová matice, jejíž všechny diagonální prvky se rovnají jedné a jejíž ostatní prvky se rovnají nule, se nazývá jednotková matice Budeme ji značit J Definice Dvě matice A, B se sobě rovnají (značíme A = B), jestliže jsou stejného typu a pro všechny uspořádané dvojice (i, j) platí a ij = b ij Definice Hodností matice A typu (m, n) nazýváme číslo, které je rovné dimenzi lineárního obalu řádků matice chápaných jako n-rozměrné aritmetické vektory Hodnost matice A označujeme h(a) Z této definice vyplývá, že hodností matice rozumíme číslo udávající maximální počet jejích lineárně nezávislých řádkových vektorů Definice Dvě matice se nazývají ekvivalentní, jestliže mají stejný počet sloupců a stejnou hodnost Úpravy, které převádějí matici v matici s ní ekvivalentní nazýváme ekvivalentní úpravy Věta Následující operace patří mezi ekvivalentní úpravy: a) Změna pořadí řádkových vektorů b) Vynásobení řádkového vektoru nenulovým číslem c) K libovolnému řádkovému vektoru přičteme lineární kombinaci zbývajících řádkových vektorů (1) 2

d) Jestliže je některý řádkový vektor lineární kombinací ostatních řádkových vektorů, potom jej vynecháme e) Připojení dalšího řádkového vektoru, který je lineární kombinací řádkových vektorů matice f) Záměna pořadí sloupcových vektorů Gaussův algoritmus výpočtu hodnosti matice spočívá v tom, že danou matici převedeme pomocí ekvivalentních úprav na horní lichoběžníkovou matici Hodnost (tj počet řádků) této horní lichoběžníkové matice je rovna hodnosti původní matice Poznámka Gaussova metoda umožňuje rozhodnout o dané skupině vektorů v aritmetickém vektorovém prostoru, zda je či není lineárně závislá, vypočítat dimenzi vektorového prostoru určeného skupinou generátorů, popřípadě stanovit bázi takového podprostoru Příklad Určeme hodnost matice A: A = Řešení: Použijeme Gaussův algoritmus A 0, 4, 1, 3, 9 0, 8, 9, 2, 9 0, 4, 1, 3, 9 2, 6, 3, 0, 1 1, 1, 3, 1, 5 2, 2, 13, 2, 1 0, 4, 1, 3, 9 0, 8, 9, 2, 9 0, 4, 1, 3, 9 Získali jsme horní lichoběžníkovou matici, která má hodnost 3 Proto je h(a) = 3 3 Soustavy lineárních algebraických rovnic Definice Soustava rovnic a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1, a 21 x 1 + a 22 x 2 + + a 2n x n = b 2, a m1 x 1 + a m2 x 2 + + a mn x n = b m, (2) kde a ij, b i jsou reálná čísla a x i neznámé, se nazývá soustava m lineárních algebraických rovnic o n neznámých, stručně soustava lineárních rovnic Definice Matice a 11, a 12,, a 1n a 21, a 22,, a 2n a m1, a m2,, a mn je tzv matice soustavy (2) a matice se nazývá rozšířená matice soustavy (2) a 11, a 12,, a 1n a 21, a 22,, a 2n a m1, a m2,, a mn b 1 b 2 b m 3

Definice Řešením soustavy (2) nazýváme každý aritmetický vektor u = (u 1, u 2,, u n ) R n, jehož složky u i dosazeny za neznámé x i přemění soustavu m rovnic (2) v soustavu m rovností Definice Charakteristický vektor lineární rovnice je vektor, jehož složky jsou tvořeny koeficienty rovnice a pravou stranou této rovnice Definice Dvě soustavy lineárních rovnic se nazývají ekvivalentní, jestliže obě soustavy mají tytéž neznámé a jestliže množina všech řešení první soustavy je rovna množině všech řešení druhé soustavy Věta Každé řešení soustavy lineárních rovnic (2) je zároveň řešením každé rovnice, jejíž charakteristický vektor náleží do lineárního obalu všech řádků rozšířené matice soustavy (2) Věta Předpokládejme, že dvě soustavy lineárních rovnic mají tytéž neznámé zapsané v tomtéž pořadí Jestliže lineární obaly řádků rozšířených matic obou soustav jsou si rovny, potom obě soustavy rovnic jsou ekvivalentní Věta (Frobeniova) Soustava lineárních rovnic má alespoň jedno řešení právě tehdy, když matice soustavy a rozšířená matice soustavy mají tutéž hodnost Jestliže soustava lineárních rovnic o n neznámých má matici soustavy a rozšířenou matici soustavy téže hodnosti rovné číslu h, potom platí: 1 Jestliže h = n, soustava má právě jedno řešení 2 Jestliže h < n, soustava má nekonečně mnoho řešení Přitom všechna řešení dostaneme tak, že jistých n h neznámých volíme (všemi možnými způsoby) a zbývajících h neznámých (jednoznačně) vypočítáme 4 Soustavy homogenních lineárních algebraických rovnic Definice Soustava lineárních rovnic, jejichž pravé strany jsou rovny nule, se nazývá homogenní soustava lineárních rovnic Každou takovou soustavu můžeme zapsat ve tvaru: a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = 0, a 21 x 1 + a 22 x 2 + + a 2n x n = 0, a m1 x 1 + a m2 x 2 + + a mn x n = 0 (3) Poznámka: Soustava (3) je pouze speciálním případem soustavy (2) Má však některé speciální zajímavé vlastnosti Nejdůležitější z nich jsou obsahem následující věty Věta Soustava homogenních lineárních algebraických rovnic má vždy řešení Množina všech jejích řešení je vektorovým prostorem, jehož dimenze je rovna číslu n h, kde n je počet neznámých a h je hodnost matice soustavy Věta Množina M všech řešení soustavy lineárních rovnic (2) je vektorovým podprostorem vektorového prostoru R n Množina M je rovna součtu m + V libovolného (pevného) řešení m soustavy (2) s vektorovým prostorem V všech řešení příslušné soustavy homogenních rovnic (3) 5 Determinanty Uvažujme jednoduchou soustavu dvou lineárních rovnic o dvou neznámých x a y a snažme se nalézt nějaký vzorec vhodný k výpočtu této soustavy Budeme postupovat pomocí sčítací metody ax + by = p ax + by = p cx + dy = q cx + dy = q acx bcy = pc acx + ady = aq (ad bc)y = aq pc y = aq cp ad bc adx + bdy = pd bcx bdy = bq (ad bc)x = pd bq x = dp bq ad bc 4

Získané vztahy lze zobecnit i na soustavy vyšších řádů Při jejich odvozování budeme potřebovat determinanty Permutace Uvažujme neprázdnou množinu přirozených čísel M = {1, 2,, n} Každá uspořádaná n-tice (k 1, k 2,, k n ) (4) sestavená ze všech čísel množiny M se nazývá permutace množiny M Inverze Jestliže pro dva prvky z (4) platí i < j a současně k i > k j, potom se uspořádaná dvojice (k i, k j ) nazývá inverze v permutaci (4) Permutace, která má lichý, resp sudý počet všech inverzí, se nazývá lichá, resp sudá permutace PříkladJe dána množina M = {1, 2, 3} Určeme všechny možné permutace množiny M a rozhodněme, zda jsou sudé nebo liché Řešení: (1, 2, 3) sudá permutace bez inverzí, (1, 3, 2) lichá permutace s inverzí (3, 2), (2, 1, 3) lichá permutace s inverzí (2, 1), (2, 3, 1) sudá permutace s inverzemi (2, 1), (3, 1), (3, 1, 2) sudá permutace s inverzemi (3, 1), (3, 2), (3, 2, 1) lichá permutace s inverzemi (3, 2), (3, 1), (2, 1) Věta Jestliže v permutaci (4) zaměníme vzájemně dva prvky, změní se permutace z liché na sudou, resp ze sudé na lichou Determinant matice Předpokládejme, že je dána čtvercová matice Součet A = K=(k 1,,k n) a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n a n1 a m2 a nn ( 1) α a 1k1 a 2k2 a nkn (5) n! součinů, v němž se sčítá přes všechny permutace K = (k 1,, k n ) množiny M = {1,, n} a v němž α značí počet inverzí v permutaci K, nazýváme determinantem matice A a značíme jej det A Poznámka: Pro determinant užíváme tato další označení: a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n det A = det (a ij ) = A = a ij = a n1 a m2 a nn Příklad Vypočtěme determinant třetího stupně b 11 b 12 b 13 det B = b 21 b 22 b 23 b 31 b 32 b 33 Řešení: Pro n = 3 existuje 6 permutací množiny {1, 2, 3} Použijeme-li předchozí příklad a vzorec (5), můžeme psát: det B = b 11 b 22 b 33 + b 12 b 23 b 31 + b 13 b 21 b 32 (b 13 b 22 b 31 + b 11 b 23 b 32 + b 12 b 21 b 33 ) 5

Tento vzorec vyjadřuje tzv Sarussovo pravidlo pro výpočet determinatu třetího stupně; lze si jej snadno zapamatovat podle schématu + + + b 11 b 12 b 13 b 11 b 12 b 21 b 22 b 23 b 21 b 22 b 31 b 32 b 33 b 31 b 32 Věta Vyměníme-li ve čtvercové matici dva řádky, resp dva sloupce, je determinant nové matice roven minus determinantu původní matice Věta Je-li některý řádek, resp sloupec čtvercové matice A násobkem jiného řádku, resp sloupce, potom det A = 0 Věta Jestliže některý řádek, resp sloupec čtvercové matice je lineární kombinací ostatních řádků, resp sloupců, potom determinant této matice je roven nule Subdeterminant a doplněk Definice Ve čtvercové matici A vynechme i-tý řádek a j-tý sloupec Obdržíme tak matici typu (n 1, n 1) Její determinant označíme S ij a nazveme subdeterminantem prvku a ij v matici A Číslo D ij = ( 1) i+j S ij nazýváme doplňkem prvku a ij v matici A Příklad Vypočtěte doplňky k prvkům a 12, a 23, a 33 v matici A = 2 1 2 3 2 1 2 3 0 Řešení Pro S 12 platí, že příslušný determinant vznikne vynecháním prvního řádku a druhého sloupce z matice A Je tedy S 12 = 3 1 2 0 = 3 1 2 0 = 2 Analogicky se dopočítá, že D 12 = ( 1) 2+1 S 12 = ( 1) ( 2) = 2 D 23 = ( 1) 2+3 2 1 2 3 D 33 = ( 1) 3+3 2 1 3 2 = ( 1)5 4 = 4, = ( 1)6 1 = 1 Věta Nechť je dána čtvercová matice A = (a ij ) typu (n, n), nechť i, j {1,, n} Potom platí vzorec pro tzv rozvinutí determinantu podle prvků i-tého řádku det A = a i1 D i1 + a i2 D i2 + + a in D in (6) a vzorec pro tzv rozvinutí determinantu podle prvků j-tého sloupce det A = a 1j D 1j + a 2j D 2j + + a nj D nj (7) Příklad Pomocí rozvinutí podle prvků třetího řádku vypočítejme determinant matice A: 2 1 2 det A = 3 2 1 2 3 0 Řešení: Hodnotu determinantu určíme rozvinutím podle 3 řádku 2 1 2 3 2 1 2 3 0 = 2 ( 1)3+1 1 2 2 1 + 3 ( 1)3+2 2 2 3 1 + 6

+0 ( 1) 3+3 2 1 3 2 = 6 + 12 + 0 = 6 Často je výhodné počítat hodnotu determinantu pomocí rozvoje podle řádku či sloupce až po jistých úpravách Během těchto úprav využíváme dříve vyslovené věty i dvě následující věty Věta Vynásobíme-li některý řádek, resp sloupec čtvercové matice číslem α R, potom determinant nové matice se rovná α-násobku determinantu původní matice Věta Jestliže k některému řádku, resp sloupci čtvercové matice přičteme lineární kombinaci zbývajících řádků, resp sloupců, potom determinant nové matice se rovná determinantu původní matice Tyto dvě věty umožňují urychlit výpočet Je výhodné upravit determinant tak, aby se v nějakém řádku či sloupci nacházelo co nejvíce nulových prvků Doplňky k těmto prvkům pak není nutné počítat, protože při výpočtu hodnoty determinantu jsou násobeny nulou Příklad Vypočtěte hodnotu determinantu 2 3 2 5 3 1 2 5 3 2 1 2 2 1 3 2 Řešení: Pro přehledný výpočet upravíme determinant tak, aby jej bylo možné rozvinout podle prvního sloupce, přičemž se snažíme, aby se v levém horním rohu nacházelo číslo 1 Nejdříve prohodíme první a druhý sloupec, čímž se budou postupně měnit znaménka u determinantu Tím získáme 2 3 2 5 3 1 2 5 3 2 1 2 2 1 3 2 = ( 1) 3 2 2 5 1 3 2 5 2 3 1 2 1 2 3 2 = 1 2 3 2 1 3 2 5 2 3 1 2 3 2 2 5 Dále postupně upravíme druhý, třetí a čtvrtý řádek tak, že k nim přičteme lineární kombinaci prvního řádku (tedy jeho reálný násobek) a to takovým způsobem, aby všechny tyto tři řádky měly na začátku nulový prvek První řádek opíšeme beze změny, k druhému řádku přičteme ( 1) násobek prvního řádku - touto operací dosáhneme nuly na počátku druhého řádku Analogicky k třetímu řádku přičteme ( 2) násobek prvního řádku a k poslednímu řádku přičteme ( 3) násobek prvního řádku Tím postupně dostaneme 1 2 3 2 1 3 2 5 2 3 1 2 3 2 2 5 = 1 2 3 2 0 1 1 3 0 1 5 2 0 4 7 1 Následným rozvinutím podle prvního sloupce získáme 1 1 3 1 1 5 2 4 7 1 + 0 D 21 + 0 D 31 + 0 D 41 = 1 1 3 = 1 5 2 4 7 1 = 1 1 3 0 6 1 0 11 11 = 6 1 11 11 = = 6 11 ( 11 1) = 55 Věta (Cramerovo pravidlo) Nechť je dána soustava n rovnic o n neznámých a 11 x 1 + + a 1n x n = b 1, a n1 x 1 + + a nn x n = b n (8) Nechť determinant matice A této soustavy je různý od nuly, tj det A = 0 Potom soustava (8) má právě jedno řešení a platí: x i = det B i det A pro všechna i {1,, n}, (9) 7

kde B i je matice, která vznikne z matice A tak, že i-tý sloupec matice A nahradíme aritmetickým vektorem pravých stran soustavy (8) a ostatní sloupce ponecháme beze změny Příklad Nalezněte řešení soustavy rovnic: x + 2y z = 3 2x + z = 7 x 2y + z = 7 Řešení: Postup je zcela mechanický Vypočtěme hodnoty jednotlivých determinantů 1, 2, 1 det A = 2, 0, 1 1, 2, 1 = 4, det B 3, 2, 1 1 = 7, 0, 1 7, 2, 1 = 8, Tedy: det B 2 = 1, 3, 1 2, 7, 1 1, 7, 1 = 4, det B 3 = 1, 2, 3 2, 0, 7 1, 2, 7 = 12 x = det B 1 det A = 8 4 = 2, y = det B 2 det A = 4 4 = 1, z = det B 3 det A = 12 4 = 3 Z uvedeného výpočtu lze snadno odvodit následující větu Věta Hodnota determinantu horní trojúhelníkové matice je rovna součinu prvků na diagonále matice Příklad Vypočtěte hodnotu determinantu a 3 2 5 0 b 2 5 0 0 c 2 0 0 0 d Řešení: Postupným rozvojem determinantů podle prvního sloupce budeme dostávat následující rovnosti a 3 2 5 0 b 2 5 b 2 5 0 0 c 2 = a 0 c 2 0 0 0 d 0 0 d = a b c 2 0 d = a b c d Získaný výsledek je zdůvodněním poslední uvedené věty Lze snadno zobecnit na determinanty o jiných rozměrech 8