Přehled probrné látky z MAII, LS 2004/05 1. přednášk 21.2.2005. Opkování látky o primitivních funkcích ze závěru zimního semestru (23.-25. přednášk). Rozkld rcionální funkce n prciální zlomky. Popis hledání primitivní funkce k obecné rcionální funkci p(x)/q(x) (s reálnými koeficienty) pomocí rozkldu n součet prciálních zlomků; výsledná primitivní funkce je obecně tvru r(x) + s 1 log(u 1 (x)) + + s m log(u m (x)) + 1 rctg(b 1 (x)) + + n rctg(b n (x)), kde r(x) je rcionální funkce, s i i jsou konstnty, u i (x) jsou kvdrtické b i (x) lineární polynomy. 2. přednášk 28.2.2005. URČITÝ INTEGRÁL. Dělení intervlu D, zjemnění dělení, dolní horní riemnnovská sum s(f, D) S(f, D), horní dolní Riemnnův integrál funkce f n intervlu [, b]. Lemm: Zjemněním dělení D sum s(f, D) vzroste (nebo zůstne stejná) S(f, D) poklesne (nebo zůstne stejná). Lemm: s(f, D) S(f, E) pro kždá dvě dělení D E. Důsledek: m(b ) s(f, D) f dx f dx S(f, E) M(b ), kde D E jsou dělení [, b] m (M) je inf (sup) funkce f n [, b]. Riemnnův integrál funkce n intervlu, riemnnovsky integrovtelné funkce. Vět 1 (proximce d. h. integrálu riemnnovskými summi): Je-li f omezená reálná funkce n [, b] D 1, D 2,... je posloupnost dělení intervlu [, b] tková, že mx. délk intervlu v D n pro n jde k nule, potom f dx = sup{s(f, D n) : n = 1, 2,...} = lim n s(f, D n ) podobně pro horní integrál. 3. přednášk 7.3.2005. Příkld výpočtu R.-ov integrálu z definice: 1 0 x2 dx = 1/3. Vět 2 (kritérium existence R.-ov integrálu): Omezená funkce f má n [, b] R.-ův integrál, právě když pro kždé ε > 0 existuje dělení D tohoto intervlu tkové, že S(f, D) s(f, D) < ε. Stejnoměrně spojité funkce. Příkld funkce, jež je n intervlu spojitá, le ne stejnoměrně. Vět 3 (spojitost n kompktním intervlu implikuje stejnoměrnou spojitost): Je-li f n [, b] spojitá, je n tomto (uzvřeném omezeném) intervlu stejnoměrně spojitá. Vět 4 (spojitá funkce má R.-ův integrál): Je-li f n [, b] spojitá, má n [, b] R.-ův integrál. Vět 5 (monotonie R.-ův integrál): Je-li f n [, b] monotonní, má n [, b] R.-ův integrál. Vět 6 (vlstnosti R.-ov integrálu): ) (linerit) Jsou-li f, g n [, b] r.-ovsky integrovtelné, pltí to i pro jejich součet (f + g) dx = f dx + g dx, podobně pro násobek funkce; b) (monotonie) je-li f(x) g(x) pro kždé x z [, b], stejná nerovnost pltí pro r.-ovy integrály obou funkcí (existují-li); c) (ditivit vzhledem k intervlu integrce) f je r.-ovsky integrovtelná n [, c], právě když je r.-ovsky integrovtelná n [, b] i n [b, c] (kde < b < c) pk c f dx = f dx + c f dx; dokončení b důkzu příště. 4. přednášk 14.3.2005. Dokončení důkzu. Důsledky (V6.c): Je-li f r.- ovsky integrovtelná n [, b], je r.-ovsky integrovtelná n kždém podintervlu; f dx + c vné (užíváme konvenci b f dx + f dx = 0, jsou-li lespoň dv integrály defino- c f dx = f dx). Vět 7 (vlstnosti integrálu b jko funkce integrční meze): Má-li f R.-ův integrál n kždém podintervlu [, b] intervlu J, je funkce F (x) = x f(t) dt (c je libovolný pevný c 1
bod z J) n intervlu J spojitá F (y) = f(y) pro kždý bod spojitosti y funkce f. Důsledek: Funkce spojitá n otevřeném intervlu n něm má primitivní funkci. Vět 7.5 (Riemnnův integrál = Newtonův integrál pro spojité funkce): Je-li f spojitá n [, b], potom kždá její primitivní funkce n (, b) má vlstní jednostrnné limity A, B v krjních bodech, b pltí B A = f(t) dt. Newtonův integrál funkce n intervlu (, b) newtonovsky integrovtelne funkce. Vzth tříd R(, b) N(, b) riemnnovsky newtonovsky integrovtelných funkcí. Vět (chrkterizce riemnnovsky integrovtelných funkcí): Omezená funkce n intervlu [, b] n něm má R.-ův integrál, právě když lze množinu jejích bodů nespojitosti pokrýt spočetně mnoh intervly s libovolně mlou celkovou délkou; bez důkzu. Přednášky 21.3.2005 28.3.2005 odpdly pro zhrniční služební cestu přednášejícího velikonoční pondělí. První z nich je nhrzen doplňkovým textem. 5. přednášk 4.4.2005. Vět 8 (per prtes pro urč. integrály): Jsou-li funkce f, g, f, g spojité n [, b], potom f g dx = (f(b)g(b) f()g()) fg dx. Vět 9 (substituce pro urč. integrály): Je-li f spojitá n [, b] g : [α, β] [, b] má n [α, β] spojitou derivci, máme β α f(g)g dx = g(β) f dx; je-li nvíc g n ryze monotonní, máme (totéž v jiném zápisu) g(α) f dx = g 1 (β) g 1 (α) f(g).g dx. Vět 10 (integrální kritérium konvergence řd): Je-li f n [ 1, ) spojitá, nezáporná nerostoucí ( je přir. číslo), potom řd f()+f(+1)+f(+2)+... konverguje, právě když je (Newtonův) f dx konečný. Plyne to z odhdu +1 f dx f()+f(+1)+...+f(b) 1 f dx (z předpokldů V10 o f). Čtyři příkldy n počítání součtů sum pomocí integrálů. 1. 1/1 s + 1/2 s +... konverguje, právě když s > 1. 2. 1/(2(log 2) s ) + 1/(3(log 3) s ) +... konverguje, právě když s > 1. 3. 1/1 + 1/2 +... + 1/n = log n+γ +O(1/n). 4. n! = c.n 1/2 (n/e) n (1+O(1/n)) (kde konstnt c je (2π) 1/2, le to nedokážeme). Definice délky křivky zdné jko úsek grfu funkce. Vět 11 (délk křivky): Má-li f n [, b] spojitou derivci, je délk grfu funkce f(x) n intervlu [, b] rovn (1 + (df/dx)2 ) 1/2 dx; bez důkzu. 6. přednášk 11.4.2005. Vět 12 (rotční těleso): Je-li f n [, b] spojitá nezáporná, je objem rotčního těles vzniklého rotcí útvru pod grfem f kolem osy x (v třírozměrném prostoru) rovný π f(x)2 dx; má-li f n [, b] spojitou derivci, má toto rotční těleso povrch pláště (bez obou bočních stěn) rovný 2π f(x)(1 + (f(x) ) 2 ) 1/2 dx; bez důkzu. POSLOUPNOSTI A ŘADY FUNKCÍ. Definice bodové, stejnoměrné lokálně stejnoměrné konvergence posloupnosti funkcí f n k funkci f n množině M. Příkldy n tyto typy konvergence. Vět 1 (ekvivlentní formulce stejnoměrné konvergence): Funkce f n stejnoměrně konvergují k funkci f n M, právě když s n 0, kde s n je supremum hodnot f n (x) f(x) n M. Vět 2 (Moore-Osgoodov, záměn pořdí funkční diskrétní limity): Nechť M obshuje prstencové okolí bodu z, pro kždé n existuje vlstní limit n := lim x z f n (x) posloupnost funkcí 2
f n konverguje n M stejnoměrně k f, potom existují vlstní limity lim n n lim x z f(x) rovnjí se. Důsledek: Stejnoměrná limit spojitých funkcí (n intervlu) je opět spojitá funkce. Lemm (Bolzno-Cuchyov podmínk pro posloupnosti funkcí): Posloupnost funkcí konverguje n M stejnoměrně, právě když je n M stejnoměrně cuchyovská; důkz je v doplňkovém textu. Vět 3 (záměn pořdí diskrétní limity derivování): Mjí-li funkce f n n intervlu (, b) vlstní derivce, které n něm konvergují lokálně stejnoměrně k funkci g posloupnost funkčních hodnot f n (x) konverguje pro lespoň jedno x z (, b), potom funkce f n konvergují n (, b) lokálně stejnoměrně k funkci f, jejíž derivce se n (, b) rovná g. Poznámk: Je-li konvergence derivcí stejnoměrná, potom i f n konvergují k f stejnoměrně; b le musí být konečné. 7. přednášk 18.4.2005. Vět 4 (záměn pořdí diskrétní limity integrování): Má-li kždá funkce f n n intervlu (, b) Newtonův integrál konverguje-li (f n ) n (, b) stejnoměrně k f, má tké f n (, b) Newtonův integrál f(x) dx = lim n f n(x) dx; důkz je v doplňkovém textu. Vět 5 (Diniho): Konverguje-li n [, b] posloupnost (f n ) monotóně k f, přičemž f n i f jsou spojité, je tto konvergence stejnoměrná; bez důkzu. Vět 6 (Weierstrssov): Kždá funkce spojitá n [, b] tm je stejnoměrnou limitou posloupnosti polynomů; bez důkzu. Poznámk: Je-li f spojitá n [0, 1] B n (f, x) = n k=0 ( n k) f(k/n)x k (1 x) n k jsou tzv. Bernsteinovy polynomy, potom B n (f, x) konvergují n [0, 1] stejnoměrně k f. Bodová, lokálně stejnoměrná stejnoměrná konvergence řd funkcí. Vět 7 (Weierstrssovo kritérium): Pokud číselná řd s 1 +s 2 +s 3 +... konverguje, přičemž s n = sup M f n, potom řd funkcí f 1 + f 2 + f 3 +... konverguje n M stejnoměrně. Vět 8 (záměn pořdí sumce derivce): Mjí-li funkce f n n intervlu (, b) vlstní derivce, jejichž součet (tj. řd) n něm konverguje lokálně stejnoměrně k funkci g číselná řd f 1 (x) + f 2 (x) +... konverguje pro lespoň jedno x z (, b), potom řd f 1 + f 2 +... konverguje n (, b) lokálně stejnoměrně k funkci f, jejíž derivce se n (, b) rovná g. Poznámk: Je-li konvergence řdy derivcí stejnoměrná, potom i řd f 1 +f 2 +... konverguje k f stejnoměrně; b le musí být konečné. Příkld: Sečtení řdy x x 3 /3+x 5 /5... (M = ( 1, 1)). Vět 9 (záměn pořdí sumce integrování): Anlogie V4 pro řdy funkcí. Vět 10 (Abelovo kritérium): Konverguje-li řd f 1 +f 2 +f 3 +... n M stejnoměrně, posloupnost funkcí (g n ) je n M stejně omezená pro kždé x z M je posloupnost (g n (x)) monotónní, potom řd f 1 g 1 + f 2 g 2 + f 3 g 3 +... n M konverguje stejnoměrně. Vět 11 (Dirichletovo kritérium): Má-li řd f 1 +f 2 +f 3 +... n M stejně omezené částečné součty, posloupnost funkcí (g n ) n M stejnoměrně konverguje k nulové funkci pro kždé x z M je posloupnost (g n (x)) monotónní, potom řd f 1 g 1 + f 2 g 2 + f 3 g 3 +... n M konverguje stejnoměrně. Důkzy V10 V11 jsou v doplňkovém textu. MOCNINNÉ ŘADY. Vše v reálném oboru. Mocninná řd s koeficienty n se středem v : 0 + 1 (x )+ 2 (x ) 2 +... (vše je reálné). Vět 1 (poloměr konvergence mocninné řdy): Pro kždou m. řdu (se středem v ) existuje právě jedno reálné číslo R z [0, ], že pro x splňující x < R řd bsolutně konverguje pro x splňující x > R řd diverguje, o dvou krjních bodech x = ± R se nic netvrdí. Vět 2 (vý- 3
počet poloměru konvergence m. řdy): R = 1/ lim sup n 1/n. Důkzy V1 V2 budou příště. 8. přednášk 25.4.2005. Důkzy Vět 1 2. Příkldy m. řd, jejich středů poloměrů konvergence. Vět 3 (lokálně stejnoměrná konvergence m. řdy): Má-li m. řd střed poloměr konvergence R > 0, konverguje lokálně stejnoměrně n ( R, + R). Vět 4 (derivce m. řdy): Má-li m. řd M = 0 + 1 (x ) + 2 (x ) 2 +... poloměr konvergence R > 0, má i N = 1 +2 2 (x )+3 3 (x ) 2 +... poloměr konvergence R N n intervlu ( R, +R) určuje funkci, jež je derivcí funkce určené M. Vět 5 (primitivní funkce k m. řdě): Má-li m. řd M = 0 + 1 (x ) + 2 (x ) 2 +... poloměr konvergence R > 0, má i m. řd N = c + 0 (x ) + 1 (x ) 2 /2 + 2 (x ) 3 /3 +... poloměr konveregence R N n intervlu ( R, + R) určuje funkci primitivní k funkci určené M. Vět 6 (Abelov): Má-li m. řd M = 0 + 1 (x ) + 2 (x ) 2 +... poloměr konvergence 0 < R < konverguje-li v x = + R k číslu s, potom se s rovná limitě funkce určené M v bodě + R zlev. Příkld: sečtení číselné řdy 1 1/2 + 1/3 1/4 +... pomocí Abelovy věty. Něco k motivci mocninných řd. Jcobiho identit pro počet vyjádření čísl n jko součtu čtyř čtverců. Více příště. 9. přednášk 2.5.2005. Mocninné řdy jsou hlvním nástrojem kombintorické enumerce. Příkld: 1+p(1)x+p(2)x 2 +... = 1/((1 x)(1 x 2 )(1 x 3 )...), kde p(n) je počet rozkldů čísl n. Důkz pomocí m. řd toho, že počet rozkldů přirozeného čísl n n různé části je stejný jko počet rozkldů n n liché části. FOURIEROVY ŘADY. Fourierov řd funkce f(x), která je 2π-periodická n [ π, π] má Riemnnův integrál, je řd 0 /2 + 1 cos(x) + b 1 sin(x)+ 2 cos(2x)+b 2 sin(2x)+..., kde n = (1/π) π f(x) cos(nx) dx pro π b n máme stejnou formuli se sin(nx). Tvrzení (ortogonlit sinů cosinů, zákld všeho): Oznčme jko f, g integrál π f(x)g(x) dx, potom (m, n π jsou nezáporná celá čísl) sin(mx), cos(nx) je vždy 0 sin(mx), sin(nx) = cos(mx), cos(nx) = 0 pro m různé od n = π pro m = n > 0. 10. přednášk 9.5.2005. Vlstnosti sklárního součinu, : symetrie, bilinerit f, f 0. Vět 1 (Besselov nerovnost): Má-li f n [ π, π] Riemnnův integrál, potom je součet čtverců jejích Fourierových koeficientů ( 0 /2 přejde n 2 0/2) nnejvýš π π f(x)2 dx. Vět 2 (Riemnnnovo-Lebesgueovo lemm): Má-li f n [ π, π] Riemnnův integrál, potom lim n f(x), sin(nx) = 0 totéž pro cos(nx). Po částech spojité po částech hldké funkce. Lemm: (1/2) +cos x+cos(2x) +... +cos(nx) = (sin(n+1/2)x)/(2 sin(x/2)). Důsledek: Předchozí funkce má přes intervl [0, π] integrál π totéž přes intervl [ π, 0]. Vět 3 (O konvergenci Fourierovy řdy): Nechť f je 2π-periodická n [ π, π] po částech hldká, potom její Fourierov řd n R bodově konverguje k funkci (f(x + 0) + f(x 0))/2. 11. přednášk 16.5.2005. Vět 4 (O stejnoměrné konvergenci Fourierovy řdy): Je-li f 2π-periodická, po částech hldká spojitá n R, potom její Fourierov řd n R konverguje stejnoměrně k f. Vět 5: Je-li f 2π-periodická po částech hldká, pk její Fourierov řd k ní stejnoměrně konverguje n kždém kompktním intervlu spojitosti; bez důkzu. Dv příkldy n Fourierovy řdy: 1) f(x) = x 2 n intervlu [0, π), rozvoj do cosinové řdy 2) 4
f(x) = π x n intervlu ( π, π), rozvoj do Fourierovy řdy; důsledky: číselné identity 1 + 1/4 + 1/9 +... = π 2 /6 1 1/3 + 1/5 1/7 +... = π/4. ME- TRICKÉ PROSTORY. Definice, příkldy metrických prostorů: l 1 -, l 2 -, l - metriky n R n, supremová metrik n množině funkcí. 12. přednášk 23.5.2005. Dlší příkldy metr. prostorů (integrální metrik, diskrétní metrik), otevřená uzvřená koule, otevřená uzvřená množin. Vět 1 (vlstnosti otevřených množin): Prázdná množin celý metr. prostor jsou otevřené množiny, otevřené množiny se zchovávjí konečnými průniky libovolnými sjednoceními. Vět 2 (vlstnosti uzvřených množin): Prázdná množin celý metr. prostor jsou uzvřené množiny, uzvřené množiny se zchovávjí konečnými sjednoceními libovolnými průniky. Uzávěr vnitřek množiny. Vět 3 (vlstnosti uzávěru množiny): (i) uzávěr prázdné množiny všeho je zse totéž, (ii) uzávěr uzávěru je uzávěr, (iii) uzávěr sjednocení (dvou) množin jsou záměnné operce, (iv) uzávěr množiny jsou presně ty prvky metr. prostoru, které od ní mjí nulovou vzdálenost (v) je-li A podmnožinou B, totéž pltí i pro uzávěry obou množin. 5
Termíny zkoušek: Písemky 1.6.05, 8.6.05, 14.6.05, 22.6.05, 29.6.05 21.9.05 v K1 dlších posluchárnách v Krlíně. Dlší informce (ústní část) viz SIS; zpisujte se prosím do SISu. Písemná část zkoušky (prověření početní dovednosti): trvá 2 hodiny sestává ze 4 příkldů: primitivní funkce Newtonův integrál (15 bodů), bodová stejnoměrná konvergence posloupností řd funkcí (15 bodů), mocninná řd (10 bodů) Fourierov řd (10 bodů); celkem mximálně 50 bodů. Pro složení písemné části zkoušky pro postup k ústní části zkoušky je třeb získt lespoň 25 bodů (výsledek z jedné písemky se zpočítává do všech zkoušek, po úspěšném složení ji nemusíte opkovt). Zpočítávjí se vám bodové zisky z testu 8.4.2005 bodové zisky z testu 20.5.2005, jsou-li lespoň 4 body z příkldu. Jsou povoleny běžné pscí potřeby písemné mteriály (tj. poznámky z přednášek). Technické pomůcky (mobilní telefony, klkulčky, notebooky, td.) nejsou povoleny. Příkld zkouškové písemky je n www strně doc. L. Pick. Ústní část zkoušky (prověření teoretických znlostí) obshuje 2 otázky: (1) temtický okruh (několik k sobě temticky ptřících výsledků vět, popř. příkldů, vyždovných bez důkzu) (2) vět (věty) s důkzem (důkzy). Otázky si budete losovt z níže uvedených seznmů. Rozumí se, že v ústní části nejsou povoleny ni technické pomůcky ni písemné mteriály (poznámky z přednášek, učebnice td.). V celkovém hodnocení zkoušky mjí písemná i ústní část stejnou váhu, npř. 3 z písemky + 1 z ústní části = celková 2. Orientční bodové hodnocení písemné části: 25-33 bodů je z 3, 33-41 bodů je z 2 41-50 bodů je z 1. Pro hodnocení ústní části nestnovuju žádné přesné bodové schém. Otázky pro ústní část 1. Temtické okruhy (věty výsledky bez důkzů). 1. Popište postup integrce obecné rcionální funkce. 2. Definujte Riemnnův integrál funkce. 3. Uveďte zákldní výsledky o Riemnnově integrálu třídách riemnnovsky integrovtelných funkcí (V1 ž V6). 4. Uveďte dlší výsledky o Riemnnově integrálu jeho plikcích souvislost s Newtonovým integrálem (V7 ž V12). 5. Definujte jednotlivé typy konvergence posloupností funkcí uveďte Bolzno- Cuchyovu podmínku stejnoměrné konvergence souvislost mezi lokálně stejnoměrnou stejnoměrnou konvergencí. 6. Uveďte věty o záměně pořdí limity dlší operce, umožněné stejnoměrnou konvergencí, to i pro řdy funkcí (V2, V3 V4 pro posloupnosti, V8 V9 pro řdy). 7. Uveďte kritéri stejnoměrné konvergence řd funkcí (V7, V10 V11). 8. Definujte obecnou mocninnou řdu uveďte výsledky o jejím poloměru konvergence (V1 V2). 9. Uveďte výsledky o konvergenci mocninných řd opercích s nimi (V3 ž V6). 10. Definujte Fourierovu řdu funkce uveďte výsledky o ortogonlitě funkcí sin(nx) cos(nx). 11. Uveďte zákldní výsledky o Fourierových řdách (V1 ž V5). 12. Uveďte zákldní definice pojmy z teorie metrických prostorů (definice m. prostoru, koule, otevřené uzvřené množiny, uzávěr vnitřek množiny). 2. Vět(y) s důkzem(y). 1. Dokžte větu o proximci dolního horního Riemnnov integrálu riemnnovskými summi kritérium existence Riemn- 6
nov integrálu (V1 V2). 2. Dokžte, že spojitá funkce má n kompktním intervlu Riemnnův integrál (V3 V4). 3. Dokžte vlstnosti ditivity monotonie Riemnnov integrálu (V6). 4. Dokžte, že funkce spojitá n (, b) má n (, b) primitivní funkci (tj. V7). 5. Dokžte souvislost mezi Riemnnovým Newtonovým integrálem (V7.5). 6. Dokžte integrální kritérium konvergence řd (V10) uveďte příkldy n jeho použití. 7. Dokžte Mooreovu-Osgoodovu větu (V2) větu o záměně limity derivování (V3). 8. Dokžte větu o záměně limity integrování (V4) Weierstrssovo kritérium stejnoměrné konvergence řdy funkcí (V7). 9. Dokžte Abelovo nebo Dirichletovo kritérium stejnoměrné konvergence řdy funkcí (V10 nebo V11). 10. Dokžte vzorec pro poloměr konvergence mocninné řdy (V2). 11. Dokžte vzorce pro derivování integrování mocninné řdy člen po členu (V4 V5). 12. Dokžte Abelovu větu o mocninných řdách. 13. Dokžte Besselovu nerovnost Riemnnovo-Lebesgueovo lemm (V1 V2). 14. Dokžte větu o bodové konvergenci Fourierovy řdy po částech hldké funkce (V3). 15. Dokžte větu o stejnoměrné konvergenci Fourierovy řdy spojité po částech hldké funkce (V4). 16. Dokžte, že 1 + 1/4 + 1/9 + 1/16 +... = π 2 /6 1 1/3 + 1/5 1/7 +... = π/4. 7