Lieárí systémy a modely časových řad Daiel Schwarz Ivestice do rozvoje vzděláváí
Cíl, motivace Popis a idetifikace systémů Lieárí systémy a modely časových řad Istitute of Biostatistics ad Aalyses
Cíl, motivace Popis a idetifikace systémů BLACK BOX Lieárí systémy a modely časových řad Istitute of Biostatistics ad Aalyses
Cíl, motivace Popis a idetifikace systémů z -1 z -1 z -1 z -1 c 1 c 2 c q-1 c q + Aalýza, Simulace, Predikce, Moitorig, Diagostika, Řízeí Lieárí systémy a modely časových řad Istitute of Biostatistics ad Aalyses
Co ás čeká Systémy obecě a jejich důležité vlastosti. Pricip superpozice, kovoluce, impulsí charakteristika systémů Fourierovy řady, DTFT, frekvečí charakteristika systémů Ztrasformace trasformace, přeosová fukce, ulové body a póly FIR, IIR AR, MA, ARMA a překryvy v termiologii Modely časových řad Boxova-Jekisova metodologie pro tvorbu předpovědí Lieárí systémy a modely časových řad Istitute of Biostatistics ad Aalyses
ffgf 1. Lieárí systémy 6 Lieárí systémy a modely časových řad Istitute of Biostatistics ad Aalyses
Systémy: defiice Systém je možiou prvků, které jsou spolu ve vzájemých vztazích a které tvoří určitý celek. vstupí sigál Systém výstupí sigál Za systém považujeme jakoukoli sadu procesů, které ovlivňují povahu sigálu. Lieárí systémy a modely časových řad Istitute of Biostatistics ad Aalyses
Příklad systému Hraový detektor druhá diferece Lieárí systémy a modely časových řad Istitute of Biostatistics ad Aalyses
Vlastosti systémů vstupí sigál Systém výstupí sigál kauzálí - ekauzálí časově ivariatí - časově proměé liearí - elieárí Lieárí systémy a modely časových řad Istitute of Biostatistics ad Aalyses
Vlastosti systémů: kauzalita Systém je kauzálí, pokud jeho výstup závisí pouze a miulých a současých vstupích hodotách. Všechy fyzikálí systémy v reálém čase jsou kauzálí, protože čas běží pouze dopředu. Kauzalita se etýká systémů s prostorově závislými proměými. Kauzalita se etýká systémů zpracovávající ahraé sigály. Poz.: derivace sigálu v čase t je přirozeě ekauzálím výpočtem. Lieárí systémy a modely časových řad Istitute of Biostatistics ad Aalyses
Vlastosti systémů: kauzalita kauzálí x ekauzálí kauzálí ekauzálí ekauzálí kauzálí Lieárí systémy a modely časových řad Istitute of Biostatistics ad Aalyses
Vlastosti systémů: časová ivariatost Neformálě: Systém je časově ivariatí (time ivariat - TI), pokud jeho chováí ezávisí a tom, kolik je zrova hodi. Matematicky: Systém x[] -> y[]ječasově ivariatí, když pro jakýkoli vstupí sigál x[] a jakékoli časové posuutí 0 platí: Lieárí systémy a modely časových řad Istitute of Biostatistics ad Aalyses
Vlastosti systémů: časová ivariatost časově ivariatí x časově proměé systémy : časově ivariatí časově proměý Lieárí systémy a modely časových řad Istitute of Biostatistics ad Aalyses
Vlastosti systémů: liearita Lieárí systém je takový systém, v ěmž lze uplatit pricip superpozice. Lieárí systémy a modely časových řad Istitute of Biostatistics ad Aalyses
LTI systémy Lieárí časově ivariatí systémy (LTI): dispoují elegatími matematickými vztahy mezi jejich vstupy a výstupy. lze určit výstupí odezvu systému a jakýkoli vstup lze také určit vstup systému při pozorováí jeho výstupu Selský rozum: Zám-li odezvu LTI systému a velmi krátký vstupí sigál, mohu pomocí těchto velmi krátkých sigálů seskládat libovolý vstupí sigál a odezvu LTI systému a ěj pak seskládat ze zámé odezvy a velmi krátký sigál. Lieárí systémy a modely časových řad Istitute of Biostatistics ad Aalyses
LTI systémy lieárí systém Hledáme bázové sigály tak, aby: bylo možé reprezetovat libovolé sigály jako lieárí kombiaci těchto bázových sigálů odezva LTI systémů a tyto bázové sigály byla jedoduchá a zároveň ň aby umožňovala dostatečě č ě hluboký vhled Lieárí systémy a modely časových řad Istitute of Biostatistics ad Aalyses
Reprezetace DT sigálů jedotkovými impulsy Lieárí systémy a modely časových řad Istitute of Biostatistics ad Aalyses
Reprezetace DT sigálů jedotkovými impulsy Poz.: Filtračí vlastost Diracovy distribuce (jedotkového impulsu): Lieárí systémy a modely časových řad Istitute of Biostatistics ad Aalyses
Odezva systému a jedotkový impuls x[] LTI systém y[] Lieárí systém: je odezvou systému a: Lieárí systémy a modely časových řad Istitute of Biostatistics ad Aalyses
Odezva systému a jedotkový impuls x[] LTI systém y[] Lieárí a časově ivariatí systém s odezvou h[] a jedotkový impuls: Lieárí systémy a modely časových řad kovolučí suma Istitute of Biostatistics ad Aalyses
LTI systémy: kovoluce x[] LTI systém y[] IMPULSNÍ CHARAKTERISTIKA SYSTÉMU Lieárí systémy a modely časových řad Istitute of Biostatistics ad Aalyses
Periodické sigály a LTI systémy Fourierova reprezetace diskrétích sigálů x[] periodický sigál se základí periodou N. Lieárí systémy a modely časových řad Istitute of Biostatistics ad Aalyses
Periodické sigály a LTI systémy zesíleí amplituda fáze LTI systém evytváří ové frekvečí složky, ale pouze zesiluje ebo potlačuje frekvečí kompoety existující ve vstupím sigálu. Lieárí systémy a modely časových řad Istitute of Biostatistics ad Aalyses
Periodické sigály a LTI systémy Frekvečí charakteristika: G(ω) = je periodická fukce vyjádřea Fourierovou řadou s koeficiety h. Lieárí systémy a modely časových řad Istitute of Biostatistics ad Aalyses
Frekvečí charakteristika PŘÍKLAD: vyhlazovací systém Lieárí systémy a modely časových řad Istitute of Biostatistics ad Aalyses
Z trasformace z je komplexí proměá. ejčastěji uvažujeme jedostraou trasformaci: sumace od =0. Lieárí systémy a modely časových řad Istitute of Biostatistics ad Aalyses
Z trasformace - vlastosti Liearita: Posu: Útlum: Kovoluce: Subst: m=-i Lieárí systémy a modely časových řad Istitute of Biostatistics ad Aalyses
Z trasformace přeosová fukce pro platí, že H(z) = H(jω) Přeosová (systémová) fukce vyjadřuje a jedotkové kružici z =1 frekvečí charakteristiku diskrétí soustavy. Lieárí systémy a modely časových řad Istitute of Biostatistics ad Aalyses
Z trasformace přeosová fukce Přeosová (systémová) fukce vyjadřuje a jedotkové kružici z =1 kmitočtovou charakteristiku diskrétí soustavy. Lieárí systémy a modely časových řad Istitute of Biostatistics ad Aalyses
Z trasformace přeosová fukce H(z) vyjádřeá pomocí racioálě lomeé fukce: b i.z -i a i.z -i, A=b 0 /a 0. z i p i jsou NULY racioálě lomeé fukce jsou PÓLY racioálě lomeé fukce Lieárí systémy a modely časových řad Istitute of Biostatistics ad Aalyses
Z trasformace přeosová fukce A. vzdáleosti mezi bodem ωt a jedotkové kružici a NULAMI přeosové fukce. r vzdáleosti mezi bodem ωt a kružici i a PÓLY přeosové fukce. A zesíleí systému Lieárí systémy a modely časových řad Istitute of Biostatistics ad Aalyses
Z trasformace přeosová fukce vzdáleosti mezi bodem ωt a jedotkové kružici a NULAMI přeosové fukce. r vzdáleosti mezi bodem ωt a kružici a PÓLY přeosové fukce.. A Lieárí systémy a modely časových řad Istitute of Biostatistics ad Aalyses
Z trasformace přeosová fukce Lieárí systémy a modely časových řad Istitute of Biostatistics ad Aalyses
Popis diskrétí soustavy s Z-trasformací Mějme LTI systém s přeosovou fukcí ve tvaru racioálě lomeé fukce: b i.z -i a i.z -i i kde A = a 0 /b 0, z i jsou uly a p i jsou póly racioálě lomeé fukce. M a b i.z -i i.z -i y = b. x a. y L i i i= 0 i= 1 i i zpětá Z-trasformace, věta o liearitě a posuu, a 0 =1. Lieárí systémy a modely časových řad Istitute of Biostatistics ad Aalyses
Popis diskrétí soustavy s Z-trasformací y M L = b i. x i i= 0 i= 1 a i. y i Iterpretace rovice: diskrétí soustava / systém uchovává v paměti starší vzorky vstupího i výstupího sigálu. Klouzavý průměr MA Autoregresí čle AR Ovlivňuje rychlost odezvy, charakter jejího zaikáí, stabilitu soustavy. Lieárí systémy a modely časových řad Istitute of Biostatistics ad Aalyses
Popis diskrétí soustavy s Z-trasformací y M L = b i. x i i= 0 i= 1 a i. y i Realizace soustavy / filtru / programu přímou formou: Zpožděí o jede vzorek b 0 b 1 b 2 b M-1 b M -a L -a L-11 -a 1 Lieárí systémy a modely časových řad Istitute of Biostatistics ad Aalyses
Systémy s koečou impulsí charakteristikou FIR fiite impulse respose M L b. x i i i= 0 i= 1 y = a. y i i pouze čle MA (movig average) erekurziví realizace (většiou, ale emusí vždy) Lieárí systémy a modely časových řad Istitute of Biostatistics ad Aalyses
Systémy s koečou impulsí charakteristikou FIR PŘÍKLAD: hraový detektor h [] = { δ [ 1 ] 2δ [] + δ [ + 1] } -1 0 1 FIR PŘÍKLAD: vyhlazovací systém Lieárí systémy a modely časových řad Istitute of Biostatistics ad Aalyses
Systémy s koečou impulsí charakteristikou Systémy s koečou impulsí charakteristikou FIR fiite impulse respose b i.z -k M 1 = + = + + + + = 0 1 1 2 2 1 1 0........ k k k M M x b x b x b x b x b y Lieárí systémy a modely časových řad Istitute of Biostatistics ad Aalyses
Systémy s ekoečou impulsí charakteristikou IIR ifiite impulse respose Autoregresí čle AR y M L = b. x i i i= 0 i= 1 a i. y i Klouzavý průměr MA vždy rekurziví realizace Lieárí systémy a modely časových řad Istitute of Biostatistics ad Aalyses
Systémy s ekoečou impulsí charakteristikou IIR PŘÍKLAD: vyhlazovací systém z -1 H(z) = az/(z-a). Pro a>1 je filtr estabilí. Lieárí systémy a modely časových řad Istitute of Biostatistics ad Aalyses
Systémy s ekoečou impulsí charakteristikou IIR : - vyžadují alespoň jedu zpětovazebí smyčku, jsou vždy rekurziví -přeosová fukce = podíl polyomů Lieárí systémy a modely časových řad Istitute of Biostatistics ad Aalyses
Termiologie: IIR, FIR, MA, AR y M L = b. x i i i= 0 i= 1 a i. y i FIR filtry: a i =0, pro všecha i. Ozačováy také jako movig average ebo all-zero filtry. IIR filtry: a i <>0, pro alespoň ň jedo i. Zahrují: autoregresiví (AR) filtry movig-average, autoregresiví (ARMA) filtry AR filtry: b i =0, kromě b 0. Výstup závisí pouze a aktuálí hodotě a vstupu a a koečém počtu starších vzorků výstupího sigálu. Ozačováy Oačováy také jako: all-pole, purely recursive, autoregressive Lieárí systémy a modely časových řad Istitute of Biostatistics ad Aalyses
Termiologie: IIR, FIR, MA, AR y M L = b. x i i i= 0 i= 1 a i. y i FIR filtry: a i =0, pro všecha i. Ozačováy také jako movig average ebo all-zero filtry. IIR filtry: a i <>0, pro alespoň ň jedo i. Zahrují: autoregresiví (AR) filtry movig-average, autoregresiví (ARMA) filtry ARMA filtry: a i, b i eulové Ozačováy také jako: pole-zero, ero, autoregressive, movig-average Lieárí systémy a modely časových řad Istitute of Biostatistics ad Aalyses
Termiologie: IIR, FIR, MA, AR y M L = b. x i i i= 0 i= 1 a i. y i DOPORUČENÍ: pro filtry a lieárí systémy používat ozačeí FIR, IIR ozačeí AR, MA, ARMA používat pro popis či modely stochastických procesů, které geerují data áhodé povahy Lieárí systémy a modely časových řad Istitute of Biostatistics ad Aalyses
ffgf 2. Modely časových řad 46 Lieárí systémy a modely časových řad Istitute of Biostatistics ad Aalyses
Časové řady Defiice časové řady: uspořádaá posloupost hodot závislé proměé měřeé v ekvidistatích časových itervalech. 355 350 koce trace CO 2 345 340 335 330 325 1974 1976 1978 1980 1982 1984 1986 1988 čas Lieárí systémy a modely časových řad Istitute of Biostatistics ad Aalyses
Sigály vs. časové řady 1-D DISKRÉTNÍ SIGNÁLY ČASOVÉ ŘADY Lieárí systémy a modely časových řad Istitute of Biostatistics ad Aalyses
Časové řady Defiice časové řady: uspořádaá posloupost hodot závislé proměé měřeé v ekvidistatích časových itervalech. Využití modelů časových řad je dvojí: 1. porozuměí procesu, který vyprodukoval pozorovaá data 2. předpovídáí budoucích hodot, případě i jejich ovlivňováí -> řízeí Lieárí systémy a modely časových řad Istitute of Biostatistics ad Aalyses
Stacioarita Stacioarita je obvyklým předpokladem většiy techik aalýzy časových řad. Defiice stacioárího procesu: jedá se o áhodý proces jehož rozděleí pravděpodobosti p se v čase eměí. V důsledku toho se eměí ai parametry jeho pravděpodobostí fukce (apř. středí hodota, rozptyl). Autokorelačí fukce stacioárího procesu závisí pouze a rozdílu svých argumetů. Předpokladem stacioarity rozumějme ty časové řady či sigály, které jsou bez tredu, mají s měícím se časem stejý rozptyl a stejou podobu autokorelačí fukce. Lieárí systémy a modely časových řad Istitute of Biostatistics ad Aalyses
Stacioarita V případě estacioárích časových řad lze provést: 1. diferecováí dx i = x i -x i-1 2. odstraěí tredu odečteím proložeého polyomu 3. stabilizace rozptylu logaritmizací čtverce řady. 355 350 kocetrace CO 2 345 340 335 330 1974 1976 1978 1980 1982 1984 1986 1988 325 čas Lieárí systémy a modely časových řad Istitute of Biostatistics ad Aalyses
Stacioarita V případě estacioárích časových řad lze provést: 1. diferecováí dx i = x i -x i-1 2. odstraěí tredu odečteím proložeého polyomu 3. stabilizace rozptylu logaritmizací čtverce řady. 2.5 2 1.5 dife erece kocetra ace CO 2 1 0.5 0-0.5-1 -1.5-2 1974 1976 1978 1980 1982 1984 1986 1988-2.5 čas Lieárí systémy a modely časových řad Istitute of Biostatistics ad Aalyses
Stacioarita V případě estacioárích časových řad lze provést: 1. diferecováí dx i = x i -x i-1 2. odstraěí tredu odečteím proložeého polyomu 3. stabilizace rozptylu logaritmizací čtverce řady. 355 350 y = 1.5*x - 2.5e+003 data 1 liear 4 3 2 kocetrace CO 2 345 340 335 res sidua kocetrace CO 2 1 0-1 -2 330-3 -4 325 1974 1976 1978 1980 1982 1984 1986 1988 čas 1974 1976 1978 1980 1982 1984 1986 1988-5 čas Lieárí systémy a modely časových řad Istitute of Biostatistics ad Aalyses
Sezóost Sezóí složka popisuje periodické změy v sigálu či časové řadě. Je-li sezóí složka v datech přítoma, musí být zahruta do modelu. Detekce periodické složky pomocí: sezóí vizualizace v případě, že periodu složky záme autokorelačí fukce sigálu spektra sigálu 355 350 trace CO 2 koce 345 340 335 330 325 1974 1976 1978 1980 1982 1984 1986 1988 čas Lieárí systémy a modely časových řad Istitute of Biostatistics ad Aalyses
Sezóost Sezóí složka popisuje periodické změy v sigálu či časové řadě. Je-li sezóí složka v datech přítoma, musí být zahruta do modelu. Detekce periodické složky pomocí: sezóí vizualizace v případě, že periodu složky záme autokorelačí fukce sigálu spektra sigálu 355 1 350 0.8 trace CO 2 kocet 345 340 335 acf 0.6 0.4 330 0.2 325 1974 1976 1978 1980 1982 1984 1986 1988 čas Lieárí systémy a modely časových řad 0-200 -100 0 100 200 zpožděí Istitute of Biostatistics ad Aalyses
Sezóost Sezóí složka popisuje periodické změy v sigálu či časové řadě. Je-li sezóí složka v datech přítoma, musí být zahruta do modelu. Detekce periodické složky pomocí: sezóí vizualizace v případě, že periodu složky záme autokorelačí fukce sigálu spektra sigálu 4 800 cetrace CO 2 residua ko 2 0-2 -4 acf 600 400 200 0-200 -400-6 1974 1976 1978 1980 1982 1984 1986 1988 čas Lieárí systémy a modely časových řad -600-200 -100 0 100 200 zpožděí Istitute of Biostatistics ad Aalyses
Sezóost Sezóí složka popisuje periodické změy v sigálu či časové řadě. Je-li sezóí složka v datech přítoma, musí být zahruta do modelu. Detekce periodické složky pomocí: sezóí vizualizace v případě, že periodu složky záme autokorelačí fukce sigálu spektra sigálu 4 1 cetrace CO 2 2 0 acf 0.5 0 residua ko -2-4 -0.5-6 1974 1976 1978 1980 1982 1984 1986 1988 čas Lieárí systémy a modely časových řad -1-40 -20 0 20 40 zpožděí Istitute of Biostatistics ad Aalyses
Sezóost Sezóí složka popisuje periodické změy v sigálu či časové řadě. Je-li sezóí složka v datech přítoma, musí být zahruta do modelu. Detekce periodické složky pomocí: sezóí vizualizace v případě, že periodu složky záme autokorelačí fukce sigálu spektra sigálu perioda 12 měsíců perioda 6 měsíců Lieárí systémy a modely časových řad Istitute of Biostatistics ad Aalyses
Modely časových řad Jakoukoli stacioárí časovou řadu či sigál s áhodou složkou geeruje stochastický proces, kterému lze přiřadit jede z těchto modelů: čistě rekursiví model erekursiví model s klouzavým průměrem kombiovaý model bílý šum AR autoregressive MA movig average ARMA ν Lieárí systémy a modely časových řad Istitute of Biostatistics ad Aalyses
Bílý šum Náhodý proces ozačujeme za bílý šum, pokud jeho středí hodota a autokorelačí fukce splňují tyto podmíky: Diracova distribuce = Ε ν t = 0 μ ν R νν { ()}, N0 = Ε ν t1 ν t2 = δ t 2 ( t t ) { ( ) ( )} ( ). 1, 2 1 t2 t) w(t 0.6 0.4 0.2 0-0.2-0.4-0.6 0 20 40 60 80 100 t Lieárí systémy a modely časových řad Rww(t1 1,t2) 1000 800 600 400 200 0-200 -100-50 0 50 100 t1-t2 Istitute of Biostatistics ad Aalyses
Autoregresí (AR) model x = a x + a x +... + a x 1 1 2 2 p p + ν x časová řada / sigál ν bílý šum p řád AR modelu a i parametry modelu x kocetrace CO 2 355 350 345 340 335 ν + z -1 z -1 z -1 Odhad parametrů a 1 a 2 a p 330 x 325 1974 1976 1978 1980 1982 1984 1986 1988 čas Lieárí systémy a modely časových řad Istitute of Biostatistics ad Aalyses
(MA) model s klouzavým průměrem x = ν + cν ν... c ν 1 + c + + 1 2 2 q q x časová řada / sigál ν bílý šum q řád MA modelu μ středí hodota áhodého procesu kocetrace CO 2 c i parametry modelu 355 ν z -1 z -1 z -1 z -1 350 345 340 335 330 x 325 1974 1976 1978 1980 1982 1984 1986 1988 čas Odhad parametrů c 1 c 2 c q-1 c q + x Lieárí systémy a modely časových řad Istitute of Biostatistics ad Aalyses
ARMA model ARMA(p, q) kombiuje AR(p) a MA(q) modely. x = a x 1 1 cν 1 + a 2 x cν 2 1 2 2 +... + a p... c ν q x p q + ν Boxova-Jekisoova metodologie zahruje: idetifikaci modelu, Určeí řádů odhad modelu, p, q validaci modelu. Výpočet parametrů a i, c i Kotrola rozložeí residuí Lieárí systémy a modely časových řad Istitute of Biostatistics ad Aalyses
ARMA model: idetifikace 1. Je časová řada / sigál stacioárí? 2. Vykazuje časová řada / sigál sezóost? ANO NE zjištěí periody T, zahrutí čleu AR(T) ebo MA(T) do modelu, případě sezóí diferece ARIMA (autoregressive itegrated movig average model) Idetifikace, odhad, validace ARMA modelu a diferecovaých datech a ásledá úprava modelu. Př. model AR(2): y = -0.406y -1-0.146y -2-0.00521 = x -x -1 x -x -1 =-0406(x -1 -x -2 )-0.164(x -2 -x -3 )-0.00521 x =0.594x -1 +0.242x -2 +0.164x -3-0.00521 00521 Lieárí systémy a modely časových řad Istitute of Biostatistics ad Aalyses
ARMA model: idetifikace Určeí řádů p a q a) a základě zkušeosti a experimetováí b) spektrum: každé výrazé maximum v rozsahu <0,f vz /2> vyžaduje jede pár pólů, což zvyšuje řád o 2. c) kritéria a základě autokorelačí fukce (ACF) a parciálí autokorelačí fukce (PACF) Srováváí teoretických průběhů ACF, PACF procesů zámých řádů s ACF, PACF aměřeých řad / sigálů Lieárí systémy a modely časových řad Istitute of Biostatistics ad Aalyses
ARMA model: idetifikace Příklad: AR(1) proces x x + ax 1 ax = ν = ν ax 1 = = ν = ν a aν ν + x z -1 -a 1 ( ν 1 ax 2 ) = 2 + ( a) ν 1 +... + ( a) ( ν ax ) 1 2 1 0 1.5 a=-0.9 2 a=+0.9 1 0.5 1 x() 0 x() 0-0.5-1 -1-1.5 0 50 100 150-2 0 50 100 150 Lieárí systémy a modely časových řad Istitute of Biostatistics ad Aalyses
ARMA model: idetifikace Příklad: AR(1) proces x x + ax 1 = ν ax = ν ax 1 = a <1: E = ν = ν { x } a aν ( ν 1 ax 2 ) = 2 + ( a) ν 1 +... + ( a) ( ν ax ) 1 2 1 ( a) = 1 = μ ν 1+ a, 1 μ ν 1+ a μ { } { 2} 2 ν D x = E x μ =, R xx 0 2 σ 1 a ( ) { } k k E x x = ( a). = k 2 Lieárí systémy a modely časových řad Istitute of Biostatistics ad Aalyses
ARMA model: idetifikace Příklad: AR(1) proces x + ax = ν ( ) = { } ( ) k 1 R k E x x = a. ax xx = k 1 0.8 a=+0.9 a=-0.9 0.6 0.4 0.2 Rxx(k k) 0-0.2-0.4-0.6-0.8-1 0 5 10 15 20 25 30 k Lieárí systémy a modely časových řad Istitute of Biostatistics ad Aalyses
ARMA model: idetifikace Tvar ACF Expoeciála klesající k ule. Změy kladých a záporých hodot, postupý pokles k ule. Jede ebo ěkolik vrcholů, zbytek zaedbatelý, ulový. Průběh klesající až po ěkolika zpožděích Vše zaedbatelé, ulové Vysoké hodoty ve stejých itervalech Neklesá k ule Model AR(p) model. Pro určeí p se vychází z PACF. MA model. Řád odpovídá hodotě zpožděí, od které je ACF ulová. ARMA Data jsou áhodá. Zahrout AR čle s řádem odpovídajícím í periodě. Nejedá se o stacioárí řadu / sigál. Lieárí systémy a modely časových řad Istitute of Biostatistics ad Aalyses
ARMA model: idetifikace 355 350 y = 1.5*x - 2.5e+003 data 1 liear 4 3 2 1 0.5 kocetrace CO 2 345 340 335 residua kocetrace CO 2 1 0-1 -2 acf 0 330-3 -4-0.5 325 1974 1976 1978 1980 1982 1984 1986 1988 čas -5 1974 1976 1978 1980 1982 1984 1986 1988-1 čas -40-20 0 20 40 zpožděí Perioda 12 vzorků Zbývá idetifikovat ještě esezóí kompoety sigálu / řady. Lieárí systémy a modely časových řad Istitute of Biostatistics ad Aalyses
ARMA model: idetifikace Zbývá idetifikovat ještě esezóí kompoety sigálu / řady. Sezóí diferecováí: e 1000 sezóí diferece ad detredovaou řadou 800 600 400 200 ) d12(rx()) 0-200 -400-600 -800 1974 1976 1978 1980 1982 1984 1986 1988-1000 čas Lieárí systémy a modely časových řad Istitute of Biostatistics ad Aalyses
ARMA model: idetifikace Zbývá idetifikovat ještě esezóí kompoety sigálu / řady. Sezóí diferecováí: e 1 Výběrová ACF sezóě diferecovaé řady 0.8 0.6 0.4 0.2 Rxx 0-0.2-0.4-0.6-0.8 0 50 100 150-1 k Lieárí systémy a modely časových řad Istitute of Biostatistics ad Aalyses
ARMA model: idetifikace Zbývá idetifikovat ještě esezóí kompoety sigálu / řady. Sezóí diferecováí: e Lieárí systémy a modely časových řad Istitute of Biostatistics ad Aalyses
ARMA model ARMA model ARMA(p, q) kombiuje AR(p) a MA(q) modely. q q p p c c c x a x a a x x + + + + = ν ν ν ν...... 2 2 1 1 2 2 1 1 Odhad parametrů modelu q q 2 2 1 1 p -iteračí algoritmy: - elieárí metoda ejmeších čtverců - odhad a základě maximálí věrohodosti (MLE) odhad a základě maximálí věrohodosti (MLE) Vhodější tvar rovice (pro SW ástroje): c c c x a x a a x x + + + + = + + + + ν ν ν ν q q p p c c c x a x a a x x + + + + = + + + + ν ν ν ν...... 2 2 1 1 2 2 1 1 Lieárí systémy a modely časových řad Istitute of Biostatistics ad Aalyses
ARMA model ARMA(p, q) kombiuje AR(p) a MA(q) modely. x = a x 1 1 cν 1 + a 2 x cν 2 1 2 2 +... + a p... c ν q x p q + ν Odhad parametrů modelu -iteračí algoritmy: - elieárí metoda ejmeších čtverců - odhad a základě maximálí věrohodosti (MLE) Výsledý AR(2) model (pro detredovaá a sezóě diferecovaá data) x + 1.745 x + 0. 8745 x 1 2 = ν Lieárí systémy a modely časových řad Istitute of Biostatistics ad Aalyses
ARMA modely Validace modelu x + 1.745 x 1 + 0. 8745 x 2 = ν -Zpěté ověřeí předpokladů kladeých a áhodé chyby, tj. aalýza residuí 1000 800 600 400 sezóí diferece ad detredovaou řadou RESIDUA = CHYBY PREDIKCE )) d12(rx( 200 0-200 -400-600 - Residua by měla představovat bílý šum. -800-1000 1974 1976 1978 1980 1982 1984 1986 1988 čas Lieárí systémy a modely časových řad Istitute of Biostatistics ad Aalyses
ARMA modely Validace modelu AR(2) x + 1.745 x 1 + 0. 8745 x 2 1 = ν Validace modelu AR(4) x + 2.943 x 1 + 3.765 x 2 + 2.494 x 3 + 0. 728 x 4 = ν Lieárí systémy a modely časových řad Istitute of Biostatistics ad Aalyses
ARMA modely Validace modelu AR(2) x + 1.745 x 1 + 0. 8745 x 2 1 = ν Validace modelu ARMA(4,4) x + 2.345 x 1 + 2.581 x 2 + 1.645 x 3 + 0.5163 x 4 = = ν 3.789 ν 1 + 5.397 ν 2 3.425 ν 3 + 0. 8168 ν 4 Lieárí systémy a modely časových řad Istitute of Biostatistics ad Aalyses
ARMA modely Posouzeí kvality předpovídáí - aplikace modelu a řadu zkráceou o m pozorováí, -předpověď hodot x -m+1, x -m+2,,x - porováí x + 1.745 x 1 + 0. 8745 x 2 y1. (1-step pred) = ν 800 600 dat; measured arx2; fit: 82.14% 400 200 0 y1model: AR(2) -200 Horizot predikce: 1-400 Shoda: 82.1 % -600-800 -1000 20 40 60 80 100 120 140 Lieárí systémy a modely časových řad Istitute of Biostatistics ad Aalyses
ARMA modely Posouzeí kvality předpovídáí - aplikace modelu a řadu zkráceou o m pozorováí, -předpověď hodot x -m+1, x -m+2,,x - porováí x + 1.745 x 1 + 0. 8745 x 2 y1. (5-step pred) = ν 800 600 dat; measured arx2; fit: -0.8268% y1 400 200 0-200 -400-600 -800 Model: AR(2) Horizot predikce: 5 Shoda: < 1 % 20 40 60 80 100 120 140 Lieárí systémy a modely časových řad Istitute of Biostatistics ad Aalyses
ARMA modely Posouzeí kvality předpovídáí - aplikace modelu a řadu zkráceou o m pozorováí, -předpověď hodot x -m+1, x -m+2,,x - porováí x + 2.943 x 1 + 3.765 x 2 + 2.494 x 3 + 0. 728 x 4 = ν y1. (1-step pred) 800 600 dat; measured arx4; fit: 91.95% 400 200 0 y1model: AR(4) -200 Horizot predikce: 1-400 Shoda: 92.0 % -600-800 20 40 60 80 100 120 140 Lieárí systémy a modely časových řad Istitute of Biostatistics ad Aalyses
ARMA modely Posouzeí kvality předpovídáí - aplikace modelu a řadu zkráceou o m pozorováí, -předpověď hodot x -m+1, x -m+2,,x - porováí x + 2.943 x 1 + 3.765 x 2 + 2.494 x 3 + 0. 728 x 4 = ν y1. (5-step pred) 800 600 dat; measured arx4; fit: 3.26% y1 400 200 0-200 -400-600 -800 Model: AR(4) Horizot predikce: 5 Shoda: 3.3 % 20 40 60 80 100 120 140 Lieárí systémy a modely časových řad Istitute of Biostatistics ad Aalyses
ARMA modely Posouzeí kvality předpovídáí - aplikace modelu a řadu zkráceou o m pozorováí, -předpověď hodot x -m+1, x -m+2,,x - porováí x = ν + 2.345 3.789 x 1 ν + 1 2.581 + 5.397 x 2 ν 2 y1. (1-step pred) + 1.645 x 3.425 3 ν + 3 0.5163 + 0.8168 x 4 ν = 4 800 dat; measured amx44; fit: 98.55% 600 400 200 y1model: 0 ARMA(4,4) -200 Horizot predikce: 1-400 Shoda: 98.6 % -600-800 20 40 60 80 100 120 140 Lieárí systémy a modely časových řad Istitute of Biostatistics ad Aalyses
ARMA modely Posouzeí kvality předpovídáí - aplikace modelu a řadu zkráceou o m pozorováí, -předpověď hodot x -m+1, x -m+2,,x - porováí x = ν + 2.345 3.789 x 1 ν + 1 2.581 + 5.397 x 2 ν + 1.645 2 y1. (5-step pred) x 3.425 3 ν + 3 0.5163 + 0.8168 x 4 ν = 4 800 600 dat; measured amx44; fit: 23.86% y1 400 200 0-200 -400-600 -800 Model: ARMA(4,4) Horizot predikce: 5 Shoda: 23.9 % 20 40 60 80 100 120 140 Lieárí systémy a modely časových řad Istitute of Biostatistics ad Aalyses
LTI systém a jeho popis y = x 1.745 y 1 0. 8745 y 2 x + y z -1 z -1-1.7-0.9 40 Magitude (db) 20 0-20 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 Normalized Frequecy ( π rad/sample) 200 Phase (degrees) 100 0-100 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2-200 Normalized Frequecy ( π rad/sample) Lieárí systémy a modely časových řad Istitute of Biostatistics ad Aalyses
Shrutí Popis a idetifikace systémů a procesů z -1 z -1 z -1 z -1 c 1 c 2 c q-1 c q + Aalýza, Simulace, Predikce, Moitorig, Diagostika, Řízeí Lieárí systémy a modely časových řad Istitute of Biostatistics ad Aalyses
ffgf INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ 5. letí škola Matematické biologie je podporováa projektem ESF č. CZ.1.07/2.2.00/07.0318 VÍCEOBOROVÁ INOVACE STUDIA MATEMATICKÉ BIOLOGIE Otázky? 87 Lieárí systémy a modely časových řad Istitute of Biostatistics ad Aalyses