ŘADY Poloupoti Kždá fukce, jejímž defiičím oborem je moži přirozeých číel ekoečá poloupot N, e zývá Kždá fukce, jejíž defiičí obor je moži všech přirozeých číel, kde je pevě dé přirozeé čílo, e zývá koečá poloupot { } Ozčeí:,, Řešeý příkld Npište prvích 5 čleů poloupoti: ) b),,,, 5, 5 6,,,, 5, c) { }, 9, 7, 8, Určete předpi pro -tý čle poloupoti: {} ),,,,,, b),, 9, 6, { } c),,,, 8 6 Vltoti poloupotí { } Poloupot e zývá rotoucí, právě kdž pro všech r, N pltí: Je-li r <,pk r < { } Poloupot e zývá klející, právě kdž pro všech r, N pltí: Je-li r <,pk r > Poloupot { } je rotoucí, právě kdž pro všech < N je Poloupot { } je klející, právě kdž pro všech N je >
Řešeý příkld Rozhoděte, zd je poloupot rotoucí ebo klející: ) Řešeí { }, b),,, ) 5 < < ( ) < ( ) < < Poloupot je rotoucí { } b),, 8,6, > 8< Poloupot eí i rotoucí i klející N je Poloupot { } je erotoucí, právě kdž pro všech Poloupot { } je eklející, právě kdž pro všech N je Kždá rotoucí poloupot je eklející Kždá klející poloupot je erotoucí Poloupoti, které jou erotoucí ebo eklející, e zývjí mootóí poloupoti { } Poloupot e zývá hor omezeá, právě kdž eituje h R tkové, že pro všech N je h { } Poloupot e zývá zdol omezeá, právě kdž eituje d R tkové, že pro všech N je d Poloupot e zývá omezeá, právě kdž je omezeá hor i zdol
Rozhoděte, zd je poloupot hor omezeá, zdol omezeá, omezeá: ) Řešeí, b),,, ) { } 5 Fukce je omezeá zdol, všech čle jou kldé - Vpdá to tk, že pro kždé N je : Poloupot je hor omezeá Poloupot je omezeá { } b),, 6,8, Poloupot eí i zdol i hor omezeá, ť zvolíme h( d) jkkoli velké, bude vžd čle poloupoti, který bude d (pod) čílem h( d) Aritmetická poloupot Poloupot { } e zývá ritmetická, právě kdž eituje tkové čílo, že pro kždé přirozeé čílo d N je d Čílo d e zývá diferece ritmetické poloupoti V ritmetické poloupoti { } diferecí pltí: ( ) ( r ) d r d d
Řešeý příkld Určete prvích 5 čleů ritmetické poloupoti, vpočítejte oučet čleů: Řešeí 7, 6 5 r r d 5 5 d 6 7 d d r ( ) r d d 7 r ( ) r d d 7 r ( ) r d d 7 6 ( ) 9d ( 9d) ( 7 ) 75 Geometrická poloupot Poloupot { } e zývá geometrická, právě kdž eituje tkové čílo, že pro kždé q přirozeé čílo N je Čílo q q e zývá kvociet geometrické poloupoti V geometrické poloupoti { } kvocietem pltí: q q q r r Pro q pltí, že oučet je Pro q q pltí, že oučet je q
Řešeý příkld Určete prvích 5 čleů geometrické poloupoti, vpočítejte oučet 8 čleů: Řešeí, 5 r q 5 q q q q 8 r 5 r r q q 6 r q q r 6 r q q r 8 q q q q 6 7,875 Limit poloupoti Říkáme, že poloupot { } je kovergetí, právě kdž eituje čílo tkové, že R pltí: Ke kždému ε > eituje N tk, že pro všech přirozeá číl ε R < Čílo e zývá limit poloupoti { } je Zpiujeme lim Poloupot, která eí kovergetí e zývá divergetí Kždá poloupot má ejvýše jedu limitu Kždá kovergetí poloupot je omezeá Geometrická poloupot { }, kde je q <, je kovergetí její limit je rov 5
Řešeý příkld Vpočítejte limitu poloupoti: ) b) Řešeí ) lim koverguje c) 5 b) c) lim lim koverguje lim lim diverguje 5 5 6
Číelé řd S problémem, zd oučtem ekoečé řd může být koečé čílo, e mtemtikové potýkli již ve trověku Máme pro to dokld ve zámé mtemtické hříčce o Achillovi želvě Podle této úloh bl rchloohý Achille vzvá pomlou želvou k závodu to metrů Vědom i vé rchloti, dl želvě ákok deet metrů Nvíc e rozhodl, že mu potčí běžet deetkrát rchleji, ež želv Jkmile ted po trtu Achille uběhl oěch deet metrů, o ěž měl želv ákok, urzil želv jede metr Ježe i po uběhutí tohoto metru Achille tále zotávl, tetokrát o jede decimetr Kdž uběhl oe decimetr, urzil želv jede cetimetr, o který bl tále před Strověcí mtemtici e domívli, že tuto kotrukci lze opkovt do ekoeč, tudíž Achille želvu ikd edotihe Nedovedli i totiž předtvit, že ečteím ekoečě moh délek, o ichž jme mluvili v ouviloti ákokem želv před Achillem, je možé dott ějkou koečou délku, po jejímž uběhutí b Achille želvu vltě dohoil Mtemtick vjádřeo, řd je ice tvoře ekoečě moh kldými čle (čítci), všk může mít koečý oučet Ituitiví je zřejmé, že přílušou ekoečou řdu čítáme potupým přičítáím áledujícího čítce k oučtu všech předcházejících Tkto dotáváme poloupot hodot, které e k hledému oučtu blíží, oučet ted lze tovit jko limitu poloupoti těchto hodot V tomto mlu tké zvedeme pojem oučtu ekoečé řd Řdu můžeme ituitivě chápt jko oučet ekoečě moh čleů ějké poloupoti, buď poloupoti číel (číelá řd) ebo poloupoti fukcí (fukčí řd) M e budeme zbývt číelými řdmi, fukčími řdmi obecě pk mociými trigoometrickými řdmi Hlví otázk jou zřejmé: Eituje oučet řd? Jetliže eituje, jk ho lze určit? Jké vltoti má čítáí ekoečého počtu objektů? Jké jou možoti vužití řd? Mějme dáu poloupot reálých číel { } {,, }, Formálě vtvořeý oučet jejích čleů zýváme číelou řdou { } Poloupot čátečých oučtů řd vzike potupým zvšováím počtu čítých čleů řd: 7
Kždou číelou řdu můžeme zpt jko oučet r, kde r je zbtek řd po -tém čleu Mějme řdu její poloupot čátečých oučtů { } Jetliže R koverguje má oučet lim ±, říkáme, že řd diverguje má oučet ± eeituje diverguje emá oučet ( ociluje) Řešeý příkld Pomocí poloupoti čátečých oučtů rozhoděte o kovergeci či divergeci řd určete její oučet Řešeí Zlomek rozložíme dv prciálí zlomk A B ( ) B A A A B B Řd bude mít tvr oučtů Setvíme poloupot čátečých 8
7 5 6 5 5 Vidíme, že čle e potupě odečtou, zůte ám lim lim Řd koverguje má oučet Pomocí poloupoti čátečých oučtů rozhoděte o kovergeci či divergeci řd určete její oučet Řešeí Zlomek rozložíme prciálí zlomk D C B A D C B A B D D C B A D C B A, C A Řd bude mít tvr Setvíme poloupot čátečých oučtů 9
6 5 5 6 6 9 9 6 9 9 9 Vidíme, že čle e potupě odečtou, zůte ám lim Řd koverguje má oučet Určete -tý čle oučet řd: 79 57 5 Řešeí ANO NE 79 57 5 Řdu lze vjádřit ve tvru Zlomek rozložíme prciálí zlomk B A ( B A ) A A B B
Řd bude mít tvr Setvíme poloupot čátečých oučtů 5 9 9 7 7 5 5 5 Vidíme, že čle e potupě odečtou, zůte ám lim Řd koverguje má oučet Nutá podmík kovergece Je-li řd kovergetí, pk pltí lim Tuto podmíku vužijeme ejlépe v přípdě, že řd má limitu, pk totiž řd diverguje, pokud je, evíme o kovergeci či divergeci řd ic lim lim Geometrická řd Geometrická řd kvocietem je řd Odvodit vzorec pro oučet!!! q q q q q Pro < q je řd kovergetí má oučet q Pro q je řd divergetí
Řešeý příkld Nlezěte oučet řd Řešeí její oučet je Jedá e o GŘ, q <, řd je kovergetí Nlezěte oučet řd 5 Řešeí 5 5 5 5 Jedá e o GŘ, q <, řd je kovergetí její 5 5 oučet je Nlezěte oučet řd rct Řešeí rct oučet je Jedá e o GŘ, q <, řd je kovergetí její Nlezěte oučet řd 5 Řešeí 5 5 5 5 oučet 5 Jedá e o GŘ, q >, řd je divergetí emá
Nlezěte oučet řd 7 Řešeí 7 7 7 emá oučet 7 7 Jedá e o GŘ, q >, řd je divergetí Hrmoická řd Hrmoická řd je defiová předpiem přetože pltí lim Tto řd je divergetí, Nechť je k N Pk řd oučě kovergují ebo divergují k Můžeme pát k k Ozčíme pro k dále σ k k σ k Kovergetí přípd: je-li lim lim σ σ k k, tkže lim, pk limσ k Nopk, je-li limσ σ, pk Divergetí přípd: jetliže poloupot { } diverguje, potom diverguje i poloupot { σ } { k }, eboť v opčém přípdě b podle předchozího kovergovl i poloupot { }, což je por předpokldem Podobě z divergece { σ } ple divergece poloupoti { } { σ k } Liší-li e dvě řd v koečém počtu čleů, pk obě oučě kovergují ebo divergují
Vltoti kovergetích řd Mějme kovergetí řd b t Je-li pro N : b,pk t b b ( ) t R c c c, c Mějme řd, b, echť pltí N : b, pk říkáme, že řd je miortou řd b, řd b je mjortou řd
Řd kldými čle Řd, kde kždé, e zývá řd kldými čle Řd kldými čle buď koverguje ebo diverguje k, protože její poloupot čátečých oučtů je vžd eklející Kritéri kovergece řd kldými čle Srovávcí kritérium Mějme řd, b kldými čle, echť pltí N : b Řd koverguje, jetliže koverguje její mjort Řd b diverguje, diverguje-li její miort Řešeý příkld Pomocí ěkterého kritéri kovergece řd kldými čle zjitěte, zd je řd kovergetí ebo divergetí Řešeí Řd koverguje, protože mjort této řd koverguje mjort, N, je geometrická řd kvocietem q Pomocí ěkterého kritéri kovergece řd kldými čle zjitěte, zd je řd kovergetí ebo divergetí 5
Řešeí Řd diverguje, protože miort je hrmoická řd t diverguje tto erovot pltí pro, N, ( ), řd je divergetí Pomocí ěkterého kritéri kovergece řd kldými čle zjitěte, zd je řd kovergetí ebo divergetí Řešeí Řd diverguje, protože miort je hrmoická řd t diverguje, N Odmociové (Cuchho) kritérium Nechť pro řdu eituje lim L, pk pltí: je-li L >, řd diverguje, je-li L <, řd koverguje Důkz: ) Uvžujme čílo k tk, že L k Pk pro koro všech čle poloupoti pltí, že mjortou řd < k, tj < k < < { } To všk zmeá, že řd, která proto koverguje podle rovávcího kritéri 6 k je kovergetí
b) Mějme í L >, pk pro koro všech bude eboli To zmeá, že limit poloupoti { e erová ule řd eplňuje utou podmíku kovergece, proto diverguje } Řešeý příkld Pomocí kritéri kovergece řd kldými čle zjitěte, zd je řd kovergetí ebo divergetí Řešeí Použijeme odmociové kritérium lim lim lim < Řd koverguje Pomocí kritéri kovergece řd kldými čle zjitěte, zd je řd kovergetí ebo divergetí Řešeí Použijeme odmociové kritérium lim lim lim lim e > Řd diverguje Podílové (D Alembertovo kritérium) Nechť pro řdu pk pltí: eituje je-li L >, řd diverguje, je-li L <, řd koverguje lim L, 7
Důkz: ) Nechť k ( L,) Pk pro koro všech je < k, tz že eituje N tk, že m> : m < k m, k k m < m <, m N < k td m N N Vidíme, že řd k je kovergetí mjortou řd, která podle rovávcího kritéri koverguje m b) Pro L > pk pro koro všech pltí m Poloupot { } je ted eklející kldá, proto emůže plit utou podmíku kovergece lim Řešeý příkld Pomocí kritéri kovergece řd kldými čle zjitěte, zd je řd kovergetí ebo divergetí Řešeí ( )! Pokud výrz obhuje fktoriál, použijeme podílové kritérium ( )! ( )! lim lim lim lim < ( )( )( )! ( )( )! Řd koverguje ( ) 8
Pomocí kritéri kovergece řd kldými čle zjitěte, zd je řd kovergetí ebo divergetí Řešeí ( ) ( ) lim lim lim > Řd koverguje Pozámk: V přípdě, že je L, eumíme pomocí odmociového podílového kritéri rozhodout o kovergeci řd Muíme použít jié kritérium Itegrálí kritérium Nechť fukce f je itervlu,) kldá klející, přičemž Pk řd koverguje, právě kdž koverguje evltí itegrál f d Důkz: Podle předpokldů vět je k N Sečteme tto erovoti pro k,,,, : k k k k f d f d k k k tj f d k f pro N Z toho ple, je-li kovergetí, pk lim lim f d to zmeá, že evltí itegrál koverguje Koverguje-li itegrál f d, pk tké pltí, že 9
To zmeá, že oučet f() f d je koečý řd koverguje 5 5 5 5 5 5-5 Řešeý příkld Pomocí kritéri kovergece řd kldými čle zjitěte, zd je řd kovergetí ebo divergetí Řešeí Použijeme itegrálí kritérium f d d lim lim b b b Itegrál koverguje, řd koverguje b Pomocí kritéri kovergece řd kldými čle zjitěte, zd je řd kovergetí ebo divergetí Řešeí Použijeme itegrálí kritérium f b b d d lim l lim ( l b l ) Itegrál diverguje, řd diverguje b
Rbeovo kritérium Nechť pro řdu eituje L lim, pk pltí: je-li > L, řd koverguje, je-li < L, řd diverguje Řešeý příkld Pomocí kritéri kovergece řd kldými čle zjitěte, zd je řd kovergetí ebo divergetí Řešeí Podílové kritérium: lim lim lim lim Nerozhodeme Rbeovo kritérium: 6 lim 5 6 lim 5 6 lim lim > Řd koverguje
Řešeý příkld Pomocí vhodého kritéri kovergece řd kldými čle zjitěte, zd je řd kovergetí ebo divergetí Řešeí Použijeme odmociové kritérium lim lim < Řd koverguje Řešeí 58 ( ) ( ) 59 ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) 58 59 ( ) lim lim lim < 58 ( ) 59 Řd koverguje 5 Řešeí Použijeme odmociové kritérium lim lim < Řd koverguje 5 5 Řešeí ( ) ( ) lim lim lim lim < Řd koverguje
5 ( )!! Řešeí lim lim ( ) ( )! ( )!!! lim! ( )( ) ( )! ( )! lim! ( ) ( ) < Řd koverguje 6 Řešeí Použijeme odmociové kritérium lim lim lim < Řd koverguje 7 Řešeí Použijeme odmociové kritérium lim lim lim < Řd koverguje 8 9 Řešeí Použijeme odmociové kritérium lim lim 9 lim 9 < 9 Řd koverguje
9 ( ) Řešeí Použijeme itegrálí kritérium f d d lim ( ) d tdt d m b ( t ) t b [ t] lim[ rctb rct] lim rct b b t Itegrál koverguje, řd koverguje h m b tdt! Řešeí Pokud výrz obhuje fktoriál, použijeme podílové kritérium lim lim ( )! ( )! lim lim >!! Řd diverguje
Alterující řd Řd obecými čle jou tkové, kde e libovolě třídjí zmék jejích čleů Mějme řdu obecými čle koverguje bolutě Nekoverguje-li koverguje reltivě (ebolutě), koverguje-li řd, le řd, pk říkáme, že řd o, pk říkáme, že řd Vět: Jetliže koverguje řd, pk koverguje i řd Důkz: Řdu čleů rozdělíme řdu jejích kldých čleů použijeme rovávcí kritérium kždou zvlášť: ( ) řdu jejích záporých ( ), proto řd kldých čleů koverguje, ozčme její oučet, tké je řd kldými čle vbrá z kovergetí řd koverguje její oučet ozčíme, proto Spojeím obou výledků dotáváme koverguje ( ) Teto oučet je koečý řd Řešeý příkld Rozhoděte, zd dé řd kovergují bolutě: i ) Řešeí b) i ) řd koverguje bolutě, protože řd koverguje 5
b) řd ekoverguje bolutě, protože (itegrálí kritérium) řd diverguje Řd, kde kždé, e zývá lterující řd Leibitzovo kritérium kovergece lterujících řd Nechť pro lterující řdu pltí: lim, { } je erotoucí poloupot, ted Pk je tto řd kovergetí Důkz: Uvžujme čátečý oučet udého počtu čleů, v ěmž > : m m m 5 m m m Podle předpokldu () je kždý rozdíl k k, tj m, poloupot je tudíž hor omezeá Součě je eklející, protože pltí Má ted limitu lim m m m m m m Vezmeme-li í poloupot lichých čátečých oučtů, pltí pro ě podle předpokldu () Shrutím obou výledků obdržíme m m m, lim lim lim m m m m m m m m m m m m, lim lim lim proto řd z dých podmíek koverguje Pozámk: Leibitzovo kritérium louží k ověřeí reltiví kovergece řd 6
Řešeý příkld Rozhoděte o kovergeci lterující řd Řešeí Nejdříve rozhodeme o kovergeci řd kldými čle Použijeme itegrálí kritérium f b b d d lim l lim ( l b ) Itegrál diverguje, řd diverguje Ní pomocí Leibitzov kritéri: lim lim, Leibitzovo kritérium je plěo, řd koverguje reltivě b Řešeí Nejdříve rozhodeme o kovergeci řd kldými čle Rbeovo kritérium: ( )( ) ( ) lim lim lim lim lim lim < Řd diverguje Ní pomocí Leibitzov kritéri: 5 lim lim, Leibitzovo kritérium eí plěo, řd diverguje 7
Řešeí Nejdříve rozhodeme o kovergeci řd kldými čle Použijeme itegrálí kritérium 5 Řešeí f b b b d d lim lim Itegrál koverguje, řd koverguje l Nejdříve rozhodeme o kovergeci řd kldými čle Použijeme itegrálí kritérium b d d lim[ l l ] lim[ ( l l b l l )] f l b b Itegrál diverguje, řd diverguje Ní pomocí Leibitzov kritéri: lim lim, l ( ) l( ) b l l l ( ) l Leibitzovo kritérium je plěo, řd koverguje reltivě 6 ( ) Řešeí Použijeme odmociové kritérium lim lim lim < Řd je bolutě kovergetí 8
Operce řdmi Náobeí řd Součiem řd c, b zýváme řdu c, pro jejíž čle pltí:, c b,, c b b b b, b b,, Jou-li řd b bolutě kovergetí e oučt t, pk tké jejich ouči je bolutě kovergetí její oučet je t Řešeý příkld Njděte řdu, která je oučiem zdých řd Je-li to možé, určete její oučet Řešeí, Potupým výpočtem obdržíme řdu 9 Obě zdé geometrické řd jou bolutě kovergetí, jejich oučt jou, Abolutě koverguje ted i jejich ouči jeho oučet je 9 9 8 Přerováí čleů řd Mějme řdu řd proté zobrzeí ν : N N Říkáme, že ν() ν ν() ν vzikl přerováím řd 9
ν Nechť řd bolutě koverguje Pk kždá řd, která vzikl jejím přerováím, rověž koverguje, to ke tejému oučtu Reimov vět: Koverguje-li řd ebolutě, pk lze její čle přerovt tk, b vziklá řd kovergovl k předem toveému oučtu, přípdě b divergovl Řešeý příkld Alterující řd koverguje podle Leibitzov kritéri, le ekoverguje bolutě Ukážeme, že jejím přerováím zíkáme kovergetí řdu jiým oučtem Řešeí ( ) 5 6 7 8 dále je 6 8 Sečteme-li obě rovoti, doteme 5 7 9 6 Tto řd může vzikout tké tk, že přerováme čle v původí řdě tk, že píšeme dv kldé čle jede záporý Součet e tím o poloviu zvětší
Přibližý výpočet oučtu řd Odhd zbtku r pro bolutě kovergetí řd Odhd zbtku řd zákldě itegrálího kritéri: Mějme kovergetí řdu kldá klející, přičemž kldými čle, echť fukce f je itervlu,) f pro N Pk pro pltí: r r f d Pltí-li pro všech doti velká vzth q <, pk zbtek r řd plňuje erovot r q q Odhd zbtku r pro lterující řd Nechť je lterující řd, pk zbtek r řd plňuje erovot r Řešeý příkld Určete odhd zbtku kovergetí řd po deátém čleu Řešeí Itegrálím kritériem zjitíme, zd řd koverguje: f d d lim lim b b b Řd koverguje r f d d lim lim b b b r b b
Určete odhd zbtku kovergetí řd po -tém čleu, kolik čleů je třeb vzít, b zbtek bl meší ež, Řešeí Itegrálím kritériem zjitíme, zd řd koverguje: f d d lim lim b b b Řd koverguje r f d d lim lim b b b r 6,9 Muíme ečít miimálě 7 čleů Určete odhd chb u řd po -tém čleu, určete zbtek po pátém čleu Řešeí Podílovým kritériem zjitíme, zd řd koverguje: lim lim lim Řd koverguje q b 5 6 Zvolíme-li 5, r5, 6875 b r
Určete odhd chb u řd! po -tém čleu, kolik čleů je třeb vzít, b zbtek bl meší ež, Řešeí Řd je bolutě kovergetí r r! ( )! ( ) ( )! 6 Určete odhd chb u řd meší ež, Řešeí Řd je bolutě kovergetí r r ( ) l l 5, 8 6 po -tém čleu, kolik čleů je třeb vzít, b zbtek bl
5 Fukčí řd Poloupoti fukcí Poloupot fukcí možiě M je zobrzeí moži přirozeých číel do moži fukcí defiových M Píšeme Defiičí obor { f } { f, f, f,, f, } { } D poloupoti f ( ) je průik defiičích oborů všech jejích čleů { co } { co,co,co,,co, } D R,,,,, D R{ N } Koverguje-li v bodě { } poloupot { f ( )} { } D číelá poloupot f ( ), říkáme, že poloupot fukcí f koverguje v bodě Jetliže pro kždé P D koverguje číelá, říkáme, že poloupot fukcí { } Píšeme f f lim f ( ) ozčuje limití fukci poloupoti { } limit číelých poloupotí pro kždý bod f koverguje P bodově f, jejíž obor hodot možiě P tvoří P Řešeý příkld Všetřete limitu poloupoti Řešeí Defiičím oborem poloupoti je moži R { } Při výpočtu limit je uté rozlišit ěkolik možotí ohledem fukci f : Pro > je lim f (L Hopitlovo prvidlo), Pro je lim f,
Pro lim f < je Limití fukce pro < f lim f pro pro > Řekeme, že poloupot fukcí { f } koverguje tejoměrě k fukci f itervlu P, eituje-li pro kždé ε > čílo N tk, že pro kždé P pltí: f f < ε Píšeme: lim V přípdě tejoměré kovergece je čílo f f P tejé pro všech P > Bodová kovergece: P ε N : f f Stejoměrá kovergece: ε N P : f f > > < ε > > < ε pro všech Řešeý příkld Všetřete tejoměrou kovergeci poloupoti Řešeí pro < f lim f pro pro > Uvžujme ejdříve itervl K, ), kde K > V ěm pltí: K < f f Zjitíme zd z jkých podmíek je teto rozdíl meší ež libovolě zvoleé čílo ε > : K K < lε ε > ε > l K 5
Uvžujeme-li ε <, je teto výledek kldý Vidíme, že ezávile K, ) l ε pro libovolě mlé ε eituje l K tkové, že pro > je f f < ε Ve mlu předchozí defiice je tudíž kovergece tejoměrá itervlu P K, ), K > Mějme í kk,, k < <, ěmž je limití fukce f k f f < k k, proto Protože teto výledek pltí ezávile, můžeme podobou úvhou jko v předchozím potvrdit tejoměrou kovergeci Pro, K, K > e tejoměrá kovergece ověří podobě jko v přípdě Protože teto způob ověřeí tejoměré kovergece předpokládá zlot limití fukce, používá e Bolzo-Cuchov podmík Bolzo-Cuchov podmík tejoměré kovergece Poloupot fukcí f je itervlu P tejoměrě kovergetí právě tehd, kdž pro libovolé ε > eituje N tkové, že pro kždá dvě m, N, m, pro kždé P pltí f f < ε m Vět: Koverguje-li poloupot pojitých fukcí k fukci f ( ), pk limití fukce f ( ) je rověž pojitá, b b f d f d lim Vět: Nechť { } f itervlu P, b tejoměrě f je poloupot fukcí diferecovtelých itervlu P, b, přičemž lepoň pro jedo c P poloupot f ( c ) koverguje Koverguje-li { } poloupot f pltí: f f tejoměrě P, lim { } b, pk tké { } f koverguje tejoměrě 6
Fukčí řd { } Nechť v itervlu I je defiová poloupot fukcí Fukčí řdou rozumíme výrz tvru: f f f f f f Řekeme, že fukčí řd koverguje pro, má-li oučet číelá řd: Moži I* f f f f f I všech bodů, v ichž řd koverguje e zývá obor kovergece * Píšeme: f Fukce I e zývá oučet řd (oučtová fukce) Pokud v ěkterém bodě defiičího oboru řd buď f ( ) ( ) ebo f ( ) je v tomto bodě divergetí eeituje, říkáme, že řd Fukci tvru k k f f f f f zýváme -tým čátečým oučtem fukčí řd f Výrz r f f f f f k k k zýváme -tým zbtkem řd f Součtem fukčí řd f rozumíme fukci lim, která je defiová možiě I * (tj je defiová pro všech, ve kterých eituje koečá limit lim ) Potom píšeme f, I* 7
Součtem ekoečé řd fukcí je opět fukce Součet emuí být defiová celém itervlu I, le pouze ějké podmožiě * I Poz: Při určováí oboru kovergece fukčí řd vužíváme podílové ebo odmociové kritérium Řešeý příkld Určete obor kovergece fukčí řd l Řešeí Použijeme odmociové kritérium: lim l l < < l < e < < e Obor kovergece je ( e, e) Muíme í prověřit, jk e řd chová v krjích bodech itervlu: ( ) e l e e l e obě řd divergují Obor kovergece je ( e, e) Určete obor kovergece fukčí řd Řešeí Použijeme podílové kritérium: ( ) lim lim ( ) lim lim lim ( ) Řd koverguje R 8
Říkáme, že itervlu M b, řd f koverguje tejoměrě k oučtu právě kdž poloupot čátečých oučtů { }, koverguje M b, tejoměrě Koverguje-li řd tejoměrě dém itervlu, koverguje k témuž oučtu i bodově, opk to mozřejmě epltí K všetřeí tejoměré kovergece vužíváme vhodá kritéri Weiertrovo kritérium tejoměré kovergece: Řd f tejoměrě itervlu, b k fukci koverguje, jetliže eituje pro kždé b, k této řdě kovergetí číelá mjort ezáporými čle, ted pltí: M, b : f N koverguje Řešeý příkld Ukžte, že řd Řešeí co koverguje tejoměrě pro R co Mjortí řd je kovergetí geometrická řd kvocietem q, proto podle Weiertrov kritéri koverguje řd tejoměrě celém R Vět o pojitoti oučtu itegrováí fukčí řd: Nechť řd pojitých fukcí f koverguje tejoměrě k oučtu oučet je pojitá fukce b,, pro α β b β itervlu M b, Pk pltí: β β f d f d d α je α α Řešeý příkld Je dá fukce Řešeí co, vpočítejte itegrál d Čle řd co jou pojité fukce R 9
Řd koverguje tejoměrě (viz miulý příkld) Ní můžeme vpočítt d: co co co co d d d i i i Vět o derivováí fukčí řd: Nechť řd pojitých fukcí f itervlu b, echť pro ějké c, b předpokládejme, že řd derivcí f koverguje, Pk řd f diferecovtelých koverguje číelá řd f ( c) koverguje, Dále b tejoměrě k oučtu b rověž tejoměrě pltí σ Stručěji: Stejoměrě kovergetí řdu diferecovtelých fukcí lze derivovt čle po čleu d df f d d σ Řešeý příkld Určete oučet řd Řešeí Čle řd jou diferecovtelé fukce R σ řd je geometrická koverguje itervlu (,) k oučtu σ dl C l C z evidetí podmík
6 Mocié řd ( ) Fukčí řd e zývá mociou řdou zýváme třed řd, jou reálé koeficiet Pro je Kždá mociá řd koverguje ve vém tředu Vět Abelov: Koverguje-li mociá řd ( ) v bodě, pk koverguje bolutě pro všech, pro která pltí < Mějme řd ( ) oborem kovergece M Čílo R up{ } zýváme poloměrem kovergece této řd M Důledek Abelov vět: Obor bolutí kovergece mocié řd je vžd otevřeý itervl ouměrý podle tředu řd poloměrem podle předchozí defiice: ( R, R) Vět Cuchho-Hdmrdov: Nechť pro mociou řdu rep ρ lim, pk pro obor kovergece pltí: R, je-li ρ, R, je-li < ρ <, ρ R, je-li ρ ( ) je lim, ρ
Řešeý příkld Určete poloměr kovergece obor kovergece mocié řd: Řešeí ( ) Poloměr kovergece lim R Obor kovergece, lim R Ní dodíme krjí bod oboru kovergece do zdáí řd Ní pomocí Leibitzov kritéri: lim lim, Hrmoická řd diverguje Leibitzovo kritérium je plěo, řd koverguje reltivě Obor kovergece je,! Řešeí Poloměr kovergece lim R lim! lim! ( ) Obor kovergece jou všech reálá číl! lim! ( ) R
Řešeí Poloměr kovergece lim lim lim R R Obor kovergece řd koverguje pouze ve vém tředu Vět o tejoměré kovergeci mociých řd: Mociá řd e tředem poloměrem kovergece R koverguje tejoměrě kždém uzvřeém itervlu M r, r,< r < r Itegrováí derivováí mocié řd Je-li poloměr kovergece mocié řd < r < r R pltí ) Součet řd je pojitá fukce b) Pro kždé M r, r c) Pro kždé M r, r Řešeý příkld je ( ) její oučet, pk pro ( ) d d d je ( ) ( ) ( Určete poloměr kovergece, obor kovergece oučet mocié řd Řešeí Poloměr kovergece lim lim ρ lim Obor kovergece (, ) Ní dodíme krjí bod oboru kovergece do zdáí řd d )
N řdu použijeme itegrálí kritérium l lim l lim b d d f b b b Itegrál diverguje, řd diverguje Obě číelé řd jou divergetí, obor kovergece je, Pokuíme e řdu ečít 9 5 9 5 Řd e prví pohled ečít edá, pokud bchom le odtrili jmeovtele, tk doteme geometrickou řdu, odtríme je derivováím řd čle po čleu 8 Řd je geometrická, její oučet je Teto výrz itegrujeme doteme oučet původí řd d d d d c rct l l Kottu muíme dopočítt, dodíme ted do obou tr rovice její třed rct l l c c Řd má oučet rct l Rozkld prciálí zlomk utý k výpočtu itegrálu: D C B A D C B A A A
B B A B C C 5A 5B C D D Řešeí Poloměr kovergece lim lim ρ lim Obor kovergece (, ) Ní dodíme krjí bod oboru kovergece do zdáí řd Ní pomocí Leibitzov kritéri: lim lim, Leibitzovo kritérium je plěo, řd koverguje reltivě Hrmoická řd diverguje Obor kovergece je (, Pokuíme e řdu ečít Řd e prví pohled ečít edá, pokud bchom le odtrili ze jmeovtele, tk doteme geometrickou řdu, odtríme je derivováím řd čle po čleu 5
Řešeí Řd je geometrická, její oučet je oučet původí řd d l c Teto výrz itegrujeme doteme Kottu muíme dopočítt, dodíme ted do obou tr rovice její třed c l c Řd má oučet ( ) l Poloměr kovergece lim lim ρ lim Obor kovergece (,) Ní dodíme krjí bod oboru kovergece do zdáí řd Hrmoická řd diverguje Hrmoická řd diverguje Obě číelé řd jou divergetí, obor kovergece je (,) Pokuíme e řdu ečít ( ) ( ) ( ) ( ) 6 Řd e prví pohled ečít edá, pokud bchom le odtrili ze jmeovtele, tk doteme geometrickou řdu, odtríme je derivováím řd čle po čleu 6 ( ) ( ) ( ) ( ) 5 Řd je geometrická, její oučet je itegrujeme doteme oučet původí řd ( ) ( ) ( ) d d 6 ( ) ( ) ( )( ) Teto výrz
Řešeí l ( ) c Kottu muíme dopočítt, dodíme ted do obou tr rovice její třed l c c l Řd má oučet Poloměr kovergece ρ lim lim R Obor kovergece, Ní dodíme krjí bod oboru kovergece do zdáí řd řd diverguje řd diverguje Obě číelé řd jou divergetí, obor kovergece je, Pokuíme e řdu ečít Jedá e o geometrickou řdu, její oučet je 5 ( ) Řešeí Poloměr kovergece ρ ( ) lim lim lim R 7
Obor kovergece ( 7, ) Ní dodíme krjí bod oboru kovergece do zdáí řd 7 příkld ( ) () Obor kovergece je 7, ) Pokuíme e řdu ečít ( ) ( ) ( ) ( ) Reltiví kovergece, viz ěkterý miulý Hrmoická řd diverguje Řd e prví pohled ečít edá, pokud bchom le odtrili ze jmeovtele, tk doteme geometrickou řdu, odtríme je derivováím řd čle po čleu ( ) ( ) ( ) Řd je geometrická, její oučet je itegrujeme doteme oučet původí řd d l c ( ) Kottu muíme dopočítt, dodíme ted do obou tr rovice její třed ( ) c l l c Řd má oučet l Teto výrz 8
6 ( ) Řešeí Poloměr kovergece ρ lim lim R Obor kovergece (, ) Ní dodíme krjí bod oboru kovergece do zdáí řd Diverguje (tejá limit pro Leibitz kr) lim lim NPK diverguje Obor kovergece je (, ) Pokuíme e řdu ečít Řd e prví pohled ečít edá, pokud bchom le odtrili, tk doteme geometrickou řdu, odtríme je itegrováím řd čle po čleu d d ( ) d ( ) ( ) ( ) ( ) Řd je geometrická, její oučet je zderivujeme doteme oučet původí řd ( ) ( ) ( ) d Teto výrz 9
7 Vjádřeí fukce mociou řdou Mějme fukci derivcemi libovolého řádu v bodě Pk mociou řdu f ( ( ) ) f f ( ) f ( ) f f ( )!!! zveme Tlorovou řdou (rozvojem) fukce teto rozvoj Mcluriův! f v bodě Je-li, zýváme Zbtek v Tlorově rozvoji: Kždá Tlorov řd může být zpá jko uperpozice Tlorov polomu T jitého tupě m zbtku řd po m -tém čleu, který ozčíme m R : m ( ) ( ) ( ) m f f f! m! Tm Rm Nutá potčující podmík kovergece Tlorov rozvoje: Má-li fukce derivci libovolého řádu, pk pro z libovolého itervlu I je právě tehd, kdž pltí pro zbtek R ( ) ( ) f f m! v tomto Tlorově rozvoji lim R, I m f v bodě Mcluriův rozvoj zákldích fukcí e!!! 5 7 i!! 5! 7! 6 co!!! 6! 5
Řešeý příkld Určete Mcluriův rozvoj fukce co Řešeí! 6!!! co 6 Míto dodíme! 6!!! co 6 rct Řešeí Fukci ejprve zderivujeme rct Míto dodíme 8 6 Řdu itegrujeme čle po čleu c d d d 8 6 rct Kottu dopočítáme dozeím tředu řd rct c c rct 5
Řešeý příkld Vpočítejte itegrál i d Řešeí 5 7 i!! 5! 7! Míto dodíme i 5!! 5! 7! 7 i d 6! 5! c! 7! d ( ) d! e d Řešeí e!!! e d i d Řešeí d!! c l c l!! 5 7 i!! 5! 7! i d 5 7 d! 5! 7! 5 7 c c! 55! 77! d!!! ( )( ) 6 d! 5! 7!! d! d! 5
Řešeý příkld Vpočítejte určitý itegrál přeotí deetitiíci co d Řešeí! 6!!! co 6 Míto dodíme! 6!!! co,765 88 7 6!!! 6!!! co d d,9 l d Řešeí l c d d d 5 5 Dodíme třed řd vpočítáme kottu l c c 5
,78969,5,599,656 6,79,8 5 5,9,9 5 5 d 5
8 Řešeí difereciálích rovic užitím mociých řd Mějme dáu Cuchho úlohu pro občejou difereciálí rovici prvího řádu ve tvru,, ' f, kde je hledá fukce Nším cílem bude lézt řešeí této úloh ve tvru Tlorov řd e tředem v bodě! '''! '' '! Poz: Je-li, je řešeím McLuriov řd, v ottích přípdech je to Tlorov řd Poz: Metodu lze použít i pro difereciálí rovice všších řádů Řešeý příkld Njděte prtikulárí řešeí difereciálí rovice (polom tupě), ' e Řešeí Výledek bude ve tvru McLuriov řd:!! ' ' '! '' '! ', ' e e '' ', ' '' e e e e 6 ''' '', ' ' ' ' '' ''' e e e e e e e e 6 ' 6 ''', '' ' '' '' ' ' ' ' '' ' ' ''' e e e e e e e e e e e e e e e e 6 5!!! 55
' ',, ' (polom 6 tupě) Řešeí Výledek bude ve tvru McLuriov řd: ( ) ( ' '' ) '' '!!!! ( ) ' '', ' ' ''' ', ''' ( ' ' '', ) ( 5) ( 5 '' '' ''', ) ( 6) ( 5 ''' ''', )! 6! 6 ', (polom tupě) Řešeí Výledek bude ve tvru Tlorov řd: () ' () ( ) ' ' ( ) ' '' ( )!! () ', ' '' ', '' () () 8 ( ' ) '', ''' 6 8 5 ''' 6 6( ' ) ' '' 6 ' '' ( ) () 6 8 8 8 5 86 ( ) ''', ( ) ( ) ( ) 8 5 86!!! 56
Mějme dáu Cuchho úlohu pro občejou difereciálí rovici prvího řádu ve tvru ' f,,, kde je hledá fukce Nším cílem bude lézt řešeí této ( ) úloh ve tvru mocié řd e tředem v bodě Řešeý příkld Njděte prtikulárí řešeí difereciálí rovice ( ) ', Řešeí Výledek bude ve tvru mocié řd: 5 5 5 5 6 Dodíme do zdáí: (polom 5 tupě) ( )( ) ( 5 5 5 5 ) 6 Závork rozáobíme 5 6 ( 55 ) ( 55 ) 5 6 6 ( 5 ) Ní budeme porovávt koeficiet u tejých moci: 5 5 5 5 : : : : :5 Výledek 5 57
9 Fourierov řd Mějme fukci koeficiet f itegrovtelou itervlu, Řd co b i co bi co bi ( ) co b i f d f co d,,, b f i d,,, e zývá Fourierův rozvoj fukce f itervlu, Píšeme f ( co bi ) Fukce f ( ) je možiě M periodická periodou T, pltí-li f ( T) f M pro Uvžujme fukci f ( ) defiovou itervlu délk, př pro Periodické prodloužeí f fukce f f T αα, T vě tohoto itervlu defiujeme předpiem f, α < < α T, f ( kt ), α kt < < α ( k ) T, k Z, k, f ( α ) f (( α T) ), α kt N rozhrí jedotlivých period vzikou bod epojitoti, v ich zvádíme hodotu f ritmetickým průměrem jedotrých limit f ( ) zčátku koci itervlu 58
Řešeý příkld Njděte Fourierův rozvoj fukce f Řešeí ) ),,,, itervlu, Setrojte grf jejího periodického prodloužeí d d [ ] [ ] co d co d [ i ] [ i ] [ ] [ ] b i d i d co co f i Periodické prodloužeí!!! Dirichletov vět Nechť má fukce f ( ) tto vltoti: (D) itervlu, je itegrovtelá, (D) má itervlu, koečý počet etrémů Pk k í itervlu, eituje jedozčě určeý Fourierův rozvoj tvru koeficiet který koverguje k fukci b ( co i ) f d f co d,,,, b f i d,,, f v kždém bodě itervlu (, ), v ěmž je pojitá, k ritmetickým průměrům jedotrých limit v kždém bodě epojitoti uvitř,, itervlu k periodickému prodloužeí f vě itervlu (, ) jedotrých limit v jeho bodech epojitoti 59, rep k ritmetickým průměrům
Siový koiový rozvoj Siový rozvoj Je-li fukce lichá, pk její Fourierův rozvoj obhuje pouze iové čle pltí: f b i Koiový rozvoj Je-li fukce udá, pk její Fourierův rozvoj obhuje pouze koiové čle pltí: f co Sudé liché prodloužeí Máme-li fukci f ( ) itervlu,, můžeme její rozvoj do Fouriérov řd itervlu, vtvořit trojím způobem N itervlu, doplíme pro, fukci tk, bchom dotli udou fukci o periodě K í pk vtvoříme periodické prodloužeí, které bude opět udé Výpočtem obdržíme koiový rozvoj N itervlu, doplíme pro, fukci tk, bchom dotli lichou fukci o periodě K í pk vtvoříme periodické prodloužeí, které bude opět liché Výpočtem obdržíme iový rozvoj Provedeme periodizci pro zdý itervl, V tomto přípdě bude f d f co d,,, b f i d,,, 6
Řešeý příkld Rozviňte fukci f ( ) do iové koiové řd proveďte periodizci itervlu, Řešeí Setrojte grf jejího periodického prodloužeí Siový rozvoj b i d co i f i Koiový rozvoj d ( ) co d i co ( ) f co Periodizce, d co d i co b i d co i f i 6