Modely analýzy a syntézy lánů MAF/KIV) Přednáška 8 Úvěr a úvěrové výočty 1 1 Rovnice úvěru V minulých řednáškách byla ro stav dluhu oužívána rovnice 1), kde ředokládáme, že N > : d = a b + = k > N. d./ = 1 +. d. b./, 1) kde jsou b. olhůtní slátka lacená na konci období obsahuje jak úrok, tak úmor), d. stav ůjčky jistina) na konci ntého období d 8 je tedy očáteční ůjčka) a. úroková míra ro ůjčku latná v období n do období n + 1. Pro ois ůjčky budeme oužívat vektor arametrů d 8, N, 8,,, :. Tuto ůjčku lze slatit omocí oslounosti slátek b, b ;,, b. Těchto oslouností existuje více a úkolem je tedy navrhnout takovou slátkovou oslounost, která by slňovala některá ředem daná omezení a byla by otimální dle daných kritérií. Slátka b. se dělí na slátku jistiny, tedy úmor, a na slátku úroků důvody tohoto dělení jsou daňové, účetní a otimalizační jak z ohledu věřitele, tak i dlužníka). b. = z. + u., 2) kde z. označuje slátku jistiny úmor) a u. slátku úroků. Vzhledem k nejednoznačnosti tohoto rozkladu je oužíváno konvence, že ta část slátky, která je oužitelná na slátku naběhnutých úroků se oužije na slátku úroků a rávě maximální taková část). Zbytek slátky okud nějaký je) se oužije na slátku jistiny úmoru). Řešení rovnice 1).: d. = d 8 1 + > >?8. b >.: 1 + >: 1 + + +?>:. 3) V době slatnosti ůjčky, tedy n = N, latí d =. Rovnice 3) řejde na : d 8 1 + > >?8 = b > : 1 + >: 1 + + +?>:. 4) Úravou získáme klasický vztah a očekávaný vztah, kdy každé slátce b > v čase l je řiřazena váha w >, která je sočtena na základě úrokových měr od času do času l. >: d 8 = b > 1 + + : +?8 = b > w >. 5) Patrice MAREK KMA FAV ZČU oslední úrava 29. 3. 216) Strana 1 z 5
Modely analýzy a syntézy lánů MAF/KIV) Přednáška 8 Výše uvedené výočty byly za obecných odmínek. V říadě, že úrok je o celou dobu konstantní, nebo okud chceme konstantní slátky, tak se situace značně zjednoduší. Některé tradiční slátkové režimy budou robrány v dalších kaitolách. 2 Rovnoměrné slátky jistiny a naběhlých úroků Při tomto druhu slácení se jistina d 8 ) rozdělí na N stejných částí a ty ak v každé slátce b >, l = 1,2,, N tvoří úmor. Dále je v každé slátce slácen celý naběhlý úrok z ředchozího období. Pokud je úroková míra o celou dobu slácení konstantní, tak jsou slátky v čase klesající. Slátku lze vyjádřit jako b > = d 8 N + d N l + 1 8 N >:. 6) Poznámka: Přiomínáme, že >: je úroková míra, která je latná z období l 1 do l. Tedy úrok z dluhu, který naběhne z období l 1 do l je vyočten na základě této úrokové míry a tento úrok je součástí slátky za toto období, která je realizována v času l. Příklad: Ukážeme slátkový kalendář ůjčky 1 milionu, kterou budeme slácet 1 slátkami na konci jednotlivých let, kdy jistina bude slácena rovnoměrně a k ní budou řiočteny naběhnuté úroky. Úrokovou míru budeme ředokládat o celou dobu konstantní ve výši 8 %. a. Řešení je v řiloženém souboru MAF8.xlsx na listu Rovnoměrná jistina. 2 18 16 14 12 8 6 4 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 3 Rovnoměrné slátky Obrázek 1: Ukázka rovnoměrných slátek jistiny a naběhlých úroků Při tomto druhu slácení se vychází z ředokladu, že každá slátka bude ve stejné výši. Pokud je úroková míra o celou dobu slácení konstantní, tak s ubíhajícím časem ve slátkách narůstá oměř úmorů k úrokům. Vzorec 5) ři konstantní slátce b řejde na >: : d 8 = b 1 + + = b w >. +?8 7) Patrice MAREK KMA FAV ZČU oslední úrava 29. 3. 216) Strana 2 z 5
Modely analýzy a syntézy lánů MAF/KIV) Přednáška 8 Pokud bude navíc i úroková míra konstantní, tak získáme : d 8 = b. 8) Příklad: Ukážeme slátkový kalendář ůjčky 1 milionu, kterou budeme slácet 1 konstantními slátkami na konci jednotlivých let. Úrokovou míru budeme ředokládat o celou dobu konstantní ve výši 8 %. a. Řešení je v řiloženém souboru MAF8.xlsx na listu Rovnoměrná slátka. 16 14 12 8 6 4 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 Obrázek 2: Ukázka rovnoměrných slátek Úkol: V čem je výhodnost a nevýhodnost tohoto druhu slácení oroti slácení s rovnoměrným úmorem? 4 Rovnoměrné slátky s odkladem Oroti ředchozímu bodu zde nedochází k okamžitému slácení, ale to je odloženo o K let. V říadě olhůtního slácení je rvní slátka vyžadována v čase K + 1. Pokud o zbytek doby budeme ředokládat konstantní slátky a konstantní úrokovou míru, tak latí : d 8 = b 1 + :G. 9) Příklad: Ukážeme slátkový kalendář ůjčky 1 milionu, kterou budeme slácet s odkladem o dva roky tedy rvní slátka v čase 3) omocí 8 konstantních slátek na konci jednotlivých let. Úrokovou míru budeme ředokládat o celou dobu konstantní ve výši 8 %. a. Řešení je v řiloženém souboru MAF8.xlsx na listu Odložená slátka. Patrice MAREK KMA FAV ZČU oslední úrava 29. 3. 216) Strana 3 z 5
Modely analýzy a syntézy lánů MAF/KIV) Přednáška 8 25 2 15 5 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 5 Lineární slátky Obrázek 3: Ukázka rovnoměrných slátek s odložením Slátky ři tomto druhu slácení lineárně rostou. Hodnotu slátky je stanoven dle vzorce Rovnice 5) ro lineární slátky řejde na tvar b > = b + l 1 Δ, l = 1,2,, N 1) >: d 8 = b + l 1 Δ 1 + + : +?8 = b w > + Δ l 1 w >. 11) Pokud je navíc úroková míra o celou dobu konstantní, tak 11) řejde na : d 8 = b + Δ l 1 w > 12) Příklad: Ukážeme slátkový kalendář ůjčky 1 milionu, kterou budeme slácet lineárně rostoucími slátkami na konci následujících 1 let oslední slátka nebude schéma dodržovat). Úrokovou míru budeme ředokládat o celou dobu konstantní ve výši 8 %. a. Řešení je v řiloženém souboru MAF8.xlsx na listu Lineární slátka. Patrice MAREK KMA FAV ZČU oslední úrava 29. 3. 216) Strana 4 z 5
Modely analýzy a syntézy lánů MAF/KIV) Přednáška 8 35 3 25 2 15 5 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 Obrázek 4: Ukázka rovnoměrných slátek s odložením Úkol: Vysvětlete, roč je součet úmorů v ředchozím říkladu vyšší než ůvodně ůjčený 1 mil.. Patrice MAREK KMA FAV ZČU oslední úrava 29. 3. 216) Strana 5 z 5