Dominik Šulc. Geometrie v konečněrozměrných normovaných prostorech

Transkript

1 DIPLOMOVÁ PRÁCE Dominik Šulc Geometrie v konečněrozměrných normovaných rostorech Katedra didaktiky matematiky Vedoucí bakalářské ráce: Studijní rogram: Studijní obor: doc. RNDr. Antonín Slavík, Ph.D. Matematika Učitelství matematiky Učitelství informatiky Praha 9

2 Prohlašuji, že jsem tuto dilomovou ráci vyracoval samostatně a výhradně s oužitím citovaných ramenů, literatury a dalších odborných zdrojů. Beru na vědomí, že se na moji ráci vztahují ráva a ovinnosti vylývající ze zákona č. / Sb., autorského zákona v latném znění, zejména skutečnost, že Univerzita Karlova v Praze má rávo na uzavření licenční smlouvy o užití této ráce jako školního díla odle 6 odst. autorského zákona. V... dne... i

3 Název ráce: Geometrie v konečněrozměrných normovaných rostorech Autor: Bc. Dominik Šulc Katedra: Katedra didaktiky matematiky Vedoucí dilomové ráce: doc. RNDr. Antonín Slavík, Ph.D., Katedra didaktiky matematiky Abstrakt: Tato ráce, která se zabývá normovanými vektorovými rostory konečné dimenze, je rozdělena do tří částí. První z nich se týká koulí a toho, jaký mohou mít tvar v závislosti na normě, kterou na daném rostoru uvažujeme. Ve druhé části je definován ojem takzvané zobecněné koule a je zde ukázáno několik výsledků týkajících se jejich objemů. Poslední část je zaměřena na číslo π oměr obvodu kruhu a jeho růměru které uvažujeme v konečněrozměrném normovaném vektorovém rostoru, tedy v rostoru s obecnou (ne jen eukleidovskou normou. Klíčová slova: normovaný rostor, zobecněná koule, objem Title: Geometry in finite-dimensional normed saces Author: Bc. Dominik Šulc Deartment: Deartment of mathematics education Suervisor: doc. RNDr. Antonín Slavík, Ph.D., Deartment of mathematics education Abstract: This work, which focuses on normed vector saces of finite dimension, is divided into three arts. The first one is concerned with balls, secifically with the shae they can have in saces with various norms. In the second art we define objects called generalized balls and we show a few results concerning their volumes. The last art focuses on the number π ratio of circle s circumference and its diameter in finite-dimensional normed vector sace, which means sace with general (not only Euclidean norm. Keywords: normed sace, generalized ball, volume ii

4 Děkuji svému školiteli doc. RNDr. Antonínu Slavíkovi, Ph.D. za omoc, kterou mi v odobě mnohých rad a užitečných řiomínek ři saní této ráce oskytoval. iii

5 Obsah Úvod Koule v normovaných rostorech 4 3 Objem koule 4 π 6 4. Interval ro hodnoty π π je nejmenší π Odhad π ro symetrické kruhy Literatura 37

6 Kaitola Úvod Předtím, než řistouíme k matematice, věnujme ár slov tomu, co všechno bude moci čtenář v této ráci najít. Ve druhé kaitole definujeme několik základních ojmů jako je norma, normovaný rostor, jednotková koule a budeme se věnovat oisu toho, jaký tvar může koule v normovaném rostoru mít. Třetí a nejobsáhlejší kaitola se zabývá tím, jak se mění objem koule v normovaném rostoru v závislosti na jeho dimenzi a normě, kterou na tomto rostoru uvažujeme. V úvodu kaitoly definujeme takzvanou zobecněnou kouli, uvedeme také definici gama funkce, kterou budeme v dalším textu velmi často oužívat a řiomeneme ár základních vlastností této funkce. Poté nalezneme vzorec ro výočet objemu n-rozměrné jednotkové koule a následně vyočítáme i objem zobecněné n-rozměrné koule. Pro jednoduchost budeme očítat objemy koulí o oloměru, oněvadž objem koule o obecném oloměru lze z této hodnoty snadno určit vynásobením n-tou mocninou tohoto oloměru. Dále ukážeme konkrétní říklady výočtu objemu na dvojrozměrném a trojrozměrném říadu útvaru, kterému se říká asteroida a otom se odíváme se na to, jak se objem koule chová ři limitním řechodu k nekonečné dimenzi. Nejrve ukážeme, že objem libovolné koule (tj. o libovolném oloměru v eukleidovské normě je, neformálně řečeno, v rostorech velké dimenze malý. V následující větě toto tvrzení zobecníme a ukážeme, že ředoklad seciální eukleidovské normy není nutný a že objem koule jde ro dimenzi jdoucí k nekonečnu k nule nezávisle na hodnotě arametru, který normu určuje. Tuto větu dokážeme dvěma zůsoby, zarvé elementárně za cenu toho, že důkaz bude oněkud rozsáhlý a oté s oužitím Stirlingova vzorce, což bude mnohem kratší, avšak řijdeme o elementárnost kvůli této formuli, kterou uvádíme ouze bez důkazu. V další části této kaitoly se zaměříme na to, v jakém rostoru nabývá objem jednotkové eukleidovské koule maximální hodnoty. Ukážeme, že to nastává v rostoru dimenze 5. Na závěr této kaitoly ukážeme, že ro jistou třídu zobecněných koulí (takovou, kde se v definici vyskytuje ouze jeden arametr latí, že ro každé objem jednotkové koule se zvyšující se dimenzí nejdříve monotónně roste a oté, co dosáhne svého maxima, monotónně klesá. Poslední kaitola, ve které budeme racovat s dvourozměrnými reálnými rostory, se věnuje číslu π, které s objemem koule v těchto rostorech (koule v R je kruh úzce souvisí. My se však v této ráci zabýváme i jinými rostory než eukleidovskými, a tak v této kaitole zavedeme symbol π, což bude zobecnění klasického π na rostory s obecnou normou. Už to tedy nebude konstanta, ale arametr závisející na daném rostou. V každém normovaném rostoru tedy

7 budeme mít jinou hodnotu tohoto arametru ro tento rostor secifickou. Dokážeme, že tato hodnota však nemůže být jakákoliv, ale že leží v intervalu [3, 4] a okud budeme uvažovat ouze normy definované ředisem z úvodu. kaitoly, tento interval se zmenší na [π, 4]. V úlném závěru získaný výsledek oět zmírněním ředokladů ještě trochu zobecníme. Přeokládáme, že čtenář je seznámen alesoň se základy logiky otřebnými ro orozumění různým důkazovým technikám a také se základními ojmy a výsledky lineární algebry, matematické analýzy a teorie míry a integrálu. Tento text by tedy měl být srozumitelný osluchačům osledních ročníků bakalářského studia matematických oborů. Tvrzení v této ráci jsou z velké části řevzata z jiných textů, je zde však i několik nových výsledků. U každého řevzatého tvrzení je odkaz na zdroj, ze kterého bylo čeráno, tedy všechny výsledky, u kterých není odkaz na literaturu, jsou ůvodní. Konkrétně to jsou věty 3.9, 3.4 a

8 Kaitola Koule v normovaných rostorech V celém textu se bude racovat s normovanými lineárními rostory konečné dimenze, bude tedy dobré o tomto ojmu na úvod něco říci. Uvažujme n-rozměrný reálný vektorový rostor, tedy množinu všech n-tic reálných čísel. Nejřirozenější zůsob, jak na tomto rostoru změřit délku l vektoru x = (x, x,..., x n, je zřejmě následující l(x = x + x + + x n. Je to řirozené roto, že to odovídá našemu cháání délky v našem trojrozměrném rostoru. Nic nám však nebrání oužít k měření délky jinou funkci než tu, která je výše uvedena. Na druhou stranu ale není rozumné měřit délku úlně jakoukoliv funkcí, rotože ak bychom mohli ztratit některé důležité vlastnosti, na které jsme u naší běžné délky zvyklí. Naříklad je rozumné ožadovat, ať už definujeme délku jakkoliv, aby tato délka nemohla být menší než a na druhou stranu aby délka nulového vektoru byla nulová. Funkcím, které slňují tyto a ještě několik dalších rozumných ožadavků, se říká normy (naříklad funkci oužité k výše uvedenému měření se říká eukleidovská norma. Norma tedy v jistém smyslu zobecňuje délku, tak jak ji běžně cháeme. Pojem norma bude ro nás v tomto textu klíčový, budeme ho tedy na dalších stránkách formálně definovat a dále se mu věnovat. Definice.. Nechť n N a x = (x, x,..., x n je vektor, jehož složky jsou reálná čísla. Pro [, definujeme: ( n / x = x k. k= Věta.. Zobrazení x x má následující vlastnosti: x x = x = c R : cx = c x x + y x + y (Minkowského nerovnost Převzato z [], str. 4

9 Důkaz: ( n /. x : x k k {,,..., n} x k k=. x = x = : x = x k = k {,,..., n} x = ( n / x = x k = k {,,..., n} x k = k= ( n / 3. c R : cx = c x : cx = cx k = k= ( n / ( n = c x k = c / ( n x k / = c x k k= k= k= 4. x + y x + y : Protože, latí, že funkce x x je konvexní na R. Pro x, y R n a λ [, ] tedy latí: ( λx + λy = n k= ( λx k + λy k nk= (( λ x k + λ y k = ( λ x + λ y Pro vektory x, y takové, že x = y = tedy dostáváme: ( λx + λy Pokud x = nebo y =, dokazovaná nerovnost zřejmě latí. V oačném říadě dostáváme ro jednotkové vektory x/ x a y/ y následující vztah. x+y x + y = x x + y x x + y x + y y y Důkaz dokončíme vynásobením ředchozí nerovnosti jmenovatelem zlomku na levé straně. Poznámka.3. Každé zobrazení, které má vlastnosti z ředchozí věty, se nazývá norma a značí se. V ředchozím tvrzení jsme tedy dokázali, že je norma na vektorovém rostoru R n. Dvojice (R n, je tedy normovaný lineární rostor. Definice.4. Nechť n N a [,. Definujeme l n jako reálný vektorový rostor dimenze n vybavený normou z definice.. Přesněji l n = (R n,. Poznámka.5. Omezení ro v definici normy je nutné, rotože ro < by říslušná norma neslňovala trojúhelníkovou nerovnost, tj. vágně řečeno, Převzato z htts://math.stackexchange.com/questions/7394/minkowski-inequality-for-le- 5

10 nelatilo by, že nejkratší cesta z jednoho bodu do druhého vede o římce rocházející těmito body. Dokonce latí, že x + y x + y x, y [, n ro n řirozené a ro <. Tedy ro < se znaménko v Minkowského nerovnosti obrací. Důkaz: Platí: (x k + y k = ( t x k t + ( t y k, t (,. t Funkce f(x = x je konkávní na intervalu [, ro < <, a tedy ro x k, y k R dostáváme: ( x k + y k = t x k t Po sečtení řes všechna k máme: + ( t y k t x k t x + y t x t + ( t y ( t y k + ( t t ( t Pokud x = nebo y =, dokazované tvrzení zřejmě latí. V oačném říadě zvolme: t = x x + y, ( t = y x + y a získáváme: a o úravě: x + y t x y + ( t x y ( x + y ( x + y x + y t ( x + y + ( t ( x + y = ( x + y = = x + y x + y. Definice.6. Jednotková (uzavřená koule v rostoru R n množina B := {x R n, x }. s normou je Na obrázku. je několik říkladů jednotkových koulí v rostoru R s různými normami, které lze dostat různou volbou v definici.. 6

11 Obrázek.: Jednotkové koule v l ro různé hodnoty (řevzato z htts://en.wikiedia.org/wiki/l_sace Poznámka.7. Podobně jako lze klasickou jednotkovou kružnici ({(x, y : x + y = } arametrizovat goniometrickými funkcemi sinus a kosinus, které souvisejí s úhly v trojúhelníku, můžeme odobnými funkcemi arametrizovat i další jednotkové kružnice (tj. hranice jednotkových koulí v jiných normách. Volbou = v definici. získáme eukleidovskou kružnici, ale okud zvolíme >, dostaneme jednotkovou kružnici, která se bude s rostoucím čím dál tím více odobat čtverci (square. Těmto objektům, jednotkovým kružnicím (circles, které tvarem řiomínají čtverce (squares, se někdy říká squircles a říslušná zobecnění funkcí sinus a kosinus, která je arametrizují, se nazývají squigonometrické funkce. Přesněji, ro dané > definujeme funkce squinus (zobecnění sinu, značíme sq a kosquinus (zobecnění kosinu, značíme cq, jako funkce slňující sq (t = cq (t, cq (t = sq (t, 7

12 sq ( =, cq ( =, kde t R. Není těžké se řesvědčit, že takto definované funkce skutečně slňují odmínku sq (t + cq (t =, a tedy jsou to skutečně arametrizace našich objektů, které jsme nazvali squircles. Tuto a další vlastnosti lze nalézt v []. Následující dvě věty ukazují, jakým zůsobem norma omezuje tvary jednotkových koulí v R n. Věta.8. 3 Nechť : R n [, je funkce, která slňuje: x = x = a c R : cx = c x. Potom je norma na R n rávě tehdy, když jednotková koule B je konvexní množina. Důkaz: Nechť je norma na R n a nechť x, y B, λ [, ] a z = λx + ( λy je libovolný bod na úsečce mezi x a y. Platí: z = λx + ( λy λx + ( λy = = λ x + ( λ y = λ + ( λ = tedy z B. Nechť tedy naoak B je konvexní množina a x, y R n. Chceme dokázat, že x + y x + y. Pokud x = nebo y =, nerovnost zřejmě latí. Můžeme tedy ředokládat, že x i y jsou nenulové. Uvažujme x = x/ x a y = y/ y, jejichž normy jsou rovny, a tedy leží v jednotkové kouli. Jelikož lyne z konvexity B, že Platí tedy Ověřili jsme, že ( x + y x + y = x + y x + y = x+y x + y x x + y + y x + y =,, a tedy x x + y x + y x + y y B. x x + y x + y x + y y. x + y x + y. 3 Převzato z [], str. 8

13 Věta.9. 4 Nechť K je komaktní konvexní množina v R n, která je středově souměrná vzhledem k očátku a obsahuje nějakou (eukleidovskou kouli se středem v očátku. Potom existuje norma K na R n taková, že K je jednotková koule vzhledem k této normě. Důkaz: Ukážeme, že funkce f(x = min {ξ [, : x ξk}, kde ξk = {ξy : y K}, má ožadované vlastnosti, a tedy je to hledaná norma x K. Funkce f řiřazuje vektoru x nejmenší nezáorné reálné číslo ξ takové, že x ξk. Je tedy vidět, že otom x leží na hranici množiny ξk a je tedy řirozené definovat jeho normu jako ξ. Poznamenejme ještě, že v ředokladech věty je uvedeno, že K obsahuje eukleidovskou kouli, což zaručuje, že množina v definici f(x bude nerázdná a také že hodnota f(x bude konečná ro každé x R n.. Jelikož množina v definici f(x obsahuje ouze nezáorná čísla, minimum této množiny je nezáorné číslo, tedy f(x.. Pokud x =, zřejmě f(x =. Naoak, okud x, uvažujme římku, která rochází bodem a bodem x. Tato římka rotíná hranici K v bodě αx, ro nějaké α >, takže úsečka s krajními body a αx je odmnožinou K. Zároveň x leží na hranici koule K/α a tedy latí, že f(x = α >. 3. Dále latí: f(βx = min {ξ [, : βx ξk} = min {βξ [, : x ξk} = β min {ξ [, : x ξk} = βf(x, ro β >. Ze symetrie množiny K lyne f( x = f(x, a tedy dostáváme f(βx = βf(x, β R. 4. Nechť x, y R n jsou nenulové. Potom x = x/f(x K, y = y/f(y K odle úvah v bodě. Protože K je konvexní množina a latí z := f(x f(x + f(y x + f(y f(x + f(y y = x + y f(x + f(y, dostáváme, že z K, tedy f(z. Zároveň díky bodu 3 latí: f(z = f(x + y f(x + f(y, a tedy f(x + y f(x + f(y. Pokud x nebo y je rovno, nerovnost zřejmě latí také. Dokázali jsme tedy, že f(x je oravdu norma. Zbývá dokázat, že K je jednotková koule vzhledem k této normě Zvolme libovolné x K. Pokud x =, ak f(x =. V oačném říadě najdeme α > takové, že αx leží na hranici K. Potom zřejmě latí, že α, a tedy f(x =. Naoak okud f(x, ak x K, což dokazuje, že α f(x = x K. 4 Převzato z [3], str. 7 9

14 Kaitola 3 Objem koule Jedním ze základních ojmů matematické analýzy je koule a v této části se zaměříme na studium rávě tohoto objektu. Koule, kterou každý zná a která se vyskytuje (i když ne v úlně dokonalé formě běžně v řírodě, je ovažována za jeden z nejjednodušších geometrických útvarů a již velmi dlouho jsou známy vzorce ro výočet jejího ovrchu a objemu. V této kaitole se však odíváme na kouli mnohem obecněji a v širších souvislostech a zjistíme, že situace bude mnohem zajímavější a komlikovanější, než by se mohlo na rvní ohled zdát. Definice 3.. Zobecněná jednotková koule v R n je množina kde,,..., n (,. B... n = {x R n : x x n n }, Poznámka 3.. V říadě, že v definici 3. zvolíme = = n, dostaneme zobecněnou jednotkovou kouli, která se bude shodovat s jednotkovou koulí v rostoru l n ro =. Poznámka 3.3. Zobecněná koule už nemusí být konvexní množina. Naříklad zvolíme-li = = n <, dostaneme kouli, která není konvexní (viz oznámka.5. Definice 3.4. Na intervalu (, definujeme gama funkci Γ(t ředisem: Γ(t = x t e x dx. Poznámka 3.5. V důkazu následující věty a v dalším textu budeme využívat některých známých vlastností gama funkce, které zde uvedeme bez důkazu. Pro u, v > latí: (a (b Γ(u + = uγ(u, xu ( x v dx = Γ(uΓ(v Γ(u+v, (c Γ(/ = π, Γ( =,

15 (d (e d dx lim x ( Γ (x Γ(x >, x >, Γ(x+ πx( x e x = (Stirlingův vzorec. Důkazy tvrzení z ředchozí oznámky lze najít v knize [4], konkrétně tvrzení (a lze nalézt na straně 686 věta 5, tvrzení (b na staně 69 věta 54, tvrzení (c na straně 686 věta 5 solu s oznámkou 5 na téže straně a tvrzení (e lze najít na straně 65. Tvrzení (d lyne z následujícího vzorce, který je na straně 7 označen číslem (5: Γ ( (x e t Γ(x = t e xt e t dt, x >. Není težké ukázat, že integrand je rostoucí funkcí roměnné x, a tedy celý integrál (díky monotonii je rostoucí funkcí x, tudíž má kladnou derivaci. Následující dvě věty ukazují, jak lze očítat objemy zobecněných jednotkových koulí. První z nich se zabývá seciálním říadem kdy = = n = (,, tedy jedná se o jednotkovou kouli v rostoru l n. Věta Nechť = = n = (, a n N. Pro objem V n jednotkové koule B n latí: n Γ( + /n V n = Γ( + n/. Důkaz: Definujeme Použijeme substituci jakobián zobrazení Ψ je a dostaneme: v (r = x r dx = v (r := x r dx. Ψ(y = yr / = x, y J Ψ (y = r n/ r n/ dy = r n/ y dy = r n/ v (. Nyní vyjádříme dvěma zůsoby integrál e t v (tdt:. e t v (tdt = e t v (t n/ dt = v ( e t t n/ dt = v (Γ( + n/ ( (. e t v (tdt = e t dx dt = e t dt dx = x t R n x = e x n ( n dx = e x k dx k = e x k dxk = (Γ( + / n. R n R 5 Převzato z [5], str. 95 k=

16 Zdůvodněme odrobně oslední rovnost. Potřebujeme ukázat, že latí e x kdx k = Γ( + /. S oužitím substituce x k = t dostaneme: e x k dxk = t e t dt = Γ(/ = Γ( + /, kde oslední rovnost lyne z tvrzení (a v oznámce 3.5. Porovnáním výše uvedených výrazů ro e t v (tdt dostáváme následující vztah: a tedy v (Γ( + n/ = (Γ( + / n, n Γ( + /n v ( = Γ( + n/. Jako říklad si vezměme křivku, které se říká asteroida a oužijme rávě dokázanou větu k výočtu obsahu oblasti, kterou tato křivka omezuje. Asteroida je definována rovnicí x /3 + y /3 = a /3 a oblast ohraničená touto křivkou je seciálním říadem zobecněné koule, kterou získáme, okud v definici zvolíme n = a = = /3. Je to tedy množina A(a, ro kterou latí A(a = {(x, y R : x /3 + y /3 a /3 }, kde a je oloměr této koule. Věta 3.6 se zabývá objemem jednotkových koulí, očítejme tedy obsah asteroidy o oloměru. Výočet obsahu obecné asteroidy, jakožto zobecněné koule, lze snadno řevést na tento říad omocí vztahu Z ředchozí věty tedy máme n Γ( + /n V (A( = Γ( + n/ A(a = a A(. = Γ( + 3/ Γ( + 3 = 4 (3/ Γ(3/ 3! = 4 9 (/ Γ(/ = 4 9 π = 3π 8. Definici asteroidy můžeme řirozeně zobecnit a můžeme tak definovat analogický útvar i ve vyšších dimenzích. Definujme tedy n-rozměrnou asteroidu A n (a o oloměru a vztahem x / x /3 n = a /3 a sočítejme objem oblasti ohraničené trojrozměrnou jednotkovou asteroidou. Počítáme tedy objem V (A 3 ( = V ( {(x, y, z R 3 : x /3 + y /3 + z /3 }. n Γ( + /n V (A 3 ( = Γ( + n/ = 3 (/3 Γ(/ 3 7/Γ(7/ = = Γ( + 3/3 = 3 Γ( + 9/ = Γ(3/ 3 8(3/3 9/Γ(9/ 3 π 3/ 7 5/Γ(5/ = 3π 3/ 7 5 3/Γ(3/ = π 3/ 7 5 /Γ(/ = 4π3/ 7 5 π = 4π 35. = =

17 Obrázek 3.: Asteroida s oloměrem Nyní se odíváme na obecný říad. Z věty 3.7 získáme vzorec, který nám umožní vyočítat objem libovolné zobecněné jednotkové koule. Věta Nechť,,..., n (,. Pro objem V n zobecněné jednotkové koule B... n latí: Důkaz: V n = n Γ( + /...Γ( + / n Γ(/ + / / n + Vyjdeme ze známého vztahu a oužijeme substituci V n = B...n dx Jakobián tohoto zobrazení je Φ(y,..., y n = ( y /,..., y / n n = (x,..., x n. Použitím substituce dostaneme: dx = B...n 6 Převzato z [6], str. 39 J Φ (y =... y...y n x x n n n n. dx = J Φ (y dy = y +...+y n 3

18 Obrázek 3.: Trojrozměrná asteroida = n y... y n n dy... n B Jako další krok důkazu ověříme, že latí I(α,..., α n := Nejrve oužijeme Fubiniovu větu a dostaneme: I(α,..., α n = B x α y α... y n α n dy = Γ( α +...Γ( αn+ Γ( α +...+α n +n +. ( x +...+x n x x α... x n α n dx...dx n dx. Množina, řes kterou se integruje ve vnitřním integrálu, je koule o oloměru x. Označíme-li r := x tento oloměr a oužijeme-li substituci: jejíž jakobián je dostaneme vztah Ψ(y,..., y n = r(y,..., y n = (ry,..., ry n = (x,..., x n, = J Ψ (y = r (n, x +...+x n r x α... x n α n dx...dx n = y +...+y n r (n +α +...+α n y α... y n αn dy...dy n 4

19 Celkem tedy máme: I(α,..., α n = x α ( x n +α +...+α n ( y α... y n α n dy...dy n dx = y +...+y n ( ( = x α ( x n +α +...+αn dx. y α... y n αn dy...dy n. y +...+y n Pomocí substituce t = x uravíme ředchozí integrál do tvaru: ( ( t α ( t n++α +...+α n dt y α... y n αn dy...dy n. y +...+y n S oužitím Poznámky 3.5 (b dostaneme následující rekurzivní vztah: I(α,..., α n = Γ( α +Γ( α +...+α n +n+ Γ( α +...+α n+n+ (n -násobnou alikací tohoto vztahu získáme: A jelikož latí: dokázali jsme, že.i(α,..., α n. I(α,..., α n = Γ( α +...Γ( α n + αn+ Γ( αn+ Γ( α +...+α n +n+ I(α n = x x α n dx = x α n dx = α n +,.I(α n. I(α,..., α n = Γ( α +...Γ( α n+ Γ( α +...+α n+n +. Nyní stačí zvolit α k = / k ro každé k {,..., n} a dostáváme: I(/,..., / n = odkud lyne dokazovaná rovnost: Γ(...Γ( n Γ( n +, V n = n... I(/,..., / n = n Γ(...Γ( n Γ( n +. Věta 3.6 samozřejmě lyne z věty 3.7 jakožto její seciální říad, z didaktických důvodů je tu však uvedena samostatně. Následující dvě věty oisují limitní chování objemů n-rozměrných koulí ro n jdoucí do nekonečna. První z nich se týká eukleidovských rostorů a druhá je zobecněním říslušného tvrzení na rostory s libovolnou normou. Věta Nechť r >. Pro objem V n (r n-rozměrné koule B (R n, o oloměru r latí lim n V n(r =. 7 Převzato z [7], str. 5 5

20 Důkaz: Dokážeme, že řada n= n n+ V n (r konverguje rávě tehdy, když < r < πe. Odtud lyne konvergence řady n= V n (r ro všechna reálná r >. Jelikož naříklad n= n n+ V n ( konverguje, ze srovnávacího kritéria a ze vztahu V πe n(ar = a n V n (r dostaneme, že i n= (πer n V n ( = πe n= V n (r konverguje. Dokazovaná limita je nutnou odmínkou konvergence této řady. To, že řada n= V n (r konverguje, znamená nejen konvergenci objemů V n (r k nule, ale oskytuje nám to informaci o rychlosti této konvergence. Dokážeme tedy silnější tvrzení. Platí V n (r = r n V n (, a tedy z věty 3.6, kde zvolíme =, dostaneme následující rovnosti ( V n (r = r n n Γ( + n Γ( + n = rn n S omocí Stirlingova vzorce (oznámka 3.5 (e lim n Γ(n + πn ( n e n =, n Γ( n Γ( + n = rn π n Γ( + n. kde místo n dosadíme n/, dostaneme = lim n πn ( n en Γ( n + = lim n ( r n π n πn n en Γ( n + r n π n = ( πn n en = lim V n (r n r n π n n+ πn = lim V n (r. n r n (πe n Nyní využijeme toho, že okud limita nějaké oslounosti a n je rovna jedné, otom i oslounost (a n n má stejnou limitu. Pokud totiž lim n a n =, ak latí ( lim (a n n = lim e ln (a n n = lim e n ln(an =, n n n neboť limita exonentu n ln(a n je. Zmíněná imlikace tedy skutečně latí. Tedy máme = lim (V n (r π n n n+ n n n r πe = lim (V n(rn n+ n n Odtud již snadno dostaneme, že lim (V n(rn n+ n n = r πe. π n lim n r πe. K rozhodnutí o konvergenci řady n= n n+ V n (r oužijeme Cauchyho odmocninové kritérium, které říká, že tato řada konverguje, okud r πe <, tedy ro r (, πe ] a diverguje, okud r πe >, tedy ro r > πe. V říadě, že r = πe, máme = lim V n (r n πn n+ ( n n πe (πe = lim V n (r πn n+, n 6

21 a tedy lim V n(rn n+ =. n π V tomto říadě tedy řada diverguje, rotože její členy nejdou k nule. Předoklad B (R n, z ředchozí věty lze ve skutečnosti zeslabit a lze uvažovat jakýkoliv normovaný rostor (R n, s říustnou hodnotou, jak ukazuje další věta. Uvedeme zde dva důkazy, z nichž jeden je elementární a druhý využívá Stirlingův vzorec. Věta 3.9. Nechť r > a >. Pro objem V n (r n-rozměrné koule B (R n, o oloměru r latí lim n V n(r =. Důkaz (elementární: Z věty 3.6 máme V n (r = n n Γ( + /n r Γ( + n/. Výraz Γ( + / je konstantní. Označíme c = Γ( + / a ro (rc dostáváme: V n (r = n r n c n Γ( + n/ ((rc n/ ( + n/! ((rc n/ + ( + n/! = (rc ((rc n/ ( + n/!. k Jelikož ro libovolnou reálnou konstantu k latí lim n n =, výraz na ravé n! straně sledu nerovností jde k nule ro n jdoucí do nekonečna. Pokud latí (rc <, ak zřejmě výraz n r n cn má také limitu nula ro n jdoucí do nekonečna. Γ(+n/ Tedy ro (rc < latí: lim V n(r = lim n r n n n Γ( + n/ =. Jelikož ze zřejmého důvodu latí V n (r ro každé n N, dostáváme ro (rc : lim V n (r lim (rc ((rc n/ n n ( + n/! = a z věty o dvou strážnících tedy dostáváme, že lim n V n = a důkaz je hotov. c n Důkaz (s oužitím Stirlingova vzorce: Oět využijeme vztah z věty 3.6 a dále oužijeme Stirlingův vzorec lim n Γ( + n πn ( n e n =. 7

22 Platí lim V n(r = lim n n n n Γ( + /n r Γ( + n/ = lim k k k Γ( + /k r Γ( + k ( k = lim k k Γ( + /k πk k ( k e r k Γ( + k ( k = lim k k Γ( + /k πk k e r πk k k ( k lim e πk k k Γ( + k e = [ (rγ( + / ] k e lim k =. π k k Poslední rovnost lyne ze známé limity lim n ( q k k =, q R, kde zvolíme q = (rγ( + / e. = = V další větě dokážeme, že jednotková eukleidovská koule má největší objem v ětirozměrném rostoru. Tento výsledek oět dokážeme v rámci obecnějšího tvrzení. Hodnotu objemu jednotkové eukleidovské koule v jednorozměrném rostoru lze vyočítat snadno, neboť tato koule je množina všech bodů na římce, které jsou od očátku vzdálené méně než, tedy ro její objem V ( latí V ( =. Podobně V ( = π 3,4, jelikož V ( je kruh o oloměru a V 3 ( jakožto objem koule v běžném významu (tedy trojrozměrné je roven 4 π 4,9. Pro 3 objem V 4 ( čtyřrozměrné koule už nemáme jednoduchý vzorec ze střední školy, oužijeme tedy větu 3.6. Po dosazení = a n = 4 dostaneme ( Γ( 4 V 4 ( = 4 Γ( + 4 Γ( + 4 = 4 Γ(3 = 6 6 π = π 4,93. Konečně ro = a n = 5 máme ( V 5 ( = 5 Γ( + 5 Γ( + 5 = Γ( Γ( 5 = π Γ( 3 = π 5 3 Γ( = π 5 5 = 8 8 π 5 π 5,6. Pro n {,, 3, 4, 5} je tedy funkce vyjadřující objem jednotkové koule rostoucí. V následující větě však ukážeme, že ro každou eukleidovskou kouli o libovolném oloměru r > existuje hraniční dimenze, od které už je funkce V n (r klesající. Snadným výočtem ak zjistíme, že ro jednotkovou kouli je tato hraniční dimenze rovna 5. Věta Pro oslounost {V n (} n=, která vyjadřuje objem n-rozměrné jednotkové koule B (R n, v závislosti na dimenzi n N, latí, že V n ( nabývá svého maxima ro n = 5. Důkaz: S omocí vztahu V n (r = r n V n ( vyjádřeme nejdříve ze vzorce ve větě 3.6 exlicitně výrazy ro V n (r a V n+ (r. Pro rvní výraz ihned dostáváme 8 Převzato z [7], str. 6 V n (r = rn π n. n! 8

23 Vzorec ro V n+ (r získáme následovně ( n+ V n+ (r = r n+ n+ Γ( + n+ Γ( + n+ = rn+ n+ Γ( n+ Γ( + n + = = r n+ ( π n+ (n + Γ(n + = rn+ π n π (n + (n (n 3 ( π. Nyní rozšíříme zlomek výrazem n+ a dostaneme V n+ (r = (πr n (r n+ 3 5 (n +. Tvrdíme, že od jistého členu je oslounost {V n (r} n= klesající. K tomu stačí dokázat, že ro všechna dostatečně velká n N latí V n (r V n+ (r = 3 5 (n + r 4 6 (n >, V n (r V n (r = 4 6 (n πr 3 5 (n >. To nastane rávě tehdy, když ro r budou latit obě následující nerovnosti zároveň r < 3 5 (n (n = x n, r < π 4 6 (n 3 5 (n = y n. Chceme tedy ukázat, že ro každé r > existuje n N takové, že ro každé n > n latí x n > r a zároveň y n > r. K tomu nám stačí dokázat, že {x n }, {y n } jsou rostoucí a neomezené. Ukažme, že tyto vlastnosti má x n, důkaz téhož ro y n je analogický. Platí x n = 3 5 (n (n = ( + ( + ( + ( +, 4 6 n tedy zřejmě x n+ = x n + xn, odkud ihned lyne, že x n+ n je rostoucí. Protože zároveň x = 3, latí, že x n > ro každé n N. Můžeme tedy odhadnout x n takto > x n + x n = x n + x n n > x n + n = x n + x n (n + n > (n + n > > (n + n = = + n i= Tedy vidíme, že x n je neomezená. i > n i= V našem říadě, kde r =, otřebujeme, aby < i n. 3 5 (n +, < 4 6 (n 4 6 (n π 3 5 (n. Sočítejme rvních několik hodnot x n a y n. x = 3 = 3 4 < 9

24 Pro každé n N, že latí a z rávě dokázaného máme i y = π = π < x = = 5 6 < y = π 4 3 = 8 3π < x 3 = = 5 96 > y 3 = π = 48 5π > n > tedy latí, že x n > a y n >. Z ředchozího již víme, V ( < V ( < V 3 ( < V 4 ( < V 5 ( V 5 ( > V 6 ( > V 7 ( >. Další věta říká, jak se chová oslounost jednotkových koulí V n ( v závislosti na arametru v definici normy daného rostoru. Při ohledu na následující tři obrázky se nabízí hyotéza, že ro každé objem jednotkových koulí v rostorech l n s rostoucí dimenzí n nejdříve roste (ro = neklesá a otom od určité dimenze klesá. Jistou ředstavu o tom, jak se oslounost objemů chová nám dává již věta 3.9, která říká, že tyto objemy jdou v limitě k nule, tedy členy oslounosti objemů se musí v jistém smyslu zmenšovat, avšak neříká nám nic o monotonii. Ve větě 3.4 dokážeme, že oslounost objemů skutečně lze rozdělit globálním maximem na dva monotónní úseky, z nichž rvní je neklesající a druhý je nerostoucí Obrázek 3.3: Závislost objemu jednotkových koulí v rostorech l n na dimenzi n Nejrve definujeme dva ojmy, které budeme dále oužívat.

25 Obrázek 3.4: Závislost objemu jednotkových koulí v rostorech l n na dimenzi n Definice 3.. Poslounost reálných čísel {x n } n= se nazývá unimodální, okud je neklesající nebo okud existuje i N takové, že latí x x x i x i+... Definice 3.. Poslounost reálných čísel {x n } n= se nazývá logaritmicky konkávní, okud ro každé n N, n latí x n x n+ x n. Ještě než zformulujeme závěrečnou větu, dokážme jedno omocné lemma, které v této větě využijeme. Lemma Každá logaritmicky konkávní oslounost s kladnými členy je unimodální. Důkaz: Nechť {x n } n= je reálná oslounost a latí n N x n >, n N, n x n x n+ x n. Nerovnost v definici logaritmické konkávnosti vydělíme kladným součinem x n x n a dostaneme x n+ x n. x n x n Pokud ro každé n N latí x n+ x n, ak je oslounost {x n } n= neklesající, a tedy je unimodální. V oačném říadě zvolme nejmenší n N s vlastností <. Pak ale latí x n + x n 9 Převzato z [8], str. > x n + x n x n + x n + x n +3 x n +.

26 Obrázek 3.5: Závislost objemu jednotkových koulí v rostorech l n 3 na dimenzi n Odtud lyne, že x x x n x n + x n +. Věta 3.4. Nechť > a {V n (} n= je oslounost objemů jednotkových koulí B n ( (R n,, otom tato oslounost je logaritmicky konkávní, a tedy unimodální. Důkaz: Pro větší řehlednost v tomto důkazu išme V n místo V n (. Poslounost {V n } n= má zřejmě kladné členy, stačí tedy díky lemmatu 3.3 dokázat, že je logaritmicky konkávní. Chceme tedy dokázat, že latí V n V n+ V n. Uravme nejdříve levou stranu nerovnosti. n n+ V n V n+ = n Γ ( + Γ ( n+ Γ ( + + n Γ ( = + n+ n Γ ( + Γ ( + n Nyní rozeišme ravou stranu. ( n Vn = n Γ + Γ ( n Γ ( n + + n Γ ( = n Γ ( + + n Γ ( + n n n Γ ( + n+ Na levé i ravé straně naší nerovnosti je výraz n Γ ( + n, můžeme tedy obě strany tímto výrazem vydělit. Zbývá tedy ukázat, že Γ ( + n ( Γ + n+ Γ ( + n

27 nebo ekvivalentně Definujeme funkci f ředisem Γ ( + n Γ ( Γ ( + n+ + n Γ (. + n f(x = Γ ( + x+ Γ ( + x a snadno nahlédneme, že k dokončení důkazu stačí ukázat, že funkce f je rostoucí. Udělejme to tak, že zderivujeme funkci f a dokážeme, že tato derivace je kladná. f (x = Γ Je zřejmé, že výrazy Γ ( + x+ ( + x+ Γ ( ( + ( x Γ + x+ Γ + x Γ ( = + x ( = Γ + x+ Γ ( Γ ( ( + x+ + x+ Γ ( Γ + x + x Γ ( Γ ( + x+ + x Γ ( = + x = Γ ( + x+ ( ( Γ ( Γ + x+ + x Γ ( Γ + x + x+ Γ (. + x (, Γ + x, jsou kladné a to, že i výraz v hranaté závorce je kladný, lyne z oznámky 3.5 (d. Tento výraz můžeme totiž řesat do tvaru Γ ( ( + x+ Γ ( Γ + x ( + x+ Γ ( = Ψ + x + ( Ψ + x, + x kde Ψ je takzvaná digama funkce definovaná vztahem Ψ(x = Γ (x. Podle oznámka 3.5 (d latí, že Ψ (x > ro x >, a tedy funkce Ψ(x je rostoucí, což Γ(x dokazuje, že výraz v hranaté závorce je kladný. Tím ádem funkce f je skutečně rostoucí a věta je dokázána. Na závěr této kaitoly se ještě odíváme na souvislost arametru v definici normy a dimenze, v níž nabývá objem jednotkové koule v říslušné normě svého maxima. Věta 3.5. Poslounost objemů {V n (} jednotkových koulí B n ( (R n, nabývá maxima ro n = rávě tehdy, když (, ]. Důkaz: Jak již víme, vzorec ro V n ( vyadá takto n Γ( + /n V n ( = Γ( + n/, 3

28 a z ředchozí věty vylývá, že okud existuje n N takové, že V n ( V n +(, otom V n ( V n ( ro každé n > n. Tedy k tomu, abychom ukázali, že oslounost {V n (} nabývá maxima ro n =, stačí ukázat, že V ( V ( =. Chceme tedy dokázat, že nerovnost Γ( + / Γ( + / latí rávě tehdy, když (, ]. Vydělením obou stran čtyřmi uravíme nerovnost do tvaru Γ( + / Γ( + /. Zarvé snadno ověříme, že ro = nabývá ravá strana hodnoty a zadruhé ukážeme, že funkce Γ(+/ je rostoucí, a tedy uvedená nerovnost latí skutečně Γ(+/ ouze ro hodnoty z intervalu (, ]. Derivujme tedy tuto funkci a ukažme, že tato derivace je kladná. Γ( + Γ( + = Γ( + Γ ( + Γ( + + Γ( + Γ ( + Γ( + = = Γ ( + Γ( + Γ( + Γ( + Γ ( + Γ( + Γ( + Γ( + = = Γ( + Γ( + Γ ( + Γ( + Γ ( + Γ( + = Γ( + [ ( Γ( + Ψ + ( Ψ + ], kde Ψ(x = Γ (x Γ(x, tak jako v ředchozí větě, je digama funkce, která je odle oznámky 3.5 rostoucí, a tedy výraz v hranaté závorce je kladný. Ze zřejmého důvodu je kladný i výraz řed závorkou, tedy derivace naší funkce je kladná, a tím ádem funkce na ravé straně dokazované nerovnosti je rostoucí. Solu s faktem, že tato funkce nabývá v bodě hodnoty /, odtud vylývá, že tato nerovnost skutečně latí rávě tehdy, když (, ]. Obrázek 3.6 ukazuje, jak s rostoucí hodnotou arametru roste i dimenze n, v níž nabývá oslounost jednotkových koulí B n ( v normě svého maxima. 4

29 Obrázek 3.6: Závislost dimenze n, v níž nabývá objem V n ( maxima, na hodnotě arametru 5

30 Kaitola 4 π 4. Interval ro hodnoty π Stejně jako objem koule také hodnota konstanty π je dávno známá a má se za samozřejmé, že je to iracionální číslo, které dnes umíme určit s téměř libovolmou řesností. π 3, V této části se odíváme na to, jak se toto číslo může měnit, okud budeme uvažovat jinou normu než eukleidovskou. Uvažujme tedy na rostoru R libovolnou normu a definujme π jako oměr obvodu kruhu a dvojnásobku jeho oloměru měřenými touto normou. Vzhledem k vlastnostem normy stačí racovat s jednotkovým kruhem. Uveďme říklad ro normu. Jednotkový kruh v této normě vyadá jako eukleidovský čtverec, jak je znázorněno na obrázku 4.. Jeho obvod sočítáme jako čtyřnásobek délky vektoru (, (,. Pro π tedy latí: π = 4 (, (, = 4 (, = 4. Nyní ještě definujme délku křivky a uveďme, jak ji lze ve seciálním říadě očítat, což ozději využijeme. Definice 4.. Pro arametrizovanou křivku f : [, ] R definujeme její délku l vztahem { n } l = su z i z i, D i= kde suremum se bere řes všechna dělení D intervalu [, ] s dělícími body = u < u < u < < u n =, řičemž z j = f(u j, j {,..., n}. My zde budeme racovat hlavně s kružnicemi. Poznamenejme tedy, že každou kružnici budeme cháat jako rostou uzavřenou křivku a ro n N budeme dělením D n = {z,..., z n } říslušným kružnici S rozumět takovou oslounost bodů z,..., z n S, ro kterou latí z j = f(u j, j {,..., n}, kde f(u, u [, ] je nějaká arametrizace S a u j < u k ro j < k. Poznámka 4.. Délku l o částech sojitě diferencovatelné arametrizované křivky z : [, ] R lze sočítat vzorcem: l = z (u du. 6

31 Obrázek 4.: Jednotkový kruh v l Ještě než formulujeme následující větu, dokážeme jedno omocné lemma, které říká, že můžeme bez újmy na obecnosti racovat ouze s normovanými rostory, které mají jisté seciální vlastnosti. Lemma 4.3. Pro každou normu na rostoru R existuje norma na R taková, že π = π a zároveň Důkaz: (, = (, = & z max{ x, y }, z = (x, y R. Nechť S je jednotková kružnice v rostoru (R,. Nechť M je takový rovnoběžník, který obsahuje S a mezi všemi takovými má nejmenší obsah (nemusí být určen jednoznačně. Ukažme, že středy stran M leží na kružnci S. Předokládejme tedy ro sor, že bod je střed nějaké jeho strany a zároveň >. Potom existuje bod, který je vnitřním bodem úsečky s krajními body a takový, že =. Můžeme tedy nahradit strany obsahující a dvojicí rovnoběžných stran, které budou obsahovat body a a v těchto bodech se budou dotýkat S. To můžeme udělat roto, že S je konvexní. Jelikož obsah rovnoběžníka závisí ouze na délce strany, která se zmenšila díky tomu, že ( < (, a na vzdálenosti této strany a strany s ní rovnoběžné, která se nezměnila, celkový obsah se zmenší. Máme tedy rovnoběžník, jehož strany se dotýkají S, s menším obsahem než má M, což je sor. Nyní označme q, q středy sousedních stran rovnoběžníka M a uvažme lineární transformaci T, která řevádí bod q na bod (, a bod q na bod (,. Zobrazení T tedy řevádí rovnoběžník M na jednotkový čtverec N (vzhledem k eukleidovské normě a jednotkovou kružnici S (vzhledem k normě na jinou jednotkovou kružnici S, vzhledem k nějaké jiné normě, Převzato z [9], str. 87 7

32 kterou označíme. Ukažme, že tato norma může být hledanou normou. Jelikož S se dotýká čtverce N v bodech (,, (,, (,, (,, latí, že (, = (, = a rotože S N, latí i (x, y max{ x, y } ro všechny body (x, y R. Hranice čtverce N je totiž množina rávě těch bodů (x, y R, ro které latí max{ x, y } =, tedy ro každý bod (x, y R uvnitř tohoto čtverce latí max{ x, y } <. Hranice S je jednotková kružnice, takže její body mají normu rovnou. Ukažme konečně, že π = π. Uvažujme body a, b S, a b a označme γ = a b. Potom latí, že bod c = γ (a b má normu, a tedy leží na S, což znamená, že T c S. Máme tedy: T a T b = T (a b = γt [γ (a b] = γ T c = γ = a b. Získáváme tedy π π T inverzního k T. a oačnou nerovnost lze dokázat omocí zobrazení Věta 4.4. a Pro každou normu na R latí: 3 π 4. b Pro každé α slňující 3 α 4 existuje norma na R taková, že π = α. Důkaz: Pro jednoduchost záisu budeme v důkazu ztotožňovat rostory R a C. a Díky latnosti lemmatu 4.3 stačí uvažovat ouze rostory s normou, která slňuje odmínku, která je v tomto lemmatu uvedena. Nejrve ukažme, že π 4. Uvažujme jednotkovou kružnici S vzhledem k normě a nechť z, z,..., z n je oslounost bodů v rvním kvadrantu, které leží na S a které jsou usořádány vzestuně odle ořadí ři růchodu S z bodu [, ] do [, ]. Pokud označíme z i = (x i, y i, i =,..., n, dostaneme z konvexity jednotkového kruhu ohraničeného S, že latí: Dále latí: x x... x n, y y... y n. n n n z i z i (x i, y i (x i, y i + (x i, y i (x i, y i = i= i= i= n n = y i y i + x i x i = + = i= i= Přechodem k suremu získáváme, že délka S v rvním kvadrantu je nejvýše a obdobně ro ostatní kvadranty. Tedy obvod jednotkového kruhu je nejvýše 8 a tím ádem latí π 4. Nyní ukažme, že 3 π. Uvažujme v rvním kvadrantu bod a, ro který latí a S S +, kde S + značí kružnici, která vznikne osunutím kružnice S o jednu jednotku ve směru osy x. Dále uvažujme bod b takový, že b S S, který leží ve druhém kvadrantu. Pro bod b nyní latí b = a a odtud dostáváme následující: π a + b a + b = b + + a = + + = 3 8

33 Obrázek 4.: Poslounost bodů z i b Pro důkaz tohoto tvrzení zvolme t, t a uvažujme šestiúhelník s vrcholy (,, (t,, (,, (,, ( t,, (,. Útvar ohraničený tímto šestiúhelníkem je komaktní a konvexní množina, která je symetrická kolem očátku a obsahuje otevřenou kouli kolem očátku, tedy odle věty.9 existuje norma taková, že tento útvar je jednotkový kruh vzhledem k této normě. Platí: π = (t, (, + (, (t, + (, (, = = (t+, + ( t, + (, = (t+ (, + ( t, + (, Body (,, ( t,, (, leží na jednotkové kružnici (na zvoleném šestiúhelníku, tedy mají normu, a tedy π = 3 + t. 4. π je nejmenší π Ukažme nyní, že okud budeme uvažovat ouze normy, které mají tvar (x, y = ( x + y /, bude omezení ro hodnotu π = π ještě silnější. Konkrétně latí, že π π 4. Nejrve však bude třeba dokázat několik tvrzení. Předokládejme tedy, že na rostoru R je dána norma ro nějaké. Jednotková kružnice se středem v očátku je množina {(x, y R : x + y = }. Parametrizujme tuto množinu v. kvadrantu ředisem Převzato z [9], str. 88 x = u /, y = ( u /, u [, ]. 9

34 Obrázek 4.3: Kružnice S, S, S + Máme tedy arametrizovanou křivku k, která leží v. kvadrantu a ro kterou latí ( dk dx dy / = + = [ u + ( u ] /. du du du Jelikož π je rovno olovině obvodu jednotkového kruhu a zároveň obvod tohoto kruhu je roven čtyřnásobku délky křivky k, máme: π = = [ u + ( u ] / du = ( u + ( u [u( u] / du = ( ( u + u / du = (u + ( u / du. [u( u] V následující části odvodíme dolní odhad ro π a ukážeme, že = π = π a oté dokážeme, že jakožto funkce roměnné má globální minimum, kterého se nabývá rávě ro =. Definujme funkci roměnné ředisem = u + ( u du. [u( u] Vztah ro vznikl ze vztahu ro π z ředchozí části nahrazením čitatele výrazem u + ( u. Nyní ještě uravíme výraz ro do tvaru, který využijeme v následující části. = u + ( u [u( u] du = u ( u + ( u u du = 3

35 = = ( ( u u ( u + u ( u du + ( ( u du = u ( u du Tyto dva integrály se rovnají, což lze ověřit naříklad substitucí v = u, a tedy dostáváme = 4 u ( u du. Směřujeme k důkazu toho, že π. K tomu se nám bude hodit následující lemma, ze kterého nerovnost římo lyne. Lemma 4.5. Pro všechna reálná čísla α >, x latí: ( + x α α+ α+ ( + x α ( + x α. Důkaz: Pokud x =, lemma zřejmě latí. Dále tedy ředokládejme, že x >. Pro evné x definujme funkci f(y = y ln( + x /y, y >. Platí f (y = ln( + x /y ln(xx/y y( + x /y, f (y = ln(xx/y y ( + x /y + + x/y ln (x( + x /y /y + x /y ln(x ( + x /y x /y ln(x/y Po úravě dostaneme y ( + x /y. f (y = ln (xx /y y 3 ( + x /y. Druhá derivace f je tedy kladná a tím ádem f je konvexní. Odtud dostáváme Zvolíme-li y =, ( y + y f y = /α, máme ( α + α což je ekvivalentní s tím, že f(y + f(y. ln( + x α α+ ln( + x + ln( + xα, α ln ( [ + x α α+ ] α+ ln([ + x] α.[ + x α ]. Jelikož logaritmus je rostoucí funkce, stejná nerovnost jako ro tyto logaritmy latí i ro jejich argumenty, což jsme chtěli dokázat. Převzato z [], str. 4 3

36 Nyní již můžeme řistouit k hlavnímu bodu této sekce, k odhadu ro π. Tvrzení Pro > latí π. Důkaz: Vzhledem k tomu, jak byly a π definovány, stačí říslušnou nerovnost dokázat ro integrandy integrálů v těchto definicích. A rotože jmenovatelé těchto integrandů se rovnají, stačí dokázat u + ( u ( u + ( u / ro u. K tomu však stačí v nerovnosti z lemmatu 4.5 zvolit x = a α = : [ + + ( ] ( u + u [ ( ] u + u u u ( u u ( u u u + u + ( u + ( u ( + u [ ( ] u + u u ( u ( u ( u [ (( u [ [ ( u ] u ( u ] u ( u ] u u u u + ( u [ u + ( u ] Chtěli bychom ukázat, že = π. Zkusme tedy uravit do tvaru, ze kterého budeme schoni ro libovolné určit jeho číselnou hodnotu. Pro > / latí = 4 u ( u 4 du = = 4Γ ( + Γ( Γ( Γ Γ( ( = 4 Γ ( Γ ( Druhá rovnost lyne z Poznámky 3.5 b, třetí rovnost dostaneme z toho, že Γ( = a oslední rovnost latí díky Poznámce 3.5 (a. Dosazením do tohoto vztahu získáme, že = 4Γ 3 Převzato z [], str. 4 ( + ( Γ ( = 4Γ + ( ( = 4 Γ = π,. = 3

37 kde oslední rovnost lyne z Poznámky 3.5 (c. Nyní víme, že π a také, že = π = π. K důkazu hlavního tvrzení této části tedy stačí dokázat následující lemma. Lemma Na intervalu [, nabývá globálního minima ro =. Důkaz: Platí kde [ ( d = 4 d Γ + ( Γ ( Γ + ( Γ ] = = 4 ( Γ + ( Γ [ ( Ψ ( Ψ + ], Ψ(x = d dx ln Γ(x = Γ (x Γ(x. Jelikož Γ(x > ro x >, dostáváme, že d d Ψ ( = Ψ je rovna nule rávě tehdy, když ( +. Víme, že Ψ(x je rostoucí ro x >, tedy tato odmínka je ekvivalentní s tím, že = + a dostáváme, že d d = rávě tehdy, když =. Protože znaménko výrazu ( ( Ψ + je na intervalu (, ] záorné a na intervalu [, kladné, latí, že d d je na (, ] klesající a na [, rostoucí, tedy je globální minimum. Výsledky z této části shrneme v následující větě. Věta Pro každé latí, že π π. Důkaz: Tvrzení 4.6 říká, že ro > latí π. V lemmatu 4.7 jsme dokázali, že nabývá globálního minima ro = a sočítali jsme, že ro toto minimum latí = π = π. Tedy π nabývá na intervalu [, globálního minima ro = a hodnota tohoto minima je π. Tvrzení věty ro = jsme ukázali na začátku této kaitoly, když jsme sočítali, že π = 4. 4 Převzato z [], str. 5 5 Převzato z [], str. 6 33

38 4.3 Odhad π ro symetrické kruhy V této části ukážeme, že ředoklady ředchozí věty lze zeslabit. Pro zjednodušení vyjadřování ztotožníme rostory R a C a dokážeme, že stejný závěr jako v ředchozí větě latí i ro jednotkové kruhy, které se nezmění o otočení o 9, tedy is = S. Nejrve ale uvedeme lemma, které se v důkazu tohoto tvrzení bude využívat. V tomto lemmatu budeme značit symbolem C množinu všech kružnic se středem v očátku vzhledem k libovolné normě a množinu všech mnohoúhelníků označme P. Pro C, C C P budeme oužívat záis C C k vyjádření toho, že kruh (mnohoúhelník C leží v omezené oblasti určené kruhem (mnohoúhelníkem C. (Uzavřená rostá křivka rozděluje rovinu na oblasti, z nichž jedna je omezená a druhá je neomezená. Dále budeme značit symbolem S X jednotkovou kružnici v normovaném rostoru R s normou X. Lemma a Nechť C, C C, C C a označme l, l délky kružnic C, C. Potom, vzhledem k jakékoliv normě, latí: l l. b Nechť X, Y jsou rostory R s normami X a Y, l X je délka kružnice S X vzhledem k normě X, l Y je délka kružnice S Y vzhledem k normě Y a αs X S Y βs X, kde < α < β. Potom Důkaz: α β π β X π Y π X α. a Pro každé dělení D n = {z,..., z n }, kde z = z n, říslušné kružnici C existuje dělení D n = {w,..., w n }, kde w = w n, říslušné kružnici C takové, že z j leží na úsečce sojující body w j a z j ro j {,,..., n}. Pro každé j {,..., n} tedy latí w j z j + z j z j = w j z j w j w j + w j z j. Po sečtení řes všechna j a s využitím faktu w n z n = w z dostaneme: n n z j z j w j w j l j= j= a odtud řechodem k suremu řes všechna dělení získáme, že l l. b Z ředokladu αs X S Y βs X a z části a lyne následující: αl Y S X = l Y αs X l Y S Y l Y βs X = βl Y S X. Tvrdíme, že odmínka αs X S Y βs X je ekvivalentní s odmínkou β X Y α X. Ukážeme, že S Y βs X je ekvivalentní s tím, že β X Y. Ekvivalence zbývajících dvou nerovností se dokáže analogicky. Předokládejme, že S Y βs X. Nechť z R. Chceme ukázat, že β z X z Y. Označme c := z Y a uvažujme z S Y takové, že z = cz. Potom latí: 6 Převzato z [9], str. 86 z X = cz X = c z X cβ 34

39 a o vydělení dostáváme β z X c = z Y. Předokládejme, že β X Y. Nechť z S Y, ak latí β z X z Y =. Tedy z X β. Jelikož z byl libovolný, máme ro každý bod z S Y : z X β, a tedy S Y βs X. S oužitím rávě dokázaného vztahu dostáváme β l XS X l Y S X α l XS X. Tedy l Y S Y αl Y S X α β l XS X, Platí tedy l Y S Y βl Y S X β α l XS X. α β l XS X l Y S X β α l XS X. Nyní stačí každý výraz vydělit číslem, což je růměr jednotkové kružnice, a dotaneme dokazované nerovnosti. Věta Nechť je norma na R. Pokud ro jednotkový kruh S vzhledem k této normě latí: is = S, otom π π 4. Důkaz: Horní odhad byl dokázán ve větě 4.4, ukažme tedy, že π π. Díky ředchozímu lemmatu můžeme bez újmy na obecnosti ředokládat, že hranice S je mnohoúhelník. Pokud by hranice S nebyla mnohoúhelník, definujeme oslounost (α n, β n, n N takovou, že < α n < < β n, n N a lim n α n = lim n β n =. Pro každé n N najdeme normovaný rostor R, jehož jednotkový kruh je mnohoúhelník M n takový, že α n M n S β n M n a odle lemmatu 4.9 dostaneme α n α β n π X π. Jelikož lim n n β n =, latí π X π. Označme tedy strany mnohoúhelníka S jako L i, i =,..., n a úhel mezi sojnicemi očátku a koncovými body L i označme θ i. Jelikož jednotková kružnice musí být symetrická kolem očátku, musí latit < θ i π/. Nechť L je strana mnohoúhelníka sojující body z = (x, y = re iϕ a z = (x, y = re iϕ. Pro úhel θ říslušný straně L latí < θ = ϕ ϕ π/. Dále označme d kolmou vzdálenost L od očátku a d vzdálenost S od očátku ve stejném směru. Vektor tohoto směru a velikosti d označme s a vektor, který vznikne otočením s o π/4 označme s k. Díky tomu, že jednotková koule je konvexní, máme d d. Jelikož S je invariantní vůči otočení o π/4, vzdálenost očátku od S ve směru s k kolmém k s je stejná jako ve směru s. Vektory s k a z z určují stejný směr a ro takové vektory latí: 7 Převzato z [9], str. 9 35

40 z z = λs k ro nějaké λ R. Jelikož s k, máme z z s k s k =, latí z z = z z s k. Odtud dostáváme: = z z s k = λ. A rotože z z = z z s k = z z d z z d = z z xy yx. K ověření oslední rovnosti nahlédneme, že d z z = xy yx. Uděláme to tak, že dvěma zůsoby sočítáme obsah T trojúhelníku s vrcholy, z, z. T = d z z T = (z (z = xy yx Odtud již rovnost lyne. Po dosazení goniometrických tvarů čísel dostaneme: z z xy yx = (r cos ϕ r cos ϕ + (r sin ϕ r sin ϕ rr cos ϕ sin ϕ rr cos ϕ sin ϕ r/r + r/r cos θ = cos θ = tan(θ/ θ. sin θ sin θ Celkem tedy dostáváme, že z z θ a o sečtení řes všechny strany mnohoúhelníka: n n π L i θ i = π. i= i= = 36

41 Literatura [] J. Belk: Convexity, Inequalities and Norms, htt://faculty.bard.edu/belk/math46/inequalities.df [] R. D. Poodiack: Squigonometry, Hyerellises, and Suereggs, Mathematics Magazine 8 (6, 9 [3] A. C. Thomson: Minkowski geometry, Cambridge University Press, 996 [4] V. Jarník: Integrální očet, Academia, Praha, 984 [5] J. Borwein, D.Bailey: Mathematics by Exeriment, CRC Press, 8 [6] X. Wang: Volumes of Generalized Unit Balls, Mathematics Magazine 78 (5, [7] D. J. Smith, M. K. Vamanamurthy: How Small Is a Unit Ball?, Mathematics Magazine 6 (989, 7 [8] A. Slavík: Od unimodálních oslouností k narozeninovému aradoxu, Pokroky matematiky, fyziky a astronomie 6 (6, 9 3 [9] J. Duncan, D. H. Luecking, C. M. McGregor: On the Values of Pi for Norms on R, College Mathematics Journal 35 (4, 84 9 [] C. L. Adler, James Tanton: π is the Minimum Value for Pi, College Mathematics Journal 3 (, 6 37