Základy matematiky pro FEK 12. přednáška Blanka Šedivá KMA zimní semestr 216/21 Blanka Šedivá (KMA) Základy matematiky pro FEK zimní semestr 216/21 1 / 15
Integrování jako inverzní operace příklady inverzních operací v matematice sčítání a odčítání násobení a dělení hledání inverzní funkce pro funkci f hledání inverzní matice pro regulární matici A pro derivování je inverzním procesem anti-derivování, nebo-li integrování integrování je proces, kdy známe derivaci funkce a hledáme funkci původní jestliže F (x) = f (x), pak antiderivace funkce f (x) je definována jako neurčitý integrál (primitivní funkce) funkce f a zapisujeme f (x) dx = F (x) + }{{}}{{}}{{} c integrand primitivní funkce integrační konstanta }{{} neurčitý integrál c je libovolná reálná konstanta, tedy c R Blanka Šedivá (KMA) Základy matematiky pro FEK zimní semestr 216/21 2 / 15
Primitivní funkce Definice: Primitivní funkce k funkci f Řekneme, že F (x) je primitivní funkcí k funkci f na intervalu (a, b), pokud na tomto intervalu platí F (x) = f (x) primitivní funkce není určena jednoznačně primitivní funkce se liší o konstantu (pokud F (x) je primitivní funkce, pak G(x) = F (x) + c je také primitivní funkce pro libovolné c R hledání primitivních funkcí je netriviální proces existují hezké funkce f, ke kterým neexistuje analytický předpis pro primitivní funkci např. f (x) = e x2 Blanka Šedivá (KMA) Základy matematiky pro FEK zimní semestr 216/21 3 / 15
Grafické znázornění primitivních funkcí 4 2 1.5.5 1 2 4 Blanka Šedivá (KMA) Základy matematiky pro FEK zimní semestr 216/21 4 / 15
Základní primitivní funkce dx = c 1 dx = x + c x dx = x2 2 + c x 2 dx = x3 3 + c x n dx = xn+1 n+1 + c 1 x dx = ln x + c e x dx = e x + c a x dx = ax ln a + c ln(x) dx = x ln x x + c sin(x) dx = cos(x) + c, cos(x) dx = sin(x) + c Blanka Šedivá (KMA) Základy matematiky pro FEK zimní semestr 216/21 5 / 15
Základní integrační techniky integrace součtu αf (x) + βg(x) dx = α f (x) dx + β g(x) dx integrace jednoduché složené funkce F (αx + β) f (αx + β) dx = + c α integrace součinu (per partes viz. ZM2) f (x) g(x) dx = f (x) g(x) f (x) g (x) dx Blanka Šedivá (KMA) Základy matematiky pro FEK zimní semestr 216/21 6 / 15
Určení integrační konstanty neurčitý integrál f (x) dx = F (x) + c je systém primitivních funkcí přidáme počáteční podmínku, hledáme konkrétní primitivní funkci hledáme primitivní funkci x 2 (x 3 5) dx s počáteční podmínkou y() = 2 x 2 (x 3 5) dx = x 6 6 5 3 x 3 + c }{{} y(x) y() = 2 6 6 5 3 3 + c = 2 c = 2 hledaná primitivní funkce je y(x) = x6 6 5 3 x 3 + 2 Blanka Šedivá (KMA) Základy matematiky pro FEK zimní semestr 216/21 / 15
Obsah plochy pod křivkou uvažujeme křivku y = f (x) a interval a; b odhad obsahu plochy S pod křivkou získáme tak, že interval rozděĺıme na n podintervalů a = x ; x 1, x 1 ; x 2,..., x n 1 ; b = x n a plochu odhadujeme jako součet obsahu obdélníků (délka všech podintervalů je stejná x) n R n = f (xi ) x i=1 x x x 1 x 1 x 2 x 2 x 3 x 3 x 4 x x x 1 x 1 x 2 x 2 x 3 x 3 x 4 x 4 x 5 x 5 x 6 x 6 x x x 8 Blanka Šedivá (KMA) Základy matematiky pro FEK zimní semestr 216/21 8 / 15
Určitý Riemannův integrál R n nazýváme Riemannův integrální součet pokud existuje lim R n pak se jedná o obsah plochy pod křivkou n + určitý Riemannův integrál b a f (x) dx = lim n + n f (xi ) x pokud funkce f nabývá kladných i záporných hodnot, pak b a f (x) dx je obsah plochy nad osou x mínus obsah plochy pod osou x i=1 Blanka Šedivá (KMA) Základy matematiky pro FEK zimní semestr 216/21 9 / 15
Základní vlastnosti určitého integrálu Budeme uvažovat funkci f, pro kterou existuje určitý integrál a f (x) a a a b a f (x) dx = [F (x)] x=b x=a = F (b) F (a) f (x) dx = b f (x) dx = b a f (x) dx b a f (x) dx = c a f (x) dx + b c f (x) dx, pro a < c < b pokud f (x) g(x) lze plochu mezi funkcemi vypočítat jako rozdíl určitých integrálů 1.5 1.5.5 1 1.5 Blanka Šedivá (KMA) Základy matematiky pro FEK zimní semestr 216/21 1 / 15
Výpočet plochy vymezené křivkami Vypočtěte obsah plochy vymezené křivkami f : y = 1 (x 1) 2 a g : y = x 4 najdu průsečíky křivek, body [; ] a [/4; /16] určím integrály celková plocha /4 /4 1 (x 1) 2 dx 1.26 a /4 1 (x 1) 2 x 4 dx.8932 x 4 dx.3828 f f f f g g g g 16 16 16 16 4 4 4 4 Blanka Šedivá (KMA) Základy matematiky pro FEK zimní semestr 216/21 11 / 15
Určitý integrál a jeho použití v ekonomických aplikacích I. Uvažujeme dva investiční plány, které v čase t generují zisk P 1 (t), resp. P 2 (t) a P 1 (t) a P 2 (t) představují tedy míru zisku (rate of profit) v čase t. Pak zisk (excess profit) plánu 2 oproti plánu 1 je E(t) = P 2 (t) P 1 (t). Čistý zisk (net excess profit) za dobu t N je NE = E(N) E() = N ( P 2 (t) P 1(t) ) dt Příklad: P 1 (t) = 5 + t2 a P 2 (t) = 2 + 5t, pak pro t (, 15) platí P 1 (t) P 2 (t) a NE = 15 ( 2 + 5t 5 t 2 ) dt = 168.5 Blanka Šedivá (KMA) Základy matematiky pro FEK zimní semestr 216/21 12 / 15
Určitý integrál a jeho použití v ekonomických aplikacích II. uvažujeme poptávkovou funkci p = D(q) poptávkovou funkci lze chápat též jako míru změny celkové částky A(q), kterou jsou spotřebitelé ochotni utratit pro q jednotek da dq = D(q) q q da A(q ) A() = dq dq = D(q) dq p = D(q) = 1 4x 2 celková částka, kterou jsou spotřebitelé ochotni zaplatit 264 Blanka Šedivá (KMA) Základy matematiky pro FEK zimní semestr 216/21 13 / 15
Určitý integrál a jeho použití v ekonomických aplikacích II. uvažujeme poptávkovou funkci p = D(q) poptávkovou funkci lze chápat též jako míru změny celkové částky A(q), kterou jsou spotřebitelé ochotni utratit pro q jednotek da dq = D(q) q q da A(q ) A() = dq dq = D(q) dq p = D(q) = 1 4x 2 celková částka, kterou jsou spotřebitelé ochotni zaplatit 264 Blanka Šedivá (KMA) Základy matematiky pro FEK zimní semestr 216/21 14 / 15
Určitý integrál a jeho použití v ekonomických aplikacích II. p = D(q) p = D(q) p = D(q) p p Přebytek spotřebitele p celková částka, kterou jsou spotřebitelé ochotni zaplatit Skutečné náklady q q q p = D(q) p = D(q) p p = S(q) Přebytek spotřebitele p p = S(q) Přebytek producenta Přebytek producenta q q Blanka Šedivá (KMA) Základy matematiky pro FEK zimní semestr 216/21 15 / 15