76 Další metriké úlohy II Předpoklady: 7 Př : Najdi přímku rovnoěžnou s osou I a III kvadrantu vzdálenou od odu A[ ; ] Osou I a III kvadrantu je přímka y = x přímky s ní rovnoěžné mají rovnii x y + = 0 Vzdálenost přímky od odu A[ ; ] : + = / + + = + = ( ) = 4 Hledáme čísla, jejihž oraz na číselné ose od orazu čísla ( ) vzdálený 4 dvě řešení: = přímka x y + = 0, = přímka x y = 0 Podmínky zadání splňují přímky x y + = 0 a x y = 0 Př : Které z přímek, proházejííh odem T [ ;] mají od odu [ 6;] K vzdálenost? Prolém: Hledáme přímku, známe jeden její od musíme určit její směr Správnou přímku najdeme pomoí její vzdálenosti od odu K potřeujeme její oenou rovnii, ayhom mohli použít vzore napíšeme všehny přímky proházejíí odem T a z nih pomoí vzore pro vzdálenost vyereme správné hodnoty parametru p T [-;] K [6;] p Z orázku je zřejmé, že můžeme očekávat dvě řešení Rovnie přímky, u které známe od a neznáme směr směrniový tvar y y = k x x 0 0
Dosadíme od T [ ;] ( y ) k ( x [ ] ) = (nezapsali jsme přímku x = ) Převedeme na oenou rovnii: y = kx + k kx y + k + = 0 ax + y + Vzore pro vzdálenost odu od přímky: = d = a + kx y + k + Dosadíme přímku kx y + k + = 0 : = k + Určujeme vzdálenost od odu K [ 6;] : 6k + k + = k + 7k = / k + 49k 4k + = / k + k + 49k 4k + = k + 4k 4k 4 = 0 k 6 + k + = k + ( 4) ( 4) 4 4 ( 4) ± 4a ± 4 ± 00 4 ± 0 k, = = = = a 4 48 48 4 + 0 64 4 4 0 6 k = = = k = = = 48 48 48 48 4 Získali jsme dva kořeny (očekávali jsme dvě řešení) nemusíme prověřovat přímku x = Hledané přímky: p : 4 y = x + p : y = ( x + ) 4 y = 4x + 4 4y 4 = x p : 4x y + 7 = 0 p :x + 4y = 0 Vzdálenost mají z přímek proházejííh odem [ ;] p : 4x y + 7 = 0, p :x + 4y = 0 T od odu [ 6;] K přímky Pedagogiká poznámka: Příklad je důležitý Využívá typiky analytiký postup se zapsáním útvaru pomoí parametru Je jasné, že studenti udou potřeovat pomo při návrhu řešení Je nutné dávat pozor při dosazování do vzore pro vzdálenost Značná část studentů ude mít prolémy s orientaí v písmenkáh Př : Jsou dány ody A[ ; ], B[ ; ]; C [ 4; ]; D[ 0;] a) Dokaž, že ody A, B, C, D určují lihoěžník ) Vypočti velikost úhlu α ) Urči výšku lihoěžníku a) Dokaž, že ody A, B, C, D určují lihoěžník Lihoěžník má alespoň dvě rovnoěžné strany alespoň jedna dvojie vektorů, které určují protější strany musí ýt navzájem rovnoěžná (navzájem svými násoky)
B A = ( 8; 4) C D = ( 4; ) platí ( B A) = ( C D) strany AB a CD jsou rovnoěžné D A = ( ; ) C B = ( ;4 ) neplatí ( D A) = k ( C B) strany AD a BC nejsou rovnoěžné Body A, B, C, D určují lihoěžník se základnami AB a CD ) Vypočti velikost úhlu α Úhel α je úhel mezi vektory D A a B A B D A = ( 8; 4) Použijeme zkráený tvar: u = ( ; ), A = ( ; ) v = ( ;), u v ( ) u = + = ; ; 6 4 osα = = = = α = 60 ' u v Úhel α má velikost 60 u = + = ) Urči výšku lihoěžníku Výška lihoěžníku se rovná vzdálenosti jeho základen, tedy například vzdálenosti odu D od přímky AB B A 8; 4 = ; n = ; Oená rovnie přímky AB: = ( ) u Rovnie x + y + = 0, dosadíme od A[ ;] : + + = 0 = Vzdálenost odu [ 0;] D od přímky x + y + = 0 : Výška lihoěžníku ABCD je 7 Př 4: Je dán ostroúhlý trojúhelník ABC, = 7m, m 0 + + 7 7 = = + =, v = 4m Urči výšku v Výšku v určíme pomoí analytiké geometrie snadno, ale musíme znát souřadnie vrholů nejdříve určíme souřadnie vrholů a s jejih pomoí pak požadovanou výšku v Umístění trojúhelníku si můžeme zvolit hledáme o nejjednodušší řešení: A 0;0, od A umístíme do počátku soustavy souřadni [ ] stranu umístíme na osu x B [ 7;0] V trojúhelníku platí v = 4m od C musí ležet na příme rovnoěžné s osou x, vzdálené od ní 4 m od C leží na příme 4 y = souřadnie odu [ ;4] Poslední známá vlastnost trojúhelníka ABC: = AC = m 0 + 4 0 = 6 = 9 dvě řešení: = - nevyhovuje zadání, úhel BAC y yl určitě tupý + = = C [ ;4] C
Výška v je rovna vzdálenosti odu B od přímky AC C A ;4 n = 4; rovnie x 4y + = 0, Oená rovnie přímky AC: = od A [ 0;0] = 0 rovnie x 4y = 0 Vzdálenost odu [ 7;0] V trojúhelníku ABC platí, že B od přímky x 4y = 0 : v = m 7 4 0 = + 4 Př : Urči vrholy čtvere pokud znáš souřadnie středu čtvere S [ ;0 ] a rovnii přímky p D A p : x y + 6 = 0, na které leží strana CD u P S q Přímka q: u = n = ( ; ), od [ ;0 ] q p v C B Z orázku je vidět, že: jako průsečík přímky p a přímky q (kolmie na přímku p proházejíí odem S) najdeme od P (střed strany DC), pomoí odu P určíme vektor u, vektor v určíme jako vektor kolmý na u o stejné velikosti, pomoí vektorů u a v dopočteme posunutím vrholy čtvere x = + t S q: y = t, t R x y + 6 = 0 Hledáme průsečík přímek p a q soustava rovni: + + 6 = 0 Dosadíme do první rovnie: t ( t) t + = 0 t = souřadnie odu P : x = + t y = t x = + t = = P[ ;] y = t = ( ) = Výpočet vektorů: u = S P = ( ; ), v = ( ;) Výpočet vrholů: C = P + v = [ ; ] + ( ;) = [ 0;] D = P v = [ ; ] ( ;) = [ 4;] A = D + u = [ 4;] + ( ; ) = [ ; ] B = C + u = [ 0;] + ( ; ) = [ ; ] Čtvere ABCD má vrholy v odeh A[ ; ], B[ ; ], C [ 0;], [ 4;] D Př 6: Najdi vrholy odélníku ABCD, pokud znáš souřadnie odů A[ 0; ], [ 6;6] rovnii přímky p : x y = 0, na které leží od B Hledáme souřadnie odu B[ x; y ] potřeujeme najít dvě rovnie rovnie: Bod B leží na příme p : x y = 0 C a 4
rovnie: Strany odélníku jsou na see kolmé vektory B A a B C jsou na see kolmé skalární součin je nulový: ( B A) ( B C) = 0 B A = ( x 0; y + ) B C = ( x 6; y 6) ( B A) ( B C) = ( x; y + ) ( x 6; y 6) = 0 x x y y y 6 + 6 + = 0 x x y y 6 + 4 = 0 Dosadíme z první rovnie: x y = 0 x = y + y + 6 y + + y 4y = 0 9y + 7y + 44 8y 7 + y 4y = 0 0y + 0y + 60 = 0 / :0 + + 6 = + + = 0 dvě řešení: y y y y y = y = x = y + = ( ) + = B [ ; ] x = y + = ( ) + = 6 B [ 6; ] D = C + ( A B ) = [ 6;6] + ( ;) = [ ; 7] D = C + ( A B ) = [ 6;6] + ( 6; 0) = [ 0; 6] Hledanými vrholy odélníka jsou ody B [ ; ], D [ ;7] neo B [ 6; ], D [ 0;6] Př 7: Petáková: strana vičení 0 strana vičení 0 strana vičení 7 strana vičení 9 strana vičení 4 Shrnutí: