Mtemtik pro ekonomy MATEMATIKA PRO EKONOMY 8
ešení soustvy lineárních rovnic užitím mtic Gussov eliminní metod (GEM) MATICE 6 6 Hlvní digonál TROJÚHELNÍKOVÁ MATICE Pozn.: i... i-tý ádek mtice PIVOT = první nenulový prvek v ádku 6
Soustv lineárních rovnic mtice + = + = + + = Princip GEM: ) pomocí uritých povolených úprv vytvoíme z pvodní mtice mtici trojúhelníkovou ) tuto opt pevedeme do podoby soustvy rovnic ) ze získných rovnic odspodu vyjádíme pivotní neznámé
) zámn dvou ádk Povolené úprvy:...... ) ( 9 9... : 8 6 ) násobení ádku íslem ) nhrzení ádku jeho soutem s násobkem jiného ádku
Povolené úprvy: ) zámn dvou ádk ) násobení ádku íslem ) nhrzení ádku jeho soutem s násobkem jiného ádku Cíl úprv: pod hlvní digonálou vytvoit nuly I. vytváíme nuly v. sloupci piítáním vhodného násobku. ádku II. vytváíme nuly v.druhém sloupci piítáním vhodného násobku. ádku
::: : : : :............... ::: : : :............... ::: : :.................. ::: :............... Schém lgoritmu:
Píkld: + : 6 8 :8
() () () z z y z y ) ( z ) ( z y ) ( z y K = ; ; y y
Píkld: y z y z 6 y z
Triky vhodné v uritých situcích Píkld:
6 9 9 6 6 ) ( : ) ( :...... /
6 9 9 6 6 ) ( : ) ( :......
Nestndrdní situce v nkterém ádku vzniknou nuly pouze n levé strn soustv nemá ešení 8 : : : Píkld: K
MATICE 6 6 A... mtice A mn... mtice o m ádcích n sloupcích
6 6 hlvní digonál pivoty trojúhelníková mtice vedlejší digonál 6 6 6 6
6 6 8 tvercová mtice jednotková mtice (musí být tvercová) znení: I, I n
Operce s mticemi I. sítání mtic II. násobení mtice íslem Pozn.: Sítt lze pouze mtice stejného typu. 6 6 9
III. násobení mtice s mticí Pozn.: Násobit lze pouze mtice uritého typu podle prvidl: násobíme ádky první mtice se sloupci druhé mtice A m,n B n,p = C m,p
Pozn.: ) násobení mtic obecn není komuttivní, tj. nepltí AB = BA ) 6 P.:... P.: pro jkoukoli mtici A jednotkovou mtici I (ptiných rozmr!) pltí:
IV. trnsponování mtice (trnspozice) = prohození ádk z sloupce nopk T 9 8 6 8 6 9
HODNOST MATICE = poet jejích lineárn nezávislých ádk* znení: h(a) má-li A rozmry m n, pltí: h(a)... P.: ) ( 8 9 8 6 6 A h A * tj. poet ádk, které zbudou, vynecháme-li ty, které jsou lineární kombincí osttních
Výpoet hodnosti mtice dv užitená tvrzení: ) úprvmi GEM ni trnsponováním se hodnost mtice nezmní ) hodnost trojúhelníkové mtice je rovn potu jejích nenulových ádk pomocí GEM uprvíme mtici n trojúhelníkový tvr spoítáme, kolik je nenulových ádk
) A P.: Urete hodnost mtice A:... 8 8 8 : 6 8
) A b h(a) =?
Determinnt = íslo, které lze vypoítt z kždé tvercové mtice znení: A, det A zpsob výpotu závisí n rozmrech mtice
A = ( ) A =...
kížové prvidlo A A = = B B = ( ) =
Srrusovo prvidlo A A = = 6 + +
B
rozvojem podle zvoleného ádku nebo sloupce A A = A, + A, A, + A, = (volíme ten, kde je nejvíc nul) (A,... mtice vzniklá z A vynecháním. ádku. sloupce; A,, A,, A,... podobn) =... = =
P.: A, A?
Crmerovo prvidlo k vyešení soustvy n rovnic o n neznámých A (mtice levé strny) b (sloupec prvé strny) kde A = mtice vzniklá z A zámnou prvního sloupce (odpovídjícího neznámé ) sloupcem b td.,,, A A A A A A
P.: 8 6... A A 8 6... A A 8 6 8... A A
P.: 9
INVERZNÍ MATICE Definice: Nech A je tvercová mtice. V nkterých pípdech eistuje mtice A, pro kterou pltí: AA = A A = I, Tto mtice se nzývá mticí inverzní k A. I... jednotková mtice, np. I...
Výpoet inverzní mtice I. pomocí GEM II. pomocí djungovné mtice
I. Výpoet A pomocí GEM GEM A I... I A
P.:?, A A 6,, A Zk.:,, : :,,, ) (, ) (, ) (, ) (
P.: A, A? 8
II. Výpoet A pomocí djungovné mtice A A A A A : A A A : A A A :......... ::: T mtice, která vznikl z A vynecháním. ádku. sloupce
P.: 6 A, A? A ( 6) A A A A 6 A 6 A A A A A A A A A T ( 6) T 6 T 6 / / / /,,,,
P.: A, A? 8
Typy tvercových mtic (n n) REGULÁRNÍ A inverzní mtice eistuje h(a) = n SINGULÁRNÍ A = inverzní mtice neeistuje h(a) n
Užití inverzní mtice k ešení soustvy rovnic b A známe-li náhodou A, lze uvžovt: b A b A A A b A I b A / A zlev b A
P.: Užitím mtice inverzní k mtici levé strny vyešte soustvu: ) b A b A : 6 9 ; K ; K 6 A
) ) 6 9 6
P.: Zjistte, zd mtice B je inverzní k A. Pokud no, vypotte pomocí B vektor ešení soustvy rovnic A b. Pokud B není inverzní k A, urete Gussovou eliminní metodou hodnost A.
FUNKCE f y f: y = + f... f... - f... g: y = g... g... - g...
Znení formulce f Hodnot funkce f v bod je Funkní hodnot f v bod je Funkce f pizuje hodnot hodnotu f: f () = f() = y y () =
Grf funkce f: y = + f:
Prbh funkce n intervlech -; ; 6) je f... n intervlech -; - ; je f...
v bod má funkce stcionární bod (není ni rostoucí, ni klesjící) ten je vodorovná
n intervlu (-; je funkce... ten se nchází nd grfem n intervlu ; ) je funkce... ten se nchází pod grfem v bod je inflení bod (funkce pechází z konvení n konkávní) ten pechází z jedné strny grfu n druhou
Etrémy v bod má f ostré lokální minimum, jeho hodnot je v bod má f ostré globální minimum o hodnot - ve všech bodech intervlu ; má f neostré lokální mimum o hodnot
Složená funkce f(g())... funkce složená z funkcí f, g f... vnjší funkce g... vnitní funkce f(g()) získáme tk, že do f místo doszujeme g() P.: f : y sin g : y f g f g g() f f () () g()
P.: f : y, g : y
Limit lim f ( ) = limit f() pro blížící se k = hodnot, ke které se f() blíží, blíží-li se k Píkldy: ) ) ) lim( ) lim lim ) ) 6) lim sin lim lim (jednostrnná) limit pro blížící se k nule zprv ) lim (jednostrnná) limit pro blížící se k nule zlev neeistuje, protože limity zprv zlev se liší
Ilustrce lim f ( ) lim f ( ) lim f ( )
lim f ( ) lim f ( ) lim f ( )
lim lim lim lim f f f f ( ) ( ) ( ) ( ) lim f ( )
Konkrétní výpoet limit I. doszením lim II. úvhou podpoenou znlostí funkce III. rzné triky rozsáhlá problemtik IV. L Hospitlovo prvidlo (viz derivce)
SPOJITOST FUNKCE f se nzývá spojitá v bod, jestliže ) ( ) ( lim ) ( lim f f f ) ( lim f ) ( lim f () f f... spojitá v bod
lim f ( ) lim f ( ) f () f... spojitá v bod
lim f ( ) lim f ( ) f () f... spojitá v bod
lim f ( ) lim f ( ) f () f... spojitá v bod
Lineární funkce = funkce dná pedpisem f: y = k + c, kde k, c R k... smrnice c... bsolutní koeficient Grfem lineární funkce je pímk.
Význm bsolutního koeficientu f: y = k + c f() = c grf prochází bodem ; c] c je hodnot, ve které grf protíná osu y y =, + y =, + y =, y =,
Význm smrnice f : y = f : y = f : y =, f : y = f : y = f 6 : y =
HRUBÁ INTERPRETACE: Smrnice uruje sklon (smr) pímky., k > pímk je... k = pímk je... k pímk je...
PESNÁ INTERPRETACE: y f: y = k + c y y Smrnice udává, kolikrát je pírstek funkní hodnoty (y) vtší než pírstek promnné ().
y = - y = y =, - y = y = y =
P.: Podle grfu urete pedpis lineárních funkcí:
Alterntivní formulce I.: y k y... Smrnice lineární funkce pedstvuje tngens úhlu, který grf této funkce svírá s kldným smrem osy.
Alterntivní formulce II.: = y = k k y y y Smrnice lineární funkce pedstvuje hodnotu, o kterou se zvýší y, pokud se zvýší o.
P.: Urete hodnotu lineární funkce v bod 8, víte-li, že její smrnice je rovn její grf prochází bodem A = ;. =... y = k =... y =...
P.: Urete hodnotu lineární funkce v bod, víte-li, že její smrnice je rovn, její grf prochází bodem A = ;. y
P.: Urete rovnici pímky, jejíž smrnice je která prochází bodem ;. y = k......
P.: Urete rovnici pímky, jejíž smrnice je která prochází bodem ;.
DERIVACE derivce funkce f = funkce f, která kždému D(f) pizuje hodnotu smrnice teny, vedené ke grfu f v bod [; f() P.: Mjme funkci f : y, derivce této funkce je f : y. f() = f() = f() = f() = f () = f () = f () = f () = grf f prochází body [;, [;, [;, [; smrnice teen v tchto bodech jsou,,
grf f prochází body [;, [;, [;, [; smrnice teen v tchto bodech jsou,, - - - -
Výpoet derivcí I. Derivce konstnty P.: () = c... Kždá ten je vodorovná smrnice je vždy rovn
II. Derivce mocninné funkce P. ) ) ) ) ) n ( ) =... () = ( ) = =... (f: y = n )...... () = ( ) = - =... (viz derivce konstnty!) = =
b b... b b... b b... Pozn.: Úprvy mocnin n n... q q......... y y... q p q p...
P.: 6 6 6 6 6 8 6 8 6 6
P.:
III. Derivce nkterých dlších elementárních funkcí sin cos......... tn cot.......... e ln......
IV. Derivce soutu, rozdílu reálného násobku funkcí: (f, g... funkce, k R)...... f k.... g f e cos 6 cos ), ( 6, e 8 sin 6, e 8 sin 6 e P.: ) ) ) )
V. Derivce souinu funkcí: g f g f g f sin cos sin cos cos P. ) ) ln
VI. Derivce podílu funkcí: P. ) P. ) cos g g f g f g f cos cos sin cos sin sin cos cos cos sin tn
VII. Derivce složené funkce P. ) sin f g( ) f g( ) g( ) cos cos sin sin sin sin ) sin sin cos
) ln ) ln 6 6 ln ) ln( ) 6) ) e 8) ln
Ten grfu funkce f y y y y = k derivce = smrnice teny ROVNICE TENY: y = f ( )* y y = f ( ) ( ) *smrnice teny v bod [ ; y = derivce f v bod = f ( )
P.: Urete rovnici teny funkce f: y = v bod [;?. f f() = y =... f () = f () =... derivce = smrnice teny y = y 6 = ( ) t: y = 9
P.: Urete rovnici teny funkce f ( ) v bod [;?. f
Diferenciál f y f() y y f ) ( f ) f ( ) ( DIFERENCIÁL: (vlstn proimce f tenou) df ( ) f ( ) d Pozn.: sté znení derivce: f ( ) df d
P.: Urete diferenciál funkce f: y = vbod : f ()= f () = = df()= d
P.: Odhdnte pomocí diferenciálu, o kolik se pibližn zmní hodnot funkce f: y =, jestliže hodnot se zmní z n. Jká pk tto hodnot pibližn bude? f () = f () = 6 f() = f () = 6 = f() = = f() f() = f() f() = + = 9 Hodnot f se zmní pibližn o, bude se tedy rovnt 9. P.: Nbídková funkce jisté komodity má tvr Q(p) = p p, kde Q je množství v kg p je cen z kg v K. Nyní je cen K/kg. Odhdnte pomocí diferenciálu, o kolik se pibližn zmní nbídk, pokud cen komodity vzroste n K/kg. Jká pk bude pibližn tto nbídk?
Q( p) P.: Nbídková funkce jisté komodity má tvr, kde Q je množství v kg p je cen z kg v K. Nyní je cen 6 K/kg. Odhdnte pomocí diferenciálu, o kolik se pibližn zmní nbídk, pokud cen komodity vzroste n 6, K/kg. Jká pk bude pibližn tto nbídk?
Prbh funkce I.: hledání etrém k = k = VÝZNAM SMRNICE: k =, k > pímk je rostoucí k = k = k = k = pímk je vodorovná k pímk je klesjící DERIVACE = SMRNICE TENY f () > f je... f () = f má v... f () f je...
P.: Urete, kde funkce f: y = + nbývá lokálních etrém. f () = ( + ) = + + = / : = = + = ( + ) = ( ; ) ( ; ) (; ) f () f() Funkce f je n intervlu (-; -) klesjící, v bod - nbývá svého minim o hodnot, n intervlu (-; ) je rostoucí, v bod je stcionární bod n intervlu (; ) je opt rostoucí.
P.: Urete, kde funkce f: y = 9 nbývá lokálních etrém. f () f()
Prbh funkce II.: konkávnost konveit f () = f () f () > f () f () > KONKÁVNÍ f () je klesjící f () = KONVEXNÍ f () je rostoucí......
P.: Urete, kde je funkce f: y = + + konvení, kde konkávní kde má inflení body. f () = ( + 6 + ) = + 6 + = f () = (f ()) = ( + ) = 6 + = ( ; ) ( ; ) f () f() Funkce f je n intervlu ( ; ) konkávní, v bod má inflení bod n intervlu ( ; ) je konvení.
P.: Urete, kde je funkce f: y = + konvení, kde konkávní kde má inflení body. f () f()
L Hospitlovo prvidlo, - pro výpoet limit typu (tzv neurité výrzy ) lim f ( ) lim g( ) lim f ( ) nebo lim g( ) lim lim, lim f ( ) g( ) lim lim f ( ) g( ) 6 P.: ) 6 P.: ) lim e lim 6 e 6 6 lim e 6 lim e
P.: ) ln lim ln lim ln lim ln lim lim lim lim lim
P. ) P. ) P. 6) lim e lim cos lim
Funkce dvou promnných (, y) f f(, y) = z P.: f(, y) = y f(, ) = =... f(, ) = =... f(, ) = =... f(, ) = =... grfem je ploch nd rovinou y v D prostoru
Prciální derivce derivujeme jen podle jedné promnné, s druhou zcházíme jko s konstntou znení: f, f f f, f, f, y f, y ( ;), f (;)... derivce f podle (funkce)... druhá derivce f podle... smíšená druhá prciální derivce... hodnot derivce f podle v bod (; ) (íslo)
P.: f (, y) yyy f y y y f y y f, y f, y y f, y y f, y y 6y f (;) f, (;) 6
P.: f (, y) y sin y
Diferenciál, tená rovin f y ) ( ) ( ) ; ( ) ( ) ; ( y y y f y f z z y diferenciál: tená rovin: y y f y f z y ) ; ( ) ; ( funkce promnné: funkce promnných: dy y f d y f df y y ) ; ( ) ; ( ;
P.: Vypotte diferenciál funkce f(, y) = e y 9 v bod [; ]. f = e y 9 f (; ) = e 9 = f y = e y 9 = e y 9 f y (; ) = e 9 = 6 df [; ] = d + 6dy P.: Vypotte diferenciál funkce f(, y) = y y v bod [-; ].
P.: Urete pomocí diferenciálu, o kolik se zmní hodnot funkce f(; y) = y, jestliže se hodnoty vstupních promnných zmní z [; n [,9;,. f y, f y y f (;) 6, f (;) y z 6 y,, y, z 6 (,), Hodnot funkce se sníží pibližn o. Pozn.: f(; ) = 8, f(,9;,) = 6,98 z = -,
P.: Urete pomocí diferenciálu, o kolik se zmní hodnot funkce f(; y) = y + y, jestliže se hodnoty vstupních promnných zmní z [; n [,;,9.
P.: Urete rovnici tené roviny funkce f(; y) = y v bod [;. f y, f y 6y f (;) 8, f (;) y 6 z 8 y f (;) z z 8( ) ( y ) 8 y z
P.: Urete rovnici tené roviny funkce f(; y) = y + y v bod [;.
Hledání lokálních etrém ) njdeme body ; y, v nichž pltí f y, f ; y ; y ) v tchto bodech je etrém, pokud je splnn podmínk: f ( ; ) y f y ( ; y ) D ; y f ( ; y ) f ( ; y ) y yy ) nlezený etrém je: MINIMUM, pokud D ; y f y ; MAXIMUM, pokud D y ;
P.: Nleznte lokální etrémy funkce f(; y) = + y y. ) f y, f y y y y y ( y) y y ( y ) ( y ) y y 6 y y y (6 y ) y y, y,......... body podezelé z etrému
[;, [,;,, [,;,... body podezelé z etrému D f f y f f y yy...... D D D D D ; 8,;, 8, 8,;, 8, 8 D f,;,,,;, (,) v bod [; není etrém v bodech [,;,, [,;, je etrém v bodech [,;,, [,;, je minimum
P.: Nleznte lokální etrémy funkce f(; y) = y + + y.
Integrály (primitivní funkce) f ( ) d F( ) C F( ) f ( ) = (neuritý) integrál funkce f = primitivní funkce k funkci f C... konstnt libovolné hodnoty Pozn.: Pro je tm konstnt: F( ) C F( ) P.: C ( ) d C
Metody integrování I. - zákldní prvidl n d... P.: d C d C d d c C ( f g) f g k f k f P. : 8 8 8 d d d 8 d d 8 8 C
P. : d P. : 6 9 d P. : P. : d d P. 6: 6 d
Metody integrování II. dlší elementární funkce d d? d... e d d...... sin d... cos d... d cos... d sin...
Metody integrování III. per prtes uv uv uv f g f G f G uv uv uv Pro:uv uv uv Použití: A) integrování souinu typu P( ) sin, P( ) cos, P( ) e, uv uv derivujeme P() sníží se stupe mnoholenu uv (P()... mnoholen) B) integrování souinu typu P( ) ln derivujeme ln derivce je C) integrování souinu typu e sin, e cos,
A) integrování souinu typu P( ) sin, P( ) cos, P.: sin d ( cos ) ( cos ) d P( )... e... cos cos d cos sin sin d cos sin( cos) cos sin cos C P.: ( ) e d
B) integrování souinu typu P( ) ln P.: (6 ) ln d d ln...... ln d ln C P.*: ln d
Pozn.: Integrování výrzu ln ln d ln d ln d...... ln d ln C
C) integrování souinu typu sin e, cos e P.: sin e d sin e cos e d sin e cos e ( sin ) e d sin e cos e sin e d e sin d sin e cos e sine d sine d sine d sine cose e (sincos) sine d C :
P.: cos e d
Metody integrování IV. substituce f ( g) g d F( g) g... vnitní funkce, F... primitivní funkce k funkci f Pro: F( g) F( g) g f ( g) g Formální postup: g( ) g( d f ) t dt f ( t) dt F(t) g( C F ) subst.: g( ) t g( ) d dt
P. : sin( ) ( ) d sin t dt cos t cos( ) C P. : sin cos d t t dt t sin sin C ( 6 ) d P. : 6 d t dt ln t ln C
P. : ( ) ( ) d P. : ( ) d P. 6: ( ) d P. : e ( ) d
P. 8*: sin cos d P. 8: sin cos d P. 9: (sin sin ) cos d P. : cot d cos sin d
P. *: ln ln d ln ln d t t t ln ln ln C P. : P. : P. : ln d sin ln d ln ln d
P. : sin( ) d sin( ) d sin t dt ( cos t) cos( ) C f ( b) F( b) (9 ) (9 ) P. 6: ( 9 ) d C 9 99 P. : d d dt t lnt ln( ) C
P. 8: cos( ) d d P. 9: P. : d 6 P. *: d
P. *: sin 6 cos d P. : d P. : 8 d P. : e ( ) d
Uritý integrál b f ( ) d F( ) F( b) F( ) b (výsledkem je íslo!) F... primitivní funkce k funkci f,... dolní mez, b... horní mez P. : 6 d 8 P. : ( 6 ) d P. : sin d
P. : e ln d ln d P. : e ln d ln d
Význm uritého integrálu S f ( ) d f () S S lim f ( ) d f ( ) d d b d b b f ( ) d... obsh plochy pod grfem f v rozmezí hodnot, b
Pozn.: Je-li f n intervlu (;b) záporná, vyjde též záporný! b f ( ) d S f() = sin S S sin d sin d... sin d... S... S... S...
P.*: Užitím uritého integrálu vypotte velikost plochy, kterou n intervlu ; ohrniují funkce f() = e 6 os.