ARITMETICKÉ POSLOUPNOSTI VYŠŠÍCH ŘÁDŮ JAROSLAV ZHOUF Pedagogická fakulta UK Praha
Osova předášky 1. Vysvětleí pojmu Aritmetické poslouposti vyšších řádů (APVŘ). APVŘ a ižším gymáziu 3. APVŘ a vyšším gymáziu 4. APVŘ pro taletovaější studety matematická olympiáda 5. GPVŘ
Aritmetická posloupost druhého řádu Příklad 1 ( b ) 5 10 17 6 37 50... AP ( ) 3 5 7 9 11 13... AP1 a ( a )... AP0 AP1??? Jak vypadají -té čley těchto posloupostí???
Aritmetická posloupost druhého řádu Příklad 1 pokračováí ( b ) 5 10 17 6 37 50... AP ( ) 3 5 7 9 11 13... AP1 a ( a )... AP0 AP1 b = + ( ) ( 1) ( ) a = + 1= + 1 + 1 + 1 = b+ 1 b a = a1+ d = d+ a1 d správě lieárí fukce ( ) ( 3) ( 1) + 1 a = = + + = a a 1
Aritmetická posloupost druhého řádu Příklad ( b ) 5 5 16 31 50 73... AP ( ) 3 7 11 15 19 3... AP1 a ( a ) 4 4 4 4 4... AP0 AP1??? Jak vypadají -té čley těchto posloupostí???
Aritmetická posloupost druhého řádu Příklad pokračováí ( b ) 5 5 16 31 50 73... AP ( ) 3 7 11 15 19 3... AP1 a ( a ) 4 4 4 4 4... AP0 AP1 a = 4 1= b b + 1 ( ) 4 ( 4 3) ( 4 1) + 1 a = = + = a a b =???
Aritmetická posloupost druhého řádu Příklad pokračováí ( b ) 5??????... AP ( ) 3 7 11 15 19 3... AP1 a ( a ) 4 4 4 4 4... AP0 AP1 a = 4 1= b b + 1 ( ) 4 ( 4 3) ( 4 1) + 1 a = = + = a a = 1+ 1 = b3 b a 5 b b a = + =??? Ale jak vypadá b obecě???
Aritmetická posloupost druhého řádu Příklad pokračováí ( b ) 5 5 16 31 50 73... AP ( ) 3 7 11 15 19 3... AP1 a ( a ) 4 4 4 4 4... AP0 AP1 b b a b b a b b a = 1+ 1 = 3 = + = 5 4 = 3+ 3 = 16...... b = b 1+ a 1 =??? b ( ( )) = b1+ a1+ a +... + a 1 = 5 + 3+ 7 +... + 4 5 = = 5 + 1 ( 1)( 3 4 5) 3 4 + =
Aritmetická posloupost druhého řádu Příklad pokračováí ( b ) 5 5 16 31 50 73... AP ( ) 3 7 11 15 19 3... AP1 a ( a ) 4 4 4 4 4... AP0 AP1 b Jiý postup při výpočtu : Očekáváme b = A + B+ C b1 = A 1 + B 1+ C = 5 b = A + B + C = b3 = A 3 + B 3+ C = 5 A =, B = 3, C = 4 b = 3 4
Aritmetická posloupost třetího řádu Příklad 3 ( c ) 0 0 0 6 4 60 10... AP3 ( ) 0 0 6 18 36 60... AP b a ( ) 0 6 1 18 4... AP1 ( a ) 6 6 6 6... AP0 AP1??? Jak vypadají -té čley těchto posloupostí???
Aritmetická posloupost třetího řádu Příklad 3 pokračováí ( c ) 0 0 0 6 4 60 10... AP3 ( ) 0 0 6 18 36 60... AP b a ( ) 0 6 1 18 4... AP1 ( a ) 6 6 6 6... AP0 AP1 a = 6 6= b b + 1 ( ) 6 ( 6 ) ( 6 6) + 1 a = = = a a ( ) ( ) b = b1+ a1+ a +... + a 1 = 0 + 0 + 6 +... + 6 1 = = 0 + 1 ( 1)( 0 6 1) 3 9 6 + = + c =???
Aritmetická posloupost třetího řádu Příklad 3 pokračováí ( c ) 0 0 0 6 4 60 10... AP3 ( b ) 0 0 6 18 36 60... AP b c c = 3 9 + 6= + 1 c = c+ b+... + b = 0 + 0 +... + 3 1 9 1 + 6 = ( ( ( ) ( ) )) 1 1 1 ( ( ) ) ( ( )) ( ) = 3 1 ( 1) ( 1) 9 1 ( 1) 6( 1 ) = 3 = 6 + 11 6= ( 1)( )( 3) = 3 0 + 1 +... + 1 9 0 + 1 +... + 1 + 1 6 = Vzorec 1... ( 1)( 1) + + + = + + později 1
Aritmetická posloupost třetího řádu Příklad 3 pokračováí ( c ) 0 0 0 6 4 60 10... AP3 ( b ) 0 0 6 18 36 60... AP c 3 Jiý postup výpočtu : Očekáváme c = A + B + C+ D c A B C D 3 1 = 1 + 1 + 1+ = 0 3 c = A + B + C + D= 0 3 c3 = A 3 + B 3 + C 3+ D = 0 3 c4 = A 4 + B 4 + C 4+ D= 6 A = 1, B = 6, C = 11, D = 6 3 c = 6 + 11 6= 1 3 ( )( )( )
Aritmetické poslouposti dalších řádů AP0 a= A AP1 a = A+ B AP b = A + B+ C 3 AP3 c = A + B + C+ D 4 3 AP4 d= A + B + C + D+ E 5 4 3 AP5 e = A + B + C + D + E+ F Atd.
Součet aritmetické poslouposti ultého řádu s0 = kost + kost +... + kost = kost AP1 (lieárí) Součet aritmetické poslouposti prvího řádu s1 ( A 1 B)... ( A B) ( 1... ) 1 ( 1) = + + + + = = A + + + B= A + + B= A A = + + B AP (kvadratická) Odpovídá to kvadratické závislosti ze školy: 1 a1 ad 1 s = [ a1+ a] = a1 a1( 1) d ad + = +
Součet aritmetické poslouposti druhého řádu ( ) ( ) ( 1... ) ( 1... ) s = A 1 + B 1 + C +... + A + B + C = = A + + + B + + + C= 1 1 = A ( + 1)( + 1) + B ( + 1) + C= 6 A 3 A B A B = + + + + + C 3 6 AP3 (kubická)
Součet aritmetické poslouposti třetího řádu Příklad - pokračováí ( b ) 5 5 16 31 50 73... AP b = 3 4 ( ) ( ) ( ) s = 5 + 5 +... + 3 4 = = 1 +... + 3 1 +... + 4 = 1 1 = ( + 1)( + 1) 3 ( + 1) 4 = 6 3 1 31 = 3 6 000 000 10 000 3100 Např. s 100 = = 6 656150 3 6
Součet aritmetické poslouposti třetího řádu ( 3 ) ( 3 ) ( 3 3) ( 1... 1... ) ( 1... ) s3 = A 1 + B 1 + C 1 + D +... + A + B + C+ D = = A + + + B + + + C + + + D= 1 1 1 ( 1) ( 1)( 1) ( 1) 4 6 A 4 A B 3 A B C B C = + + + + + + + + D 4 3 4 6 = A + + B + + + C + + D= AP4 (4. stupě)
Odbočka k součtu prvích moci Gauss s 100 = 1 + +... + 99 + 100 s 100 = 100 + 99 +... + + 1 s = 50 101 100 s = 1 + +... + 1 + ( ) ( ) s = ( + ) s = + 1 +... + + 1 1
Odbočka k součtu prvích moci Důkaz beze slov (Proof without Words) 1+ +... + = +
Odbočka k součtu druhých moci + 1 = + 3 + 3 + 1 ( ) 3 3 3 3 3 = ( 1) + 1 = ( 1) + 3( 1) + 3( 1) + 1 ( ) 3 = ( ) + 3 = ( ) 3 + ( ) + ( ) 1 1 3 3 + 1.. ( ) 3 ( ) 3 3 3 3= + 1 = + 3 + 3 + 1 3 3 = 1+ 1 = 1+ 31 + 31 + 1 3 3 ( ) ( 1 1 3 1... ) 3( 1... ) + = + + + + + + + 3 ( ) ( ) + + = 1 + + + = 3 = 1 ( 3 + 3 + ) = 1 ( + 1)( + 1 6 6 ) 3 1... 1 1 3 1...
Odbočka k součtu druhých moci Důkaz beze slov (Proof without Words) ( + + ) = ( + + )( + ) 3 1... 1... 1
Odbočka k součtu třetích moci + 1 4 = 4 4 3 6 4 1 ( ) + + + + 4 4 4 3 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 4 ( ) 4 ( ) ( ) 4 ( ) 3 ( ) ( ) = 1 + 1 = 1 + 4 1 + 6 1 + 4 1 + 1 1 = + 1 = + 4 + 6 + 4 + 1 ( ) 4 ( ) 4.. 4 4 3 3 = + 1 = + 4 + 6 + 4 + 1 4 4 3 = 1+ 1 = 1 + 41 + 61 + 41 + 1 4 4 ( ) ( 3 3) ( 1 1 4 1... 6 1... ) 4( 1... ) 3 3 4 4 ( ) ( 1... 1 1 1 6 1... ) 4( 1... ) + = + + + + + + + + + + + + = + + + + + = 4 = 1 ( 4 + 3 + ) = 1 ( + 1) 4 4
Odbočka k součtu třetích moci Důkaz beze slov (Proof without Words) 3 3 1 ( ) 1 +... + = + 1
Aritmetické poslouposti prvího řádu a ižším gymáziu Příklad 4 Obsah daého útvaru (Cihlář a kol.). 16 9 S = ( 1+ + 3+ 4+ 5+ 6+ 7+ 8+ 9) + 9 7
Aritmetické poslouposti prvího řádu a ižším gymáziu Příklad 5 Počet všech jedotkových rovostraých trojúhelíků v síti rovostraého trojúhelíku o straě délky 1. Kokrétě apř. pro = 6. Řešeí 1+ 3+ 5 +... + 1 = = 1 1 + 1 +... + 11 1 = ( ) ( ) ( ) ( ) 1 = 1 +... + 11 11 1 = 11 1 11 = 11 1+ 3 + 5 +... + 1 = 1+ +... + = Obecě ( ) ( )
Odbočka k součtu lichých čísel Důkaz beze slov (Proof without Words) 1+ 3+ 5+ 7+ 9+ 11+ 13+ 15= 8 1+ 3 +... + 1 = ( )
Aritmetické poslouposti druhého řádu a ižším gymáziu Příklad 6 Počet čtverců ve čtvercové síti x. Číslo bude kokrétí. Např. počet čtverců ve čtvercové síti 10 x 10. Řešeí 1 x 1 10 čtverců x 9 čtverců (-1) 3 x 3 8 čtverců (-) 9 x 9 čtverců 10 x 10 1 čtverců 1 Celkem + + = = 1 +... + = 1 ( + 1) ( + 1) 1... 10 10 11 1 385 6 1 6
Aritmetické poslouposti druhého řádu a ižším gymáziu Příklad 7 Čtvercová čísla (patří mezi figurálí čísla). 1 3 4... -té čtvercové číslo je
Aritmetické poslouposti druhého řádu a ižším gymáziu Příklad 8 Trojúhelíková čísla (patří mezi figurálí čísla). 1 1+=3 1++3=6 1++3+4=10... -té trojúhelíkové číslo je 1 + 1 1+ +... + = ( + 1) =
Aritmetické poslouposti druhého řádu a ižším gymáziu Příklad 9 Pětiúhelíková čísla (patří mezi figurálí čísla).... 1 1+4 1+4+7 1+4+7+10 -té pětiúhelíkové číslo je 1+ 4 + 7 +... + 3 = 1 3 1 ( ) ( )
Aritmetické poslouposti druhého řádu a ižším gymáziu Příklad 10 Počet úhlopříček mohoúhelíku. 0 4 1/ 5 / 6 3/.. Počet úhlopříček je ( ) 1 3
Aritmetické poslouposti druhého řádu a ižším gymáziu Příklad 11 Počet přímek vytvořeých z bodů, z ich žádé tři eleží v přímce. 5 4 3 1 1 Počet průsečíků je ( 1) =
Aritmetické poslouposti druhého řádu a vyšším gymáziu Příklad 1 Počet oblastí roviy rozděleé přímkami (každé dvě mají průsečík, žádé tři průsečík emají). Řešeí Přidáím -té přímky přibude oblastí. Přidáváím přímek vziká AP. ( b )??????... AP ( a ) 3 4 5 6 7... AP1 b = A + B+ C b 1 1 1 ( ) 3 1 = + + 1= + 1 + 1 5 4
Aritmetické poslouposti druhého řádu a vyšším gymáziu Příklad 13 Počet oblastí roviy rozděleé kružicemi (každé dvě mají dva průsečíky, žádé tři eprocházejí jedím bodem). 4 Řešeí Přidáím -té přímky přibude (-1) oblastí. Přidáváím přímek vziká AP. ( b )??????... AP ( a ) 4 6 8 10 1... AP1 b = A + B+ C 1 b = + 3
Aritmetické poslouposti druhého řádu a vyšším gymáziu Příklad 14 Počet oblastí prostoru rozděleého roviami, kde každé dvě mají průsečici, žádé tři emají stejou průsečici a všechy se protíají v jedom bodě. Řešeí Přidáím -té roviy přibude (-1) oblastí. Přidáváím přímek vziká AP. ( b )??????... AP ( a ) 4 6 8 10 1... AP1 b = A + B+ C b = +
Aritmetické poslouposti druhého řádu a vyšším gymáziu Příklad 15 Počet oblastí uvitř trojúhelíku vytvořeých spojicemi z bodu A s protější straou a spojicemi z bodu B s protější straou. C Řešeí Mezi každými dvěma přímkami z bodu A je +1 oblastí. Mezi všemi přímkami je (+1) oblastí. Vziká AP. A B b A B C = + + = ( + ) b 1
Aritmetické poslouposti druhého řádu a vyšším gymáziu Příklad 16 Počet oblastí uvitř trojúhelíku vytvořeých spojicemi z bodu A s protější straou, spojicemi z bodu B s protější straou a spojicemi z bodu B s protější straou. Žádé tři se eprotíají v jedom bodě. A B Řešeí Přidáím -tých přímek přibude 6+6 oblastí. Vziká AP. ( ) 7??????... AP b ( a ) 1 18 4 30 36 4... AP1 b = A + B+ C b = + + 3 3 1 C
Aritmetické poslouposti třetího řádu a ižším-vyšším gymáziu Příklad 17 Počet krychlí v krychlové síti x x. Číslo je kokrétí. Např. počet krychlí v síti 10 x 10 x 10. Řešeí 1 x 1 x 1 10 3 krychlí 3 x x 9 3 krychlí (-1) 3 3 x 3 x 3 8 3 krychlí (-) 3 9 x 9 x 9 3 krychlí 3 10 x 10 x 10 1 3 krychlí 1 3 1 +... + 10 = 1 10 11 = 3 05 4 Celkem 3 3 1 4 Obecě c = 1 3 +... + 3 = ( + 1)
Aritmetické poslouposti třetího řádu a ižším-vyšším gymáziu Příklad 18 Krychlová čísla (patří mezi figurálí čísla). 1 3 3 3 3 4 3... -té krychlové číslo je 3 = c
Aritmetické poslouposti třetího řádu a ižším-vyšším gymáziu Příklad 19 Jehlaovitá (pyramidálí) čísla (patří mezi figurálí čísla). 1 1 + 1 + +3 1 + +3 +4... -té jehlaovité (pyramidálí) číslo je = + + + = 1 + + ( )( ) c 1... 1 1 6
Aritmetické poslouposti třetího řádu a ižším-vyšším gymáziu Příklad 0 Čtyřstěová čísla (patří mezi figurálí čísla). 1 1+3=4 1+3+6=10 1+3+6+10=0... -té čtyřstěové číslo je c 1 ( ) 1 ( ) 1 = 1 1+ 1 + + 1 +... + ( + 1 ) = 1 ( ) 1 ( ) 1 + 1... 1... ( 1)( ) = + + + + + = + + = 6 3
Aritmetické poslouposti třetího řádu a vyšším gymáziu Příklad 1 Počet trojúhelíků s vrcholy a straách čtverce. Uvitř každé stray čtverce je bodů. Řešeí kombiatoricky AP3 4 c = 4 = 10 3 3 6 3
Aritmetické poslouposti čtvrtého řádu a vyšším gymáziu Příklad Počet průsečíků úhlopříček -úhelíku, žádé tři se eprotíají v jedom bodě. C Řešeí kombiatoricky: vyberou se čtyři vrcholy úhelíku, ty vytvoří čtyřúhelík, z toho je 1 uvažovaý průsečík A B d AP4 1 3 = = 4 4 ( )( )( )
Aritmetické poslouposti vyšších řádů a vyšším gymáziu Příklad 3 Pascalův trojúhelík 1 1 1 1 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 0 15 6 1 1 7 1 35 35 1 7 1...............
Aritmetické poslouposti vyšších řádů a vyšším gymáziu Příklad 3 pokračováí Pascalův trojúhelík 1 1 1 1 1 1 1 1............... AP0
Aritmetické poslouposti vyšších řádů a vyšším gymáziu Příklad 3 pokračováí Pascalův trojúhelík 1 AP1 1 1 1 1 3 1 4 1 5 1 6 1 7............... AP0
Aritmetické poslouposti vyšších řádů a vyšším gymáziu Příklad 3 pokračováí Pascalův trojúhelík AP0 1 AP1 1 1 AP 1 1 1 3 3 1 4 6 1 5 10 1 6 15 1 7 1............... AP. Trojúhelíková čísla
Aritmetické poslouposti vyšších řádů a vyšším gymáziu Příklad 3 pokračováí Pascalův trojúhelík 1 AP1 1 1 AP 1 1 AP3 1 3 3 1 1 4 6 4 1 5 10 10 1 6 15 0 1 7 1 35............... AP3. Čtyřstěová čísla AP0
Aritmetické poslouposti vyšších řádů a vyšším gymáziu Příklad 3 pokračováí Pascalův trojúhelík s doplěými ulami 1 0 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 3 3 1 0 1 4 6 4 1 0 1 5 10 10 5 1 1 6 15 0 15 6 1 1 7 1 35 35 1 7 1 8 8 56 70 56 8 8...............
Aritmetické poslouposti vyšších řádů a vyšším gymáziu Příklad 4 viz Příklad 1 Využití Pascalova trojúhelíku ke geerováí APVŘ apř. AP0 AP1 AP AP3 3??? 5 5 atd 7 10 atd 9 17 atd 11 6 13 37 15 50 17 65 19 8...........
Aritmetické poslouposti vyšších řádů v Matematickém Klokaovi Klokáek 004
Aritmetické poslouposti vyšších řádů v Matematickém Klokaovi Klokáek 004
Aritmetické poslouposti vyšších řádů v Matematickém Klokaovi Bejamí 000
Studet 001 Aritmetické poslouposti vyšších řádů v Matematickém Klokaovi
Aritmetické poslouposti vyšších řádů v české MO
Aritmetické poslouposti vyšších řádů v české MO
Aritmetické poslouposti vyšších řádů v české MO
Aritmetické poslouposti vyšších řádů v české MO
Aritmetické poslouposti vyšších řádů v české MO
Aritmetické poslouposti vyšších řádů v české MO
Aritmetické poslouposti vyšších řádů v české MO
Aritmetické poslouposti vyšších řádů v české MO
Aritmetické poslouposti vyšších řádů v české MO
Aritmetické poslouposti vyšších řádů v české MO
Aritmetické poslouposti vyšších řádů v Meziárodí MO
Geometrická posloupost druhého řádu Příklad 5 ( b ) 1 8 56 3 768 16 777 16... GP ( ) 8 3 18 51... GP1 a ( a ) 4 4 4... GP0 GP1??? Jak vypadají -té čley těchto posloupostí???
Geometrická posloupost druhého řádu Příklad 5 pokračováí ( b ) 1 8 56 3 768 16 777 16... GP ( ) 8 3 18 51... GP1 a ( a ) 4 4 4... GP0 GP1 b = 1 ( + 1) 1 + 1 1 a = = : = b+ 1 : b 1 a1 a = a1 q = q správě expoeciálí fukce q ( ) + 3 + 1 a = 4= : = a : a + 1
Geometrické poslouposti dalších řádů GP0 GP1 GP GP3 GP4 GP5 b c A a= q a = q + = = q q A A B 3 + B+ C A + B + C+ D 4 3 d = q + + + + A B C D E 5 4 3 e = q + + + + + Atd. A B C D E F
Geometrické poslouposti vyšších řádů Příklad 6 Pascalův trojúhelík pro GPVŘ apř. 4 8 8 16 64 16 3 048 048 3 64 65 536 4 194 304 65 536 64...............
Geometrické poslouposti vyšších řádů Nezám žádou úlohu a GPVŘ ai ve škole ai v MO
Děkuji za pozorost