5.1.5 Zákldní vzthy mezi body, přímkmi rovinmi Předpokldy: 510 Prostor má tři rozměry, skládá se z bodů přímk - jednorozměrná podmnožin prostoru (množin bodů), rovin - dvojrozměrná podmnožin prostoru (množin bodů). Zápisy vzthů, které mohou nstt mezi bodem, přímkou p rovinou ρ : bod leží (neleží) n přímce: p ( p ), bod leží (neleží) v rovině: ρ ( ρ ), přímk leží (neleží) v rovině: p ρ ( p ρ ). Př. 1: Proč se pro vzth přímk leží v rovině nepoužívá zápis p ρ? Zápis p ρ znmená, že přímk p je prvkem roviny ρ. To všk není prvd, protože rovin ρ se neskládá z přímek, le z bodů. Stejné situce, le pohled n vzthy z druhé strny: přímk prochází (neprochází) bodem: p ( p ), rovin prochází bodem (neprochází): ρ ( ρ ), rovin prochází přímkou (neprochází): p ρ ( p ρ ). V obou přípdech používáme stejný zápis, le různá vyjádření (podle toho zd je první bod nebo přímk) existuje i symetrické vyjádření tohoto vzthu: od leží n přímce (přímk prochází bodem) bod je incidentní s přímkou (přímk je incidentní s bodem). Př. : Zpiš situci n obrázku pomocí vzthů mezi body, přímkmi rovinou. q p p, ρ, q p, ρ, q p, ρ, q p ρ, q ρ 1
Př. 3: Nkresli obrázek, který odpovídá situci: p, p ρ, p, q, q ρ. od leží n obou přímkách (leží tedy v jejich průsečíku) zároveň v rovině ρ přímky p, q se protínjí v rovině ρ tento průsečík se jmenuje. p q Víme už z plnimetrie: Kždými dvěm různými body je určen právě jedn přímk proto můžeme psát přímk p nebo přímk ( ). Př. 4: oplň souvětí. ) Jestliže bod leží n přímce p přímk p leží v rovině ρ, pk b) Jestliže v rovině ρ leží dv body,, které určují přímku p, pk ) Jestliže bod leží n přímce p přímk p leží v rovině ρ, pk bod leží v rovině ρ. b) Jestliže v rovině ρ leží dv body,, které určují přímku p, pk přímk p leží v rovině ρ. Př. 5: Njdi všechny způsoby, jk může být pomocí bodů přímek určen rovin. Kždá rovin je jednoznčně určen: třemi body, které neleží v téže přímce u bodů,, pk mluvíme o rovině ( ), přímkou bodem, který n ní neleží u bodu přímky p pk mluvíme o rovině p ( p ), dvěm různoběžnými přímkmi u přímek p q pk mluvíme o rovině pq ( pq ), dvěm různými rovnoběžnými přímkmi u přímek p q pk mluvíme o rovině pq ( pq ). Pedgogická poznámk: Smozřejmě je třeb všechny možnosti ihned demonstrovt. Př. 6: Vysvětli, proč se čtyřnohý stůl může n rozdíl od trojnohého kývt. Teoretický mtemtický pohled říká, že je to kvůli tomu, že tři body (míst, kde se nohy dotýkjí země) určují rovinu ( tedy vždy v ní leží), ztímco čtyři body v rovině ležet nemusí. Při hluším zmyšlení tto rgumentce neobstojí, protože i čtyřnohý stůl s jednou krtší nohou se dotýká země ve třech bodech, je tedy fkticky trojnohý, přesto se většinou se kývá. ůvod je v konstrukci. Nohy se ke stolu montují tk, by těžiště stolu (místo, kde musíme stůl podepřít, by se nepřevrátil) bylo mezi nohmi. Pokud jsou nohy jen tři, je to v pořádku. Pokud jsou nohy čtyři, nchází se těžiště většinou nd průsečíkem úhlopříček čtyřúhelníku,
který tvoří míst dotyku noh se zemí. Pokud je tkový stůl opřen pouze o tři nohy, je těžiště fkticky zcel n krji podepřené plochy stůl se tk sndno překlopí (n čtvrtou nohu). V plnimetrii rozděluje přímk rovinu n dvě poloroviny. Libovolná rovin rozděluje prostor n dv nvzájem opčné poloprostory je jejich společnou hrniční rovinou. Stejně jko v plnimetrii pltí: eometrický útvr se nzývá konvexní, jestliže úsečk spojující kterékoli dv body útvru je částí tohoto útvru. omluv: S - znmená střed úsečky, stndrdní krychlí budeme nzývt krychli nkreslenou v následující poloze. Př. 7: Je dán krychle. Zkresli do jejího obrázku přímky rozhodni, zd leží v rovině. Z obrázku je zřejmé, že:, protože v rovině leží body,, S, protože v rovině neleží bod S. 3
Pedgogická poznámk: Studenti v tomto okmžiku ještě neumí kreslit řezy, tkže mohou mít problémy s nkreslením roviny zejmén roviny v následujícím příkldu. Většin z nich to zvládne intuitivně, osttním je třeb ukázt, že rovinu nekreslíme jko trojúhelník, protože rovin je nekonečná leží v ní celá stěn. Někteří žáci se diví, proč se rovin neznčí jko. Těm vysvětluji, že snžíme o mximální úspornost čtvrtý bod v oznčení roviny je zbytečný spíše mtoucí. Pro žáky, kteří udělli v jednou z obou příkldů chybu je určen jko domácí úkol příkld 10 n konci hodiny. Př. 8: Je dán krychle. Zkresli do jejího obrázku přímky rozhodni, zd leží v rovině. Z obrázku je zřejmé, že:, protože v rovině neleží bod, S, protože v rovině leží bod S. Pedgogická poznámk: Studenti, kteří si nevšimnou, že přímk v rovině neleží, budou mít v následujících hodinách problémy je potřeb dávt zvláštní pozor, zd si uvědomují ( hlvně se podle toho chovjí), že ne vše, co vidí n obrázku, je stejné ve skutečnosti. Př. 9: Je dán stndrdní krychle. Rozhodni, zd leží v jedné rovině body: ),,, b) S. ) 4
Z obrázku je zřejmé, že body,,, neleží v rovině, protože body,, leží v zdní stěně, ztímco bodu v přední stěně. b) S S S S Z obrázku není poloh bodů zcel zřejmá zkusíme použít jedno z kritérií určení roviny rovin je určen dvojicí různoběžek (v nšem přípdě přímek S S SS ). Jsou přímky S S SS různoběžné? Musel by existovt společný průsečík. Z obrázku je vidět, že by průsečík mohl existovt n přímce nkreslíme si obrázky v rovinách spočteme, v jkém bodě se protíná s přímkou. S S S S P Trojúhelníky S S S P jsou R Trojúhelníky SS SR jsou shodné 5
shodné P =. R =. ody P i R jsou od bodu stejně dleko jde o jeden bod přímky SS SS mjí průsečík jsou různoběžné body S leží v jedné rovině. odtek: V bodě b) předchozího příkldu je možné rgumentovt i jink: Zkusíme použít druhé z kritérií určení roviny rovin je určen dvojicí různých rovnoběžek. Jsou přímky SS SS rovnoběžné? Obě jsou rovnoběžné s přímkou jsou rovnoběžné nvzájem body S S S, S leží v rovině,, Př. 10: Je dán krychle. Zkresli do jejího obrázku roviny: ), b), c), d). Pro kždou rovinu použij nový obrázek. ) rovin b) rovin c) rovin d) rovin 6
Shrnutí: 7