Lekce 3 Momety a mometové charaktertky Pokud jme e v předešlém výkladu zmňoval o ěkteré tattcké charaktertce, zpravdla jme rověž uváděl, zda j řadíme mez více ebo méě důležté. A byly to právě artmetcký průměr (charaktertka úrově) a rozptyl (charaktertka varablty), které jme ozačl jako mmořádě výzamé. Důvodem je to, že obě tyto charaktertky jou oučátí outavy mometových charaktertk. Momety a mometové charaktertky je vhodé zmít před tím, ež přkročíme k měřeí dalších dvou tattckých vlatotí škmot a špčatot. Škmot a špčatot ejobvyklej charakterzujeme pomocí mometových koefcetů, které jou odvozey od pecálí kupy tzv. ormovaých mometů. aymetre; cetrálí momet; druhý cetrálí momet; exce; koefcet škmot; koefcet špčatot; ormováí; ormovaý momet; ormovaý zak; obecý momet; prví obecý momet; tupeň mometu; ymetre; škmot; špčatot 3. Obecé, cetrálí a ormovaé momety Zavedeí pojmu momety do tattky umožňuje defovat určtou outavu charaktertk, které polečě ozačujeme jako mometové charaktertky. Do tohoto ytému patří, z těch charaktertk, které jme doud probral, právě ty ejdůležtější především artmetcký průměr (jako mometová míra úrově) a rozptyl (jako mometová míra varablty). Obecým mometem (mometem okolo počátku) tattckého zaku X, defovaým v proté a ve vážeé formě, azveme charaktertku m ( X ) x m ( X ) x, kde dex v prvím případě ozačuje -tou hodotu zaku a ve druhém případě -tý terval př tervalovém tříděí. Přrozeé čílo (a rozdíl od mocových průměrů, kde šlo o čílo reálé) e azývá tupeň mometu. Cetrálím mometem (mometem okolo kotaty, kterou je zpravdla prví obecý momet), v proté a ve vážeé formě, azveme charaktertku m ( X ) k k ) [ x m ( X )] m ( X ) [ x m ( X ] Mez obecým a cetrálím momety extují vztahy, které lze pro každý tupeň mometu vyvodt úpravou vzorce pro cetrálím momet (umocěím dvojčleu a -tou). Pro prví dva cetrálí momety touto úpravou zíkáme: m ( X ) m ( X ) m ( X ) 0 m ( X ) m ( X ) [ m ( X )] a podobé (ovšem poěkud ložtěj vyhlížející) vztahy lze vyvodt pro momety kdy >. Položíme-l ve vzorcích obecého mometu v proté ebo vážeé formě, obdržíme vzorce protého, rep. vážeého artmetckého průměru. Artmetcký průměr je tedy prvím obecým mometem. Pro přrozeé větší ež jeda je obecý momet tupě oučaě -tou mocou mocového průměru tupě.
Položíme-l ve vzorcích cetrálího mometu v proté ebo vážeé formě, obdržíme ( přhlédutím k tomu, že artmetcký průměr je prvím obecým mometem) vzorce proté, rep. vážeé formy rozptylu. Rozptyl je tedy druhým cetrálím mometem. Směrodatá odchylka je v mometové termolog druhou odmocou z druhého cetrálího mometu a varačí koefcet je druhou odmocou z druhého cetrálího mometu děleou prvím obecým mometem. Ze vztahů mez cetrálím a obecým momety plyou alteratví vzorce pro rozptyl v proté a vážeé formě: x x x x k x x, lově vyjádřeo: artmetcký průměr čtverců hodot zaku zmešeý o čtverec jejch artmetckého průměru. Jaký vztah je mez kvadratckým průměrem a momety? Z defce mometů vyplývá, že apř. harmocký č geometrcký průměr, medá, modu, varačí rozpětí, průměré abolutí odchylky č dferece apod. ejou mometovým charakterrtkam. Mometovou charaktertkou je ovšem kovarace, která patří mez tzv. míšeé cetrálí momety (momety více ež jedoho zaku). Vyhledejte vzorec kovarace a upravte ho tak, aby v ěm fgurovaly je obecé momety! Normováí a ormovaé momety Normováím zaku azveme takovou operac e zakem X, která počívá v jeho zmešeí o prví obecý momet a děleí druhou odmocou druhého cetrálího mometu. Normovaý zak ozačíme U a defujeme jej vztahem U X m X ( ) m ( X ) X x. x Pro ormovaý zak platí m ( U ) u 0, m ( U ) u u. Varačí koefcet ormovaého zaku (vzhledem k děleí ulou) eí defová. Je zřejmé, že u ormovaých zaků emá myl rozlšovat obecé a cetrálí momety. Momety ormovaého zaku e azývají ormovaé momety. Vypočtěte ormovaé hodoty varat (počet dětí v domácot) a tředů tervalů (počet obyvatel obce). Použjte výledky příkladů. a.. Mez cetrálím a ormovaým momety platí vztah m ( X ) m ( U ). m ( X ) Normovaé momety jou bezrozměré a jou varatí vůč adtví multplkatví kotatě. Normováím zaku odpadá problematka měřeí úrově a varablty (artmetcký průměr ormovaého zaku je vždy rove ule, rozptyl a měrodatá odchylka jou rovy jedé), ormovaé zaky
e mohou vzájemě lšt pouze v dalších vlatotech, které kromě úrově a varablty lze ve tattckých datech detfkovat v aymetr (škmot) a ve špčatot (exceu). 3. Měřeí aymetre Aymetre (škmot, koot) ouví e ymetrí upořádáí dat kolem artmetckého průměru (těžště) číelé řady. Extují jak ouměrá (ymetrcká) rozděleí četotí, tak rozděleí eouměrá (aymetrcká). Hovoříme o pravotraé (vrchol vychýleý měrem k vyšším hodotám) č levotraé (vrchol vychýleý měrem k žším hodotám) aymetr, škmot č koot. O extrémí aymetr pak hovoříme v případě, že četot mootóě kleají ebo rotou a ejvětší četot tedy vykazuje prví ebo poledí terval. Objektví mírou aymetre je mometový koefcet škmot, který je defová jako třetí ormovaý momet a uvedeme jej pouze ve vážeé formě (pro tříděá data) jako k u 3 x x k3, kde u. x Mometový koefcet škmot abývá pro dokoale ouměrá data hodoty ula. Souměrot ovšem chápeme ve tattckém, kol geometrckém lova mylu! Jeho kladá hodota galzuje levotraou (odtud kladou) aymetr, zatímco jeho záporá hodota vědčí o pravotraé (a tedy záporé) aymetr. Př terpretac koefcetu škmot je třeba zohledt začou ctlvot této charaktertky vůč odlehlým hodotám. Z tohoto důvodu může být jeho vypovídací chopot ěkdy začě ížea. Obr. 3. Symetrcké a levotraě aymetrcké rozděleí četotí Průměr Medá Modu Meší ctlvot vůč extrémím hodotám vykazuje tzv. Pearoův koefcet škmot, který eí x xˆ mometovou charaktertkou a je defová jako. Zaméko tohoto koefcetu odpovídá mometovému koefcetu škmot, eboť pro levotraě eouměré rozděleí je x ˆ < x (vz obr. 3. vpravo), zatímco u pravotraě eouměrého rozděleí je pořadí artmetckého průměru a modu opačé. Pro ymetrcké rozděleí e obě uvedeé charaktertky úrově rovají. Poloha medáu je v prvích dvou případech mez artmetckým průměrem a modem, pouze v případě ymetre e všechy tř uvedeé charaktertky úrově rovají (obr. 3. vlevo). Jaká aymetre odpovídá pořadí charaktertk x Modu Průměr Medá x < x xˆ? 0,50 < 3
3.3 Měřeí špčatot U ymetrckých rozděleí četotí hovoříme o špčatot (exceu) v ouvlot mírou, hutotou akupeí (pojem kocetrace jme jž v prvím modulu vyhradl pro jou vlatot) hodot ouboru kolem těžště. Objektví mírou špčatot je mometový koefcet špčatot, který je rove čtvrtému ormovaému mometu zmešeému o tř. Tuto charaktertku uvádíme opět pouze ve vážeé formě (pro tříděá data) jako k u 4 k4 3. Je-l jeho hodota rova ule, hovoří e o ormálí špčatot (ve kutečot jde o špčatot zámé matematcké čáry Gauovy křvky), jak e hovoří o podormálí ( k 4 < 0) ebo aopak adormálí ( k 4 > 0) špčatot. Tato charaktertka je mmořádě ctlvá vůč odlehlým hodotám ouboru vůč aymetr dat a př její terpretac e doporučuje tudíž potupovat velm opatrě. Je třeba rověž uvědomt, že špčatot eouví varabltou jde o dvě zcela vzájemě ezávlé vlatot. Obr. 3. Rozděleí četotí ormálí a adormálí špčatotí Čáry a obou obrázcích jou Gauovy křvky proložeé přílušým daty. Zatímco rozděleí četotí a obrázku vlevo má přblžě ormálí špčatot, rozděleí četotí vpravo e vyzačuje podtatě výrazějším akupeím hodot v okolí těžště, ež by odpovídalo pro teto případ zkotruovaé Gauově křvce. Příklad 3. Koefcety škmot a špčatot pro měíčí výdaje domácotí a vzděláí Tab. 3. Pracoví tabulka pro výpočet koefcetu škmot a špčatot x 6657,9 P.č. x x x u 39, 7 u3 u 4.. 3. 4. 5. 6. 000 4000 6000 8000 0000 000 5 48 44 9 5 000 00000 88000 35000 90000 60000 44000000 400000000 78000000 86000000 900000000 70000000 -,9467 -,08-0,750 0,5609,3968,37-8,50-34,648-0,998 7,7644 5,7793 55,6495 57,975 38,063 0,745 4,355 7,353 4,486 Součet 5 0000 7608000000 -,00 397,400 k 0000 x x 6657,8947 (v zájmu přeot dalších výpočtů ezaokrouhlujeme). 5 4
x k x x 7608000000 5 6657,8947 575069,74 Obr. 3.3 Rozděleí četotí domácotí podle výdajů za vzděláí 50 40 30 0 0 Směrodatá odchylka Modu Průměr 5% Medá 75% 0 000 3000 5000 7000 9000 000 3000 Z obrázku vyplývá, že tattcká ouměrot předtavuje šrší pojem ež ymetre v geometrckém lova mylu. Přetože htogram rozděleí četotí eí ymetrcký v geometrckém lova mylu (jako apř. htogram a obr. 3. vlevo, který je ouměrý jak v geometrckém, tak tattckém mylu), jou hodoty ouboru kolem těžště rozmítěy takovým způobem, že ve tattckém mylu můžeme hovořt o téměř dokoalé ouměrot. k u 3, k3 0, 0 (mometový koefcet škmot vědčí o téměř dokoalé ymetr), 5 k 4 397,4 k 4 u 3 3 0,39 (mometový koefcet špčatot vědčí o žší ež ormálí špčatot, kterou potvrzuje také rováí Gauovou křvkou a obr. 5 3.3). 3 S použtím modálí hodoty x ˆ 5000 + 000 6704 můžeme určt také Pearoovu 3 + 4 x xˆ 6657,9 6704 míru škmot 0, 0. Rověž tato charaktertka potvrzuje téměř dokoalou tattckou ouměrot rozděleí četotí domácotí podle výdajů za x 39,7 vzděláí. Kromě mometové míry špčatot extují ěkteré další ukazatele, které vemě epatří mez mometové charaktertky a vykazují meší ctlvot vůč extrémím hodotám, která je typckou vlatotí právě mometových charaktertk (artmetckým průměrem počíaje). Charaktertky ectlvé vůč extrémím hodotám ozačujeme polečě jako charaktertky robutí. Mez robutí charaktertky áleží zejméa charaktertky škmot a špčatot založeé a kvatlech. 5
Σ. Určtý ytém do ouhrých tattckých charaktertk vášejí momety.. Rozlšujeme obecé momety (kolem počátku), cetrálí momety (kolem prvího obecého mometu) a ormovaé momety. 3. Větša ejdůležtějších tattckých charaktertk patří do outavy mometových charaktertk. 4. Artmetcký průměr je prvím obecým mometem. 5. Rozptyl je druhým cetrálím mometem. 6. Normováí zaku a ormovaé momety á zavedou k měřeí škmot a špčatot. 7. Mometovou charaktertkou škmot je mometový koefcet škmot. 8. Mometovou charaktertkou špčatot je mometový koefcet špčatot. 9. Škmot špčatot lze ovšem měřt protředctvím jých charakterrtk. 0. Všechy charaktertky škmot a špčatot jou bezrozměré a varatí vůč adtví multplkatví kotatě.. Určete mometové koefcety škmot a špčatot datového ouboru ze cvčeí z lekce o tříděí.. Určete mometové koefcety škmot a špčatot datového ouboru ze cvčeí z lekce o tříděí. 3. Vypočtěte Pearoovy míry škmot dat v tabulce.. 4. U úloh a kofrotujte vypočteou škmot polohou artmetckého průměru, medáu a modu. 6