3.4.3 Množiny odů dné vlstnosti I Předpoldy: 3401 Něteé z těchto množin už známe. J je definován užnice ( ; )? Množin všech odů oviny, teé mjí od středu vzdálenost. Předchozí vět znmená dvě věci: Vzdálenost ždého odu užnice od středu je ovn (všechny ody n užnici mjí zmiňovnou vlstnost). Kždý od v ovině, jehož vzdálenost od odu, leží n užnici (všechny ody, teé mjí vlstnost leží n užnici). Uvedenou vlstnost užnice můžeme zpst i symolicy: ( ; ) = { X ρ; X = }. Kužnice ( ; ) je množin všech odů oviny, teé mjí od dného odu dnou vzdálenost. ymolicy ( ; ) = { X ρ; X = }. tejným způsoem udeme postupovt i u dlších vlstností: Množin M všech odů oviny ρ, teé mjí dnou vlstnost je množin odů, po teou součsně pltí: Kždý od množiny M má dnou vlstnost. Kždý od oviny, teý má dnou vlstnost, ptří do množiny M. poud ychom chtěli o užnici doázt, že je množinou všech odů, museli ychom dozovt pltnost oou předchozích vět. Dodte: V mnoh přípdech se místo duhé podmíny dozuje evivlentní podmín ždý od, teý do množiny M neptří, nemá dnou vlstnost. Př. 1: Uči množinu všech odů oviny, teé mjí stejnou vzdálenost od odů A, B. Jedním z hledných odů je učitě střed úsečy. B A Dlší ody můžeme zíst jo vcholy ovnomenných tojúhelníů se záldnou AB zísáme osu úsečy AB (olmici n úseču AB, pocházející jejím středem) o X A B 1
ymolicy píšeme: o = { X ρ; AX = BX } Os úsečy AB je množin všech odů oviny, teé mjí od dných odů A, o = X ρ; AX = BX. B stejnou vzdálenost. ymolicy { } Př. : Je dán přím. Rozhodni, zd množinou všech odů, teé mjí od přímy vzdálenost d > 0, je přím mjící od přímy vzdálenost d. X d V ovině existují ody (npříld od X), teé mjí od přímy vzdálenost d při tom neleží n přímce přím není množinou všech odů, teé mjí od přímy vzdálenosti d. Množinou odů, teé mjí od přímy vzdálenost d > 0 je dvojice příme, ', teé mjí od přímy vzdálenost d. d ymolicy píšeme: ' { X ρ; X d} = =. Pedgogicá poznám: Výzvu, y studenti spávnou množinu odů z předchozího příldu ojevili, zdání neoshuje schválně. tudenty vyzývám ústně ihned potom, co se shodnou, že smotná přím tovou hlednou množinou není. Př. 3: Uči množinu všech odů dného onvexního úhlu AVB, teé mjí stejnou vzdálenost od příme, n nichž leží jeho men. Hlednou množinou je os onvexního úhlu AVB. B V o A
. ymolicy píšeme: o = { X AVB; X VA = X VB } Př. 4: Uči množinu všech odů oviny, teé mjí stejnou vzdálenost od dvou ůznoěže,. Dvě ůznoěžy ozdělí ovinu n čtyři onvexní úhly. Jejich osy tvoří dohomdy dvě přímy o 1, o, teé jsou nvzájem olmé. jednocení těchto příme tvoří množinu všech odů oviny, teé mjí stejnou vzdálenost od ůznoěžných příme,. o o 1 ymolicy píšeme: o1 o = { X ρ; X = X } Pedgogicá poznám: Je zjímvé, že neznedtelná část studentů eslí ůznoěžy v tové poloze, že jejich oáze neoshuje půsečí. V tových situcích se víme o tom, že oáze y měl oshovt zjímvé ysy situce, což u ůznoěže ezespou znmená půsečí. Část studentů smozřejmě zpomene jednu z os, většinou osu o (ostřejší úhel více připomíná minulý příld). Př. 5: Uči množinu všech odů, teé mjí stejnou vzdálenost od dvou ůzných ovnoěžných příme,. Všechny ody, teé mjí stejnou vzdálenost od dvou ůzných ovnoěžných příme, musí ležet upostřed mezi oěm ovnoěžmi tvoří přímu o (nědy nzývnou os pásu). o. ymolicy píšeme: o = { X ρ; X = X } 3
Př. 6: Jsou dány dvě ůzné ovnoěžné přímy,. Uči množinu všech odů, teé mjí od přímy třiát větší vzdálenost než od přímy. Hlednou množinu tvoří dvě přímy ovnoěžné s, : přím p 1 ležící mezi přímmi, (líže přímce ) přím p ležící pod přímou (ležící v poloovině s hniční přímou neoshující přímu ) p 1 p. ymolicy píšeme: p1 p = { X ρ; X = 3 X } Pedgogicá poznám: N předchozím příldu povádíme synchonizci třídy společnou ontolou. tudenti čsto eslí pouze jednu z oou příme. U všech dlších množin je důležité eslit oázy zoušet množinu ojevit eslením možných řešení. Důležité: V zdání následujícího příldu je uvedeno, že máme nlézt středy všech užnic o poloměu ρ. Znmená to: všechny užnice, teé udeme při řešení hledt (eslit) musí mít stejný polomě ( ρ ) hodnot poloměu ρ není zdán poto musíme pomyslet, zd se řešení neude měnit při změně hodnoty poloměu ρ 4
Př. 7: Uči množinu středů všech užnic o poloměu ρ, teé se dotýjí užnice ( ; ). Z oázu je zřejmé, že hlednou množinou je dvojice užnic: l ; + ρ - větší čevená užnice ( ) m( ; ρ ) - menší čevená užnice Pedgogicá poznám: tudenti čsto při eslení zpomínjí n užnice posládné vně užnice. Při ontole se studenti udou divit solutní hodnotě ve výzu po polomě užnice m. Poud je dost čsu, učitě stojí z to studentům zdt, y neslili přípd, ve teém je nutné použít po vyjádření poloměu užnice m solutní hodnotu (u nesleného oázu je to totiž zytečné). 5
Př. 8: Uči množinu středů všech užnic, teé se dotýjí užnice ( ; ) pocházejí odem. Z oázu je vidět, že hlednou množinou odů je užnice l ;. Př. 9: Uči množinu středů všech tětiv užnice ( ; ), teé mjí dnou délu m <. Z oázu je vidět, že hlednou množinou je užnice se středem v odě. Její polomě učíme z oázu: x m Ve vyznčeném pvoúhlém tojúhelníu pltí Pythgoov vět: m = x + 6
x = m 4 Hlednou množinou je užnice l ; m 4 Pedgogicá poznám: N výpočtu poloměu netvám. Př. 10: Uči množinu středů všech užnic, teé se dotýjí dvou soustředných užnic ; ;. ( ) ( ) 1 1 l 1 l 1 Z oázu je zřejmé, že hlednou množinou odů tvoří dvě užnice: 1 l1 ; 1 + l ; Př. 11: Petáová: stn 76/cvičení 1 ) d) hnutí: 7