[2.03,1.12,1.14,2.04,2.02,2.02,2.03,2.03,2.02,0,1.03] Kapitola 10 Derivace hustot a itegrálí věty Nyí avážeme a látku vyložeou v kapitole 5. Zde byly zavedey itegrovatelé hustoty, hustotí duál a defiovali jsme itegrováí tezorových hustot a forem. V ásledujících kapitolách jsme zavedli další geometrické struktury jako je metricka a kovariatí derivace. Máme tak připraveé prostředky pro defiici difereciálích operátorů působících a růzé typy tezorových hustot a pro formulaci itegrálích vět zobecěí Gausovy a Stokesovy věty. 10.1 Difereciálí operátory divergece a rotace V euklidovském třídimeioálím prostoru jsou velmi užitečé vektorové difereciálích operátory grad, div a rot. Tyto operátory hrají klíčovou roli ve formulaci itegrálích vět. Pomocí hustotího duálu můžeme defiovat aalogie těchto vektorových operátorů působících a vhodé tezorové hustoty a atisymetrické formy. Ukazuje se, že takto defiovaé operátory divergece div a rotace rõt epotřebují dodatečou geometrickou strukturu. Jak operátor div, tak rõt jsou totiž modifikací vější derivace pomocí operace hustotího duálu. Divergece div eí ic jiého ež operace duálí k vější derivaci a rotace rõt je dáa hustotím duálem vější derivace. Defiice D10.1 Divergece a rotace) Pro tezorovou hustotu α Sect Λ p+1 M stupě p + 1 defiujeme divergeci div α Sect Λ p M ásledově: div α = d α. divergece) Podobě defiujeme rotaci rõt ω Sect Λ d p M atisymetrické formy ω A p 1 M vztahem rõt ω = dω. rotace) Pozámka Operátor divergece se v literatuře zavádí s růzou zamékovou kovecí. Zde zvoleá kovece vede k jedoduchému tvaru Gaussovy věty. V aplikacích zaměřeých a atisymetrické formy a k im duálí tezorové hustoty) se častěji 10 1
Derivace hustot a itegrálí věty 10 2 zavádí operátor δ lišící se při akci a tezorovou hustotu stupě p + 1 zamékem δα = 1) p+1 div α. Jelikož symbol δ máme již začě přetížeý, zavedeme alterativí začeí d α = δα. Pomocí abstraktích idexů budeme teto operátor psát d α a 1...a p. Ozačeí divergece formálí kotrakcí d α je motivováo výrazem pro divergeci pomocí kovariatí derivace viz větu V10.9 íže. Pozámka Operátor rotace rõt se pro formy vyššího stupě v obecé dimezi většiou ezavádí. Zde uvedeá defiice zobecňuje stadardí operátor rotace z třídimezioálího euklidovského prostoru tak, aby pro ěj platilo zobecěí Stokesovy věty, viz věta V10.15. Vlka použitá v ozačeí tohoto operátoru zdůrazňuje, že výsledkem je tezorová hustota. V defiici D10.2 totiž ještě zavedeme rotaci rot jejíž výsledek je atisymetrická forma. Díky vlastostem hustotího duálu a vější derivace okamžitě dostáváme: Lemma V10.1 Vlastosti divergece a rotace) Pro libovolou tezorovou hustotu α Sect Λ p M a atisymetrickou formu ω A p M platí div div α = 0, div rõt ω = 0. V kapitole 6 jsme pomocí metrické struktury zavedli Hodgeův duál defiice D6.14). Te ám umoží defiovat difereciálí operátory i a objektech, které emají charakter hustot. Kokrétě můžeme zavést operátory div a rot působící a atisymetrických formách, dávající jako výsledky opět atisymetrické formy. Defiice D10.2 Divergece a rotace atisymetrických forem) Divergece a rotace a atisymetrických formách jsou defiovaé vztahy: div ω = sig g) 1) pd p) d ω, pro ω A p+1 M, div ω A p M, rot ω = sig g) 1) pd p) dω, pro ω A d p 1 M, rot ω A p M. M10.1 Vektorové operátory pro d = 3 V třídimezioálím prostoru s riemaovskou metrikou se defiují operátory divergece a rotace pro vektorová pole. Využitím idetifikace vektorů a 1-forem můžeme tyto operátory zavést ásledově: div a = div a = d a, rot a = rot a = d a. Pomocí hustotího duálu mají tyto operace tvar Zde d je dimeze variety. div a = g 1/2 div g 1/2 a ) = g 1/2 d g 1/2 a ), Pozámka Obdobě jako pro divergeci a tezorových hustotách zavedeme a formách rot a = g 1/2 rõt a = g 1/2 d a. ozačeí pro divergeci s alterativí zamékovou kovecí Dále se zavádí gradiet skalárí fukce d ω = δω = 1) p div ω pro ω A p+1 M. grad f = df Operátor δ se azývá ko-derivace. Nepřehledé zaméko v těchto defiicích se zjedoduší, pokud si uvědomíme, že iverze k Hodgeovu duálu je právě sig g) 1) pd p). Vztahy pro oba operátory můžeme pak přepsat v alterativí formě: Lemma V10.2 Divergece, rotace a Hodgeův duál) div ω = d ω, rot ω = dω. Viz lemma V6.5 a defiici D10.2. Právě zavedeé operátory jsou aalogické operátorům defiovaým v defiici D10.1 pomocí hustotího duálu. Platí totiž a Laplaceův operátor skalárí fukce a vektorového pole f = div grad f, a = grad div a + rot rot a. Při použití kovece automatického sižováí a zvyšováí idexů jsou tyto operátory speciálím případem operátorů zavedeým v defiicích D10.2 a D10.3.
Derivace hustot a itegrálí věty 10 3 Lemma V10.3 Vztahy pro divergece a rotace) Divergece a rotace atisymetrické formy ω A p M lze vyjádřit pomocí divergece a rotace defiovaých pomocí hustotího duálu div ω = g 1/2 div g 1/2 ω ) = g 1/2 d g 1/2 ω ), rot ω = g 1/2 rõt ω = g 1/2 dω. Oba vztahy se dostaou pomocí lemmatu V6.5 a porováím defiic D10.1 a D10.2. Dále defiujeme tzv. vější Laplaceův operátor: Defiice D10.3 Vější Laplaceův operátor) Mějme varietu M dimeze d s metrikou g. Vější Laplaceův operátor azývaý též de Rhamův Laplaceův operátor) působící a atisymetrických formách stupě p defiujeme ω = sig g) 1) pd d dω + 1) d d d ω ). Pomocí defiice D10.2 můžeme přepsat vější Laplaceův operátor v alterativích formách ω = 1) p+1 div d ω d div ω ) = 1) p d div ω + sig g) 1) p+1)d rot rot ω = d dω d d ω = [ d d ] 2 ω = δ dω + d δω = [ d + δ ] 2 ω, 10.1) kde jsme využili d d = d d = 0. Pozameejme, že vější Laplaceův operátor se v obecosti liší od Laplaceova operátoru defiovaého pomocí kovariatí derivace viz větu V10.13 íže. 10.2 Kovariatí derivace itegrovatelých hustot V kapitole 7 jsme zavedli kovariatí derivaci, pomocí které můžeme zkoumat změy obecých tezorových polí. Obdobě můžeme zavést kovariatí derivaci a itegrovatelých hustotách. V aalogii s defiicí D7.4 viz též větu V7.1) defiujeme Defiice D10.4 Kovariatí difereciál a hustotách) Kovariatí difereciál a itegrovatelé hustoty a F w M váhy w je tezorová hustota z T w0 1M splňující a + rb ) = a + r b, ab ) = a ) b + a b ), f = d f, liearita) Leibiz) působeí a fukce) kde f je fukce, a, b itegrovatelé hustoty obecých vah a r R. Kovariatí derivace va ve směru v je pak dáa zúžeím vektorového pole v s kovariatím difereciálem a va = v a.
Derivace hustot a itegrálí věty 10 4 Lemma V10.4 Derivace mociy) Kovariatí diferecál mociy hustoty a je a w = w a w 1 a. Dokáže se obdobým způsobem jako vzorec pro derivaci mociy fukce užitím Leibizova pravidla a faktu, že a fukcích se kovariatí derivace chová jako gradiet. Cvičeí C10.1 Ukažte! Kovariatí derivace a itegrovatelých hustotách eí dáa jedozačě. Prostor všech kovariatích derivací a hustotách lze vyšetřovat stejými prostředky jaké jsme použili v kapitole 7 při zkoumáí prostoru kovariatích derivací a tečých tezorových prostorech. Rozdíl dvou kovariatích derivací je pseudoderivace typu 0, 1) působící a itegrovatelých hustotách viz defiici D2.4 přímočaře rozšířeou a prostor itegrovatelých hustot). Aalogicky větě V2.4 lze akce pseudoreivace a hustotě váhy w vyjádřit pomocí akce psudoderivace a hustotě váhy 1: Lemma V10.5 Působeí pseudoderivace a hustotách) Nechť M je pseudoderivace typu p, q) působící a itegrovatelých hustotách. Její působeí a hustotách váhy 1 lze reprezetovat tezorovým polem M T p q M: Ma = M a, a FM. Akce pseudoderivace a hustotu h váhy w pak je Mh = w M h, h F w M. Prví vztah dostaeme, uvážíme-li, že akce pseudoderivace je ultralokálí. Pseudoderivace Ma musí tedy jít apsat jako tezorová operace a díky tomu, že prostor itegrovatelých hustot v jedom bodě) je jedodimezioálí, dostaeme faktorizaci M a. Druhý vztah je aalogický vzorci pro derivace mociy, který lze odvodit pomocí Leibizova pravidla a faktu, že pseudoderivace aihiluje hustoty váhy 0 tj. fukce). Dvě kovariatí derivace a itegrovatelých hustotách se tedy liší pseudoderivací typu 0, 1), která lze charakterizovat 1-formou γ. Kokrétě, pro hustotu a váhy w máme a = a + w γ a. 10.2) Je-li zadáa kovariatí derivace jak a tezorových polích, tak a itegrovatelých hustotách, můžeme defiovat kovariatí derivaci působící a tezorových hustotách T wk l M, tj. a řezech prostorů T k l M Hw M. Stačí požadovat, aby výsledá kovariatí derivace či diferecál) splňovala stadardí vlastosti kovariatích derivací. Pomocí liearity a Leibizova pravidla pak můžeme akci kovariatí derivace a tezorových hustotách redukovat a derivaci a prostých tezorech a prostých hustotách. V kapitole 5 jsme však ukázali, že prostor hustot H U je a každé orietovatelé oblasti U variety M isomorfí s prostorem totálě atisymetrických forem Λ d U. Díky tomu můžeme idukovat kovariatí
Derivace hustot a itegrálí věty 10 5 derivaci a hustotách z kovariatí derivace a tečých tezorech stačí požadovat, aby její akce byla ekvivaletí odpovídající akci a totálě atisymetrických formách. Isomorfismus zprostředkující přechod od hustot k formám je urče tezorem orietace ε zavedeým v defiici D5.18. Akci kovariatí derivace a hustoty můžeme tedy zavést požadavkem, aby tezor orietace byl kovariatě kostatí: Defiice D10.5 Rozšířeí kovariatí derivace a hustoty) Mějme a varietě M kovariatí derivaci. Její rozšířeí a itegrovatelé hustoty obecé váhy musí splňovat ε = 0, kde ε je tezor orietace. Pozámka Jelikož podmíka ε = 0 ezávisí a změě zaméka tezoru orietace, defiice eí závislá a volbě orietace. Neí potřebá ai orietovatelost variety, jelikož je dostatečé vyžadovat platost podmíky pouze lokálě, a orietovatelých oblastech. Obdobě rozšíříme i akci pseudoderivace Defiice D10.6 Rozšířeí pseudoderivace a hustoty) Mějme a varietě M pseudoderivaci derivaci M. Její rozšířeí a itegrovatelé hustoty obecé váhy musí splňovat M ε = 0, kde ε je tezor orietace. Věta V10.6 Akce rozšířeé pseudoderivace a hustotách) Mějme pseudoderivaci M, jejíž akce a vektorech je dáa tezorem M T 1 1M, tj. M = tes[m]. Pak rozšířeí pseudoderivace a hustoty váhy w splňuje Ma = w M a. Podmíka M ε = 0 je ekvivaletí podmíce M ε 1 = 0. Vskutku, ε ε 1 = d! [d] δ, čili M` ε ε 1 = 0 a pomocí Leibizova pravidla dostaeme M ε 1 = 0. Lokálě můžeme iverzí tezor orietace ε 1 reprezetovat pomocí libovolé positivě orietovaé formy ω A d M jako ε 1 = ω ω 1. Použitím Leibizova pravidla dostáváme 0 = ω 1 M ω + ω M ω 1 a s pomocí lemmat V1.2 a V1.3 pak můžeme psát M ω = 1 d! ω ωa 1...a d Mω 1 a 1...a d = 1 d! ω ωa 1a 2...a d `M a 1 ω 1 a 2...a d + M a 2 ω 1 a 1...a d +... = d d! ω ωa 1a 2...a d M a 1 ω 1 a 2...a d = d ω M a 1 [d] δ a 2...a d a 1 a 2... a d = M ω Tím jsme dokázali tvrzeí věty pro hustotu váhy 1 tvaru ω. Ovšem v tomto tvaru lze lokálě) zapsat každá hustota váhy 1. Pro hustoty váhy w tvrzeí věty plye z lemmatu V10.5. Dvě kovariatí derivace rozšířeé z tečého prostoru a hustoty se pak liší o pseudoderivaci idukovaou pseudoderivací defiovaou a tečém prostoru
Derivace hustot a itegrálí věty 10 6 Věta V10.7 Vztah dvou kovariatích derivací a hustotách) Mějme kovariatí derivace a lišící se pseudoderivací Γ charakterizovaou rozdílovým tezorem Γ Pak rozšířeí a hustoty váhy w splňuje e a = e a + Γ e a = e a w Γ e a. Důležitý příklad rozšířeí kovariatí derivace a hustoty je případ souřadicové kovariatí derivace spojeé se souřadicemi x j. Díky tomu, že d d x = dx 1 dx d, rozšířeí souřadicové kovariatí derivace bude splňovat d d x = 0, 10.3) čili, pro obecou hustotu a s kompoetou a = a[ x i ] dostaeme a = da d d x. 10.4) Kompoety kovariatí derivace tezorové hustoty pak lze vyjádřit pomocí parciálích derivací kompoet a Christoffelových symbolů: Věta V10.8 Souřadice kovariatí derivace tezorových hustot) Nechť je kovariatí derivace charakterizovaá vzhledem k souřadicím x j složkami Γ j kl. Pro obecé tezorové pole α, které je zároveň hustotou váhy w, s kompoetami α k1k2... l, dostáváme 1l 2... α k1k2... l = 1l 2...; αk1k2... l w Γ e 1l 2..., e α k1k2... l 1l 2... + Γ k1 e α ek2... l 1l 2... + Γ k2 e α k1e... l 1l 2... +... Γ e l 1 α k1k2... el 2... Γ e l 2 α k1k2... l 1e......, kde čárka začí parciálí derivováí podle x j. Divergece tezorové hustoty zavedeá v defiici D10.1 lze jedoduše vyjádřit pomocí libovolé beztorzí kovariatí derivace Věta V10.9 Divergece pomocí kovariatí derivace) Pro libovolou kovariatí derivaci bez torze platí ) a1...a p div α = α a1...ap, případě d α = α. Pozámka Teto vztah divergece ke kovariatí derivaci je motivací pro ozačeí alterativího operátoru divergece d α zavedeého v pozámce k defiici D10.1. Nabízelo by se dokoce užít přímo ozačeí α. Zak d ve výrazech d α = α při užití idexů d α) a 1...a p = d α a 1...a p = α a 1...a p ) však zdůrazňuje fakt, že divergece ezávisí a kokrétí volbě beztorzí kovariatí derivace. Navíc, pro kovariatí derivci s torzí je výraz pro divergeci trochu složitější, viz margiálii M10.2. Vyjdeme z defiice D10.1 divergece, defiice D5.19 hustotího duálu a vyjádřeí vější derivace pomocí derivace kovariatí věta V7.20):...a `div p α a1 = ` d 1...a p 1 α a = d p)! ε 1 a 1...a d d ap+1 α ap+2...a d = d p d p)! ε 1 a 1...a d [ap+1 α ap+2...a d ] 1 = d p 1)!p+1)! a 1a 1...ad p+1 ` ε ε b1...b p+1 a p+2...a d α b 1...b p+1 = ` d [d] ap+1 δ a 1...a p+1 c p+2...c d p+1 b 1...b p+1 c p+2...c d α b 1...b p+1 = α a 1...a p. M10.2 Divergece a derivaci s torzí Pro kovariatí derivaci s torzí se vztah k divergeci mírě komplikuje. Pro p 1 platí div α ) a1...ap = k α a1...apk + T k α a1...apk 1) p p 2 T [a1 kl α a2...ap]kl. Pro p = 0 posledí čle vymizí. Při alterativí volbě zaméek lze s výhodou užít jié pořadí idexů d α ) a1...ap = k α ka1...ap + T k α ka1...ap p 2 T [a1 kl α kl a2...ap]. Tyto vztahy odvodíme rozkladem kovariatí derivace a její beztorzí část a pseudoderivaci determiovaou torzí podle lemmatu V7.15 a užitím věty V10.9.
Derivace hustot a itegrálí věty 10 7 V závěru jsme použili vlastosti tezoru orietace vztah ii) věty V5.6) a atisymetrické jedotky věta V1.2). Užitím souřadicové kovariatí derivace dostaeme vyjádřeí divergece a rotace pomocí souřadic: Lemma V10.10 Divergece a rotace v souřadicích) Pro tezorovou hustotu α stupě p + 1 platí div α ) 1... p = α 1... p,, div) tj. div α = α 1...p, x... 1 x d d x. p Pro rotaci atisymetrické formy ω stupě d p 1 dostaeme rõt ω) 1...p = σ ω p+2... d, p+1, rot) p+1 1,... p kde hodoty idexů p+2,..., d jsou jedozačě dáy podmíkou, že jsou růzé od hodot idexů 1,..., p+1 a jsou uspořádaé podle velikosti, tj. p+2 < < d. Zaméko σ je zaméko permutace všech idexů 1,..., d vůči d-tici 1, 2,..., d. Prví vztah je přímé užití souřadicové kovariatí derivace ve větě V10.9. Druhý vztah pak plye ze souřadicového vyjádřeí vější derivace viz lemma V4.1) a tezoru orietace vztah iv) v lemmatu V5.6). Dále se obraťme k druhým kovariatím derivacím hustot. Věta V10.11 Operátor křivosti a hustotách) Komutátor druhé kovariatí derivace je dá operátorem křivosti k l l k + T kl = R kl, který a hustotách působí jako pseudoderivace pro hustotu a váhy w lze psát R kl a = w r kl a. Tezor křivosti r kl derivace a H M lze explicitě vyjádřit jako r kl = d k o 1 l o ), kde o je libovolá hustota váhy 1. To že komutátor působí a hustotách jako pseudoderivace se dokazuje stejě jako obdobé tvrzeí platé pro tečé tezory lemma V7.21). Akce operátoru křivosti a hustoty je pak dáa větou V10.6, kde r kl charakterizuje akci a hustotách váhy 1. Vyjádřeí tezoru r kl dostaeme, rozepíšeme-li vější derivaci pomocí kovariatí derivace věta V7.20 či margiálie M7.7), použijeme Leibizovo pravidlo a pravidlo pro derivováí mociy: d k`o 1 l o = k`o 1 l o l`o 1 k o + T kl o 1 o = o 1` k l o l k o + T kl o o 2` k o) l o) l o) k o) = o 1 R kl o = r kl. Pokud je působeí kovariatí derivace a hustotách dáo rozšířeím derivace z tečého prostoru, dostaeme i rozšířeí tezoru křivosti. M10.3 Derivace aihilující hustotu Podle 10.3) souřadicová kovariatí derivace aihiluje souřadicový objemový elemet d d x. Je přirozeé se ptát, zda ke každé hustotě a existuje kovariatí derivace, která ji ailihuje. Odpověď je kladá. Nechť je libovolá souřadicová derivace, pomocí které defiujeme 1-formu λ = a 1 a. Pak beztorzí kovariatí derivace lišící se od rozdílovým tezorem Γkl = 1 δ d + 1 k λ l + δ ) l λ k, tj. = + tes[γ], zachovává hustotu a: a = 0. Díky Tor[ ] = 0 a symetrii Γ okamžitě dostáváme torzi derivace T = 0, aplikací vět V10.11 a V10.12 a hustotu a pak podmíku a Riemaův tezor R kl = 0. *) Můžeme si položit i opačou otázku: kdy k daé beztorzí kovariatí derivaci existuje hustota, která je touto derivací aihilováa? Odpověď je alespoň lokálě, a topologicky jedoduchých oblastech) dáa právě podmíkou *). Již jsme ukázali, že se jedá o podmíku utou. Předpokládejme yí, že je tato podmíka splěa. Podle věty V10.11 tak pro libovolou hustotu o váhy 1 máme d o 1 o ) = 0. Podle Poicareho lemmatu V4.5 musí a topologicky jedoduché oblasti) existovat fukce, azvěme ji log f, taková že o 1 o = d log f = f 1 df. Dostáváme tak, že hustota fo je derivací aihilováa: fo) = 0.
Derivace hustot a itegrálí věty 10 8 Věta V10.12 Riemaův tezor působící a hustotách) Pro kovariatí derivaci idukovaou z tečého prostoru je operátor křivosti dá Riemaovým tezorem, tj. a hustotách váhy w působí: R kl o = w TrR kl o. Připomeňme, že TrR kl = R kl Pozámka Obdobě jako pro operátor křivosti působící a tečém prostoru viz defiice D7.21 a D7.22 a větu V7.23) budeme užívat též operátor Ra, b) = a k b l R kl = a b a b [a, b], pro který platí Ra, b) o = tes[ra, b)] o = w Ra, b) o. Vztahy mezi komutátory a operátory křivosti kopírují obdobé vztahy a tečém prostoru viz defiice D7.21, D7.22 a větu V7.23. Operátor křivosti a tečém prostoru je pseudoderivace dáa Riemaovým tezorem. Její rozšířeí a hustoty je dáo větou V10.6. Nakoec ukážeme vztah mezi Laplaceovým operátorem vytvořeým pomocí kovariatí derivace a vějším Laplaceovým operátorem zavedeým v defiici D10.3. Platí Věta V10.13 Weitzeböckova idetita) Mějme varietu s metrikou g. Nechť 2 = g ab a b je Laplaceův operátor defiovaý pomocí metrické kovariatí derivace a je vější Laplaceův operátor z defiice D10.3. Pro vější formu ω stupě p platí tzv. Weitzeböckova idetita ω a1...a p = 2 ω a1...a p + p Ric [a1 ω a 2...a p] p p 1) R m[a1a 2 2 ω m a 3...a p]. Podle 10.1) k určeí ω potřebujeme vyčíslit div d ω a d div ω. Použitím věty V10.9 a vyjádřeím vější derivace pomocí kovariatí věta V7.20) a vlastosti atisymetrizace dostaeme `div d ω = d a 1...a a1 ω a2...a p p = 1) p 2 ω a1...a p 1) k ak ω a1... a p. Obdobě d a1`div ω a 2...a p = d a1 ω a2...a p = 1) k ak ω a1... a p Vidíme, že pro ω = 1) p+1 div d ω d div ω) dostáváme 2 ω plus čle, který budeme dále upravovat: 1) p 1) k g aˆ a ak ak a ωa1... a p = 1) p+k g a R aak ω a1... a p..
Derivace hustot a itegrálí věty 10 9 Zde jsme zaměili komutátor beztorzí kovariatí derivace operátorem křivosti. Akce operátoru křivosti a ω je součtem zúžeí Riemaova tezoru s každým idexem formy ω. Rozdělíme sčítace a ty se zúžeým idexem před a po chybějícím idexu a k a a sčítaec odpovídající idexu. Dostaeme k 1 X 1) p+k R m a k al ω a1...a l 1 m... a p l=1 + + {z} 1) p+k R m a k ω a1...a p = X 1) k+l+1 R m a l ak ω a1...a p m + X k, l k, l 1 l<k p,a l 1) p+k Ric m a k ω a1...a p m. m 1 k<l p l=k+1 1) p+k R m a k al ω a1... 1) k+l R a k m al ω a1...a p m,a l {z} ma l+1... a p Zde jsme v prví sumě využili symetrii Riemaova tezoru vůči záměě prvího a druhého páru idexů a s pomocí atisymetrie ω jsme prokomutovali idex m a předposledí pozici. V posledím čleu jsme vedle symetrií Riemaova tezoru užili defiic Ricciho tezoru. Nyí v prví sumě zaměíme idexy m a a sčítací idexy k a l a tak s využitím atisymetrie ω v idexech m a zjistíme, že obě sumy jsou totožé. Dohromady dostáváme: 2 X k, l 1 k<l p 1) k+l+1 R m a k al ω a1...a p,a l m + 1) k Ric m a k ω ma1...a p = 2 p! 2!p 2)! Rm p! [a 1 a2 ω a3...a p]m 1!p 1)! Ric m[a 1 ω m a 2...a p], přičemž jsme použili rozpis vějšího ásobeí pomocí atisymetrizace defiice D4.2) a pomocí vztahů z margiálie M4.2. Zbývá ám tedy dokázat 2 R m [a 1 a2 ω a3...a p]m = R m[a1 a 2 ω m a 3...a p]. *) Teto vztah plye ze symetrií Riemaova tezoru a prví Biachiho idetity viz věta V7.28) zúžeé ve dvou idexech s atisymetrickou tezorem 0 = `R mab + R mab + R mba σm = R mab σ m `R mab R amb σm. Užitím atisymetrie v m dostaeme tvrzeí *) a po dosazeí i dokočeí celého důkazu.
Derivace hustot a itegrálí věty 10 10 10.3 Itegrálí věty Tato podkapitola je eúplá obsahuje pouze zěí ěkolika podob itegrálích vět bez dalších kometářů. Podkapitola bude časem rozšířea. Věta V10.14 Gaussova Stokesova věta pro formy) ω A d 1 M Ω M dω = ω. ω A d p M, N je podvarieta M dimeze dim N = d p + 1 dω N = ω. Ω N Věta V10.15 Stokesova věta) ω A d p M, N je podvarieta M dimeze dim N = d p + 1 Ω N ) a1...a p 1 rõt ω dsn a1...a p 1 = ω ap+1...a d dσ ap+1...a d Věta V10.16 Gaussova věta) α Sect Λ p x M, N je podvarieta M dimeze dim N = d p + 1 Ω N ) a1...a p 1 div α dsn a1...a p 1 = α a1...ap. ds a1...a p. Příklad P10.1 Speciálí případy) Newtoův vzorec p = d, γ ohraičeá křivka v M, dim γ = 1, dim γ = 0, f FM Z = ˆf df γ γ γ 10.5) Stokesova věta p = d 1, S ohraičeá plocha v M, dim S = 2, dim S = 1, ω A 1 M Z Z rõt ω) dss = ω dσ S 10.6a) S Z S Z = dω S ω S S S 10.6b) Gaussova věta p = 1, Ω ohraičeá oblast v M, dim Ω = d, dim = d 1, α Sect Λ 1 x M Z Z div α = α ds 10.7) Ω