Pružnost a pevnost 2. přednáška, 10. října 2016 Prut namáhaný jednoduchým ohybem: rovnoměrně ohýbaný prut nerovnoměrně ohýbaný prut příklad výpočet napětí a ohybu vliv teplotních měn příklad nerovnoměrné oteplení
Rovnoměrně ohýbaný prut původní délka prutu L
Rovnoměrně ohýbaný prut konstantní průře vnější momenty působí poue na koncích poloměr křivosti R M neměněná délka střednice L R M
Rovnoměrně ohýbaný prut protažení vlákna L relativní protažení vlákna L L R R M nová délka vlákna L L R R M
Rovnoměrně ohýbaný prut relativní protažení vlákna 1 R R 1 R křivost prutu L deformace vlákna je úměrná míře křivení prutu, charakteriované křivostí vdálenosti vlákna od osy prutu (v průmětu do svislé roviny x) deformace se mění po výšce průřeu lineárně
Rovnoměrně ohýbaný prut deformace se mění po výšce průřeu lineárně uplatníme Hookeův ákon: E E také napětí se mění po výšce průřeu lineárně M M
Rovnoměrně ohýbaný prut podmínka rovnováhy: výslednicí napětí v průřeu musí být moment M M M M
Rovnoměrně ohýbaný prut ohybový moment jako výslednice napětí v průřeu těžišťová osa rovnoběžná s osou y y x h b
Rovnoměrně ohýbaný prut ohybový moment jako výslednice napětí v průřeu y x h d E b
Rovnoměrně ohýbaný prut ohybový moment jako výslednice napětí v průřeu y x d h b d b ohybový moment k těžišťové ose y: příspěvek k momentu: b d h /2 h /2 M b d
Vtah mei ohybovým momentem a křivostí E obdélníkový průře h/ 2 h/ 2 M b E b EI 2 d d h/ 2 h/ 2 moment setrvačnosti průřeu k těžišťové ose y I b d b 3 b 3 3 12 h /2 h/2 h /2 3 h /2 3 3 3 2 h/ 2 h/ 2 bh
Vtah mei ohybovým momentem a křivostí E obecný průře max M b E b EI 2 d d min max min moment setrvačnosti průřeu k těžišťové ose y max 2 2 I b d da min A dvojný integrál
Vtah mei ohybovým momentem a křivostí M EI ohybový moment ohybová tuhost průřeu EI křivost (charakteriuje deformaci ohybem) modul pružnosti (charakteriuje tuhost materiálu) moment setrvačnosti (charakteriuje geometrii průřeu)
Přehled odvoených vtahů pro rovnoměrný ohyb M E I L M EI M EI
Základní veličiny a rovnice přemístění vnější síly geometrické rovnice statické rovnice přetvoření materiálové rovnice (fyikální, konstitutivní) vnitřní síly
Základní veličiny a rovnice pro rovnoměrně ohýbaný prut EI M L M ohybová tuhost prutu / L (ve stavební mechanice se M M pod pojmem ohybová tuhost obvykle roumí ) 2 EI / L M EI M
Hypotéa o achování rovinnosti průřeu
Hypotéa o achování rovinnosti průřeu
Hypotéa o achování rovinnosti průřeu proatím předpokládáme, že každý průře ůstává i po deformaci rovinný
Deformace prutu v rovině
Přemístění průřeu v rovině x
Přemístění průřeu v rovině x wx x ux x
Deformace segmentu prutu elementární segment prutu před deformací po deformaci ohybem x y x x křivost lim d x 0 x dx
Přehled vtahů pro jednoduchý ohyb rovnoměrný ohyb M E I L nerovnoměrný ohyb x d dx x x, x Mx x, E x I x M EI M x EI x x
Příklad - výpočet napětí a ohybu 50 mm f 200 kn/m 25 mm 400 mm L 4 m 300 mm Zjistěte, ve které oblasti nosníku vniká maximální normálové napětí, a určete jeho velikost.
Příklad - výpočet napětí a ohybu 50 mm f 200 kn/m 25 mm 400 mm L 4 m 300 mm Mx x, I x
Příklad - výpočet napětí a ohybu 50 mm f 200 kn/m 25 mm 400 mm L 4 m 300 mm f L x f M x x f x Lx x 2 2 2 2
Příklad - výpočet napětí a ohybu 50 mm f 200 kn/m 25 mm 400 mm L 4 m 300 mm max 2 L f L M x M M 2 8 max
Maximální napětí a ohybu M I max max max M W max e pružný průřeový modul W např. pro obdélníkový průře e W I e max bh h /12 bh / 2 6 3 2
Vliv teplotních měn obvyklý předpoklad: měna teploty je konstantní po délce prutu a lineární po výšce průřeu T h... měna teploty horních vláken T d... měna teploty dolních vláken
Vliv teplotních měn obvyklý předpoklad: měna teploty je konstantní po délce prutu a lineární po výšce průřeu T h... měna teploty horních vláken T d... měna teploty dolních vláken
Vliv teplotních měn obvyklý předpoklad: měna teploty je konstantní po délce prutu a lineární po výšce průřeu T h T T... nerovnoměrné oteplení d h T s... měna teploty střednice T d
Vliv teplotních měn obvyklý předpoklad: měna teploty je konstantní po délce prutu a lineární po výšce průřeu T h T d T h T s T d roklad na dva stavy
Vliv teplotních měn obvyklý předpoklad: měna teploty je konstantní po délce prutu a lineární po výšce průřeu T h T d T h T s T h T s T s T d T s Td Ts
Vliv teplotních měn obvyklý předpoklad: měna teploty je měna teploty dolních vláken T d Th T x, Ts h konstantní po délce prutu a lineární po výšce průřeu měna teploty horních vláken měna teploty v obecném bodě měna teploty ve střednici prutu teplotní gradient (spád) po výšce prutu
měna teploty: Vliv teplotních měn T d Th T x, Ts h deformace působená měnou teploty: T T x, T x, T h d h T T T s T Ts T poměrné protažení od oteplení v obecném bodě poměrné protažení střednice od středního oteplení Ts křivost od teplotního gradientu T
Vliv teplotních měn poměrné protažení střednice je součtem příspěvků odpovídajících normálové síle a střednímu oteplení: s x N x EA x Ts (vi přednáška o tahu-tlaku) podobně křivost střednice je součtem příspěvků odpovídajících ohybovému momentu a teplotnímu gradientu: x M x EI x T M x EI x x T
Příklad nerovnoměrné oteplení E T 210 GPa 12 10 K 6 1 T h 40 K T d 20 K L 4 m 50 mm 25 mm 300 mm 400 mm Zjistěte, jak se nosník pod vlivem nerovnoměrného oteplení deformuje a jaké v něm vniká napětí. Řešte obdobnou úlohu i pro nosník vetknutý na obou koncích.