CVIČNÝ TEST 51 Mgr. Tomáš Kotler OBSAH I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17
I. CVIČNÝ TEST VÝCHOZÍ TEXT A OBRÁZEK K ÚLOZE 1 V obchodě s kouzelnickými potřebami v Kocourkově prodávají tři kouzelné hůlky různých délek. K nejmenší z nich byste museli přidat ještě 50 % její délky, aby byla stejně dlouhá jako nejdelší hůlka. Hůlka prostřední délky by se naopak musela o 20 % zkrátit, aby byla stejně dlouhá jako nejmenší hůlka. Nejdelší hůlka je o 48 mm delší než hůlka prostřední délky. 1 Jakou délku má prostřední hůlka? Výsledek vyjádřete v celých mm. VÝCHOZÍ TEXT A OBRÁZEK K ÚLOZE 2 max. 2 body Jsou dány dva trojúhelníky ABC 1 a ABC 2. Pro výšky v 1, v 2 na společnou stranu AB obou trojúhelníků platí, že v 1 je o 30 mm delší než v 2. Společná strana AB obou trojúhelníků má délku 40 mm. Obsah trojúhelníka ABC 1 je třikrát větší než obsah trojúhelníka ABC 2. 2 Určete délku výšky v 2. (Výsledek zaokrouhlete na celé mm.) 1 bod 2 Maturita z matematiky 09
VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 3 Jsou dány dva různé body A[7, 2], B[2, 3]. 3 Najděte průsečík P x osy úsečky AB s osou x. max. 2 body VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 4 Mezi osadami Kocourkov a Myšinec je 40 km dlouhá asfaltová cesta. Ve stejnou chvíli vyjelo z Kocourkova auto a z Myšince cyklista. Auto jelo průměrnou rychlostí třikrát vyšší než cyklista. Cyklista s autem se setkají po půl hodině jízdy. 4 Jak daleko od Myšince se setkají? VÝCHOZÍ TEXT A OBRÁZEK K ÚLOZE 5 1 bod V obchodě s herními komponenty se prodává balení koulí na pool (jeden z druhů kulečníkové hry). V kufříku je umístěno 16 koulí vyrobených z fenolové pryskyřice. 9 koulí je v plné barvě (žlutá, červená, fialová, zelená, oranžová, hnědá, modrá, černá a bílá). 7 dalších koulí je ve stejných barvách, ale mají bílý kulový pás. Koule se skládají do kufříku, v němž je nahoře 8 míst a dole rovněž 8 míst pro koule. Do horní části se vždy umísťuje černá a zbylé plnobarevné koule vyjma bílé, která se umísťuje do dolní části spolu se všemi koulemi s bílým pásem. 1 bod 5 O kolik možností se liší odhad, který tvrdí, že existuje 1 625 miliónů možností, jak koule v kufříku uspořádat? Maturita z matematiky 09 3
VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 6 Je dán výraz x2 + 4x(x + 1). (x + 1)(5x + 4) max. 3 body 6.1 Určete množinu všech hodnot reálné proměnné x, pro které je výraz definován. 6.2 Zjednodušte výraz. V záznamovém listu uveďte celý postup řešení. VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 7 Jsou dány krychle o objemu 64 cm 3 a pravidelný čtyřboký jehlan o stejné výšce a objemu jako krychle. max. 2 body 7 Rozhodněte o každém tvrzení (7.1 7.4), zda je pravdivé (ANO), či nikoli (NE): 7.1 Povrch krychle je 96 cm 2. 7.2 Tělesová úhlopříčka krychle je delší než 7 cm. 7.3 Hrana podstavy jehlanu má délku 4 3 cm. 7.4 Hrana podstavy jehlanu je delší než jeho boční hrana. ANO NE VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 8 Jsou dány dvě nekonečné aritmetické posloupnosti, jejichž první člen je 3 a jejichž diference se liší o 1. 2 body 8 Která z možností A E určuje, o kolik se liší součty prvního sta jejich po sobě jdoucích členů? A) 1 B) 20 C) 300 D) 4950 E) 6125 4 Maturita z matematiky 09
VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 9 Je dán výraz (sinx + cosx) 2 1 pro x R. 2 body 9 Která z možností určuje výraz, který je danému výrazu pro všechna x R roven? A) (sinx + cosx 1)(sinx cosx + 1) B) (sinx cosx 1)(sinx + cosx + 1) C) 2sinx cosx D) sin 2 x + 2sinx cosx cos 2 x 1 E) 1 max. 4 body 10 Přiřaďte každé rovnici (10.1 10.4) množinu, v níž leží všechna řešení této rovnice (A F). 10.1 x 2 + 6 = 5x 10.2 x 2 x 1 10.3 x(x + 6) = 9 x 10.4 2 5x = 0 x 1 x 1 = 0 A) x (4; + ) B) x 2, 4) C) x ( 1; 1 D) x 2, 0) E) x ( ; 2) F) x ( ; 4 KONEC TESTU Maturita z matematiky 09 5
II. AUTORSKÉ ŘEŠENÍ VÝCHOZÍ TEXT A OBRÁZEK K ÚLOZE 1 V obchodě s kouzelnickými potřebami v Kocourkově prodávají tři kouzelné hůlky různých délek. K nejmenší z nich byste museli přidat ještě 50 % její délky, aby byla stejně dlouhá jako nejdelší hůlka. Hůlka prostřední délky by se naopak musela o 20 % zkrátit, aby byla stejně dlouhá jako nejmenší hůlka. Nejdelší hůlka je o 48 mm delší než hůlka prostřední délky. 1 Jakou délku má prostřední hůlka? Výsledek vyjádřete v celých mm. max. 2 body Označíme délku prostřední hůlky y a délku nejkratší hůlky x. Protože délka nejdelší hůlky je o 50 % delší než délka nejkratší hůlky, má délku 1,5x. Protože délky prostřední hůlky by se musela o 20 % zkrátit (bylo by jí jen 80 %), aby měla stejnou délku jako nejkratší hůlka, platí vztah: I. 0,8y = x Nejdelší hůlku 1,5x délky bychom museli o 48 mm zkrátit, aby měla stejný rozměr jako prostřední hůlka, platí tedy: II. 1,5x 48 = y Řešením soustavy rovnic I. a II. získáme délky nejkratší a prostřední hůlky. I. 0,8y = x II. 1,5x 48 = y Vyjádřenou neznámou y z II. rovnice, dosadíme do rovnice I. 0,8(1,5x 48) = x 1,2x 38,4 = x 0,2x = 38,4 x = 38,4 0,2 x = 192 Dopočteme y a 1,5x. y = 1,5 192 48 = 240 1,5x = 1,5 192 = 288 Hůlky mají rozměry 192 mm, 240 mm a 288 mm. Zkouškou bychom měli ověřit, že platí zadané vztahy, tj. 192 1,5 = 240, 240 0,8 = 192 a 288 48 = 240. Délka prostřední hůlky je 240 mm. Řešení: 240 mm 6 Maturita z matematiky 09
VÝCHOZÍ TEXT A OBRÁZEK K ÚLOZE 2 Jsou dány dva trojúhelníky ABC 1 a ABC 2. Pro výšky v 1, v 2 na společnou stranu AB obou trojúhelníků platí, že v 1 je o 30 mm delší než v 2. Společná strana AB obou trojúhelníků má délku 40 mm. Obsah trojúhelníka ABC 1 je třikrát větší než obsah trojúhelníka ABC 2. 2 Určete délku výšky v 2. (Výsledek zaokrouhlete na celé mm.) 1 bod Pro výšky v 1, v 2 trojúhelníků platí: v 1 = v 2 + 30 mm. Pro obsahy S 1 a S 2 platí dle zadání: S 1 = 3S 2. Ze vztahu pro výpočet obsahu trojúhelníka pomocí výšky a odpovídající strany sestavíme rovnici. (40 mm) (v 2 + 30 mm) = 3 (40 mm) v 2 2 2 1200 mm 2 = v 2 80 mm v 2 = 1200 mm2 = 15 mm 80 mm Kratší z výšek měří 15 mm. Řešení: 15 mm VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 3 Jsou dány dva různé body A[7, 2], B[2, 3]. 3 Najděte průsečík P x osy úsečky AB s osou x. max. 2 body Maturita z matematiky 09 7
Osa úsečky má směr o kolmý ke směru AB úsečky a prochází středem S úsečky. S = [ 7 + 2, 2 + 3 2 2 ] = [ 9, 5 2 2 ] AB = (2 7, 3 2) = ( 5, 1) (1, 5) = o K výpočtu souřadnic P x můžeme použít obecný nebo parametrický zápis rovnice osy. a) obecný zápis rovnice osy Normálový vektor osy o je rovnoběžný se směrem úsečky AB, tedy můžeme rovnou sestavit část obecné rovnice osy o. o: 5x + y + c = 0 Pro určení členu c využijeme bod S. 5 9 + 5 + c = 0 c = 40 = 20 2 2 2 o: 5x + y + 20 = 0 Souřadnice průsečíků P x získáme tak, že za y-ovou souřadnici v obecném zápisu přímky dosadíme 0 (y-ová souřadnice každého bodu na ose x). 5x + 0 + 20 = 0 x = 4 Průsečík P x má souřadnice [4, 0]. b) parametrický zápis rovnice osy Vytvoříme nyní parametrický zápis rovnice osy o pomocí jejího směrového vektoru o. o = {[ 9 + t, 5 +5t], t 2 2 R} Souřadnice průsečíků P x získáme tak, že za y-ovou souřadnici v parametrickém zápisu přímky dosadíme 0. 0 = 5 + 5t 5 = 10t t = 1 2 2 Hodnotu parametru t dosadíme do x-ové souřadnice v parametrickém zápisu přímky. x = 9 + t x = 9 1 = 4 2 2 2 Průsečík P x má souřadnice [4, 0]. Obrázek může sloužit k ověření poznatku. Řešení: P x [4, 0] 8 Maturita z matematiky 09
VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 4 Mezi osadami Kocourkov a Myšinec je 40 km dlouhá asfaltová cesta. Ve stejnou chvíli vyjelo z Kocourkova auto a z Myšince cyklista. Auto jelo průměrnou rychlostí třikrát vyšší než cyklista. Cyklista s autem se setkají po půl hodině jízdy. 4 Jak daleko od Myšince se setkají? 1 bod Dráha s mezi osadami má délku 40 km. Rychlost v cyklisty je třikrát nižší než auta, rychlost auta je tedy 3v. V místě setkání mají oba účastníci za sebou stejnou dobu jízdy t = 0,5 h. 3v t + v t = 40 km 4vt = 40 km v = 10 km t v = 10 km 0,5 h = 20 km h 1 Cyklista ujel za 0,5 hodiny dráhu v t, tj. (20 km h 1 ) (0,5 h) = 10 km. Cyklista a auto se setkají 10 km od Myšince. Jiné řešení (úvahou): Jestliže je rychlost auta třikrát vyšší než rychlost cyklisty, ujede auto za stejný časový interval třikrát vyšší dráhu, tj. poměr ujetých drah auta a cyklisty jsou v poměru 3 : 1. Pokud tedy vzdálenost obou osad 40 km rozdělíme v poměru 3 : 1, setkají se auto s cyklistu 30 km od osady Kocourkov a 10 km od osady Myšinec. Řešení: 10 km VÝCHOZÍ TEXT A OBRÁZEK K ÚLOZE 5 V obchodě s herními komponenty se prodává balení koulí na pool (jeden z druhů kulečníkové hry). V kufříku je umístěno 16 koulí vyrobených z fenolové pryskyřice. 9 koulí je v plné barvě (žlutá, červená, fialová, zelená, oranžová, hnědá, modrá, černá a bílá). 7 dalších koulí je ve stejných barvách, ale mají bílý kulový pás. Koule se skládají do kufříku, v němž je nahoře 8 míst a dole rovněž 8 míst pro koule. Do horní části se vždy umísťuje černá a zbylé plnobarevné koule vyjma bílé, která se umísťuje do dolní části spolu se všemi koulemi s bílým pásem. 1 bod 5 O kolik možností se liší odhad, který tvrdí, že existuje 1 625 miliónů možností, jak koule v kufříku uspořádat? Maturita z matematiky 09 9
V horní části kufříku zaměňujeme umístění 8 koulí, jedná se tedy o permutace z osmi prvků, těch je 8!. V dolní části provádíme totéž. Existuje tedy opět 8! možností. Protože můžeme přemísťovat v obou částech zároveň, platí kombinatorické pravidlo součinu. Celkově tedy jde o 8! 8! možností. To je celkem 1 625 702 400 možností, tedy o 702 400 možností více, než tvrdil odhad. Řešení: o 702 400 VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 6 Je dán výraz x2 + 4x(x + 1). (x + 1)(5x + 4) max. 3 body 6.1 Určete množinu všech hodnot reálné proměnné x, pro které je výraz definován. Ve jmenovateli musí být výraz různý od nuly. (x + 1)(5x + 4) 0 x 1 x 5 4 x (, 5 4 ) ( 5 4, 1) ( 1, + ) Řešení: x (, 5 4 ) ( 5 4, 1) ( 1, + ) 6.2 Zjednodušte výraz. V záznamovém listu uveďte celý postup řešení. V čitateli je nutné výraz roznásobit, ve jmenovateli nikoliv. Pozor, abychom nekrátili výrazem x + 1, to by bylo nesprávné, výraz v čitateli není součin, ale jedná se o součet! x 2 + 4x(x + 1) x2 + 4x 2 + 4x 5x2 + 4x (x + 1)(5x + 4) (x + 1)(5x + 4) (x + 1)(5x + 4) Nyní vytkneme v čitateli výraz x. Poté již budeme moci krátit, protože v čitateli i ve jmenovateli budou součiny. 5x 2 + 4x x(5x + 4) x (x + 1)(5x + 4) (x + 1)(5x + 4) x + 1 Řešení: x x + 1 10 Maturita z matematiky 09
VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 7 Jsou dány krychle o objemu 64 cm 3 a pravidelný čtyřboký jehlan o stejné výšce a objemu jako krychle. max. 2 body 7 Rozhodněte o každém tvrzení (7.1 7.4), zda je pravdivé (ANO), či nikoli (NE): 7.1 Povrch krychle je 96 cm 2. 7.2 Tělesová úhlopříčka krychle je delší než 7 cm. 7.3 Hrana podstavy jehlanu má délku 4 3 cm. 7.4 Hrana podstavy jehlanu je delší než jeho boční hrana. ANO NE 7.1 Objem V krychle vypočteme dle vzorce V = a 3, kde a je délka hrany krychle. Pro hranu krychle tedy platí: a = 3 V. V našem případě tedy: a = 3 64 cm 3 = 4 cm. Povrch P k krychle vypočteme dle vzorce P k = 6a 2. V našem případě tedy: P k = 6(4 cm) 2 = 96 cm 2. Tvrzení je pravdivé. 7.2 Tělesovou úhlopříčku u krychle můžeme vypočítat z pravoúhlého trojúhelníka, jehož odvěsny tvoří hrana krychle a stěnová úhlopříčka podstavy. Lze ale také využít vztah, který pro tělesovou úhlopříčku krychle platí a který je důsledkem právě tohoto výpočtu. u = a 3 V našem případě tedy: u = (4 cm) 3 6,93 cm < 7 cm. Tvrzení je nepravdivé. 7.3 Pro výpočet strany b jehlanu o výšce v využijeme vzorce pro výpočet objemu krychle a pravidelného čtyřbokého jehlanu a faktu, že dle zadání mají tato tělesa výšku a objem shodné. Platí tedy, že v = a. a 3 = 1 v b 2 a 3 = 1 ab 2 b 2 = 3a 2 b = a 3 3 3 V našem případě tedy: b = (4 cm) 3 = 4 3 cm. Tvrzení je pravdivé. 7.4 Pro výpočet boční hrany s jehlanu musíme použít pravoúhlý trojúhelník, v němž známe odvěsnu, kterou tvoří výška a jehlanu. Druhá odvěsna x je polovinou úhlopříčky v podstavě. K jejímu výpočtu použijeme ve čtverci podstavy Pythagorovu větu. s = a 2 + x 2 2x = (4 3 cm) 2 + (4 3 cm) 2 s = (4 cm) 2 + (2 6 cm) 2 s = 16 cm 2 + 24 cm 2 = 2 10 cm 6,32 cm < 7 cm Tvrzení je pravdivé. Řešení: ANO, NE, ANO, ANO Maturita z matematiky 09 11
VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 8 Jsou dány dvě nekonečné aritmetické posloupnosti, jejichž první člen je 3 a jejichž diference se liší o 1. 2 body 8 Která z možností A E určuje, o kolik se liší součty prvního sta jejich po sobě jdoucích členů? A) 1 B) 20 C) 300 D) 4950 E) 6125 K výpočtu použijeme vztahy pro aritmetické posloupnosti. a n = a 1 + (n 1)d, n N s n = [a 1 + a n ] n, n N 2 Pro první posloupnost platí, že: a 1 = 3, a 100 = 3 + 99d s 100 = (3 + 3 + 99d) 100 = 300 + 4950d. 2 Pro druhou posloupnost, u jejíž diference budeme předpokládat, že je o 1 větší než u první posloupnosti, platí, že: a' 1 = 3, a' 100 = 3 + 99(d + 1) s' 100 = [3 + 3 + 99(d + 1)] 100 = 5250 + 4950d. 2 Určíme nyní rozdíl stých součtů. s' 100 s 100 = (5250 + 4950d) (300 + 4950d) = 4 950 Sté součty se liší o 4 950. Řešení: D VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 9 Je dán výraz (sinx + cosx) 2 1 pro x R. 2 body 9 Která z možností určuje výraz, který je danému výrazu pro všechna x R roven? A) (sinx + cosx 1)(sinx cosx + 1) B) (sinx cosx 1)(sinx + cosx + 1) C) 2sinx cosx D) sin 2 x + 2sinx cosx cos 2 x 1 E) 1 Mocninu ve výrazu roznásobíme. Poté použijeme vztah pro x R: sin 2 x + cos 2 x = 1. (sinx + cosx) 2 1 = sin 2 x + 2sinx cosx + cos 2 x 1 = sin 2 x + cos 2 x + 2sinx cosx 1 = 2sinx cosx Správná je možnost C. Řešení: C 1 12 Maturita z matematiky 09
max. 4 body 10 Přiřaďte každé rovnici (10.1 10.4) množinu, v níž leží všechna řešení této rovnice (A F). 10.1 x 2 + 6 = 5x 10.2 x 2 x 1 10.3 x(x + 6) = 9 x 10.4 2 5x = 0 x 1 x 1 = 0 A) x (4; + ) B) x 2, 4) C) x ( 1; 1 D) x 2, 0) E) x ( ; 2) F) x ( ; 4 10.1 x 2 + 6 = 5x x 2 5x + 6 = 0 (x 3)(x 2) = 0 x = 3 x = 2 x 2, 4) Řešení: B 10.2 x 2 1 = 0 x 1 x 2 1 = 0 x 1 (x 1)(x + 1) = 0 x 1 x = 1 x 2, 0) x 1 x 1 Řešení: D 10.3 x(x + 6) = 9 x 2 + 6x + 9 = 0 (x + 3)(x + 3) = 0 x = 3 x ( ; 2) Řešení: E 10.4 x 2 5x x = 0 x 0 x 2 5x = 0 x 0 x(x 5) = 0 x 0 x = 5 x (4; + ) Řešení: A KONEC TESTU Maturita z matematiky 09 13
14 Maturita z matematiky 09
III. KLÍČ 1) Maximální bodové ohodnocení je 20 bodů. Hranice úspěšnosti v testu je 7 bodů. 2) Úlohy 1 6 jsou otevřené. 3) Úlohy 7 10 jsou uzavřené s nabídkou možných odpovědí, kde u každé úlohy resp. podúlohy je právě jedna odpověď správná. Tabulka úspěšnosti Počet bodů Výsledná známka 20 17 výborně 16 14 chvalitebně 13 11 dobře 10 7 dostatečně 6 a méně nedostatečně Úloha Správné řešení Počet bodů 1 240 mm max. 2 body 2 15 mm 1 bod 3 P x [4, 0] max. 2 body 4 10 km 1 bod 5 o 702 400 1 bod 6 6.1 x (, 5 4 ) ( 5 4, 1) ( 1, + ) 1 bod 6.2 V čitateli je nutné výraz roznásobit, ve jmenovateli nikoliv. Pozor, abychom nekrátili výrazem x + 1, to by bylo nesprávné, výraz v čitateli není součin, ale jedná se o součet! x 2 + 4x(x + 1) x2 + 4x 2 + 4x 5x2 + 4x (x + 1)(5x + 4) (x + 1)(5x + 4) (x + 1)(5x + 4) Nyní vytkneme v čitateli výraz x. Poté již budeme moci krátit, protože v čitateli i ve jmenovateli budou součiny. 5x 2 + 4x x(5x + 4) x (x + 1)(5x + 4) (x + 1)(5x + 4) x + 1 max. 2 body Řešení: x x + 1 7 max. 2 body 4 podúlohy 2 b. 7.1 ANO 3 podúlohy 1 b. 2 podúlohy 0 b. 7.2 NE 1 podúloha 0 b. 0 podúloh 0 b. 7.3 ANO 7.4 ANO Maturita z matematiky 09 15
8 D 2 body 9 C 2 body 10 max. 4 body 4 podúlohy 4 b. 10.1 B 3 podúlohy 3 b. 2 podúlohy 2 b. 10.2 D 1 podúloha 1 b. 0 podúloh 0 b. 10.3 E 10.4 A 16 Maturita z matematiky 09
IV. ZÁZNAMOVÝ LIST 1) Maximální bodové ohodnocení je 20 bodů. Hranice úspěšnosti v testu je 7 bodů. 2) Úlohy 1 6 jsou otevřené. Zapište výsledek. V úloze 6.2 uveďte i celý postup řešení. 3) Úlohy 7 10 jsou uzavřené s nabídkou možných odpovědí, kde u každé úlohy resp. podúlohy je právě jedna odpověď správná. Zapište vybranou možnost. Tabulka úspěšnosti Počet bodů Výsledná známka 20 17 výborně 16 14 chvalitebně 13 11 dobře 10 7 dostatečně 6 a méně nedostatečně Úloha Správné řešení Počet bodů 1 max. 2 body 2 1 bod 3 max. 2 body 4 1 bod 5 1 bod 6 6.1 1 bod 6.2 max. 2 body 7 max. 2 body 4 podúlohy 2 b. 7.1 3 podúlohy 1 b. 2 podúlohy 0 b. 7.2 1 podúloha 0 b. 0 podúloh 0 b. 7.3 7.4 Maturita z matematiky 09 17
8 2 body 9 2 body 10 max. 4 body 4 podúlohy 4 b. 10.1 3 podúlohy 3 b. 2 podúlohy 2 b. 10.2 1 podúloha 1 b. 0 podúloh 0 b. 10.3 10.4 18 Maturita z matematiky 09