REÁLNÁ FUNKCE JEDNÉ PROMĚNNÉ 5 přednáška S funkcemi se setkáváme na každém kroku ve všech přírodních vědách ale i v každodenním životě Každá situace kdy jsou nějaký jev nebo veličina jednoznačně určeny jinými jevy nebo veličinami se dá popsat pomocí funkce Někdy je jednoduché takovou funkci sestavit Snadno například dokážeme určit přírustek našich úspor ve spořitelně v závislosti na době spoření pokud známe úrokovou míru Nebo dokážeme zjistit jakou dráhu urazí automobil jedoucí známou rychlostí v závislosti na tom jak dlouho jede Jindy je naopak skoro nemožné přijít na to jak taková funkce vypadá neboť nemáme dostatek informací o parametrech které do jejího zápisu vstupují Závisí-li zkoumaný jev na jediné veličině jejíž hodnoty jsou reálné hovoříme o funkci jedné reálné proměnné Funkce se užívají především v technických přírodních ekonomických i jiných (např humanitních) vědách občas i v běžném životě POJEM FUNKCE Nechť D a H jsou dvě neprázdné množiny Je-li každému prvku x Î D přiřazen právě jeden prvek y Î H je definováno zobrazení množiny D do množiny H Jsou-li přitom vyčerpány všechny prvky množiny H jde o zobrazení množiny D na množinu H Nechť je dáno zobrazení f číselné množiny D Ì R na číselnou množinu H Ì R Zobrazení f nazveme funkcí jedné reálné proměnné (ústřední pojem matematické analýzy) přičemž D nazýváme definičním oborem funkce f a H oborem hodnot funkce f Proměnnou x nazýváme nezávisle proměnnou případně argumentem funkce f y pak závislou proměnnou Způsoby zadávání funkce: a)výrokovou formou; b) tabulkou; c) grafem Je - li funkce zadána výrokovou formou pak výroková forma může mít tvar rovnice nebo slovního vyjádření Většinou se používá zápisu: a) explicitního: y= f ( x) xî D; b) implicitního: F( x y ) = 0 y ³ 0; c) parametrickými rovnicemi: x = f (t); y = j (t) tî< t ; t > Grafem funkce nazveme množinu všech uspořádaných dvojic [ x f ( x) ] kde xîd a f(x)îh U reálných funkcí jedné proměnné hraje grafické znázornění funkce velkou roli To souvisí s geometrickou interpretací pojmu uspořádaná dvojice kartézský součin atd Geometricky lze uspořádanou dvojici (xy) chápat jako bod o souřadnicích x a y Libovolnou množinu uspořádaných dvojic lze pak geometricky chápat jako množinu bodů v rovině Aby množina v rovině byla grafem funkce nesmí množina obsahovat body tvaru (x y ) (x y ) y y tj body které leží nad sebou
Definiční obor funkce D(f) Je-li určen jen funkční předpis bez definičního oboru (množina všech přípustných hodnot argumentu x) je definičním oborem maximální množina pro kterou má předpis "smysl" Např y = x+ Tento výraz má smysl pro x + ³ 0 tedy x ³ - tj D(f) = < ; ) Při určování definičního oboru se řídíme vlastnostmi které podmiňují reálnou hodnotu funkce ) Ve zlomku musí být jmenovatel různý od nuly ) Sudá odmocnina je definována jen pro nezáporná čísla 3) Logaritmus je definován pouze pro kladná čísla 4) Cyklometrické funkce arcsin(x) a arccos(x) jsou definovány jen pro x Î< -; > Některé vlastnosti funkcí: Pro funkce monotónní v D platí pro" xî D " xî D že f je rostoucí v DÛ x < x Þ f ( x ) < f ( x) f je klesající v DÛ x < x Þ f ( x ) > f ( x) f je neklesající v DÛ x < x Þ f ( x ) f ( x) f je nerostoucí v DÛ x < x Þ f ( x ) ³ f ( x) Je-li funkce rostoucí nebo klesající říkáme že je ryze monotónní Zřejmě každá rostoucí funkce je i neklesající a každá klesající je i nerostoucí Opak ale neplatí (monotónní funkce mohou být na některém intervalu konstantní) Funkce f je shora resp zdola ohraničená v D existuje-li číslo K resp K takové že pro všechna x Î D platí f ( x) K resp f ( x) ³ K Funkce je ohraničená je-li současně ohraničená zdola i shora tzn $ KÎ R " xî D : f ( x) < K Nejmenší horní ohraničení f ( x) označíme sup f(x) na D (supremum) největší dolní ohraničení f ( x ) označíme inf f(x) na D (infimum) Funkce f je prostá v D Û "( x y )( x y ) Î f ( x ¹ x Þ y ¹ y ) : Všimněme si že každá ryze monotónní funkce je prostá (nemůže mít v různých bodech stejnou funkční hodnotu) ale opak neplatí tj ne každá prostá funkce musí být nutně monotónní Např funkce y= x
Funkce f je periodická existuje-li číslo p takové že pro "x Î D platí f ( x p) = f( x) Nejmenší kladné číslo této vlastnosti nazýváme periodou funkce f + Jinými slovy v bodech majících od sebe vzdálenost p jsou stejné funkční hodnoty Tedy stačí znát graf funkce f na nějakém intervalu délky p a celý graf dostaneme kopírováním této části kterou posouváme o p vpravo nebo vlevo (jen pokud to definiční obor připouští) Funkce periodická s periodou p je též periodická s periodou k p kîn Pokud existuje nejmenší perioda nazývá se základní perioda Nejznámější periodické funkce jsou funkce goniometrické Např sinus a kosinus mají základní periodu π Funkce y = c cîr je periodická funkce která nemá základní periodu Funkce f se nazývá a) sudá jestliže pro "x Î D je také (-x) Î D a platí f (- x) = f ( x) Graf sudé funkce je souměrný podle osy y b) lichá jestliže pro "x Î D je také (-x) Î D a platí f (- x) =- f ( x) Graf liché funkce je souměrný podle počátku Funkce inverzní Nechť f : y= f ( x) xî A je funkce prostá Oborem funkčních hodnot je H(f) = B K prostému zobrazení existuje inverzní zobrazení které každému y Î B přiřazuje jediné - x Î A pro které f ( x) = y Toto zobrazení značíme f - - : x= f ( y) Pozor na f ¹ f Zkrátka pokud původní funkce f zobrazuje prvky z množiny A do množiny B pak inverzní funkce f - zobrazuje prvky z množiny B do množiny A - Grafy funkcí y= f ( x) a x= f ( y) jsou totožné neboť u funkcí f a f - je vyměněna pouze závislost proměnných Definiční obor D(f) = A funkce f bude oborem funkčních hodnot H(f - ) = A funkce f - a obor funkčních hodnot H(f) = B funkce f bude definičním oborem D(f - ) = B funkce f - navzájem inverzní funkce LOGARITMUS a EXPONENCIÁLA 3
Jinak zapsáno: D(f - ) = H(f) a H(f - ) = D(f) Grafy funkcí f a f - jsou souměrné podle přímky y = x osy I a IIIkvadrantu Není-li v celém definičním oboru funkce f prostá musíme se omezit na tu jeho část v níž je f prostá funkce Postup při hledání funkce inverzní f : ) pro danou funkci f určíme definiční obor D(f) a obor funkčních hodnot H(f); ) vyměníme x za y; 3) vypočteme algebraickou cestou y jako funkci x Zápis f - : y = f(x) 4) určíme D(f ) a H(f ) a upřesníme H(f) a D(f) tak aby platily rovnosti D(f - ) = H(f) a H(f - ) = D(f) Funkce složená Nechť f je zobrazení množiny A do množiny B g je zobrazení množiny B do množiny C Potom zobrazení h definované předpisem h ( x) = ( go f )( x) = g[ f ( x) ] zobrazuje množinu A do množiny C a nazývá se zobrazení složené Jsou-li A B C číselné množiny pak h je funkce složená z funkcí f a g a její definiční obor je D( h ) = AÇB Poznámka: ) Ve složené funkci ( x) g[ f ( x) ] h = nazýváme f funkcí vnitřní a g funkcí vnější Funkce y = sin x + může být i několikrát složená Např ( ) 3 ) Lze dokázat že složením dvou prostých funkcí dostaneme prostou funkci Složením dvou rostoucích (klesajících) funkcí dostáváme rostoucí funkci a složením funkce rostoucí a klesající v libovolném pořadí dostáváme funkci klesající 3) Složením dvou sudých (lichých) funkcí dostáváme sudou (lichou) funkci a složíme-li sudou a lichou v libovolném pořadí dostaneme sudou funkci 4
5