.8.6 Parametrické sstém funkcí Předpoklad:, 0,, 50, 60 Stejně jako parametrická rovnice zastupuje mnoho rovnic najednou, parametrick zadaná funkce zastupuje mnoho funkcí. Pedagogická poznámka: Názornost hodin může podstatně zvýšit použití počítačově generovaných dnamických grafů. Př. : Nakresli parametrická sstém lineárních funkcí daných předpisem = x + b. =x+0 - - x - - Nakreslím plnou čarou jednu konkrétní funkci = x + 0, další funkce pro další hodnot parametru b nakreslíme čárkovaně získáme soustavu rovnoběžných přímek Př. : Nakresli parametrický sstém lineárních funkcí daných předpisem = ax +, a ;3. Opět budeme kreslit lineární funkce, budou se lišit ve sklonu a budou procházet bode [ 0; ]. Nakreslíme si krajní funkce = x + a = 3x +, ostatní funkce budou ležet mezi nimi. =3x+ - - x - - =-x+
Pedagogická poznámka: Je potřeba dbát na to, ab obrázek z předchozího příkladu bl názorný. Studenti často nakreslí pouze krajní funkce a není pak zřejmé, který ze vzniklých úhlů vplní funkce tvořící zadaný parametrický sstém. V podstatě nejde o nic jiného než si pamatovat vliv konstant na graf jednotlivých funkcí. Př. 3: Nakresli parametrický sstém funkcí s absolutní hodnotou daných předpisem = x + c. Jednotlivé funkce v sstému se budou lišit posunutím na vodorovné ose. - - x - - - - x - - Př. : Je dána rovnice x + a = s neznámou x R a parametrem a R. Urči pomocí grafického znázornění všechn hodnot parametru a, pro něž má tato rovnice má aspoň jedno řešení. Nakreslíme si obě stran rovnice: Levá strana: parametrický sstém funkcí s absolutní hodnotou. Všechn mají minimum v bodě x =, liší se posunutím ve svislém směru, které určuje parametr a. Pravá strana: konstantní funkce =. = x + = x +0 - - x - - dvě řešení pro a < jedno řešení pro a =
žádné řešení pro a > Rovnice má alespoň jedno řešení pro a. Př. 5: Je dána rovnice x + = x + a s neznámou x R a parametrem a R. Pomocí grafického znázornění a proveď diskusi řešitelnosti vzhledem k parametru. Nakreslíme si obě stran rovnice: Levá strana: funkce s absolutní hodnotou. Pravá strana: parametrický sstém lineárních funkcí. Všechn mají stejný sklon, liší se posunutím ve svislém směru, které určuje parametr a. =x+ =x+0 - - x - - žádné řešení pro a < nekonečně mnoho řešení pro a = K = ; ) jedno řešení pro a > Př. 6: Nakresli parametrický sstém kvadratických funkcí daných předpisem a( x ) a R. Všechn parabol budou posunuté vpravo tak, ab jejich vrchol měl souřadnice [ ] ;0. Parametr a před druhou mocninou ovlivňuje tvar a orientaci parabol: =, 3
=( x -) - - x - - Kladné hodnot parametru a znamenají tvar ďolíku, záporné tvar kopečku. Čím je větší absolutní hodnota parametru a, tím je graf užší. Pedagogická poznámka: Studenti často zapomínají na záporné hodnot parametru (a ted kopečkové tvar grafu. Př. 7: Nakresli parametrický sstém kvadratických funkcí daných předpisem ( ) = a x + + a, a R. parametr se vsktuje v předpisu funkce dvakrát, raději si zkusíme napsat několik předpisů pro různé hodnot parametru: a = : = ( x ) + a = : = ( x ) + a = 3: = 3( x ) + 3 Všechn parabol budou posunuté vlevo tak, ab jejich vrchol měl souřadnice [ ;a ]. Parametr a před druhou mocninou ovlivňuje tvar a orientaci parabol a -vou souřadnici jejího vrcholu s rostoucí hodnotou a se parabol posunují nahoru a zužují se =( x + ) + - - x - -
Kladné hodnot parametru a znamenají tvar ďolíku, záporné tvar kopečku. Čím je větší absolutní hodnota parametru a, tím je graf užší. Pedagogická poznámka: Výpis předpisů v řešení předchozího příkladu není samoúčelný. Studenti mají značný problém s dvojitým výsktem parametru v předpisu funkce. Častou chbou je, že studenti začínají od funkce ( x ) ( x ) = +. = místo funkce Př. 8: Je dána rovnice x a + a = s neznámou x R a parametrem x a R. Pomocí grafického znázornění a proveď diskusi řešitelnosti vzhledem k parametru. Nakreslíme si obě stran rovnice: Levá strana: parametrický sstém funkcí s odmocninou. Všechn funkce mají stejný a; a. tvar, liší se podle hodnot parametru polohou počátku, který je vžd v bodě [ ] Pravá strana: lineární lomená funkce =. x = x - 0 + 0 - - x - - dvě řešení pro a jedno řešení pro a ( ; žádné řešení pro a > Shrnutí: Parametrické sstém funkcí jsou obdobou parametrických rovnic. Při jejich kreslení potřebujeme znát vliv jednotlivých konstant na graf funkce. 5