VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií. doc. Ing. Lubomír Brančík, CSc.

VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ Faulta eletrotechny a omunačních technologí doc. Ing. Lubomír Brančí, CSc. ANALÝZA CITLIVOSTÍ V SOUSTAVÁCH S ROZPROSTŘENÝMI PARAMETRY SENSITIVITY ANALYSIS IN DISTRIBUTED PARAMETER SYSTEMS TEZE PŘEDNÁŠKY K PROFESORSKÉMU JMENOVACÍMU ŘÍZENÍ V OBORU TEORETICKÁ ELEKTROTECHNIKA BRNO 8

KLÍČOVÁ SLOVA Analýza ctlvotí, outava rozprotřeným parametry, vícevodčové přenoové vedení, operátorová oblat, čaová oblat, Laplaceova tranformace, ntegrta gnálu KEY WORDS Sentvty analy, dtrbuted parameter ytem, multconductor tranmon lne, Laplace doman, tme doman, Laplace tranform, gnal ntegrty Lubomír Brančí, 8 ISBN 978-8-4-38- ISSN 3-48X

OBSAH PŘEDSTAVENÍ AUTORA... 4 ÚVOD... 5 FORMULACE ŘEŠENÍ U SOUSTAVY S VÍCEVODIČOVÝMI PŘENOSOVÝMI VEDENÍMI... 6 3 CITLIVOSTI PODLE SOUSTŘEDĚNÝCH PARAMETRŮ SOUSTAVY... 7 4 CITLIVOSTI ODVOZENÉ ZE SPOJITÝCH MODELŮ VPV... 8 4. METODA KONVERZE ŘETĚZOVÉ A ADMITANČNÍ MATICE VEDENÍ... 8 4.. Obecné řešení pro případ nehomogenního vedení... 8 4.. Ctlvot na změny prmárních parametrů vedení... 4..3 Ctlvot na změnu dély vedení... 4..4 Ctlvot na změny fyzálních parametrů... 4..5 Zjednodušené řešení pro případ homogenního vedení... 4..6 Ctlvot napětí a proudu na vodčích vedení... 4 4. METODA ZALOŽENÁ NA MODÁLNÍ ANALÝZE... 5 4.. Ctlvot na změny prmárních parametrů vedení... 6 4.. Ctlvot na změnu dély vedení... 7 4.3 PŘÍKLADY ANALÝZY CITLIVOSTÍ... 8 4.3. Stanovení ctlvotí v čaové oblat... 8 4.3. Ctlvot v lneární hybrdní outavě... 9 4.3.3 Ctlvot napětí a proudu na vodčích vedení... 5 CITLIVOSTI ODVOZENÉ ZE SEMIDISKRÉTNÍCH MODELŮ VPV... 3 5. VYUŽITÍ ŘETĚZOVÉ MATICE MODELU... 4 5. APLIKACE METODY STAVOVÝCH PROMĚNNÝCH... 5 5.. Formulace tavové rovnce modelu a její řešení... 6 5.. Ctlvot podle rozprotřených parametrů... 7 5..3 Ctlvot podle outředěných parametrů... 8 5.3 PŘÍKLADY ANALÝZY CITLIVOSTÍ... 9 6 ZÁVĚR... 3 LITERATURA... 3 ABSTRACT... 35 3

PŘEDSTAVENÍ AUTORA Lubomír Brančí e narodl v roce 96 v Kyjově. Vytudoval Střední průmylovou šolu eletrotechncou v Brně, obor Radoeletroncá a dělovací zařízení (976 98). Vyoošolé vzdělání zíal na Faultě eletrotechncé Vyoého učení techncého v Brně v oboru Mroeletrona (98 985). Dplomovou prác obhájl na téma Využtí měření šumu dagnotce tlutovrtvých hybrdních ntegrovaných obvodů. Abolvoval vědecou apranturu pracovníů šolcích pracovšť na Útavu nedetrutvní dagnoty FE VUT v Brně ve vědním oboru Měřcí techna (989 99). Kanddátou dertační prác obhájl na téma Aplace víceparametrových metod nedetrutvního zoušení pro rozlšování truturního tavu feromagnetcých materálů (993). Habltoval e v oboru Teoretcá eletrotechna, habltační prác obhájl na téma Technque of tme-doman mulaton of tranmon lne baed on Laplace tranformaton method na FEKT VUT (). V roce 985, do nátupu na záladní vojenou lužbu, pracoval v TESLE Lanšroun,. p. jao techn, oncem rou 986 pa rátce na OVC VŠ ČVUT v Praze jao odborný pracovní a v PIKAZ Praha,. p., poboča Brno, jao atent. Od rou 987 je zamětnán na Vyoém učení techncém v Brně, Faultě eletrotechny a omunačních technologí (dříve FEI, FE). Do rou 989 pracoval na Katedře teoretcé a expermentální eletrotechny jao odborný pracovní ve upně dagnoty feromagnetcých materálů, v letech 989 99 na Útavu nedetrutvní dagnoty. V letech 993 5 půobl na Útavu teoretcé a expermentální eletrotechny potupně jao techncý pracovní (do rou 994), jao pedagogco-vědecý pracovní a odborný atent (do rou ), po habltac v roce pa jao docent. Od rou 5 pracuje na pozc docenta na Útavu radoeletrony FEKT VUT v Brně. V pedagogcé oblat byl potupně zapojen do výuy předmětů Teoretco-eletrotechncé pratum, Eletrcá měření a Teore eletromagnetcého pole (laboratorní cvčení, do rou 994), Teoretcá eletrotechna I a II (laboratorní a numercá cvčení, 994 ). Byl garantem předmětu Eletrotechna baalářého tudjního programu EEKR na FEKT, výuu vedl v předmětech Eletrotechna a (přednášy, laboratorní a počítačová cvčení, 5). Od rou 5 je garantem předmětu Analogové eletroncé obvody baalářého tudjního oboru EST, programu EEKR na FEKT, ve terém přednáší a vede laboratorní, numercá počítačová cvčení. Je zapojen do výuy předmětu Eletroncé pratum téhož tudjního oboru a programu. Od rou 6 e rovněž podílí na výuce dotorého předmětu Návrh moderních eletroncých obvodů. V roce 5 byl přededou oborové rady dotorého tudjního oboru Teoretcá eletrotechna na FEKT, od rou 6 pa jejím členem. Doud byl vedoucím baalářých, 3 dplomových a dotoré dertační práce, teré byly na FEKT úpěšně obhájeny. Je autorem a poluautorem ttulů rpt, včetně ttulu czojazyčného. V odborné oblat byl dříve zapojen do výzumu nedetrutvního zoušení feromagnetcých materálů, především v oblat zpracování naměřených dat (do rou 994). Přblžně od rou 995 e zabývá výzumem numercých metod v teor obvodů, počítačovou mulací eletrcých outav rozprotřeným parametry, především outav vícevodčovým přenoovým vedením, aplací Laplaceovy tranformace a numercého řešení nverzní LT v eletrotechnce. Byl zodpovědným řeštelem projetu GA ČR Smulace a optmalzace míšených eletroncých ytémů ohledem na ntegrtu gnálů (3 5) a členem týmu řeštelů projetu GA ČR Eletrcá mpedanční tomografe ve ztrátovém protředí (3 4). Dále byl zapojen do výzumných záměrů FEKT Eletroncé omunační ytémy a technologe (999 4) a Mroeletroncé ytémy a technologe ( 4), atuálně pa v záměru Nové trendy v mroeletroncých ytémech a nanotechnologích (od 5). Je autorem a poluautorem 4 článů v čaopech (7 zahrančních), 8 přípěvů na onferencích (45 zahrančních) a 6 výzumných zpráv ( meznárodní). Doud byly jeho práce ctovány ve 4 čaopecých č onferenčních článcích (35 v zahrančí), na vé práce má rovněž dalších 9 doložtelných odezev (8 ze zahrančí), jao jou vyžádání opí prací č programových ódů pro numercou nverz Laplaceových obrazů. Je členem dvou meznárodních profeních organzací: IEEE (U.S.A) a IEICE (Japono). Atuálně zatává func přededy Čeolovené ece IEEE pro ro 8. 4

ÚVOD Hlavní motvace pro tudum ctlvotí v outavách rozprotřeným parametry úzce ouví problematou řešení tzv. ntegrty gnálů ve míšených (analogově-dgtálních) eletroncých obvodech. V taovýchto ytémech pracujících v oučané době na velm vyoých hodnových frevencích jou reálné propojovací trutury vodvé cety dee plošných pojů, drátové poje, přívody pouzder, vývodní olíy, onetory a abeláž hlavním fatory, teré způobují poruchy ntegrty gnálu a mohou být příčnou špatné funce zařízení. Tyto poruchy vznají v důledu nehomogent přenoové cety, náhodným změnam fyzálních parametrů a taé nteracem něterým prvy ytému jeho oolím. V rámc oučané mroeletroncé technologe e otázy ntegrty gnálu řeší př návrzích propojovacích cet na ubtrátech čpů. Všechny apety problematy ntegrty gnálu mohou být zahrnuty do dvou záladních ategorí, totž čaového eřízení a valty gnálu. V této ouvlot muí být zajštěny dva požadavy: první, aby gnál dorazl do cíle v době, dy je očeáván, druhý, aby gnál dorazl v přjatelné valtě a mohl ta být oretně vyhodnocen a zpracován. Záladní přehled řešené problematy lze nalézt např. v nhách [] [6]. V oučaných vyoorychlotních ytémech může fyzální a mechancý návrh podtatně ovlvnt ntegrtu gnálu a tedy polehlvý přeno dat. Identface a řešení problematy ntegrty gnálů e tává naléhavější polu e zvyšováním hodnové frevence. Př návrhu dee plošných pojů, modulů multčpů pouzder ntegrovaných obvodů muí být proto požadavy na ntegrtu gnálů a eletrcé parametry loubeny tradčním návrhovým dcplnam, CAD, logcým návrhem, mechancým návrhem analýzou polehlvot. Přblžně před čtvrt toletím mohly být ještě propojovací trutury považovány za deální vodče, nulovou mpedancí zpožděním. Pro přenášené gnály byly proto uvažovány jao deálně proputné. U většny eletroncých zařízení, teré pracují hodnovým frevencem nad MHz nebo náběžným hranam ratším něž n, jž nelze propojovací trutury za deálně proputné uvažovat. Vlvem jejch reálných fyzálních vlatnotí e začínají projevovat vlvy zpoždění gnálu, jeho zrelení, odrazy přelechy mez gnálovým vodč. U rozáhlých ytémů e távají vztahy mez obvodovým parametry a rtér návrhu velm omplované. Objevuje e proto potřeba optmalzace návrhu, př teré jou parametry propojovacích trutur použty v celém jeho průběhu. Metodam optmalzace přenoových trutur e zabývá celá řada prací, např. [7] [5]. Aplace výonných optmalzačních techn založených zpravdla na gradentních metodách je podmíněna znalotí ctlvotí výtupních odezev daného ytému. Př výpočtu ctlvotí e všeobecně užívá metody adjungovaného obvodu [6], [7]. S rotoucí frevencí přenášených gnálů e eletrcá déla propojovacích trutur tává podtatnou čátí jejch vlnové dély, dy onvenční modely propojovacích trutur založené na jednoduchých článcích e outředěným parametry jž adevátně nepopují jejch utečné vlatnot. Týá e to ale např. velm dlouhých lových vedení v energetce, de př nízých frevencích je podmína rovnatelné vlnové dély a geometrcých rozměrů plněna. Toto vede potřebě použtí modelů vázaných přenoových vedení rozprotřeným parametry. Vícevodčová přenoová vedení (VPV) jou charaterzována matcem prmárních parametrů na jednotu dély, teré mohou být ontantní (případ homogenních VPV), nebo proměnné po délce vedení (případ nehomogenních VPV), frevenčně nezávlé závlé [8]. Právě pro tanovení ctlvotí podle parametrů VPV byla vypracována celá řada pecalzovaných metod. Lteratura [9] [35] mapuje něteré tyto práce za zhruba polední čtvrt toletí, další práce a nové přítupy řešení e tále objevují. Předládané teze e zaměřují především na ty metody, ve terých má jejch autor vůj vlatní příno [36] [6]. Výjmu tvoří metoda modální analýzy [], terá je uvedena jao jedna z nejrozšířenějších metod pro homogenní VPV, a ovšem taé výpočetní rámec pro řešení celé outavy, modfovaná metoda uzlových napětí (MMUN) [6], terá byla v řadě ctovaných prací rovněž použta. Kromě pojtých modelů VPV, teré vedou na řešení matcových telegrafních rovnc, jou zde uvedeny záladní emdrétní modely VPV vedoucí na řešení rozáhlých outav obyčejných dferencálních rovnc, v závlot na zvolené dretzac modelu. 5

FORMULACE ŘEŠENÍ U SOUSTAVY S VÍCEVODIČOVÝMI PŘENOSOVÝMI VEDENÍMI Budeme uvažovat lneární outavu, terá etává z čát prvy e outředěným parametry a P podytémů, teré jou tvořeny vícevodčovým přenoovým vedením (VPV), tedy prvy parametry rozprotřeným, vz obr.. () () () () () P () P VPV VPV VPV P () u () u () u () u () u P () u P Čát outavy prvy e outředěným parametry Obr. Soutava vícevodčovým přenoovým vedením V další čát práce budou odvozeny rovnce pro tanovení ctlvotí na oba druhy parametrů. V prvním případě to budou ctlvot na změnu odporu reztorů, apacty apactorů a ndučnot ndutorů, ve druhém případě pa ctlvot na změnu prmárních parametrů vícevodčových přenoových vedení, vč. jejch dély. Pro naše účely budou uvažovány pouze VPV nulovým počátečním napětím a proudy podél všech vodčů. Rovnce popující hybrdní outavu v čaové oblat může být velm obecně formulována pomocí modfované metody uzlových napětí (MMUN) [6] ve tvaru P dv() t H A +HRv() t + D () t = j () t, () dt = de H A je matce tvořená parametry aumulačních prvů, H R pa matce tvořená parametry prvů reztvních, obě řádu N N, v(t) je N loupcový vetor uzlových napětí, terá jou doplněna proudy nezávlým napěťovým zdroj a ndutory, j(t) je N loupcový vetor parametrů nezávlých budcích zdrojů. Vetor (t), řádu n, obahuje proudy vtupující do -tého VPV, D je pa tranformační matce řádu N n, prvy d,j {,}, terá zobrazuje vetor (t) do protoru uzlových napětí outavy. Aplací Laplaceovy tranformace na () dotáváme rovnc MMUN v operátorovém tvaru P H + H V() + D I () = J() + H v (). () ( ) R A A = Přílušné -té VPV etává z m = n atvních vodčů a může být proto považováno za m -bran. Vetor I ( ) v rovnc () je proto ložen ze dvou dílčích vetorů defnujících proudy vtupní () () a výtupní brány, I () [ (), ()] T = I I. Budeme-l uvažovat pouze nulové počáteční podmíny, lze admtanční rovnc -tého VPV zapat ve tvaru I () = Y () U (), (3) () () de vetor U () [ (), ()] T = U U je ložen ze dvou dílčích vetorů defnujících napětí vtupní a výtupní brány daného VPV. Po doazení (3) do () dotáváme výlednou rovnc MMUN jao ( ) V H J H v, (4) - () = () () + A () 6

de pro matc outavy platí P = R + A + = T H() H H D Y () D. (5) Způob nalezení admtanční matce Y ( ) vícevodčových přenoových vedení bude podrobněj ovětlen v dalších čátech. V první řadě bude prezentována metoda založená na onverz řetězové na admtanční matce [37], dále pa metoda vyplývající z aplace modální analýzy []. První z obou metod bude rozpracována rovněž pro vedení nehomogenní. Uvažujme nyní parametr γ, vzhledem němuž bude ctlvot počítána. Dále uvažujme rovnc (4) v upraveném tvaru H() V() = J() + H v (). (6) Dervací (6) podle parametru γ dotáváme A H() V() HA V() + H() = v (), (7) de byly uváženy nulové dervace J() γ = v() γ =, neboť ctlvot podle vntřních proudů/napětí nezávlých budcích zdrojů ctlvot podle počátečních podmíne aumulačních prvů nejou uvažovány. Z rovnce (7) onečně dotáváme V() - HA H() = H () v() V (). (8) Rovnce je obecně platná, další řešení pa bude rozděleno podle typu uvažovaného parametru γ. 3 CITLIVOSTI PODLE SOUSTŘEDĚNÝCH PARAMETRŮ SOUSTAVY Nechť γ je outředěný parametr něterého prvu obvodu. Je proto jtě obažen buď v matc H A nebo H R. Uvážíme-l dále vztah pro matc outavy (5), dotáváme V případě, že γ zatímco je-l γ V() H H = ( ) - A R H () v() V() V (). (9) ha je parametr aumulačního prvu, pa V() h A H H () v() V (), () ( ) A = ha hr parametr prvu reztvního, pa V() = h R H R H () V (). () hr Ja lze nadno uázat, vz např. [], je-l prve zapojen mez -tým a j-tým uzlem, dervace matc v rovncích () nebo () lze zapat jao ( e - )( - ) T ej e e j, de e je loupcový vetor řádu N, jednotou na -té pozc a nulam na pozcích otatních. Poud je j-tý uzel uzlem referenčním, T potom je přílušná matce rovna ee. 7

4 CITLIVOSTI ODVOZENÉ ZE SPOJITÝCH MODELŮ VPV Uvažujme γ jao parametr -tého VPV. Může to být jeho déla, prve obažený v jeho matc prmárních parametrů č lbovolný fyzální parametr, terý tuto matc ovlvňuje. Parametr γ je proto obažen v admtanční matc Y ( ) v (5). Vyjdeme-l z (8) a uvážíme-l (5), dotáváme neboť pro všechna j je Yj () γ =. V() Y () T = H () D DV (), () Abychom tanovl ctlvot (), je třeba nejdříve tanovt dervac admtanční matce VPV Y (). Forma admtanční matce VPV a její dervace záví především na modelu, terým je vedení v outavě reprezentováno. V prncpu lze užít modely pojté (VPV je popáno telegrafní rovncí v matcovém tvaru), emdrétní (VPV je dretzováno v protorové ouřadnc typcy aádní pojení zobecněných Π (T) článů e outředěným parametry) č plně drétní (dretzace je provedena ja v čaové, ta protorové oblat typcy aplace FDTD metody). Vedle uvedeného dělení lze použít různé přítupy v rámc dané ategore. Zde prezentované řešení patří do ategore modelů pojtých, přčemž je použto nového potupu ve rovnání potupy běžně užívaným. Specálně v případě homogenních VPV je nejčatěj užíváno metody modální analýzy []. Metoda vyžaduje řešení outavy lneárních rovnc pro nalezení ctlvotí vlatních vetorů a vlatních číel jao jeden z roů, přčemž zobecnění pro vedení nehomogenní je poměrně problematcé. Popovaná metoda je založena na onverz řetězové a admtanční matce VPV, terá umožňuje bez větších obtíží pracovat vedením nehomogenním [39]. 4. METODA KONVERZE ŘETĚZOVÉ A ADMITANČNÍ MATICE VEDENÍ 4.. Obecné řešení pro případ nehomogenního vedení Uvažujme obecně nehomogenní VPV dély l, matcem prmárních parametrů R (x), L (x), G (x) a C (x). V čaové oblat můžeme pát telegrafní rovnce v matcovém tvaru [8] u( x, t) - R( x) u( x, t) L( x) u( x, t) = x ( x, t) - ( x) ( x, t) ( x) t ( x, t). (3) G C Po uvážení nulových počátečních podmíne (tj. nulových napětí a proudů rozložených podél všech vodčů VPV), můžeme pát rovnc (3) v operátorovém tvaru jao de U( x, ) = L { u( x, t) } a I( x, ) = { ( x, t) } d U( x, ) - Z(x, ) U( x, ) dx ( x, ) = - ( x, ) ( x, ), (4) I Y I L jou loupcové vetory Laplaceových obrazů napětí a proudů v geometrcé ouřadnc x, je nulová matce. V předchozí rovnc e rovněž objevují podélná měrná mpedance (5) a příčná měrná admtance (6) v operátorových tvarech Formálně lze rovnc (4) pát ve tvaru Z ( x, ) = R ( x) + L ( x), (5) Y ( x, ) = G ( x) + C ( x). (6) dw( x, ) = M( x, ) W ( x, ), (7) dx 8

de Rovnce (7) má známý tvar řešení M( x, ) = - Y ( x, ) - Z (x, ). (8) W( x, ) = Φ ( ) W( x, ), (9) x x x de čtvercová matce Φ () x je tzv. ntegrální matce (matrzant), terou lze vyjádřt pomocí Volterova oučnového ntegrálu [6] Φ x x x [ M ξ dξ] () = E+ (,). x () Budeme-l nyní uvažovat vtup VPV pro x = a jeho výtup pro x = l, pa ntegrální matce l Φ () předtavuje v termnolog teore vícebranů řetězovou matc Φ (), tedy Φ Φ () Φ () l () = = () () () Φ Φ Φ přčemž det Φ ( ) =, neboť VPV je recproctním n-branem. Označíme-l proto rovnce (9) má tvar, () () () () W(, ) = W ( ) = [ U ( ), I ( )] T, () () () () W(, l) = W ( ) = [ U ( ), I ( )] T, (3) () () U () Φ() Φ () U () () = () () () (). (4) I Φ Φ I () Po úpravě (4) dotáváme admtanční rovnce VPV odpovídající rovnc (3) jao de admtanční matce má tvar () () I () Y() Y () U () () = T () () () (), (5) I Y Y U () Φ () Φ() Φ () Y() = T, (6) ( Φ () ) Φ () Φ () T přčemž rovnot Y() = Y () je dána recproctou VPV. Admtanční matce (6) tanovené pro všechny VPV v outavě jou potřebné v rovnc (5), tedy pro výpočet matce outavy u MMUN. Abychom určl dervac Y () pro rovnc (), je dotatečné určt dervace ubmatc admtanční matce (6). Dotáváme () Y () () () () = Φ Φ Φ Φ, (7) Y() Φ () =, (8) () () Y () () () = Φ Φ Φ Φ, (9) 9

de Y() Y() = T, (3) Φ () Φ() = Φ () Φ (). (3) Pro nalezení dervace admtanční matce je tedy třeba nalézt dervac řetězové matce (), tedy Další řešení bude rozděleno podle typu parametru γ. Φ() Φ () l Φ() Φ () = =. (3) Φ() Φ () 4.. Ctlvot na změny prmárních parametrů vedení Prmární parametry vícevodčového přenoového vedení jou reprezentovány čtvercovým matcem R (x), L (x), G (x) a C (x), teré rovněž určují matc M(x,) podle (8). Proto je parametr γ obažen v této matc, což determnuje metodu dervace ntegrální matce (). Je známo, že ntegrální matce vyhovuje vztahu [6] Φ () = Φ () Φ () LΦ () Φ () LΦ () Φ (), (33) xm xm xm x x x x x xm xm x x x x de m značí počet ntervalů. Zvolíme-l x = a x m = l, lze rovnc (33) použít pro určení přblžné l matce Φ (), neboť obecně nelze přené řešení nalézt. Využjeme toho, že pro M(x,) M(), tj. dy matce M není funcí ouřadnce x, vede ntegrální matce () na exponencální func matcového argumentu. Rozdělíme-l rozah ntegrace na dotatečně malé ntervaly Δx = x - x -, =,,...,m, vede rovnce (33) na m xm (, ) x x () e M ξ Δ = Φ, (34) de pro ξ ( x, x) jou matce M ( ξ, ) uvažovány ontantní a pořadí náobení odpovídá (33). Zároveň bude vlatnot (33) využto pro tanovení dervace řetězové matce (3). Vyjdemel z (33), můžeme pát rovnc x () x () x Φ = Φ Φ (), (35) a její dervací reurentní vztah x x x x x x Φx () Φ () () x Φ x x x = Φx () + Φ () x, (36) vycházeje z =. Výledy jou pouze přblžné, neboť př výpočtu je užto exponencální funce matce pro přblžný výpočet matce ntegrální dle vztahu (34). Vedle toho záví přenot na metodě výpočtu amotné exponencální funce matce a její dervace. Použít lze např. jejího rozvoje do Taylorovy řady, dy pro dervac dílčí ntegrální matce dotáváme x M( ξ, ) () Δx r r Φx e ( Δx ) (, ) M ξ =, (37) r! pro dervac r-té mocnny matce M lze pa užít dalšího reurentního vztahu r=

r ( ξ, ) ( ξ, r M ) r (, ) ( ξ, )+ ( ξ, ) ξ = M M M M, (38) vycházeje z r =. Důležtým fatem pro pratcý výpočet je to, že e zvyšujícím e počtem členů v rovnc (34), tj. e zmenšujícím e ntervaly Δx, e požadave na počet členů v neonečné řadě (37) velm rychle nžuje. Ja je zřejmé, př známých dervacích M (,) x je problém vyřešen. V závlot na parametru γ lze dále udat čtyř varanty dervace podle tab.. Parametr γ R( x) γ L( x) γ G( x) γ C( x) R M(,) x ( x ) ( x L ) ( x ) G ( x ) C Tab. Dervace matce M podle různých parametrů γ Další metody pro výpočet dervace exponencální funce matce vz např. práce [53] [56]. Dervac admtanční matce VPV potřebné př výpočtu ctlvot () pa nalezneme pomocí vztahů (7) (3). Předpoládejme dále, že všechny prvy matc prmárních parametrů lze vyjádřt jao jté parametrcé funce, tedy R( x) = Rj ( rj, x), L( x) = Lj ( lj, x), G( x) = Gj ( gj, x), C( x) = Cj ( c j, x), (39),j =,,...,n, de r j, l j, g j a c j jou vetory počtem n r, n l, n g a n c parametrů. Označme obecně výše uvedené matce zápem P ( ) (, ) x = P p x, (4) j de p j je vetor n p parametry. Dále defnujme n loupcový vetor e obahující jednču na -té pozc a nuly na pozcích otatních. Pa můžeme dervac P ( x) vyjádřt náledovně. Pro -tý parametr dagonálního prvu, tedy γ p j p, jao P ( ) (, ) x P p x T = ee, (4) p p =,,...,n, zatímco pro -tý parametr prvu na nedagonální pozc, tedy γ p j j p, jao P (, ) ( x) Pj pj x T T = ( ee j + eje ), (4) p p j j,j =,,...,n, j, a to z důvodu ymetre matc prmárních parametrů, de platí rovnot P j = P j. Výše uvedené vztahy vedou na matce jedným (rovnce (4)) č e dvěma (rovnce (4)) nenulovým prvy. V případě, že budeme uvažovat parametr p, terý je polečný pro více č pro všechny vetory p j, dotaneme matc přílušným počtem nenulových prvů. Tato je v prncpu rovna oučtu výše uvedených matc počítaných pře přílušné ndexy. 4..3 Ctlvot na změnu dély vedení Předpoládejme parametr γ l. Protože e déla vedení nevyytuje v matcích prmárních parametrů, pa uvážíme-l vlatnot ntegrální matce (), rovnce (3) má jednoduchý tvar Φ() = M(, l) Φ ( ). (43) l

Př uvážení (8) pro M(l,) a () pro Φ() dotáváme po roznáobení Φ() Ζ(, l) Φ( ) Z(, l) Φ( ) = l (, l) ( ) (, l) ( ) Y Φ Y Φ. (44) Srovnání (44) a (3) dává dervace potřebné v rovncích (7) (3). Doončením ubttucí, další úpravou př uvážení (5) a (6) lze dervac admtanční matce vyjádřt ve tvaru T Y() Y() Z(,) l Y() Y() Z(,) l Y() = T l Y() Z(,) l Y() Y() Z(,) l Y() Y (,) l Výlede bude použt v rovnc () pro výpočet ctlvot V () l.. (45) 4..4 Ctlvot na změny fyzálních parametrů Konečně uvažujme γ jao obecný fyzální parametr VPV, např. parametr ouvející jeho geometrcým upořádáním, jao je šířa, tloušťa č vzdálenot mez vodč, dále parametr ouvející vlatnotm materálu vodčů č deletra apod. Taovýto parametr může ovlvnt obecně všechny matce prmárních parametrů (39). Proto taé všechny parametry p j, =,,...,n p, teré defnující nehomogentu matce (4), budou parametrem γ ovlvněny. Dervac admtanční matce potřebné pro výpočet ctlvot dle () pa určíme aplací řetězového pravdla. Použjeme-l značení z předchozího odtavce, můžeme pát n n n () p Y Y() pj = p de n značí řád matce prmárních parametrů VPV. p= { r,, l g, c} = j= = j, (46) 4..5 Zjednodušené řešení pro případ homogenního vedení Z pratcého hleda je velm důležté nalézt rovnce pro vícevodčová přenoová vedení homogenní. Mohou být odvozeny přímo z výše uvedené teore, přčemž dochází podtatnému zjednodušení. Především vztah () pro ctlvot zůtává v platnot. Všechna zjednodušení pa vyplývají z metody tanovení admtanční matce Y() a její dervace Y (). V tomto případě v důledu ontantních matc prmárních parametrů R, L, G a C jou podélná měrná mpedance Z () dle (5), příčná měrná admtance Y () dle (6) a proto matce M() dle (8) nezávlé na geometrcé ouřadnc x. Náledem toho přechází Volterův oučnový ntegrál () v exponencální func matce Řetězová matce () má pa tvar ( x x ) Φ x ( ) x () = e M. (47) M( x, ) = M( ) Φ () Φ () Φ() = = e Φ M( ) l Τ () Φ(), (48) Τ de dentta Φ() = Φ () vyplývá z podélné ouměrnot VPV. Admtanční matce (6) e pa zjednoduší do tvaru Φ () Φ () Φ () Y() =, (49) Φ () Φ () Φ()

de byly užty dentty Y T () = Y () a Y() = Y (). Pro nalezení dervace admtanční matce Y () proto tačí použít rovnce (7), (8) a (3). Dervace řetězové matce (3) přtom přechází na problém výpočtu dervace exponencální funce matcového argumentu Φ() Φ() () γ γ Φ e = = Τ Φ γ () Φ() Ctlvot na změny prmárních parametrů vedení M( ) l. (5) Abychom nalezl dervac (5) podle parametru γ, terý je prvem matce M(), použjeme něterou z metod pro dervac exponencální funce matcového argumentu [55]. Zde e omezíme pouze na jednu z možnotí, na rozvoj do Taylorovy řady Pa můžeme pát e M( l ) r l r = M (). (5) r! r= r r Φ () l ( ) = M, (5) r! r= podobně jao tomu bylo ve vztahu (37) pro -tý element Δx v případě nehomogenního vedení. Reurentní vztah pro dervac r-té mocnny matce M() vyplývající z (38) je pa tvaru vycházeje z r =. r r- M () () r- () = M M ()+ M () M, (53) Dervace matce M () jou dány tab., de uvažujeme ontantní matce prmárních parametrů. Uvážíme-l dále formální označení P pro matce prmárních parametrů VPV zavedené v rovncích (4) a (4), dotáváme P =ee T, (54) pro γ P P, a podobně P P = ee + e e, (55) T T j j P j pro γ Pj P, j. Protože jou u matc C a G prvy mmo hlavní dagonálu záporné, lze zde taé uvažovat dervace podle parametru γ P j, což by vedlo e změně znaména dervace (55). Ctlvot na změnu dély vedení V případě homogenního vedení přechází dervace (5) na tandardní dervac exponencální funce, neboť matce M() je zde nyní ontantou. Rovnc (43) lze pa pát jao Φ() = M() Φ() = Φ () M(), (56) l neboť oučn matc je v tomto případě omutatvní. Pa má taé (44) dva evvalentní tvary 3

Φ() Z () Φ () Z () Φ () Φ () Y ( ) Φ () Z ( ), (57) T = = T l () () () () () ( ) () ( ) Y Φ Y Φ Φ Y Φ Z což vede e zjednodušení dervace admtanční matce (45) do tvaru Y() Y() Z() Y() Y() Z() Y() = l () () () () () (). (58) Y Z Y Y Z Y Ctlvot na změny fyzálních parametrů Konečně budeme uvažovat parametr γ jao obecný fyzální parametr, terý může ovlvnt hodnoty všech matc prmárních parametrů R, L, G a C. K výpočtu dervace admtanční matce potřebné ve vztahu () e tanovení ctlvotí užjeme opět řetězového pravdla. Rovnce (46) přechází do tvaru n n Y() Y() Rj Y() Lj Y() Gj Y() C j = + + +, (59) = j= Rj Lj Gj Cj de Rj R, Lj L, Gj G a Cj C jou ontantní prvy přílušných matc prmárních parametrů (v předchozím odtavc značené jao P j ). 4..6 Ctlvot napětí a proudu na vodčích vedení Výše uvedené potupy umožňují nalézt nejen ctlvot velčn ve vetoru modfované metody uzlových napětí, tj. napětí v uzlech a proudů ve větvích dané outavy, ale taé vyřešt rozložení napětí a proudů podél jednotlvých vodčů VPV a jejch ctlvot na změny všech dříve uvažovaných parametrů. Dále budou uvedeny dva možné přítupy. Aplace řetězové matce VPV Uvedené řešení vychází přímo z metody onverze řetězové matce VPV na matc admtanční, ja bylo popáno v předešlých čátech práce. Metoda bude formulována obecně pro nehomogenní vedení, pro vedení homogenní platí opět jtá zjednodušení. Vyjdeme z rovnce (9), dy její dervací podle parametru γ př uvážení x = dotáváme x W( x, ) Φ () x W(, ) = W(, ) + Φ ( ), (6) de W (, ) a W (, ) záví na hrančních podmínách VPV, tj. na vlatnotech a řešení celé hybrdní outavy na obr., zatímco Φ x () a Φ x () γ vyjadřují vlatnot přílušného VPV, vz rovnce () a (36). Hranční podmína (), tj. je tvořena prvním ubvetory vetorů T () () [ ] W(, ) = U(, ), I(, ) = ( ), ( ) T U I, (6) () () T T () (), () () U = U U = D V, (6) () () T () (), () () () I = I I =Y U, (63) de V ( ) je řešení hybrdní outavy (4) a Y ( ) je admtanční matce VPV (6). Matce tranponovaná tranformační matce zavedená rovncí (). Druhou podmínu, matc T D je 4

() W(, ) U(, ) U () = = () (, ), (64) I I () nyní můžeme nalézt jao první ubvetory dervací výše uvedených vetorů (6) a (63), tedy U U () U () () () T V() = = () D I I () Y U I () () () () () = () () () = U + Y γ γ γ γ, (65), (66) de dervace řešení outavy V () je dána rovncí (8) a dervace admtanční matce VPV Y () pa rovncem (7) (3). V řešení (6) jou tedy obaženy abolutní ctlvot napětí proudů rozložených podél vodčů přílušného VPV, v ubvetorech U ( x, ) a I ( x, ). Aplace dvojrozměrné Laplaceovy tranformace Metoda zde uvedená je použtelná pouze pro VPV homogenní. Je totž založena na Laplaceově tranformac v proměnné ouřadnce x aplované na řešení v operátorové oblat (9). Pro homogenní VPV lze (9) pát ve tvaru ( ) x W( x, ) = Φ ( x, ) W(, ) = e M W(, ), (67) dy řetězová matce VPV přešla v exponencální func matcového argumentu, M() je dána (8), př uvažování parametrů homogenního vedení, tedy Z () = R + L a Y () = G + C. Aplací Laplaceovy tranformace podle x dotáváme { } { M ( ) x } ( ) W( q, ) = L W( x, ) = L e W(, ) = qi-m( ) W(, ), (68) x x de I značí jednotovou matc. Dotal jme ta řešení v (q,) oblat, teré odpovídá aplac dvojrozměrné Laplaceovy tranformace na původní matcovou parcální dferencální rovnc (3) formulovanou ovšem pro případ homogenního VPV. Hlavním přínoem je především mnohem nazší nalezení dervace (68) podle parametru γ, terý je prvem matc prmárních parametrů, ve rovnání dervací (67), dy bylo třeba hledat dervac exponencální funce matce. Pro abolutní ctlvot v (q,) oblat pa můžeme pát [47] W(,) q M() W(,) = ( qi-m() ) ( qi-m() ) W (,) +, (69) de hranční podmíny W (, ) a W (, ) jou dány rovncem (6) (66) výše, dervace M () záví na parametru γ dle tab., př uvážení homogenty VPV. 4. METODA ZALOŽENÁ NA MODÁLNÍ ANALÝZE Uvažujme matcovou rovnc (4) pro případ homogenního VPV, a to v rozepaném tvaru du( x, ) = Z()(,) I x, (7) dx di( x, ) = Y () U (,) x, (7) dx de Z () = R + L oreponduje rovncí (5), Y () = G + C pa rovncí (6). 5

Dervacem (7) a (7) podle x př ubttuc vždy druhé z rovnc obdržíme amotatné rovnce pro vetory napětí a proudu d U( x, ) = Z () Y() U (,) x, (7) dx d I( x, ) = Y () Z()(,) I x. (73) dx Vázané dferencální rovnce (7) (73) lze pomocí lneární podobnotní tranformace převét do eparovaného tvaru, vz např. []. Označme vlatní číla oučnu matc Z ()Y () z rovnce (7) jao λ () a jm přdružené vlatní vetory jao x (), =,,...,n. Z množny druhých odmocnn vlatních číel vytvoříme dagonální matc Λ () = dag λ (), λ (), K, λ (), (74) ( ) a dále matc, ve teré budou vlatní vetory tvořt přílušné loupce, tedy [ ] Pa může být admtanční matce vyjádřena ve tvaru [] přčemž matce de l značí délu vedení. n S () = x (), x (), L, x (). (75) U Y() Y() SI() E() SU () SI() E() SU () Y() = () () =, (76) Y Y SI() E() SU () SI() E() SU () n S () = Z () S () Λ (), (77) I U ( λ λ λ ) E () = dag coth (),coth l (), l K,coth () l, (78) ( λ λ λ ) E ( ) = dag nh ( ) l, nh ( ) l, K, nh ( ) l, (79) 4.. Ctlvot na změny prmárních parametrů vedení Ja je z rovnce (76) zřejmé, admtanční matce vedení Y() obahuje pouze dva různé prvy jao důlede jeho recprocty a homogenty. Pro nalezení její dervace proto tačí nalézt dervace de dále platí Y() SI () E() SU () = E() + SI() Y() S U (), (8) Y() SI () E() SU () = E() + SI() Y() S U (), (8) SI () SU () Λ() Z() = Z () Λ () + SU() SI(). (8) Dervace Λ (), E () a () γ E záví na ctlvotech vlatních číel, dežto dervace S () γ na ctlvotech vlatních vetorů. Abychom je nalezl, vyjdeme ze záladní dentty U ( ) λ () I Z () Y () x () =, (83) =,,...,n, de I značí jednotovou matc a nulový vetor. Dervací (83) podle γ dotáváme n n 6

( λ ) ( Z () Y () ) x λ () I Z () Y () x () x (), (84) () () + = =,,...,n. Matcová rovnce (84) má být řešena vzhledem dervac přílušného vlatního číla a dervacím prvů vlatního vetoru. Máme tedy n+ neznámých, ale pouze n rovnc daných (84). Soutava je proto doplněna rovncí, terá vychází z normalzační podmíny vlatního vetoru [] Dervace (85) totž vede na vztah T x () x () =. (85) T () () x x =, (86) terý bude polední rovncí v outavě. Sloučíme-l tedy (84) a (86), hledané řešení má tvar de výraz na pravé traně x () ( () () ) γ Z Y λ () () () () () I Z Y x x = γ T λ () (), (87) x ( ) Z () Y () () () = Z Y() + Z () Y (88) lze jž nadno nalézt ze známých matc prmárních parametrů. Soutavu (87) je třeba vyřešt pro všechny =,,...,n. Ve vetoru aždého -tého řešení pa předtavuje prvních n prvů dervac x, terá je -tým loupcem matce S, vz vztahy (8) (8), polední prve je vždy dervace λ () γ, ze teré e určí Vztah (89) pa louží etavení matce a taé matc U λ = λ ( ) () λ (). (89) Λ() λ() λ () n() dag, λ,, = K, (9) E () λ () l = dag l + λ () γ nh λ ( l ) γ γ = E () coh λ () l λ () l = dag l + λ () γ nh λ ( l ) γ γ = n n, (9), (9) užtých v rovncích (8) (8). Z uvedených vztahů je zřejmé, že př výpočtu ctlvotí na změny prmárních parametrů vedení dojde e zjednodušení, totž ve vztazích (9) a (9) je l γ =. 4.. Ctlvot na změnu dély vedení Protože je v tomto případě γ l, je v rovncích (9) a (9) dervace l l =. Kromě toho dochází dalšímu podtatnému zjednodušení, neboť vlatní číla an vlatní vetory nejou funcí dély vedení. Proto jou zde nulové dervace λ () l = a v rovncích (8) (8) odvozené 7

dervace Λ () l =, S U () l = S () I l =. Dervac admtanční matce lze proto nalézt pomocí zjednodušených vztahů (8) a (8), totž Y() E() = SI() S U (), (93) l l Y() E() = SI() S U (), (94) l l přčemž E() λ() λ() λn () = dag,, K,, (95) l nh λ( ) l nh λ( ) l nh λn ( ) l E() coh λ() l coh λ() l coh λn ( l ) = dag λ (), λ (), K, λ () n. (96) l nh λ( ) l nh λ( ) l nh λn ( ) l Není tedy nutno opaovaně řešt ytém lneárních rovnc dle (87), neboť jeho řešení je nulové. 4.3 PŘÍKLADY ANALÝZY CITLIVOSTÍ 4.3. Stanovení ctlvotí v čaové oblat Ctlvot v čaové oblat jou počítány na záladě vztahů pro ctlvot v operátorové oblat, aplací vhodné metody pro numercou nverzní Laplaceovu tranformac (NILT), totž v() t - V() = L. (97) Počítány jou přtom emrelatvní ctlvot v() t Sγ ( v (),γ t ) = γ, (98) teré zachovávají fyzální rozměr přílušné velčny, zde tedy napětí č proudu. Pro případ ctlvotí napětí a proudů rozložených podél vodčů VPV e pa počítá dle vztahu w( x, t) (, ) = L, (99) W x je-l pro řešení použta metoda založená na řetězové matc VPV v operátorové oblat, nebo je užto vhodné metody pro numercou nverzní Laplaceovu tranformac dvou proměnných, tedy w( x, t) W( q, ) = L xt, () bylo-l pro řešení užto metody založené na dvojrozměrné Laplaceově tranformac. Pratcy pa bude opět vyhodnocena emrelatvní ctlvot w( x, t) Sγ ( w ( xt, ),γ) = γ. () V dále uvedených příladech je užta NILT založená na FFT a quotent-dfference algortmu, terá je algortmcy přzpůobena pro rychlou nverz Laplaceových obrazů ve vetorovém a matcovém tvaru [57], [58]. Pro případ dvojrozměrné NILT je použta metoda založená na témže prncpu [59], [6]. 8

l 4.3. Ctlvot v lneární hybrdní outavě Uvažujme lneární hybrdní outavu na obr., terá obahuje tř (+) vodčová přenoová vedení déle l =.5m, l =.4m a l 3 =.3m [36]. 5Ω C =pf R =5Ω VPV pf VPV 5Ω Ω v cro v out v n 75Ω Ω 5Ω 5Ω VPV 3 nh Ω Ω pf Obr. Lneární hybrdní outava e třem VPV V náledující čát budou uvedeny výledy výpočtů ctlvotí na změny něterých parametrů přenoových vedení outředěných parametrů outavy. Matce prmárních parametrů VPV jou Re Re Le Le Ge Ge Ce Ce rx rx lx lx gx gx cx cx ( x) =, ( x) =, ( x) =, ( x) = rx rx lx lx gx gx cx cx R e Re L e Le G e Ge Ce Ce R L G C, () př R = R = 75Ω/m, R = 5Ω/m, L = L = 496.6nH/m, L = 63.3nH/m, G = G =.S/m, G = -.S/m, C = C = 6.8pF/m, C = -4.9pF/m. Jou zde tedy zavedeny nehomogenty exponencálního typu, pomocí oefcentů r j = l j =.4 a g j = c j = -.4,, j což vede na.5 náobně větší č menší hodnoty ve rovnání počátem vedení. Zbývající dvě vedení, VPV a VPV 3, jou uvažována jao homogenní matcem prmárních parametrů (), ovšem př r j = l j = g j = c j =,, j. V obrázcích jou rovnány případy, dy je VPV uvažováno jao nehomogenní homogenní, vz popy výše. Budcím napětím v n (t) je mpulz výšy V, náběžnou a etupnou hranou.5 n a šířou 7.5 n (obr. 3), de je uvedena napěťová odezva obvodu v out (t). Na obr. 4 6 jou pa uvedeny emrelatvní ctlvot na změnu dély l (obr. 4) a prvů matc prmárních parametrů R a C (obr. 5), vše pro vedení VPV, a dále na změny outředěných parametrů obvodu R a C (obr. 6). Input/output voltage (volt)..8.6.4. v n v out (nonunform) v out (unform) -...4.6.8. Tme (econd) x -8 (volt) Semrelatve entvty S MTL..5 -.5 -. -.5 nonunform unform -...4.6.8. Tme (econd) x -8 Obr. 3 Napěťová odezva obvodu v out Obr. 4 Semrelatvní ctlvot podle dély S(v out,l ) 9

R (volt) Semrelatve entvty S MTL 4 x -3 - -4-6 nonunform unform -8..4.6.8. Tme (econd) x -8 L (volt) Semrelatve entvty S MTL.6.4. -. -.4 nonunform unform -.6..4.6.8. Tme (econd) x -8 a) b) Obr. 5 Semrelatvní ctlvot podle rozprotřených parametrů: a) S(v out,r ), b) S(v out,l ) Semrelatve entvty S R (volt)..5 -.5 -. -.5 -. -.5 nonunform unform -.3..4.6.8. Tme (econd) x -8 Semrelatve entvty S C (volt).8.6.4. -. -.4 -.6 nonunform unform -.8..4.6.8. Tme (econd) x -8 a) b) Obr. 6 Semrelatvní ctlvot podle outředěných parametrů: a) S(v out,r ), b) S(v out,c ) Uážeme rovněž, ja lze počítat ctlvot podle fyzálních parametrů VPV. Uvažujme opět outavu na obr., ovšem bezeztrátovým VPV dle obr. 7, parametry daným (3) (5). ploché vodče w l lamnát, ε r h zemncí dea d Obr. 7 Dvojvodčové páové vedení nad zemncí deou εε r w h w C = C KL KC ln +, C = C εε r KC C, 4π h d h μμ r h μμ r h L = L ln +, L = L L, 4π d KL w (3)

de π h ε 8h w w K =, K = K, Z 6ln + pro Z w w 4h h r( eff ) L C L ( εr = ) ( εr = ) ε r, (4) ε r je relatvní permtvta, ε = 8.85488 Fm - &, r( eff ) ε je funcí výšy h a šířy w, podrobněj 7 - vz [63], μ r je relatvní permeablta a μ = 4π Hm. Výpočet byl proveden pro geometrcé rozměry w =.58mm, h =.7mm a d =.49mm. Z těchto hodnot pa vyplývají matce prmárních parametrů na jednotu dély 493. 63.4 nh = 63.4 493. m L &, 69.6 7.9 pf C = & 7.9 69.6. (5) m Dély jednotlvých VPV jou tejné jao v předešlém případě. Na obr. 8 je emrelatvní ctlvot přelechového napětí v cro podle poměru wd, př ontantním hw, u vedení VPV. (volt) Semrelatve entvty S MTL w/d.5..5 -.5 -. -.5..4.6.8. Tme (econd) x -8 Obr. 8 Semrelatvní ctlvot S(v cro,w/d) 4.3.3 Ctlvot napětí a proudu na vodčích vedení Na obr. 9 jou přílady vypočtených ctlvotí napětí rozložených na prvním vodč druhého vedení MTL počítané na záladě čátečné řetězové matce v operátorové oblat a nálednou aplací NILT [58], dle (99) a (). Je zde uvažována outava na obr. původně zavedeným nehomogentam všech VPV v ouladu matcem (). Voltage emrelatve entvty on the t wre of MTL Voltage emrelatve entvty on the t wre of MTL R (volt) S MTL x -3 5-5 L (volt) S MTL..5 -.5 -.4. Dtance (meter).5 Tme (econd) x -8 -..4. Dtance (meter) a) b) Obr. 9 Semrelatvní ctlvot: a) S(v (x,t),r ), b) S(v (x,t),l ).5 Tme (econd) x -8

Na dalších obrázcích jou přílady ctlvotí pro případ homogenních VPV, matcem prmárních parametrů (), ovšem př rj = lj = gj = cj =,, j, tedy 75 5 Ω 494.6 63.3 nh.. S 6.8 4.9 pf R =, L =, G =, C =. (6) 5 75 m 63.3 494.6 m.. m 4.9 6.8 m Výpočet byl proveden použtím metody D Laplaceovy tranformace a aplací D NILT [59] dle (), obr., a použtím metody řetězové matce a aplací NILT [58] dle (99), obr.. Voltage entvty on the t wre of MTL Voltage entvty on the t wre of MTL x -3.5 SMTL (volt) L MTL SR (volt) 5 -.5.4-5.4.3..5 Dtance (meter). x -8.5. Dtance (meter) Tme (econd) a) -8 Tme (econd) Voltage entvty on the t wre of MTL Voltage entvty on the wre of MTL. SC (volt).5.5 MTL MTL x b) t SG (volt) -.5 -. -.5 -.5.4 -..4.3..5. Dtance (meter).3. x -8.5. Dtance (meter) Tme (econd) x -8 Tme (econd) c) d) Obr. Semrelatvní ctlvot: a) S(v(x,t),R), b) S(v(x,t),L), c) S(v(x,t),G), d) S(v(x,t),C) Voltage emrelatve entvty on the t wre of MTL Current emrelatve entvty on the t wre of MTL x. (ampere) -. R R (volt) -. - S S -3 -.3.4 -.4. Dtance (meter).5 Tme (econd)..5-8 x Dtance (meter) Tme (econd) a) b) Obr. Semrelatvní ctlvot napětí a proudu: a) S(v(x,t),R), b) S((x,t),R) -8 x

5 CITLIVOSTI ODVOZENÉ ZE SEMIDISKRÉTNÍCH MODELŮ VPV Semdrétní model vícevodčového přenoového vedení bude tvořen aádním pojením článů e outředěným parametry, tj. dochází zde dretzac geometrcé ouřadnce x, ča zůtává pojtou velčnou. Původní outavy parcálních dferencálních rovnc přechází v čaové oblat na outavy obyčejných dferencálních rovnc, v operátorové oblat pa na outavy rovnc algebracých [64]. Počty článů e v prax volí ohledem na nejvyšší mtočtové ložy, teré jou v přenášeném gnálu obaženy, příp. podle trvání nejratších náběžných č etupných hran přenášených mpulzů []. Záladem modelu je zobecněný Π nebo T článe jaožto obvod e outředěným parametry, vz chematcá znázornění na obr.. + R L u C G + C G u + a) zobecněný Π článe b) zobecněný T článe Obr. Stavební bloy emdrétního modelu vícevodčového přenoového vedení V obrázu jou vyznačeny vetory napětí u a proudů, nehomogenní VPV je popáno matcem R = R (ξ )Δx, L = L (ξ )Δx, G = G (ξ )Δx a C = C (ξ )Δx, de Δx = x x -, =,,...,m, přčemž x = a x m = l, de l značí délu vedení a m počet článů jeho modelu. Konečně R (x), L (x), G (x) a C (x) jou matce prmárních parametrů vyjádřené v ouřadncích ξ ( x, x). Zpravdla e volí evdtantní dělení Δx = Δx = l/m,, a dále ξ = (x - + x )/ na tředu ntervalu. Na obr. 3 je aádní pojení zobecněných Π článů v rozrelené podobě, pro dva atvní vodče ( a j) nad polečným vodčem zpětným, vč. vyznačených vazeb a možného buzení z externích zdrojů. Uvedená značení odpovídají egmentu homogenního vedení. vodč vazby vodč j Obr. 3 Segment modelu homogenního vícevodčového přenoového vedení 3

5. VYUŽITÍ ŘETĚZOVÉ MATICE MODELU Oba výše uvedené modely jou pro dotatečně vyoý počet článů pratcy rovnocenné. Jou přímo použtelné pro výpočet ctlvotí dle rovnce (), onverzí přblžné řetězové matce %Φ () na admtanční matc Y % ( ). V operátorové oblat na záladě teore vícebranů dotáváme pro řetězovou matc tého zobecněného Π článu VPV (vz obr. a) Z() Y() In + Z() Φ% () =, (7) Y() Z() Y() Z() n + () I Y In + 4 =,,...,m, de Z () = R + L a Y () = G + C jou mpedance podélné a admtance příčné větve článu, I n je jednotová matce řádu n, uvažujeme-l vedení n atvním vodč. Celová řetězová matce modelu je pa dána oučnem dílčích řetězových matc jednotlvých článů m ( m) = = = Φ% () Φ% () Φ % (). (8) ( ) Označíme-l v ouladu e (8) Φ% () = Φ% () Φ% () KΦ% () Φ % () jao umulatvní oučn prvních dílčích řetězových matc, pa na záladě rovnot ( ) ( ) Φ% () = Φ% () Φ % () (9) můžeme pát reurentní vztah pro výpočet dervace řetězové matce dle parametru VPV jao ( ) ( ) Φ% () Φ% () ( ) % () = % () + % Φ Φ Φ (), () () =,3,...,m, přčemž Φ % () = Φ % (). Pro odlšení řetězové matce emdrétního modelu VPV od řetězové matce modelu pojtého byla zvolena vlnova nad znaem matce. Je zřejmé, že je zde jtá výpočtová podobnot případem nehomogenního vedení, teré jme popal pojtým l modelem ntegrální matcí Φ (), vz (34). Záadní rozdíl je vša v tom, jaým způobem tyto modely popují homogenní VPV. Rovnce (34) u pojtého modelu vedla přenému řešení danému exponencální funcí matce, zatímco rovnce (8) je vždy přblžná a záví na jemnot dělení, tedy počtu článů modelu m. Zde e pouze zjednoduší vyhodnocení vztahů (8) a (), neboť ja dílčí řetězovou matc (7), ta její dervac (vz dále), tačí tanovt pouze jednou. Výledná řetězová matce homogenního vedení je pa rovna mocnně matce m Φ% ( ) = Φ % ( ), () de %Φ ( ) je dílčí řetězová matce (7), ontantní. Rovnce () pa přejde do tvaru d d () () Φ% d Φ% d d () d () d() % = % + % Φ Φ Φ, () =,3,...,m, odud je výše zmíněné výpočtové zjednodušení zřejmé. Pro vyhodnocení () č () jž tedy tačí tanovt dervac dílčí řetězové matce (7) podle přílušného parametru γ. Je zřejmé, že výlede lze nadno nalézt dervacem jednotlvých ubmatc matce %Φ ( ) (),,j =,. Můžeme proto pát j 4

Φ% () Z() Y() () () = Y + Z, (3) Φ% () Z() =-, (4) Φ% () Y() Z() Y() Z() Y() =- Z() + Y() Y() n + 4 I 4, (5) Φ% () Y() Z() () () = Z + Y. (6) Potřebné dervace Z ()/ a Y ()/ ve vztazích (3) (6) lze nalézt dle tab. v závlot na typu parametru γ. Zde je uváženo evdtantní dělení VPV délou úeů Δx = l/m. Parametr γ R( x) γ L( x) γ G( x) γ C( x) γ l Z () R ( ) x l L ( x ) l Z ( x, ) m m m Y () G ( x ) l C ( x ) l Y ( x, ) m m m Tab. Dervace matc Z () a Y () podle parametru γ Pro dervace matc prmárních parametrů jž platí vše, co bylo uvedeno v ouvlot e pojtým modelem v ap. 4.., vz rovnce (39) (4). Měrná podélná mpedance a příčná admtance byly zavedeny rovncem (5) a (6). Rovněž přílušná zjednodušení pro homogenní vedení vyplývají z ap. 4..5, vz rovněž [5]. 5. APLIKACE METODY STAVOVÝCH PROMĚNNÝCH Dále prezentovaný způob výpočtu vychází z popu modelu metodou tavových proměnných. Odvození zde bude opět uázáno pro model tvořený aádou zobecněných Π článů dle obr. a. V tomto případě vša nejou brány v úvahu branové proudy, ale proud ndutorem jaožto tavové velčny, v obrázu vyznačen čárovaně. Vedle toho jou zde tavovým velčnam dvě napětí na apactorech. Podobně by pro případ T článu dle obr. b bylo bráno v úvahu tavové napětí na apactoru vyznačeno čárovaně namíto napětí branových. Pro lepší ovětlení metody vyjdeme z modelu jednoduchého přenoového vedení, terý je zde reduován na aádní pojení pouhých dvou Π článů [49], [5], vz obr. 4. R Z R d L d R d L 3 d 3 Z Z3 RZ3 C d G d u Z u u u C d 3 Z C d G d G d u Z3 R Z u Z Obr. 4 Reduovaný model jednoduchého přenoového vedení aáda dvou Π článů 5

Každý uzel v obvodu může být napájen z externího zdroje, u něhož budeme předpoládat extenc Thévennova náhradního modelu nenulovým vntřním odporem. Tento předpolad je plně oprávněný, má-l model vyjadřovat vlatnot reálného eletrcého obvodu. Případná počáteční napětí apactorů a počáteční proudy ndutorů předtavují počáteční rozložení napětí a proudů podél atvního vodče. Je zřejmé, že v daném obvodu extuje pravý trom, aplací myčových proudů a řezů proto nadno odvodíme tavové rovnce (7). Cd u ( t) Gd GZ u () t GZ uz( t) C d u( t) Gd GZ u d () t G Z uz( t) Cd u3( t) = Gd + GZ 3 Ld dt u3() t + GZ3 uz3( t) ( t) Rd () t L d 3( t) R d 3() t. (7) Hranční podmíny původního vedení jou repetovány matcem vntřním vodvotm G Z a vetorem vntřním napětím u Z (t), =,,3, náhradních modelů externích budcích zdrojů (obvodů). V našem příladě tedy Π člány modelu vedly na 5 tavových proměnných, 3 napětí apactorů a proudy ndutorů. Obecně povede m článů na m+ tavových proměnných, m+ napětí na apactorech a m proudů ndutory. Proudy náhradním modely zdrojů e pa určí ze vztahu Z = (u Z u )/R Z. Stavová rovnce reduovaného modelu (7) bude nyní zobecněna pro m článový model vícevodčového přenoového vedení, vz obr. a a taé obr. 3. 5.. Formulace tavové rovnce modelu a její řešení Vzhledem tomu, že vícevodčové přenoové vedení (VPV) je charaterzováno matcem prmárních parametrů pro vedení homogenní L, R, C a G, řádu n n pro n atvních vodčů, přechází alární prvy tavové rovnce (7) v matce, v příp. napětí a proudů pa ve loupcové vetory. Formálně proto můžeme pát tavovou rovnc [5] de byla zavedena náledující označení. Vetor dx() t M = ( H+P) x() t + Pu () t, (8) dt [ ] x() t = u (), t () t T (9) C je vetorem neznámých tavových proměnných. Obecně pro m článový model obahuje tento vetor n(m+) prvů, teré jou eupeny do ubvetorů řádu n, totž u C (t) obahuje m+ vetorů napětí na apactorech a L (t) pa m vetorů proudů ndutory. Aumulační matc lze pro případ homogenního VPV etavt pomocí ubmatc L C M = () L C= Im+ C d a = m d L I L, () de I m+ a I m jou jednotové matce (řádu daného přílušným ndexem), ymbol značí tzv. Kronecerův tenzorový oučn matc, C d = C l/m a L d = L l/m. Reztvní matce může být vytvořena obdobně pomocí ubmatc G E H= T () -E R G = Im+ G d a = m d R I R, (3) de G d = G l/m a R d = R l/m. Submatce E má truturu odpovídající rovnc (7), dy prvy ± a jou zaměněny matcem ±I n (jednotovou) a (nulovou). 6

Vztahy () a (3) platí pouze pro homogenní vedení, pro vedení nehomogenní je třeba užít obecnější potup, totž etavt bloově dagonální matce repetujíce přtom proměnné matce prmárních parametrů podél vedení. Zdrojová matce Y Z P= (4) obahuje čtvercovou ubmatc Y Z, terá záví na parametrech externích budcích zdrojů. Zvolený pop obvodu předpoládá extenc regulárních zobecněných Thévennových náhradních modelů, tj. extenc nverzní matce vntřní odporové matc modelu R Z. Proudové vetory zdrojů jou pa dány rovncí Z = RZ( uz u ), =,,...,m+, přčemž množna matc R Z tvoří bloovou dagonálu ubmatce Y Z. Zde je třeba poznamenat, že případné nenulové nedagonální prvy v odporové matc R Z vyjadřují externí reztvní vazby mez přílušným uzly daného článu modelu VPV. V modelu na obr. 3 by tomu odpovídaly odpory R j Z (mez uzly a j), teré zde jž z důvodu přehlednot nejou zareleny. Z obr. 3 je taé zřejmé, že daný model je vhodný pro účely, dy je třeba analyzovat odezvy na buzení v lbovolných uzlech (na různých mítech původního VPV), což je v modelu vyznačeno čárovaně. Konečně vetor [ t ] T u () t = u (),, (5) de u Z (t) obahuje vetory vntřních napětí zobecněných Thévennových evvalentů. Z Aplací Laplaceovy tranformace na (8) a úpravou dotáváme řešení v operátorovém tvaru de x() = L { x() t } a u() = { u() t } a = () t t = ( ) ( ) x() = H+ P+ M Mx + Pu (), (6) L značí Laplaceovy obrazy čaově závlých proměnných x x je vetor počátečních podmíne. Z operátorového řešení je zřejmé, že toto může být rozšířeno na VPV napájené č zatížené obvody aumulačním prvy, ce protřednctvím matce P P(). Podobně lze repetovat frevenční závlot matc prmárních parametrů, zde rze matce M M() a H H(). Na záladě řešení (6) lze nyní formulovat abolutní ctlvot v operátorové oblat, totž dervací podle parametru γ a úpravou dotáváme x() H M P = ( H+ P+ M) x() + ( x() x ) + ( x() u () ). (7) Další řešení bude rozděleno podle typu parametru γ. 5.. Ctlvot podle rozprotřených parametrů Je-l parametr γ prvem něteré matce prmárních parametrů L, R, C, G nebo délou vedení l, je dervace P/ = a z rovnce (7) vyplývá x() ( ) H M = H+ P+ M x() + ( x() x ), (8) de dervace v ouladu rovncem () a () jou dány vztahy M C = L podrobněj pa v závlot podle parametru γ v tab. 3. a H G =, (9) R 7

Parametr γ C γ L γ G γ R γ l M H A C C j L L j A A l = I G Aj Aj m G j R R j C G l l A A L = I R l m l l Tab. 3 Dervace matc M a H podle parametru γ Označíme-l A lbovolnou z matc prmárních parametrů a A odpovídající matc podle () nebo (3), jou přílušné dervace určeny pravým loupcem tabuly 3, de I I m+ nebo I I m jou odpovídající jednotové matce. 5..3 Ctlvot podle outředěných parametrů V tomto případě je parametr γ prvem matce Y Z defnující truturu externích obvodů, je tedy prvem matce P. V důledu toho jou dervace M/ = H/ = a ze (7) dotáváme de v ouladu e (4) je dervace x() P = ( H+ P+ M) ( x() u () ), (3) P YZ =. (3) Je-l γ R Z odpor obažený ve vntřní matc R Z zobecněného Thévennova modelu, pa R R - Z Z R = R R (3) - Z - Z Z RZ je ubmatcí na odpovídající dagonální pozc matce Y Z / R Z, nulam všude jnde. S rozvojem výpočetní techny ve měru zvyšující e rychlot velot operační pamět lze v oučanot řešt problémy, teré vedou na outavy řádů tíců rovnc na běžném oobním počítač. Potupy analýzy emdrétních modelů vícevodčových přenoových vedení, teré jou založeny na metodě tavových proměnných, vedou právě na tato rozáhlé outavy. Vhodným programátorým přítupem, zde využtím řídých matc, lze řešení provét bez nutnot použtí techn reduce řádu outavy []. 8