Několik řešených příkladů do Matematiky Vektory V tomto textu je spočteno několik ukázkových příkladů které vám snad pomohou při řešení příkladů do cvičení. V textu se objeví i pár detailů které jsem nestihl na které jsem zapomněl v cvičení. Vektorový prostor Vektorový prostor V nad tělesem R je množina V pro jejíž prvky je definováno násobení skalárem reálným číslem a u V a R u V a sčítání u + v V u v V. Prvky vektorového prostoru nazýváme vektory. Násobení vektoru skalárem a sčítání vektorů má navíc tyto vlastnosti ab u = ab u u + v + w = u + v + w u + v = v + u a u + v = a u + a v a + b u = a u + b u u = u kde a b R u v w V. Dále zde existuje nulový prvek 0 pro který platí v + 0 = 0 + v = 0 kde v V. A ke každému vektoru u V existuje vektor u V pro který platí u + u = 0 = u + u. Příkladem vektorového prostoru nad R jsou všechny n-tice reálných čísel u u... u n u u... u n R pro které definujeme násobení skalárem a sčítání vektorů jako a u = au u... u n = au au... au n u + v = u u... u n + v v... v n = u + v u + v... u n + v n. Tento vektorový prostor budeme označovat jako R n. Poznámka: Vektoru tvaru a u + a u +... + a m u m kde a a... a n R u u... u m V říkáme lineární kombinace vektorů u u... u m. Báze a dimenze vektorového prostoru lineární nezávislost Uvažujme vektorový prostor V a v něm systém n vektorů u u... u n. O tomto systému řekneme že je lineárně nezávislý pokud pro rovnici a u + a u + + a n u n = 0
s neznámými a a... a n R existuje jediné řešení a = 0 a = 0... a n = 0. Pokud není systém vektorů lineárně nezávislý tak říkáme že je lineárně závislý. Předpokládejme že systém vektorů u u... u n je lineárně závislý. To znamená že existuje řešení rovnice takové že alespoň jedno z čísel a a... a n je nenulové. Předpokládejme že je tímto nenulovým číslem například a n a rovnici upravme do tvaru u n = a a n u + a a n u + + a n a n u n. Vektor u n tedy lze vyjádřit jako lineární kombinaci ostatních vektorů. Této vlastnosti můžeme užít k tomu abychom lineární nezávislost vektorů definovali i jiným způsobem. Lineární nezávislost sytému vektorů můžeme definovat také pomocí požadavku že žádný z vektorů tohoto systému nelze vyjádřit jako lineární kombinaci ostatních vektorů tohoto systému s výjimkou případu kdy máme puze jeden vektor v tomto případě je systém lineárně nezávislý pokud je vektor nenulový. Lineárně nezávislý systém vektorů e e... e n z vektorového prostoru V pro který platí to že přidáme-li k němu libovolný další vektor u V tak dostaneme lineárně závislý systém nazýváme bází vektorového prostoru. Lze ukázat že existuje-li báze obsahující konečný počet vektorů tak i všechny ostatní báze obsahují stejný počet vektorů a počet těchto vektorů nazýváme dimenzí vektorového prostoru. Příklad: Jsou dány vektory u = u = 4 u = u 4 = 0 určete zda jsou tyto vektory lineárně nezávislé pokud nejsou tak z nich vyberte maximální počet lineárně nezávislých vektorů. Řešení: Aby byly vektory lineárně nezávislé tak musí mít rovnice a u + a u + a u + a 4 u 4 = 0 pro neznámé a a a a 4 jediné řešení. Dosazením za u u u u 4 dostáváme a + a 4 + a + a 4 0 = a + a + a a + 4a a + a 4 = 0 0. Jedná se o systém rovnic o neznámých který můžeme přepsat pomocí matice 0 0 4 0 kterou můžeme upravit na schodovitý tvar 0 0. 4 0 0 0 Vidíme že tato soustava má nekonečně mnoho řešení zadaný systém vektorů tedy není lineárně nezávislý. Vynecháme-li však v matici ty sloupce které neobsahují žádný vedoucí člen vedoucí člen je první nenulový člen v řádku schodovité matice tj. druhý a čtvrtý sloupec tak dostaneme matici 0 0 0 která odpovídá soustavě rovnic mající jediné řešení. Uvědomíme-li si že sloupce matice 4 odpovídají jednotlivým vektorům v rovnici tak je jasné že vynechání sloupců matice odpovídá vynechání patřičných vektorů v rovnici. To že jsme v matici vynechali druhý a čtvrtý sloupec tedy znamená že uvažujeme systém vektorů ve kterém jsme vynechali druhý a čtvrtý vektor tj. systém u u. Vektory u a u tedy tvoří lineárně nezávislou podmnožinu vektorů u u u u 4.
Příklad: Doplňte vektory u = u = o další vektor tak aby tvořili bázi v R. První způsob řešení: Budeme předpokládat že hledaný vektor u má složky x y z. Aby byly vektory u u u lineárně nezávislé tak musí mít rovnice a u + a u + a u = a + a + a x a a + a y a + a + a z = 0 0 0 jediné řešení. Tuto soustavu zapíšeme pomocí matice x 0 x 0 y 0 0 y x 0 z 0 0 0 z x 0 Z tvaru této matice vidíme že soustava má řešení pouze tehdy platí li z x což splníme například volbou x = y = 0 z = 0. Vektory u u tedy můžeme doplnit o vektor u = 0 0. Druhý způsob řešení: Druhou možností jak řešit tento příklad je přidat k vektorům u u vektory e = 0 0 e = 0 0 e = 0 0 které sami o sobě tvoří bázi v R a z tohoto systému 5 vektorů vybrat lineárně nezávislé vektory tak aby dva z nich byly u u. Budeme tedy zkoumat rovnici a u + a u + a e + a 4 e + a 5 e = a + a + a a a + a 4 a + a + a 5 = 0 0 0 kterou zapíšeme pomocí matice 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0. 0 0 0 0 0 0 0 Vidíme že čtvrtý a pátý sloupec matice upravené do schodovitého tvaru neobsahují vedoucí členy čtvrtý a pátý vektor tedy vynecháme a zbydou nám vektory u u e které jsou lineárně nezávislé a tvoří bázi v R. Vektor zapsaný v bázi přechod mezi bázemi Necht V je n-dimenzionální vektorový prostor a e e... e n jeho báze. Přidáme-li k bázi další vektor u tak vzniklý systém e e... e n u již nebude lineárně nezávislý protože báze je tvořena maximálním počtem lineárně nezávislých vektorů a podobným způsobem jako jsme v rovnici vyjádřili vektor e n můžeme vyjádřit i vektor u tj. u = u e + u e + + u n e n = u i e i. Soubor čísel u u... u n pak nazýváme souřadnicemi vektoru u v bázi e e... e n a často je zapisujeme jako řádkovou matici u u... u n. Uvažujme nyní jinou bázi e e... vektorového prostoru V. Prvky nové čárkované báze jsou vektory vektorového prostoru V takže je můžeme vyjádřit pomocí vektorů nečárkované báze i= e = T e + T e +... + T n e n e = T e + T e +... + T n e n. = T n e + T n e +... + T nn e n
což zapíšeme jako e i = T ij e j. 5 j= Uspořádáme-li čísla T ij do matice tak že v i-tém řádku a j-tém sloupci bude číslo T ij tj. složka j-tá souřadnice vektoru e i v bázi e e... e n řádky matice T jsou tedy tvořeny souřadnicemi vektorů čárkované báze v nečárkované bázi tak budeme moci tento vztah zapsat také v maticovém zápisu jako e T T... T n e e T T... T n e. =... T n T n... T nn Matici T nazýváme maticí přechodu. Stejným způsobem můžeme vyjádřit také bázové vektory e e... e n nečárkované báze jako lineární kombinaci vektorů čárkované báze tj. e i = S ij e j. j= e S S... S n e e. = S S... S n e.... 7 e n S n S n... S nn Přičemž řádky matice S jsou tvořeny souřadnicemi vektorů nečárkované báze v čárkované bázi. Dosadíme-li 7 do 6 tak získáme rovnici e e e e e. = T e. = T S e e T S I.. = 0 e n která bude splněna tehdy když T S = I tj. tehdy když S = T T = S = T matice T a S jsou tedy vzájemně inverzní. Pro vyjádření vektoru u v bázi e e... e n dostáváme e e u = u i e i = e u u... u n. i=. = u u... u n T e. e n přičemž v poslední rovnosti jsme užili 7 Porovnáme-li tento výraz s vyjádřením vektoru u v bázi e e... u =. e n u i e i = u u... u e n. i= tak vidíme že souřadnice vektoru u v bázi e e... vypočteme z jeho souřadnic v bázi e e... e n pomocí vztahu u u... u n = u u... u n T 8 e 6 4
Podobně pro přepočet souřadnic vektoru u v bázi e e... na souřadnice v bázi e e... e n dostáváme u u... u n = u u... u n T. 9 Příklad: Uvažujte změnu báze e = e + e e = e e e = e vyjádřete vektor u = e + e + e pomocí čárkované báze a vektor v = e e + e pomocí nečárkované báze. Řešení: Ze vztahů zadávajících změnu báze určíme matici přechodu T T = 0 0. 0 0 K této matici vypočteme matici inverzní 0 T = 0. 0 0 Souřadnice vektoru u v bázi e e e jsou u u u = souřadnice v čárkované bázi e e e vypočteme pomocí vzorce 8 u u u = u u u T = 0 0 = 0 0 Vektor u tedy pomocí báze e e e zapíšeme jako. u = e e + e. Souřadnice vektoru v v bázi e e e jsou v v v = souřadnice v nečárkované bázi e e e vypočteme pomocí vzorce 9 0 v v v = v v v T = 0 = 0. 0 0 Vektor v tedy pomocí báze e e e zapíšeme jako v = e + e. Poznámka: Vztah mezi bází e e e a bází e e e jsme zapsali pomocí matice T jako e e = 0 0 e e e 0 0 e e = e + e e = e e e = e 5
což jsou vztahy uvedené v zadání. Matici T pak užijeme k tomu abychom dostali řešení této soustavy rovnic pro vektory e e e e 0 e = 0 e 0 0 e e e e = e + e e = e e. e = e Vektor u vyjádřený v bázi e e e tedy získáme tím že vektory e e e vyjádříme pomocí báze e e e tj. u = e + e + e = e + e + e e + e = e e + e. A to je přesně to co je skryto v nepěkně vypadajícím vzorci 8. Skalární součin Uvažujme vektorový prostor V nad R. Skalární součin je zobrazení : V V R které dvěma vektorům u v z vektorového prostoru V přiřadí reálné číslo u v. Pro skalární součin platí a u + a u v = a u v + a u v ua v + a v = a u v + a u v v u = u v u u 0 u u = 0 právě tehdy když u = 0. 0 Pro vektory u v vyjádřené v bázi e e... e n tj. dostáváme u = u v = u i e i v = i= n i= u i e i v j e j = j= i= j= v i e i i= u i v j e i e j přičemž při úpravách jsme užili první dvě pravidla z 0. Uvažujme bázi pro kterou platí e i e j = { i = j 0 i j Takovou bázi nazýváme ortonormální bází a výraz pro skalární součin se zjednoduší na u v = u i v i = u v + u v + + u n v n. i= Poznámka: V R n budeme uvažovat skalární součin u u... u n v v... v n = u v + u v + u n v n. 6
Poznámka: Definujeme-li velikost vektoru u jako pak dostaneme pro skalární součin vyjádření u = u u u v = u v cos φ kde φ je úhel mezi vektory u a v. O vektorech u a v tedy řekneme že jsou na sebe kolmé pokud u v = 0. Poznámka: Máme-li nenulový vektor u jenž nemá jednotkovou velikost můžeme ho normovat což znamená že vytvoříme nový vektor u = u u = u u u který je násobkem původního vektoru a platí pro něj u =. Uvažujme ortonormální bázi e e... e n. Budeme-li dále uvažovat další ortonormální bázi e e... ke které přejdeme z báze e e... e n pomocí matice přechodu T pak dostáváme podmínku n n l I ij = e i e j = T ik e k T jl e l = T ik T jl e k e l = T ik T jk = T T T ij k= l= k= k= kde I značí jednotkovou matici a kde jsme užili 5 a. Dostáváme tedy podmínku T T T = I a to znamená že platí T = T T. Změnu ortonormální báze na jinou ortonormální bázi tj. změnu báze zadanou maticí pro kterou platí T T T = I T T = T nazýváme ortonormální změnou báze. Příklad: Je zadána změna ortonormální báze k= e = e + e e = e + e ověřte že báze e e je rovněž ortonormální a zapište vektor u = e + e pomocí této báze. Řešení: Ze zadané změny báze určíme matici přechodu T = Aby byla touto maticí přechodu zadána změna ortonormální báze musí být výraz T T T jednotkové matici tj. T T T = 0 = = I. 0 roven Matice T tedy zadává ortonormální změnu báze. Inverzní matice k matici T je rovna matici transponované T = T T =. Ze souřadnic vektoru u v bázi e e u u = 7
vypočteme podle vzorce 8 jeho souřadnice v bázi e e u u = u u T = = Vektor u tedy pomocí báze e e vyjádříme jako Příklad: Jsou dány vektory u = e + e. u = 0 u =. Vektory normujte a doplňte je o další vektor u tak aby vektory u u u tvořili ortonormální bázi v R. Řešení: Přímým výpočtem zjistíme že pro vektory u u platí u u = u u = 0 u u = tj. že jsou na sebe kolmé a jejich velikost je a. Tyto vektory potřebujeme doplnit o další vektor u tak aby platilo u u = 0 u u = 0 u u =. Budeme předpokládat že vektor u má tvar u = x y z kde x y z jsou zatím neurčené neznámé. Dosadíme-li tento výraz do podmínek tak získáme soustavu rovnic u u = x + y = 0 u u = x y + z = 0 u u = x + y + z =. Z první rovnice dostáváme y = x. Odtud dosadíme za y do druhé rovnice čímž dostaneme z = x. Do třetí rovnice dosadíme za y a z čímž dostaneme x + x + x = 6x = tj. x = ± 6. Řešením jsou tedy vektory u = x y z = ±. 6 6 6 Dostáváme tedy dvě možnosti jak zvolit vektor u. Zbývá normovat vektory u u tj. u = u u = 0 = 0 Trojice vektorů u = 0 u = u = u u = =. u = x y z = ±. 6 6 6 tedy tvoří ortonormální bázi v R. Jiný postup který můžeme užít nalezení vektoru kolmého k vektorům u a v je vypočíst vektor jejich vektorový součin tj. u v a ten poté normovat. 8