.5.5 Potenciální energie Předoklady: 504 Pedagogická oznámka: Na dosazování do vzorce E = mg není nic obtížnéo. Problém nastává v situacíc, kdy není zcela jasné, jakou odnotu dosadit za. Hlavním smyslem odiny je tedy samostatná orientace studentů v dosazování srávnýc odnot. Potřebují na to jediné dostatek času. Není roto žádnou tragédií, okud nestinete oslední tři říklady, okud se studenti v ředcozím růběu odiny s dosazováním srávnýc odnot. Minulá odina: Jedním ze zůsobů, jak dodat kuličce energii, bylo její vyzvednutí nad stůl. Zvednutá kulička může sadnout, běem ádu na ní ůsobí gravitační síla, která koná ráci a zvětšuje kinetickou energii kuličky. Kinetická energie se nebere z ničeo kulička zvednutá nad stůl má dru energie, který souvisí s její oloou. Tento dru energie mají v gravitačním oli všecny zvednuté ředměty. Tento dru energie souvisí s oloou, nazývá se roto otenciální (oloová) energie. Udává se v Joulec. Př. : Představ si, jak Ti na lavu adají z výšky různé ředměty. Najdi veličiny, na kterýc závisí velikost otenciální energie těcto ředmětů řed začátkem ádu, a najdi vzorec ro velikost otenciální energie. Velikost otenciální energie závisí na: motnosti ředmětu m (těžší ředmět má více energie), výšce, ve které se ředmět nacází (ve větší výšce má více energie), síle gravitačnío ole (na Měsíci je gravitace slabší a roto nebudou zranění od adajícíc ředmětů tak vážná), sílu ole vyjadřujeme omocí gravitačnío zryclení g. vzorec E = mg. Pedagogická oznámka: Sílu gravitačnío ole je většinou třeba studentům nabídnout tím, že jim řiomenete, aby se ve svýc úvaác nezaměřovali ouze na Zemi. Vzorec vyadá velmi rozumně. Práce, kterou může díky ádu z výšky vykonat gravitační síla: W = Fs = Fg = mg = E. Př. : Stavební výta zvedl do výšky cily o motnosti 50 kg. Cily tak získaly otenciální energii 0000 J. Do jaké výšky výta cily zvedl? Jakou ráci výta ři zvedání ciel vykonal? Zvednuté cily mají otenciální energii: E E = mg. 0000 = = m = 6,7 m mg 50 0 Práce, kterou výta vykonal běem zvedání, se musí rovnat získané otenciální energii W = E = 0000 J
Výta zvedl cily do výšky 6,7 m a vykonal ři tom ráci 0000 J. Př. 3: Ve třídě, jejíž odlaa se nacází 8 m nad zemí, zvedl učitel ze stolu vysokéo 80 cm míč o motnosti 350g do výšky 60 cm nad stůl. Urči otenciální energii míče. Záleží na tom, kam by necal učitel míč sadnout. Míč by adal na stůl: je výška nad stolem = 60 cm = 0, 6 m E = mg = 0,35 0 0,6 J =,J. Míč by adal na odlau: je výška nad odlaou = 60 + 80 cm =, 4 m E = mg = 0,35 0, 4J = 4,9 J. Míč by adal na zem: je výška nad zemí = 60 + 80 + 800 cm = 9, 4 m E = mg = 0,35 0 9, 4J = 3,9 J. Pedagogická oznámka: Většina studentů oužije rvní dosazení, ale najdou se i takoví, kteří oužijí dosazení drué nebo dokonce i třetí. Možnost diskuse je zaručena vždy. Většinou už ři řešení říkladu se studenti tají, kterou odnotu mají oužít. Odovídám, že mají řešit říklad dle svéo nejlešío svědomí. Který z výsledků je srávný? Všecny výsledky jsou srávné. Při výočtu kinetické energie jsme získali různé výsledky v závislosti na tom, ze které vztažné soustavy jsme ředmět sledovali (vyazování ivní lave z vlaku). Při výočtu otenciální energie získáme různé výsledky v závislosti na tom, ze kteréo místa měříme výšku, ve které se ředmět nacází. Místu, odkud výšku měříme, říkáme místo s nulovou ladinou otenciální energie. Tělesa nacázející se v gravitačním oli mají otenciální (oloovou) energii. Potenciální energie tělesa se vždy vztauje ke dvěma bodům: oloze tělesa, místu, kde bycom otenciální energii ovažovali za nulovou (místo s nulovou ladinou otenciální energie). Ve výšce nad nulovou ladinou otenciální energie je otenciální energie tělesa o motnosti m určena vztaem: E = mg. Vzta latí ouze, když můžeme zanedbat změny velikosti gravitačnío zryclení (na Zemi v malýc vzdálenostec od ovrcu). Př. 4: Učebna má stro ve výšce 350 cm. Učitel vysoký 8 cm zvedl do výšky 60 cm nad odlaou třídnici o motnosti 50 g. Urči otenciální energii třídnice, okud se ladina nulové otenciální energie nacází: a) na úrovni odlay, b) na stole vysokém 75 cm, c) ve výšce 8 cm nad odlaou, d) ve výšce strou. Vysvětli význam znamének u jednotlivýc výsledků. a) Hladina nulové otenciální energie se nacází na úrovni odlay. Třídnice je 60 cm nad odlaou =,6m E = mg = 0,5 0,6J =,4J b) Hladina nulové otenciální energie se nacází na stole vysokém 75 cm.
Třídnice je 85 cm nad stolem = 0,85m E = mg = 0,5 0 0,85J =,3J c) Hladina nulové otenciální energie se nacází ve výšce 8 cm nad odlaou. Třídnice je cm od zadanou výškou 0,m = E ( ) = mg = 0,5 0 0, J = 0,3J d) Hladina nulové otenciální energie se nacází ve výšce strou. Třídnice je 90 cm od stroem,9 m E = mg = 0,5 0,9 J =,9 J = ( ) Záorné znaménko u odnoty otenciální energie znamená, že ředmět má nižší energii, než by měl v nulové ladině, a museli bycom mu energii dodat, aby se na nulovou ladinu dostal. Př. 5: Z výšky 30 cm nad stolem vysokým 75 cm sadne na zem kulička o motnosti 00 g. Urči její otenciální energii na očátku a na konci ádu. Urči změnu její otenciální energie běem ádu. Za ladinu nulové otenciální energie ovažuj odlau. m = 00g, E =?, E =?, =? E Počáteční otenciální energie: kulička je 05cm nad odlaou =,05m E = mg = 0, 0,05J =,05J. Konečná otenciální energie: kulička je na zemi E = 0. E = E E = 0,05J =,05J Kulička měla očáteční otenciální energii,05 J, konečnou otenciální energii 0 J. Při ádu se její otenciální energie změnila o,05 J. Záorné znaménko změny otenciální energie ři ádu je srozumitelné. Při ádu se otenciální energie kuličky zmenšuje. Př. 6: Z výšky 30 cm nad stolem vysokým 75 cm sadne na zem kulička o motnosti 00 g. Urči její otenciální energii na očátku a na konci ádu. Urči změnu její otenciální energie běem ádu. Za ladinu nulové otenciální energie ovažuj desku stolu. m = 00g, E =?, E =?, =? E Počáteční otenciální energie: kulička je 30 cm nad stolem = 0,3m E = mg = 0, 0 0,3J = 0,3J. Konečná otenciální energie: kulička je 70 cm od stolem = 0,75m ( ) E = mg = 0, 0 0,75 J = 0,75J. E = E E = 0,75 0,3J =,05J Kulička měla očáteční otenciální energii 0,3 J, konečnou otenciální energii 0,75 J. Při ádu se její otenciální energie změnila o,05 J. 3
Z ředcozíc dvou říkladů je vidět, že změna otenciální energie je na rozdíl o samotné otenciální energie nezávislá na volbě nulové ladiny otenciální energie. Je to logické změna výšky nezáleží na tom, odkud měříme. Př. 7: Když se malé děti učí codit, velice často adají. Přesto se jim většinou nic vážnéo nestane a rozodně nejsou následky jejic ádů tak vážné, jako když sadne ři cůzi dosělý člověk. Vysvětli. Běem ádu se otenciální energie člověka řemění na energii oybovou. Kinetické energie se ak tělo zbaví nárazem do země nebo jinéo ředmětu. Množství energie (a tedy i následky ádu), kteréo se tělo nárazem zbavuje, je tedy závislé na množství otenciální energie stojícío člověka. Potřebné veličiny odadneme. Jako výšku odadujeme výšku těžiště člověka nad zemí. m = kg = 50cm = 0,5m m = 70 kg = 90cm = 0,9m E E d d = m g = 0 0,5J = 60J d d d = m g = 70 0 0,9 = 630J D D D D Z výsledků je zřejmé, že energie, která zůsobuje náraz je ři ádu dosěléo člověka asi desetkrát větší než ři ádu dítěte. V odobném oměru jsou i následky ádu. Pedagogická oznámka: Rozdíl má i biologické říčiny, naříklad kostra dětí je daleko ružnější než kostra dosělýc. D Př. 8: Basketbalový míč musí odle ravidel slňovat následující odmínku: Pokud řádně nauštěný míč ustíme volně z výšky 70 cm, sám se odrazí do výšky minimálně 50 cm. Vyočtěte absolutní a rocentuální ztrátu mecanické energie míče ři skoku. Hmotnost míče o velikosti 7 se může oybovat v rozmezí 567 650 g (ro jednodušší výočty zvol motnost 600 g). = 70cm =,7 m, = 50cm, m = 600g = 0,6 kg, E =? E = mg = 0,6 0,7 J = 0,J E = mg = 0,6 0,5J = 9 J E = E E = 9 0,J =, J Procentuální ztráta 00% 0, J x%, J x, x =, 00 =,8% 00 0, 0, Míč ztratil otenciální energii, J, což je,8% otenciální energie, kterou měl na začátku. Výočet úbytku otenciální energie si můžeme usnadnit, když osuneme nulovou ladinu otenciální energie do výšky 50 cm. Pro očáteční odnotu otenciální energie ak latí: = 0cm = 0, m E = mg = 0,6 0 0,J =,J. Protože konečná odnota otenciální energie je nulová, ined vidíme, že latí E = E E = 0,J =, J. Problém je s rocentuální ztrátou energie. Při tomto řístuu by byla storocentní, což evidentně neodovídá smyslu říkladu. Jde o dobrý říklad zadání, které sice není fyzikálně zcela korektní, ale obecně je vcelku srozumitelné. 4
Př. 9: Těleso o motnosti 0 kg je uštěno z výšky m a zaryje se do loubky,3 cm, Vyočtěte růměrný odor ůdy. m = 0 kg = m s =, 3cm = 0, 03m F =? V říkladu neuvažujeme odor vzducu. Poloová energie tělesa se řemění na oybovou a ta se ři zarývání do země řemění na ráci. E = W mg mg = Fs F = s mg 0 0 F = = = 8700 N s 0,03 Průměrný odor ůdy je 8700 N. Př. 0: Při skocíc do vody z výšky m ronikne skokan rukama do loubky m. Do jaké loubky roniknou jeo ruce, když bude skákat z dvojnásobné výšky? Odor vzducu zanedbej a ředokládej, že odor vody bude v obou říadec stejný. = x = 0,m x =? Před skokem má skokan otenciální energii, ta se běem letu řemění na kinetickou energii, která se ři rorážení vody řemění na ráci. Práce, kterou vykoná ři rorážení vody se tedy musí rovnat jeo otenciální energii řed skokem. F Při rvním skoku: E = W mg = Fx = x mg F Při druém skoku: E = W mg = Fx = x mg Pravé strany obou rovnic se rovnají, musejí se rovnat i levé. = x = x x x x = x m 4 m = = Při skoku z dvojnásobné výšky roniknou skokanovy ruce do dvojnásobné loubky. Poznámka: Výsledek říkladu je zřejmý z too, že otenciální energie je římo úměrná výšce tělesa. Ve dvojnásobné výšce má skokan dvojnásobnou energii, může ve vodě vykonat dvojnásobnou ráci a tím roniknout do dvojnásobné loubky. Př. : Jaká bude oravdová loubka, do které roniknou skokanovi ruce ve skutečnosti v orovnání s výsledkem vyočteným v ředcozím říkladě. Hloubka bude méně než dvojnásobná. Při ryclejším oybu brzdí skokana větší odor vzducu a ztratí větší část energie než ři skoku z menší výšky. Srnutí: Potenciální energie je určena výškou, motností a silou gravitačnío ole. Její velikost také ovlivňuje volba nulové ladiny otenciální energie. 5