Uivrzit Krlov v Prz Pdgogická fkult SEMINÁRNÍ PRÁCE Z MATEMATICKÉ ANALÝZY KONVERGENCE ŘAD. přprcové vydáí / Cifrik, M-ZT
Zdáí: Vyštřt kovrgci řdy, jstliž. ( ).!.. l ( ). 7.!. ( ). 8..! 4. 9. cos.. Vyprcováí: Dfiic : Nkočá řd čísl 4. 7.!! l ( ) 8. ( ) 9. ( ).. Nchť j dá libovolá posloupost rálých čísl { } K K. Výrz s zývá kočá řd rálých čísl zčím (čtm: řd pro od jdé do koč). Čísl,, K,, K zývám čly kočé řdy, číslo j j-tý čl kočé řdy. Dfiic : Kovrgc divrgc Nchť { } s j posloupost částčých součtů řdy ) řd b) řd c) řd d) řd kovrguj má součt s, jstliž divrguj k divrguj k, jstliž s ;, jstliž s ; osciluj, jstliž s xistuj.. Říkám, ž: s R ; s
Příkld ( ) -tý částčý součt Počítám ( ) ( ) A B A B A A B A A B N : s K. 4 8 8 4 proto podl dfiic řd s 4 4, kovrguj má součt 4. Vět : Nutá podmík pro kovrgci řdy Nchť kovrguj. Potom. Pozámk: J-li můžm o chováí příslušé řdy ic usoudit. J-li, potom kovrguj. Příkld ( ) Ní splě utá podmík kovrgc, proto řd Pozámk: Stupň čittl j větší ž stupň jmovtl. kovrguj.
Vět : Ablovo kritérium pro kovrgci kočé číslé řdy Nchť řd kovrguj. Nchť pro posloupost { } ε ε ε K. Potom řd ε kovrguj. ε pltí: Dfiic : Absolutí rltiví kovrgc ) Nchť řd kovrguj. Potom řd tké kovrguj říkám, ž řd kovrguj bsolutě. b) Nchť řd divrguj řd kovrguj. Říkám, ž řd kovrguj bsolutě boli rltivě. Vět : Srovávcí (zobcěé srovávcí) kritérium Nchť b jsou řdy s záporými čly, chť xistuj tkové, ž k : b ( b k : ). b Potom ) kovrguj, jstliž b kovrguj, b) b divrguj, jstliž divrguj. k N Příkld. jd o řdu s záporými čly pltí (Pojmy kovrgc bsolutí kovrgc splývjí.). < Řd kovrguj bsolutě.
4 Dlší možost jk vyštřit stjou řdu:.. Řd tdy kovrguj k. Příkld 4. jd o řdu s záporými čly pltí. N < : Řd j kovrgtí gomtrická řd, proto podl vty uvdé rovosti kovrguj tké řd. Z rovosti ply, ž řd kovrguj bsolutě. Vět 4: Cuchyovo ití odmociové kritérium Nchť j řd s kldými čly. Potom ) xistuj-li, < < q R q, N k tk, ž pro k N,, j q, potom řd kovrguj, b) jstliž pro kočě moho N j, potom řd divrguj k. Vět : Cuchyovo ití odmociové kritérium ) Nchť xistuj, < < q R q, chť xistuj N k tkové, ž pro všch k pltí q. Potom řd kovrguj bsolutě. b) Nchť pro kočě moho N j. Potom řd kovrguj.
Příkld cos Řd cos cos cos N : < kovrguj bsolutě (vět ). Vět : D Almbrtovo ití podílové kritérium Nchť j řd s kldými čly. Potom ) xistuj-li q R, < q <, k N tk, ž pro N, k, j q, potom řd kovrguj, b) jstliž xistuj k N tkové, ž N, k divrguj k. j, potom řd Vět 7: D Almbrtovo ití podílové kritérium ) Nchť xistuj q R, < q <, chť xistuj k N tkové, ž pro všch k pltí q. Potom řd kovrguj bsolutě. b) Nchť xistuj k N tkové, ž N, k pltí kovrguj.. Potom řd
Vět 8: Cuchyovo ití odmociové kritérium ) Nchť j řd s záporými čly. Potom ) j-li <, řd kovrguj, ) j-li, řd divrguj. b) Nchť <. Potom řd kovrguj bsolutě. c) Nchť. Potom řd kovrguj. Pozámk: Účié užití této věty j zložo xistci Příkld l ( ), ktrá í rov jdé.. (Pojmy kovrgc bsolutí kovrgc splývjí.). < l ( ) l( ) < Řd kovrguj bsolutě. Náš závěr vyplyul z věty. Abychom l ( ) musli udávt podmíku j v tomto přípdě vhodější použít větu 8, tdy Příkld 7! Řd ( ) < l ( ) l( ). (Pojmy kovrgc bsolutí kovrgc splývjí.). Protož pltí j! ( )!! ; ( ) j bsolutě kovrgtí.! < <.
Příkld 8!! Řd! kovrguj (vět 8).!! Pozámk: Ní splě utá podmík kovrgc (vět ). Příkld 9.. < Řd Příkld. kovrguj bsolutě.. N : < Řd Příkld! Řd! kovrguj bsolutě. divrguj (vět 8).!! 7
Vět 9: D Almbrtovo ití podílové kritérium ) Nchť j řd s kldými čly. Potom ) j-li < ) j-li b) Nchť < c) Nchť, j řd, j řd. Potom řd. Potom řd kovrgtí, divrgtí. kovrguj bsolutě. kovrguj. Pozámk: Účié užití této věty j zložo xistci Příkld, ktrá í rov jdé.. (Pojmy kovrgc bsolutí kovrgc splývjí.). <, Řd Příkld! Řd! kovrguj bsolutě. ( )! ( ) ( )! ( )!! kovrguj. 8
Příkld 4.. < Řd kovrguj bsolutě. Příkld. ( ) 4. Řd ( ) kovrguj bsolutě. < Příkld!.. Řd! ( )!! kovrguj bsolutě. Dfiic 4: Altrující řd Nchť pro všch N. Řdu boli řdou s střídvými zméky. zývám ltrující řdou 9
Vět : Libizovo kritérium pro ltrující řdy Nchť pro všch N pltí thdy j thdy, j-li Příkld 7 ( ) l.. Potom řd Ověřm podmíku Libizov kritéri pro ltrující řdy: N : kovrguj, N : l( ) < l( ) l( ) l( ) podmík j tdy splě. Abychom mohli rozhodout o kovrgci, zbývá jště určit, zd j : řd ( ) l kovrgovt i řd kritéri pltí: protož l ( ) tdy kovrguj. Má-li tto řd kovrgovt bsolutě, musí l ( ),. T ovšm divrguj boť podl srovávcího l ( ) j posuutou hrmoickou řdou ( hrmoická řd divrguj), divrguj i řd Řd ( ) l, l ( ) kovrguj bsolutě (rltivě).. ;
Příkld 8 Ověřm podmíku Libizov kritéri pro ltrující řdy: : : N N, podmík j tdy splě. Abychom mohli rozhodout o kovrgci, zbývá jště určit, zd j :, řd tdy kovrguj. Vyštřm jště, jk s chová řd : zřjmě divrguj. Proto řd kovrguj bsolutě (rltivě). Příkld 9 4 4 Řd kovrguj bsolutě k 4.
Příkld Ověřm podmíku Libizov kritéri pro ltrující řdy:?? 8 8 8 8 : : < N N podmík j tdy splě. Abychom mohli rozhodout o kovrgci, zbývá určit, zd j :, protož stupň čittl j mší ž stupň jmovtl. Řd tdy kovrguj. Otázku bsolutí kovrgc vyštřím zkoumáím řdy. Podl srovávcího kritéri: 8 < j řd kovrgtí proto řd kovrguj bsolutě.
Obsh Dfiic : Nkočá řd čísl Dfiic : Kovrgc divrgc Příkld Vět : Nutá podmík pro kovrgci řdy Příkld Chyb! Záložk í dfiová. Vět : Ablovo kritérium pro kovrgci kočé číslé řdy Dfiic : Absolutí rltiví kovrgc Vět : Srovávcí (zobcěé srovávcí) kritérium Příkld Příkld 4 4 Vět 4: Cuchyovo ití odmociové kritérium 4 Vět : Cuchyovo ití odmociové kritérium 4 Příkld Chyb! Záložk í dfiová. Vět : D Almbrtovo ití podílové kritérium Vět 7: D Almbrtovo ití podílové kritérium Příkld 9 Vět 8: Cuchyovo ití odmociové kritérium Příkld 7 Příkld 8 Příkld 9 7 Příkld 7 Příkld 7 Příkld 7 Vět 9: D Almbrtovo ití podílové kritérium 8 Příkld 8 Příkld 4 8 Příkld 9 Příkld 9 Dfiic 4: Altrující řd 9 Vět : Libizovo kritérium pro ltrující řdy Příkld 7 Příkld 8 Příkld 9 Příkld Litrtur: KUBÍNOVÁ, M. NOVOTNÁ, J.: Poslouposti řdy. Krolium, Prh 997.