Numerická matematika

Numerická matematika Jiří Felcman Univerzita Karlova v Praze Matematicko-fyzikální fakulta KNM PRESS PRAHA 2014

iv

PŘEDMLUVA 1 felcman@karlinmffcunicz Tel221913392 KNMčdvK458(5042) http://wwwkarlinmffcunicz/~felcman/nmpdf 1 přednáška 2 NMAI042 Numerická matematika Obecná informatika Programování a softwarové systémy (Programování, Správa počítačových systémů- zahájení 2011 nebo dříve) 3 Požadavky ke zkoušce státnice(prospěl s vyznamenáním) Obecná informatika: MFF >Studium >BcaMgrstudium >Studijníplány >Obecná informatika http://wwwmffcunicz/studium/bcmgr/ok/ib3a21htm sylabus SIS, Předměty, NMAI042, Hledej 4 Tituly PhD RNDr Mgr Bc 5 Studium v zahraničí- ERASMUS 6 Ceny udělované studentům 7 SVOČ 8 Hodnocení učitelů- srozumitelnost 9 Zápočet: pátek 2 května 2014 10 Zkouška: pátek 9 května 2014, 12:20 část písemná, dosažení minimálního předepsaného počtu bodů pro každou otázku část ústní Praha, 3 února 2014 J F v

OBSAH Úvod 1 1 Aproximace funkcí v IR 2 11 Lagrangeův interpolační polynom 4 111 Chyba Lagrangeovy interpolace 5 12 Kubický spline 6 121 Konstrukce přirozeného kubického spline 7 2 Numerická integrace funkcí 12 21 Newtonovy-Cotesovy vzorce 12 211 Složené Newtonovy Cotesovy vzorce 14 22 Rombergova kvadratura 14 23 Gaußova kvadratura 16 3 Metody řešení nelineárních rovnic 19 31 Newtonova metoda 19 311 Důkaz konvergence Newtonovy metody 20 312 Řád konvergence 23 32 Metoda postupných aproximací pro nelineární rovnice 24 33 Kořeny polynomu 24 331 Hornerovo schema 24 4 Soustavy lineárních rovnic 27 41 Podmíněnost matic 27 42 Gaußova eliminace 28 421 Pivotace 29 43 Gaußova eliminace jako faktorizační metoda 30 44 LU rozklad v obecném případě 32 441 Vliv zaokrouhlovacích chyb 34 45 Choleského rozklad 34 46 QR rozklad 35 5 Iterační metody řešení soustav lineárních rovnic 36 51 Klasické iterační metody 37 6 Výpočet vlastních čísel matic 43 61 Mocninná metoda 43 7 Numerická integrace obyčejných diferenciálních rovnic 45 71 Formulace problému 45 72 Jednokrokové metody 45 vii

viii OBSAH 721 Metody typu Runge Kutta 47 8 Gradientní metody 50 81 Formulace problému 50 Bibliografie 51 Index 52

ÚVOD Numerická analýza: Studium algoritmů(jednoznačně definovaná konečná posloupnost aritmetických a logických operací) pro řešení problémů spojité matematiky LN Trefethen, Bulletin IMA 1993 Numerická matematika: realizace matematických modelů na počítači Fyzikální realita matematický model numerické řešení, tj realizace matematického modelu na počítači Validation(solving the right equations) verification(solving the equations right) Literatura k přednášce:(quarteroni et al, 2004),(Ueberhuber, 2000),(Segethová, 2000) Předpokládané znalosti: Rolleova věta, definice normy funkce, definice seminormy, vlastní čísla, báze lineárního vektorového prostoru, Taylorova věta 1

1 APROXIMACE FUNKCÍ V IR Jedna ze základních úloh numerické matematiky: aproximace dané funkce f jinou funkcí ϕ Zadání aproximované funkce- analyticky, nebo je k dispozici tabulkahodnot(x i, f i ), x i, f i IR, i=0,,n, n IN, f i = f(x i )(vizobr 101) tabulkahodnotderivacídourčitéhořáduvuzlech x i Pro funkci f definovanou na uzavřeném intervalu[a, b] uvažujeme dělení intervalu[a, b], a=x 0 < x 1, < x n = b, n Z + = {0,1, }anazývámeho sítí x i, i=0,nnazývámeuzly(ekvidistantní,je-li x i = a+ih,kde h IRje kroksítě) Poznámka 11 Pojem síť se používá obecně v N-rozměrném prostoru, viz např (Feistaueretal,2003,str185):LetΩ IR N beadomainif N=2,thenby Ω h wedenoteapolygonalapproximationofωthismeansthattheboundary Ω h ofω h consistsofafinitenumberofclosedsimplepiecewiselinearcurves For N=3,Ω h willdenoteapolyhedralapproximationofωfor N=3weset Ω h =ΩThesystem D h = {D i } i J,where J Z + = {0,1, }isanindexset and h >0,willbecalledafinitevolumemeshinΩ h,if D i, i J,areclosedline segmentsorclosedpolygonsorpolyhedrons,if N=1or N=2or3,respectively, with mutually disjoint interiors such that Ω h = i J D i Theelements D i D h arecalledfinitevolumestwofinitevolumes D i, D j D h areeitherdisjointortheirintersectionisformedbyacommonpartoftheir boundaries D i and D j If D i D j containsatleastonestraightsegmentora planemanifold,if N=2or3,respectively,thenwecall D i and D j neighbouring finite volumes(or simply neighbours) Požadavky na aproximující funkci ϕ (A) jednoduchý tvar, snadno vyčíslitelná polynom {1, x, x 2, x 3, } trigonometrickýpolynom {1,sinx,cosx,sin2x,cos2x, } racionální funkce exponenciálnífunkce ae bx 2

APROXIMACE FUNKCÍ V IR 3 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 Obr 101 Interpolační polynom nabývající v daných uzlech předepsaných hodnot 3 25 2 15 1 05 0 1 2 3 4 Obr 102 Proložení přímky třemi body(ve smyslu nejmenších čtverců) (B) ϕ (j) (x i )=f (j) (x i ), derivací v uzlech) (C) ϕ f malá,kde značínormu i=0,,n, j=0,,c i (rovnosthodnot,event Poznámka 12 Od požadavku(b) někdy upouštíme(proložit třemi body přímku-vizobr102) Nejčastější způsoby aproximace 1Interpolace-kfunkci fsestrojímefunkci ϕzjistétřídy Msplňující(B) 2 Aproximace metodou nejmenších čtverců- k funkci f sestrojíme funkci ϕ z jisté třídy M splňující(b) ve smyslu nejmenších čtverců diskrétní případ

4 APROXIMACE FUNKCÍ V IR n ( w i f(xi ) ϕ(x i ) ) 2 =min i=0 ψ M i=0 n ( w i f(xi ) ψ(x i ) ) 2 kde w i >0, i=0,, njsouzadanáčísla,zvanáváhynázev nejmenší čtverce je patrný z následujícího příkladu: Příklad13Prodanéděleníintervalu[a, b]adanékladnéváhy w i uvažujme normu funkce f danou vztahem f := n ( w i f(xi ) ) 2 ϕ Msehledátak,že spojitý případ b a i=0 f ϕ 2 =min f ψ 2 ψ M w(x) ( f(x) ϕ(x) ) 2 dx=min ψ M b a w(x) ( f(x) ψ(x) ) 2 dx wjeváhováfunkce(skorovšudekladnáv[a, b], w L 2 (a, b)definice pojmu skorovšude aprostoru L 2 (a, b)viznapř(feistaueretal,2003, strana)) 3 Čebyševova(stejnoměrná) aproximace- k funkci f sestrojíme funkci ϕ z jisté třídy M splňující max [a,b] ϕ(x) f(x) max ψ(x) f(x) [a,b] provšechnyfunkce ψ M,kde Mjezvolenámnožinafunkcí 11 Lagrangeův interpolační polynom 2 přednáška Hledámepolynom L n stupněnejvýše n(píšeme L n Π n -prostorpolynomů stupně nejvýše n) takový že L n (x i )=f(x i ) i=0,,n, (111) x i -navzájemrůznéuzly, obecněneekvidistantnítakovýpolynomnazveme Lagranegeovým interpolačním polynomem Věta14Nechť x 0,, x n jsounavzájemrůznéuzlypakexistujeprávějeden interpolačnípolynom L n Π n : L n (x i )=f(x i ) i=0,,n

Důkaz 1 Existence Uvažujme polynomy LAGRANGEŮV INTERPOLAČNÍ POLYNOM 5 l i (x)= (x x 0)(x x 1 )(x x i 1 )(x x i+1 )(x x n ) (x i x 0 )(x i x 1 )(x i x i 1 )(x i x i+1 )(x i x n ) (tzv Lagrangeovy polynomy) Platí α) l i (x) Π n, 1, i=j, β) l i (x j )=δ ij = (Kroneckerovo delta) 0, i j Položme n L n (x)= f(x i )l i (x) i=0 2 Jednoznačnost Nechť L 1 n, L2 n Π nsplňují(viz(111)) L 1 n(x i )=L 2 n(x i )=f(x i ) i=0,,n Potom L 1 n L 2 n Π n jepolynom,kterýmá(n+1)různýchkořenůpodle základnívětyalgebryje L 1 n L2 n nulovýpolynom Poznámka 15 Položme Potom platí kde čárka označuje derivaci ω n+1 (x)=(x x 0 )(x x n ) l i (x)= 111 Chyba Lagrangeovy interpolace ω n+1 (x) (x x i ) ω n+1 (x i), Věta16Nechť f C n+1 (I),kde Ijenejmenšíintervalobsahující x 0,,x n, x a x 0,, x n jsounavzájemrůznéuzly,nechť L n Π n jelagrangeůvinterpolačnípolynomprofunkci fpak ξ I f(x ) L n (x )= f(n+1) (ξ) ω n+1 (x ) (n+1)! (chybalagrangeovyinterpolacevbodě x )

6 APROXIMACE FUNKCÍ V IR Důkaz Pro x = x i jedůkazzřejmýpro x x i uvažujmefunkci: kde t IRPlatí: F(x)=f(x) L n (x) t ω n+1 (x) F(x i )=0 i=0,,n Pro vhodnou volbu t:= f(x ) L n (x ) ω n+1 (x (112) ) platí,že F(x )=0 F mátedy n+2nulovýchbodů(uzly x i abod x )Podle Rolleovy věty: F máaspoň n+1nulovýchbodů, F (n+1) máaspoň1nulovýbod,označmeho ξ F (n+1) (ξ)=0=f (n+1) (ξ) 0 t (n+1)! / ωn+1 (x ) (n+1)! kdejsmevyužilitoho,že(n+1)-níderivace L n jenulováa(n+1)-níderivace ω n+1 je(n+1)!dosadíme-liza tzevztahu(112),dostaneme f(x ) L n (x )= f(n+1) (ξ) ω n+1 (x ) (n+1)! Zkušební otázka 11! Chyba Lagrangeovy interpolace 12 Kubický spline Definice17Nechťjedánoděleníintervalu[a, b], a=x 0 < x 1 < < x n = b (x i navzájemrůzné)řekneme,žefunkce ϕ:[a, b] IRjekubickýspline,jestliže 1 ϕ jespojitá( C 2 [a, b]), 2 ϕ [xi,x i+1] jekubickýpolynom,pro i=0,1,, n 1 Poznámka 18 Spline- elastické pravítko používané při stavbě lodí Poznámka 19 Kubický spline je speciálním případem spline k-tého řádu pro k=3důvodemčastéhopoužitíkubickéhosplinejefakt,želidskéokojeschopné rozlišit ještě změny 2 derivace Poznámka 110 Kubický spline dobře aproximuje funkci, která popisuje tvar s minimální energií Popíšeme-li tvar pružné laťky funkcí y = f(x), potom E(y)= b a y (x) [ 1+(y (x)) 2] 3/2 dx měří její ohybovou energii Lať se deformuje tak, že je tato energie minimální (Hamiltonůvprincip)Dáseukázat,žemezivšemifunkcemizC 2 [a, b]aproximuje

KUBICKÝ SPLINE 7 kubickýspline ϕ:: ϕ(x i )=f(x i )velmidobřefunkci y,prokterousenabývá minima E(y):min y E(y)=E(y ) Věta111Nechť f C 2 [a, b]pakprokaždýkubickýspline ϕsplňující ϕ(x i )=f(x i ), i=0,,n, platí ϕ f, kde u 2 := b a u (x) 2 dx, jestliže je splněna některá z následujících třech podmínek: (a) ϕ (a)= 0 = ϕ (b) (b) ϕ (a)=f (a) a ϕ (b)=f (b) (c) ϕ (a)=ϕ (b) a ϕ (a)=ϕ (b) (121) Poznámka 112(Pozor, ve větě 111 neznačí normu, ale pouze seminormu vsobolevověprostoru H 2 (a, b),kteráseobvykleznačí H 2 (a,b),detailyviznapř (Feistaueretal,2003,page)) Důkaz Viz cvičení k přednášce Důsledek 113 Ve všech třech případech(a),(b),(c) je kubický spline určen jednoznačně 121 Konstrukce přirozeného kubického spline Značení: f i := f(x i ) i=0,,n, ϕ i := ϕ [xi,x i+1] i=0,,n 1, h i := x i+1 x i i=0,,n 1 Kubickýpolynom ϕ i jenaintervalu[x i, x i+1 ]určenčtyřmikoeficientypočet intervalůje n,celkemmámetedyprourčení ϕpočetstupňůvolnosti4npro tyto stupně volnosti sestavíme příslušné rovnice Počet neznámých 4 počet intervalů 4n Početrovnic ϕ(x i )=f(x i ), i=0,,n n+1 spojitost ϕvx i, i=1,,n 1 n 1 spojitost ϕ v x i, i=1,,n 1 n 1 spojitost ϕ v x i, i=1,,n 1 n 1 4n 2 Počet rovnic je o dvě menší než počet neznámých Doplníme je proto některou z podmínek(121),(a) (b) Uvažujme např podmínku(121),(a), tj podmínku

8 APROXIMACE FUNKCÍ V IR ϕ M i i M i+1 x i x i+1 Obr121 Přímka ϕ i nulových druhých derivací v krajních bodech Takový spline nazýváme přirozenýmkubickýmsplinemprourčenípřirozenéhokubickéhosplinuhledáme ϕ i ve vhodném tvaru Ukazuje se, že efektivní metoda není založena na vyjádření ϕ i (x)=a i x 3 + b i x 2 + c i x+ d i (NEVHODNÉvizcvičení) ani na vyjádření ϕ i (x)=a i (x x i ) 3 +b i (x x i ) 2 +c i (x x i )+d i (MÉNĚVHODNÉvizcvičení) ale na vyjádření pomocí tzv momentů, což jsou hodnoty druhé derivace ϕ v uzlechoznačmeje M i : M i := ϕ (x i ), i=0,,n a předpokládejme, že tyto momenty známe Později ukážeme, jak je určit Platí ϕ i kubickýpolynom ϕ i parabola ϕ i přímka Z předpokladu spojitosti druhé derivace ϕ v uzlech dostáváme M i = ϕ i (x i), M i+1 = ϕ i(x i+1 ) Jetedy ϕ i přímka,procházejícíbody(x i, M i )a(x i+1, M i+1 )(vizobr121)

KUBICKÝ SPLINE 9 ϕ i (x)=(x x i) M i+1 x i+1 x i + M i (x x i+1 ) x i x i+1, ϕ i (x)= M i (x x i+1 )+ M i+1 (x x i ) h i h i Integrací odvodíme ϕ i(x)= M i 2h i (x x i+1 ) 2 + M i+1 2h i (x x i ) 2 + A i, ϕ i (x)= M i 6h i (x x i+1 ) 3 + M i+1 6h i (x x i ) 3 + A i (x x i )+B i (122) vhodný rozpis integrační konstanty Ve vyjádření ϕ i ve tvaru (122) nejprve určíme koeficienty A i, B i, i = 0,, n 1pomocímomentůapotomsestavímerovnicepromomentyVyužijeme k tomu podmínky ϕ i (x i )=f i, ϕ i (x i+1 )=f i+1, i=0,,n 1 (Dvěrovniceprodvěneznámé A i, B i, i=0,,n 1)Dostaneme ϕ i (x i )= M i 6 h2 i + B i= f i, ϕ i (x i+1 )= M i+1 6 B i =f i M i 6 h2 i, h 2 i + A ih i + f i M i 6 h2 i = f i+1, A i = f i+1 f i + M i M i+1 h i h i 6 Rovnice pro momenty sestavíme ekvivalentním vyjádřením podmínky spojitosti derivace kubického spline v uzlech: Připomeňmesitvar ϕ i resp ϕ i 1 ϕ i 1 (x i)=ϕ i (x i), i=1,,n ϕ i(x)= M i (x x i+1 ) 2 + M i+1 (x x i ) 2 + A i 2h i 2h i ϕ i 1 (x)= M i 1 2h i 1 (x x i ) 2 + M i 2h i 1 (x x i 1 ) 2 + A i 1 Svyužitímvyjádřenípro A i,resp A i 1 pomocímomentůdostaneme ϕ i 1 (x i)=0+ M i h 2 i 1 2h + f i f i 1 + M i 1 M i h i 1 i 1 h i 1 6

10 APROXIMACE FUNKCÍ V IR = M i h 2 2h i+0+ f i+1 f i + M i M i+1 h i = ϕ i h i 6 i(x i ) Protožekonstruujemepřirozenýkubickýspline,je M 0 = ϕ (x 0 )=0=ϕ (x n )= M n adostávámetak n 1rovnic(i = 1,,n 1)proneznámemomenty M 1, M 2,, M n 1 Tytorovnicelzepřepsatvetvaru ( 6 M hi 1 i 1+ h i 1 + h i 2 6 2 h ) i M i + h i 6 6 M i+1= f i f i 1 + f i+1 f i h i 1 h i h i 1 +h i g i 3 h i 1 Maticový zápis vede na soustavu s třídiagonální maticí h 0+h 1 3 h 1 6 h i 1 6 h i 1+h i 3 h i 6 h n 2 6 h n 2+h n 1 3 Zkušební otázka 12! Konstrukce přirozeného kubického spline M 1 g 1 M i 1 g i 1 M i = g i M i+1 g i+1 M n 1 g n 1 Příklad 114 Pro ekvidistantní dělení s krokem h má matice soustavy tvar 4 1 h 1 4 1 6 1 4 Při vyšetřování řešitelnosti této soustavy lze využít následující definici a větu z algebry: Definice115Řekněme,žematice Atypu n n, n 2jeostřediagonálně dominantní(odd), jestliže a ii > n j=1,j i a ij i=1,,n Věta116Nechť A IR nn jeoddpak Ajenesingulární

KUBICKÝ SPLINE 11 Důkaz pomocí Geršgorinových kruhů, viz(quarteroni et al, 2004, str 184) Ajenesingulární deta 0 rovnicedet(a λi)=0nemákořen λ=0 nula není vlastním číslem matice A Nechť λ je vlastní číslo matice A Ax=λx y:= x x, x :=max x i i Ay=λy y i 1, i 0 :: y i0 =1 j i 0 a i0jy j + a i0i 0 y i0 = λy i0 j i0 a i0jy j = λ ai0i 0 y i0 λ a i0i 0 ai0j j i 0 (Geršgorinůvkruhostředu a i0i 0 apoloměru a i0j ) j i 0 Kdyby λ=0bylovlastnímčíslem a i0i 0 ai0j j i 0 SporsODD λ=0tedynenívlastníčísloamatice Ajenesingulární Matice soustavy rovnic pro momenty je ODD, soustava je tedy podle výše uvedené věty jednoznačně řešitelná a protože matice soustavy je třídiagonální, lze pro řešení použít např Gaußovu eliminaci

2 NUMERICKÁ INTEGRACE FUNKCÍ 3 přednáška Nechťjedánoděleníintervalu[a, b], a x 0 < x 1 < < x n b(x i navzájemrůzné)označme h=max i {0,,n 1} x i+1 x i Vzorec Cíl: I(f)= b a f(x)dx I h (f)= I h (f)= n α i f(x i ) i=0 n α i f(x i ) (201) senazývákvadraturníformule, α i jsoukoeficientykvadraturníformuleax i jsou uzly kvadraturní formule Motivace hledání aproximace určitého integrálu ve tvarulineárníkominacehodnotfunkce fvuzlech x i jezřejmáznásledujícího odstavce 21 Newtonovy-Cotesovy vzorce Prodané n IN uvažujmeekvidistantníděleníintervalu[a, b]skrokem h= b a n, x i = a+ih, i=0,,naproximujeme-lifunkci f Lagrangeovýminterpolačnímpolynomem L n prouzly x 0,, x n,lzeurčitýintegrálzfunkce f aproximovat následujícím způsobem: b a n f(x i ) i=0 b a f(x)dx b a i=0 L n (x)dx= l i(x) { }} { (x x 0 )(x x i 1 )(x x i+1 )(x x n ) (x i x 0 )(x i x i 1 )(x i x i+1 )(x i x n ) dx= i=0 b n l i (x)dx f(x i ) (211) a α i Tento vzorec nazýváme pro ekvidistantní uzly Newtonův-Cotesův Pro výpočetkoeficientů α i použijemenásledujícísubstituci 12

NEWTONOVY-COTESOVY VZORCE 13 subst x=a+th x i = a+ih, h= b a n α i := b a n j=0,j i (x x j ) (x i x j ) dx= b a n n 0 n j=0,j i (t j) dt (212) (i j) ZkonstrukceLagrangeovyinterpolace L n funkce f Π n plyne,že L n (x)= f(x),atedyn-cvzorecjepřesnýpropolynomystupněnejvýšentonásvede k následující definici Definice21Řekneme,žekvadraturníformule n i=0 α i f(x i )mářádpřesnosti m,jestliže m IN {0}jemaximálníčíslotakové,že b a p(x)dx= n α i p(x i ) p Π m (213) i=0 Zkušební otázka 21 Řád kvadraturní formule Lemma22Je-likvadraturníformule n i=0 α i f(x i )symetrická, tjpro i= 0,, nplatí b x n i = x i a, α i = α n i, aje-lijejířád n, nsudé,pakjejejířád n+1 Lemma 23 Newtonův-Cotesův vzorec je symetrická kvadraturní formule Důsledek24Pro nsudéjeřádn-cvzorce n+1 Zkušební otázka 22 Odvoďte Newtonův-Cotesův vzorec Lemma 25(Odhad chyby lichoběžníkového pravidla) Nechť f C 2 [a, b]označme T h (f)n-cvzorecpro n=1(lichoběžníkové pravidlo)pak ξ [a, b],::(přiznačení I(f)= b a f(x)dx) I(f) T h (f)= f (ξ) 2 h3, h=(b a) (214) 6 Lemma 26(Odhad chyby Simpsonova pravidla) Nechť f C 3 [a, b] Označme S h (f) N-C vzorec pro n = 2 (Simpsonovo pravidlo)pak ξ [a, b],:: I(f) S h (f)= h5 90 f (ξ), h= (b a) (215) 2

14 NUMERICKÁ INTEGRACE FUNKCÍ Definice 27(zbytek kvadraturního vzorce) Rozdíl kde I(f)= b nazýváme zbytek kvadraturního vzorce E h (f)=i(f) I h (f), a f(x)dx, I h (f)= 211 Složené Newtonovy Cotesovy vzorce n α i f(x i ), Newtonovy Cotesovy vzorce lze také aplikovat tak, že interval[a, b] rozdělíme na nekvidistantníchsubintervalů[x i, x i+1 ]velikosti hanakaždémztěchto subintervalů použijeme Newtonův Cotesův vzorec pro m + 1 ekvidistantních uzlů x i = x i0 < < x im = x i+1 skrokem H x i = a+ih, h= b a n, i=0, n, x i j = x i + jh, H= h m n 1 I(f):= i=0 xi+1 x i i=0 i=0 i=0 j=0 n, m IN n 1 n 1 f(x)dx IH i (f)= m α ij f(x ij )=: I H (f) Věta28(složené N-C vzorce) Nechť f C m+1 [a, b] Pak pro složené N-C vzorce platí I(f) I H (f) ch m+1, (216) kde c >0jekonstantanezávislánaH Důkaz plyne z odhadu chyby Lagrangeova interpolačního polynomu 22 Rombergova kvadratura Výpočet b a f(x)dxpomocísloženéholichoběžníkovéhopravidlapro n+1uzlů h= b a n, m=1, H= h Věta29(Eulerova-MacLaurinova)Nechť f C 2N+2 [a, b], h= b a n, n IN Potomprosloženélichoběžníkovépravidlo(označmeho CT h (f))platí: CT h (f)=p(h 2 )+O(h 2N+2 ) (221) = I(f)+a 1 h 2 + a 2 h 4 + +a N h 2N + O(h 2N+2 ), (222) kde p Π N, p=p(t)=a 0 + a 1 t+ +a N t, a 0 = p(0)= b a f(x)dx=i(f)

Důkaz viz Stör Numerische Mathematik I ROMBERGOVA KVADRATURA 15 Rombergovakvadratura:konstruujemelineárníkombinacivzorců CT h (f)pro vhodné h tak, abychom získali vzorec, který je přesnější: CT h (f)=i(f)+a 1 h 2 + O(h 4 ) / 1 h 2 CT h(f)=i(f)+a 1 2 4 + O(h4 ) /4 4CT h(f) CT h (f) 2 3 = I(f)+O(h 4 ) link=i(f)+chyba (N=1) Vhodnou lineární kombinací vzorců, z nichž každý aproximuje integrál I(f) s chybou O(h 2 ), jsme tak odvodili vzorec, který aproximuje integrál I(f) s chybou O(h 4 )Zapředpokladudostatečnéhladkostifunkce f (vizeulerova MacLaurinova věta) můžeme tímto způsobem odvodit vzorec, který aproximuje integrál I(f)schybou O(h 2N+2 )Všimněmesinapř,jakourolihrajevtomto postupuvyčíslenílagrangeovainterpolačníhopolynomu L 2 prouzly h2, CT h zapsanéhovetvaru L 2 (0)+b 1 t+b 2 t 2 (předpoklá- ahodnoty CT h 4 dáme h <<1), CT h 2 16, h 2 4, h2 Euler MacLaurin Lagrange CT h (f)= I(f)+a 1 h 2 + a 2 h 4 + O(h 6 )=L 2 (0)+b 1 h 2 + b 2 h 4 (223) h CT h(f)= I(f)+a 2 1 2 4 + a 2 h4 16 + h 2 O(h6 ) = L 2 (0)+b 1 4 + b 2 (224) 16 h CT h(f)= I(f)+a 2 1 4 16 + a 2 h4 256 + h 2 O(h6 ) = L 2 (0)+b 1 16 + b h 4 2 (225) 256 link = I(f)+0+0+O(h 6 ) = L 2 (0)+0+0 (N=2) kde L 2 (t)= b }{{} 0 +b 1 t+b 2 t 2 jelagrangeůvinterpolačnípolynomprotabulku L 2(0) h 0 2 16 link CT h 4 (f) CT h 2 h 2 4 h 2 (f) CT h (f) Závěr: L 2 (0)aproximuje b a f(x)dxschybou O(h6 )Přikonstrukci L 2 (0)se jedná o tzv Richardsonovu extrapolaci Uvedený postup lze provést až do řádu 2N+2prouzly( h 2) 2 ahodnoty CT i h, i=0,, N,pomocínichžkonstruujeme 2i L N Problém: Vyčíslení Lagrangeova interpolačního polynomu v jediném bodě (zde konkrétně v 0) aniž bychom Lagrangeův interpolační polynom sestavovali Zde nepotřebujeme tvar Lagrangeova interpolačního polynomu, ale pouze jeho hodnotu v jediném bodě K tomu se používá Aitkenovo Nevilleovo schéma h 4

16 NUMERICKÁ INTEGRACE FUNKCÍ Zkušební otázka 23! Odvoďte Rombergův kvadraturní vzorec, který aproximujehodnotu b a f(x)dx schybou O(h4 ) VysvětletevýznamLagrangeova interpolačního polynomu při konstrukci Rombergova kvadraturního vzorce 23 Gaußova kvadratura Víme,žeN-Cvzorcemajířádaspoň n(pro nsudédokonceaspoň n+1)jakého řádumůžebýtformuletypu n i=0 α if(x i )?Uvažujmeprodanéděleníintervalu [a, b], a x 0 < < x n bkvadraturníformuli I h (f)= n α i f(x i ) (231) i=0 Lemma 210(Řád kvadraturní formule) Řád kvadraturní formule(231) je nejvýše2n+1 Důkaz Uvažujmepolynom p(x)= n i=0 (x x i) 2 Π 2n+2 Tentopolynomje nezápornáfunkcenaintervalu[a, b]aplatíproněho b a p(x) >0 Kvadraturní formule typu(231) dává pro tento polynom n α i p(x i )=0 i=0 Propolynom pnenítedykvadraturníformule(231)přesnáajejířádjetedy nejvýše2n+1 Gaußova kvadratura je způsob konstrukce vzorce n i=0 α if(x i ), který je přesný pro všechny polynomy stupně nejvýše 2n + 1 Definice 211(skalární součin polynomů) Skalární součin v C[a, b] je definován (u, v)= b Definice 212 Množina normovaných polynomů a u(x)v(x) dx (232) Π n = {p Π n ; p(x)=x n + a n 1 x n 1 + +a 0 } (233) Myšlenka konstrukce Gaußovy kvadratury: x i (uzly): kořenypolynomu p n+1 zmnožinyortogonálníchpolynomů {p 0, p 1,, p n+1 }, b α i (koeficienty): určíme tak, aby a q(x)dx = n i=0 α iq(x i ) q Π 2n+1

GAUßOVA KVADRATURA 17 Věta213(Ortogonálnípolynomy)Existujíjednoznačněurčenépolynomy p i, pro které platí 1 p i Π i, i IN {0}, (p i, p j )=0, i j, (pozn p 0 (x)=1) 2Kořeny x 0,,x n polynomu p n+1, n IN {0},jsoureálné,jednoduché aležív(a, b) 3 p 0 (x 0 ) p 0 (x 1 ) p 0 (x n ) p 1 (x 0 ) p 1 (x 1 ) p 1 (x n ) A= je nesingulární p n (x 0 ) p n (x 1 ) p n (x n ) Důkaz viz cvičení k přednášce 4 přednáška Svyužitímortogonálníchpolynomů p 0,, p n+1 akořenů x i polynomu p n+1 určímekoeficienty α i Gaußovykvadraturníformuletak,abyplatilo: b a q(x)dx= n α i q(x i ), q Π 2n+1 (234) i=0 Ktomuvyjádřímepolynom qvetvaru q(x)=r(x)p n+1 (x)+s(x), r, s Π n, (dělenípolynomu qpolynomem p n+1 )apolynomy r(x), s(x) Π n vyjádříme jako lineární kombinaci ortogonálních polynomů(existence takového vyjádření viz cvičení k přednášce), specielně nechť s(x)= n γ j p j (x) Nazákladětohotovyjádřenímávýraznalevéstraněv(234)tvar = b a b a j=0 b q(x)dx= r(x)p n+1 (x)dx+ a =0 n γ j p j (x)dx= j=0 b a n j=0 γ j b a s(x) dx =1 { }} { p 0 (x) p j (x)dx

18 NUMERICKÁ INTEGRACE FUNKCÍ = n b b b γ j p 0 (x)p j (x)dx=γ 0 p 0 (x)p 0 (x)dx=γ 0 dx j=0 a Levástranav(234)jetedyrovna a γ 0 (b a) Pravá strana v(234) má na základě výše uvedených vyjádření tvar n n n α i [r(x i )p n+1 (x i ) +s(x i )]= α i γ j p j (x i ) i=0 i=0 j=0 =0 Vidíme, že levou a pravou stranu v(234) lze tedy vyjádřit jako lineární kombinacíjistýchvýrazůskoeficienty γ j γ 0 (b a)+ γ 1 0 + +γ n 0 n n n = γ 0 p 0 (x i )α i + γ 1 p 1 (x i )α i + +γ n p n (x i )α i i=0 i=0 Porovnánímvýrazůukoeficientů γ j nalevéapravéstranědostanemerovnice prourčeníhledanýchkoeficientů α i : n i=0 p 0(x i )α i = (b a) n i=0 p 1(x i )α i = 0 n i=0 p n(x i )α i = 0 i=0 p 0 (x 0 ) p 0 (x n ) p 1 (x 0 ) p 1 (x n ) p n (x 0 ) p n (x n ) a α 0 α 1 α n = b a 0 Zhlediskastabilityjevýhodné,žekoeficienty α i Gaußovakvadraturního vzorce n i=0 α if(x i )jsoukladné Věta214(pozitivita α i ) Koeficienty α i Gaußova kvadraturního vzorce jsou kladné Důkaz Položme: 0 < p k (x)= b a n i=0,i k (x x i ) 2 Π 2n n p k (x)dx= α i p k (x i )=α k p k (x k ) i=0 >0 α k kladné k=0,1,,n Zkušební otázka 24! Odvoďte Gaußův kvadraturní vzorec řádu 2n + 1 na intervalu[a, b] Odvoďte Gaußův kvadraturní vzorec řádu 3 na intervalu[ 1, 1] (uvažujteortogonálnípolynomy {1, x, x 2 1 3 } 0

3 METODY ŘEŠENÍ NELINEÁRNÍCH ROVNIC Nechť je dáno nelineární zobrazení 5 přednáška F:IR N IR N Hledáme α:: F(α)=0 Metody pro řešení výše uvedené úlohy jsou většinou iterační Cíl je generovat posloupnost {x (k) }takovou,želimx (k) = α,kde F(α)=0 31 Newtonova metoda Problém F(x)=0nahradímeposloupnostílineárníchproblémů L k (x)=0, L k : IR N IR N, k=0,1,,takových,žejejichřešenítvoříposloupnostkonvergující křešeníproblému F(x)=0 α x (k+1), kde L k (x (k+1) )=0 Nechť x (0) jedáno(pozdějiukážeme,jakhovolit)prodanouaprixamaci x (k) uvažujeme L k (x)jakolineárníčásttaylorovarozvojezobrazení Fvbodě x (k) IR N (J(x)značíJakobihomaticizobrazeníFvbodě x): F(x)=F(x (k) )+J(x (k) )(x x (k) ) +O( x x (k) 2 ) L k (x) (za předpokladu dostatečné hladkosti zobrazení F) Nelineární problém nahradíme problémem lineárním {F(x)=0} {F(x (k) )+J(x (k) )(x x (k) ) =0(311) L k (x) řešení αnelinpb aproximujemeřešením x (k+1) linpb (312) α x (k+1) := x (k) J 1 (x (k) )F(x (k) )(313) Vzorecv(313),kterýmjedefinována(k+1)-níaproximace x (k+1) řešení nelineárního problému je formální, ve skutečnosti se inverzní matice nepočítá a algoritmus má následující dva kroky: Algoritmus: 19

20 METODY ŘEŠENÍ NELINEÁRNÍCH ROVNIC 1 J(x (k) )(x x k ) δx (k) = F(x(k) )-řešímelineárníúlohupro δx(k) 2 x (k+1) := x (k) + δx (k) -provedemeupdatepředchozíaproximace Pro N = 1(nelineární skalární rovnice pro jednu neznámou) má Newtonova metoda názorný geometrický význam Nelineární funkci f(x) nahradíme lineárnífunkcí(přímkou),kterájetečnoukegrafufunkce f vbodě(x (k), f(x (k) ) (mátedysměrnici f (x (k) )aprocházíbodem(x (k), f(x (k) ))Vtomtopřípaděse Newtonova metoda nazývá metodou tečen N=1: x (k+1) = x (k) f(x(k) ) f (x (k) ), x(0) dáno, f (x (k) ) 0 Zkušební otázka 31! Odvoďte Newtonovu metodu pro soustavy nelineárních rovnic a její algoritmizaci Popište algoritmus v případě jedné skalární rovnice Způsob,jaknahraditfunkci f přímkouprocházejícíbodem(x (k), f(x (k) )) není jediný Další možnosti jsou metoda sečen, jednobodová metoda sečen nebo metoda regula falsi(viz cvičení k přednášce) Poznámka 31 Newtonova metoda je speciálním případem náhrady funkce f lineární funkcí l k (x):= f(x (k) )+(x x (k) )q k, kdesměrnice q k sevolí q k := f (x (k) ) 311 Důkaz konvergence Newtonovy metody Věta32(KonvergenceNewtonovymetodyprosoustavy)Nechť F C(D), D IR N konvexní,otevřenámnožina,kteráobsahuje α:: F(α)=0Nechť J 1 (α), nechť R >0, c >0, L >0: J 1 (α) c, J(x) J(y) L x y maticová norma vekt norma x, y B(α, R), kde B(α, R)jekouleostředu αapoloměru RPotom r, x (0) B(α, r), posloupnost 313 je jednoznačně definována a konverguje k α a platí α x (k+1) α cl x (k) 2 (314) Motivace: N=1 x (k+1) = x (k) f(x(k) ) f (x (k) ) Newtonova metoda

Z Taylorova rozvoje dostáváme: NEWTONOVA METODA 21 f(α)=f(x (k) )+f (x (k) )(α x (k) )+ f (ξ)(α x (k) ) 2 2 Zajímánáschyba(α x (k+1) )Chcemeukázat,že α x (k+1) 0Odečtením α od obou stran vzorce pro Newtonovu metodu získáme vyjádření α x (k+1) = α x (k) + f(x(k) ) f (x (k) ) Úpravou Taylorova rozvoje(uvědomíme-li si, že f(α) = 0) dostaneme 0= f(x(k) ) f (x (k) ) +(α x(k) )+ f (ξ)(α x (k) ) 2 2 f (x (k) ) Z předchozích dvou rovnic snadno nahlédneme, že platí α x (k+1) = f (ξ)(α x (k) ) 2 2 f (x (k) ) Předpokládejme nyní, že existuje konstanta c taková, že podíl derivací na pravé straně předchozího výrazu lze odhadnout f (ξ) 2 f (x (k) ) < c ξ x(k) Potom dostaneme ( α x (k+1) α c x (k) 2 ) c c α x (k 1) 2 2 = 1 c ( ) c α x (k 1) 4 1 c ( ) c α x (0) 2 k+1 Pravástranakonvergujeknulepro k + zapředpokladu c α x (0) <1,tjjestližeje x (0) dostatečněblízkokα Pro důkaz konvergence Newtonovy metody pro jednu skalární rovnici jsme tedy využili tyto předpoklady 1 x (0) dostatečněblízko α, 2 f omezenáshora 1 3 f omezenáshora(tjpředpokládáme f (α) 0), které korespondují s předpoklady Věty 32 Jak, to je patrné z následujícího důkazu

22 METODY ŘEŠENÍ NELINEÁRNÍCH ROVNIC Důkaz věty32 x (0) zvolímevb(α, r),kde ručímetak,aby J 1 (x (0) )existovala(jinýmislovy, x (0) volímedostatečněblízko α)ktomuvyužijemenásledující tvrzení z algebry: Lemma 33 Důkaz viz cvičení k přednášce Definujme matici A <1 (I A) 1 existujeaplatí (I A) 1 1 1 A A:= I J 1 (α)j(x (0) ) kde x (0) zvolímetak(blízko α),aby A <1,konkrétnězvolíme x (0) tak,aby A 1 2 K tomu využijeme předpoklady Věty 32 týkající se odhadu inverze Jacobiho matice v bodě α a lipschitzovskosti Jacobiho matice: A { }} { I J 1 (α)j(x (0) ) = J 1 (α)(j(α) J(x (0) )) cl α x (0) (315) x (0) zvolímetak,abyposlednívýrazv(315) 1 2 Tímdostávámepodmínku na x (0) : α x (0) 1 α cl azároveň x (0) R( platnost podmínky lipschitzovskosti) Pro r dostáváme ( ) 1 r:=min 2cL, R Vmnožine B(α, r)existujepodlevýšeuvedenéhotvrzenízalgebry J 1 (x (0) ) Toplynezevztahů (I A)=J 1 (α)j(x 0 ), (I A) 1 = J 1 (x (0) )J(α) Lze tedy spočítat první iteraci Newtonovy metody a odhadnout její chybu: α x (1) = α x (0) + J 1 (x (0) )F(x (0) ) Úpravou Taylorova rozvoje(uvědomíme-li si, že F(α) = 0) dostaneme 0=F(α)=F(x (0) )+J(x (0) )(α x (0) )+ zbytek, 0=J 1 (x (0) )F(x (0) )+(α x (0) )+J 1 (x (0) )zbytek

NEWTONOVA METODA 23 S využitím odhadu zbytku Taylorova rozvoje dostaneme odhad zbytku { }} { α x (1) J 1 (x (0) 1 α ) 2 L x (0) 2 a důkaz dokončíme pomocí odhadu normy inverzní matice J 1 (x (0) ) = J ( 1) (x (0) )J(α) J (I A) 1 Pro odhad chyby máme tedy vztah ( 1) (α) 1 c 2c 1 A }{{} 1 2 α x (1) α cl x (0) 2 ( ) = cl α x (0) α x (0), 1 2 z něhož plyne dále indukcí konvergence Newtonovy metody Zkušební otázka 32 Dokažte větu o konvergenci Newtonovy metody Poznámka 34 Modifikace Newtonovy metody: Jacobihomaticeseneměnípro p 2kroků nepřesné řešení soustavy lin rovnic vyčísleníjacobihomaticepomocídiferencí f (x) f(x+h) f(x) h 312 Řádkonvergence Definice 35(řád konvergence iterační metody pro řešení F(x) = 0) Řekneme, žeposloupnost {x (k) }generovanánumerickoumetodoukonvergujekαsřádem p 1,pokud c >0 α x (k+1) α x (k) p c k k 0 V takovém případě se numerická metoda nazývá řádu p Věta 32 říká, že Newtonova metoda je kvadraticky konvergentní, α x (k+1) α cl x (k) 2, pokudje x (0) dostatečněblízko αapokudje J(α)nesingulární

24 METODY ŘEŠENÍ NELINEÁRNÍCH ROVNIC 32 Metoda postupných aproximací pro nelineární rovnice Metoda postupných aproximací je založena na faktu, že pro dané zobrazení F: M IR N IR N jevždymožnétransformovatproblém F(x)=0naekvivalentní problém x φ(x)=0,kdepomocnáfunkce φjevolenatak,aby φ(α)=αprávě když F(α)=0Nalezenínulovýchbodůzobrazení Fsetakpřevedenanalezení pevného bodu zobrazení φ, které se realizuje pomocí následujícího algoritmu: Dáno x (0), x (k+1) := φ(x (k) ), k 0 Definice36(kontrahujícízobrazení)Řekneme,žezobrazení G:D IR N IR n jekontrahujícína D 0 D,jestliže L <1:: G(x) G(y) L x y x, y D 0 Věta37(větaopevnémbodě)Nechť G:D IR N IR N kontrahujícína uzavřenémnožině D 0 D, G(x) D 0 x D 0 Pak Gmáprávějedenpevný bodtentobodjelimitouposloupnosti x (k+1) = φ(x (k) ), x (0) D 0 libovolné Důkaz jednoznačnost, existence(cauchyovská posloupnost, spojitost G), viz cvičení k přednášce Poznámka 38 Newtonova metoda jako speciální případ věty o pevném bodě (Viz cvičení k přednášce) 33 Kořeny polynomu Nalezení lokalizacekořenůvc aproximace kořenů 6 přednáška Věta 39(Descartes) Počet kladných kořenů(včetně násobnosti) polynomu p n (α)=a 0 +a 1 x+ +a n x n jerovenpočtuznaménkovýchzměnvposloupnosti a 0, a 1,,a n,nebojeosudéčíslomenší Věta 310(Cauchy) Kořeny polynomu leží v kruhu { Γ= z C; z 1+η, η= max 0 k n 1 Poznámka3111 η:translaceazměnasouřadnic 331 Hornerovoschema V dalším budeme potřebovat vyčíslení hodnoty polynomu v daném bodě x Vyčíslení polynomu: p n (x)=a 0 + a 1 x+ +a n x n a k a n }